Τίμαιος ο Λοκρός

Πυθαγόρειος φιλόσοφος εκ της πόλεως Λοκρών της Κάτω Ιταλίας. Ο Πλάτων εις τον ομώνυμον διάλογον τον παρουσιάζει συνομιλούντα με τον Σωκράτη και τον Κριτίαν, όστις ήτο πάππος του γνωστού ολιγαρχικού πολιτικού των Αθηνών. Επομένως η ακμή της δράσεως του πρέπει να τοποθετηθή εις τας τελευταίας δεκαετίας του 5ου και τας πρώτας του 4ου π.Χ. αιώνος. (Περισσότερος πληροφορίας περί της προσωπικότητας του πέραν εκείνων τας οποίας μας δίδει ο Πλάτων («Τίμαιος» 19Ε) δεν έχομεν. Ο Γερμανός φιλόλογος Ντιλς εξέφρασε την εικασίαν ότι ως πραγματικόν πρόσωπον ο Τίμαιος δεν υπήρξε ποτέ αλλ' επλάσθη υπό του Πλάτωνος δια να αποτελέση τον εκπρόσωπον των αντιλήψεων των Πυθαγορείων εις τον ομώνυμον διάλογον. Η γνώμη αύτη του Ντιλς δεν είναι ορθή, διότι εις τον Διογένη τον Λαέρτιον αναφέρεται μεταξύ των συγγραμμάτων του Αριστοτέλους και πραγματεία «Τα εκ του Τιμαίου και τον Αρχυτείωνα». Ομοίως και ο Πρόκλος εις τα σχόλια του αναφέρει το όνομα του Τιμαίου. Ο Σουίδας μας δίδει την ακόλουθον πληροφορίαν: «Τίμαιος Λοκρός, φιλόσοφος Πυθαγόρειος. Μαθηματικά, Περί φύσεως, Περί του Πυθαγόρου βίου». Εκ της σημειώσεως ταύτης αποδεικνύεται ότι εις τον Τίμαιον απεδίδετο και η συγγραφή ορισμένων συγγραμμάτων. Μετά των πλατωνικών έργων συνεκδίδεται και μία εις την δωρικήν διάλεκτον γραμμένη πραγματεία υπό τον τίτλον «Τιμαίω Λοκρώ περί ψυχάς κόσμω και φύσιος». Αύτη όμως δεν είναι γνήσιον έργον του Τιμαίου αλλά εγράφη επί τη βάσει του ομωνύμου πλατωνικού διαλόγου υπό αγνώστου μεταγενεστέρου συγγραφέως όστις ηθέλησε να αποδώση την συγγραφήν της εις τον Πυθαγόρειον φιλόσοφον. Περιέχει γνώμας εκτιθεμένας εις τον πλατωνικόν «Τιμαίον».

Βιβλιογραφία : Gualterus Anton, De origine libelli inscr. Περί ψυχάς κόσμω και φύσιος: Berlin 1851, Diels, 'Αποσπάσματα   Προσωκρατικών,  Τόμος Ι σελ. 441   εκδ. 6η.

Κ. Δ. Γεωργούλης

Γυναίκες Μαθηματικοί της Αρχαίας Ελλάδας

 Ο Πυθαγόρας στους Δελφούς γνώρισε τη Θεμιστόκλεια που ήταν Ιέρεια του ναού του Απόλλωνα και βαθειά γνώστης της αριθμοσοφίας. Παρέμεινε στους Δελφούς επί δύο χρόνια, μυήθηκε στα μυστικά των αριθμών από τη Θεμιστόκλεια και μετά άρχισε τις περιπλανήσεις του.

Η Πυθαγόρεια σχολή, το πρώτο Πανεπιστήμιο της Αρχαιότητας, παρά τις αρχικές αντιρρήσεις ε­πέτρεπε τη φοίτηση και σε γυναίκες. Περίπου 18 γυναίκες παρακολούθησαν τη σχόλη κατά τη διάρ­κεια της λειτουργίας της. Όταν ο Πυθαγόρας το 520 περίπου π.Χ επισκέφθηκε την κάτω Ιταλία (κατά την 62η Ολυμπιάδα) γνώρισε τη Θεανώ. Η Θεανώ, που κατά τον Ιάμβλιχο ήταν καλλονή υπήρξε ένθερμη μαθήτρια του Πυθαγόρα και αργότερα έγινε σύζυγος του. Η Θεανώ δίδαξε στην Πυθαγόρεια σχολή και μετά το θάνατο τον Πυθαγόρα ανέλαβε τη διεύθυνση της μαζί με τις κόρες της. Έγραφε επτά περίπου μελέτες από τις ο­ποίες δεν διασώζεται καμία. Μια από τις εργασίες της λέγεται ότι αναφερόταν στη «Χρυσή τομή». Η κόρη τον Πυθαγόρα η Δομώ υπήρξε αξιόλογη μαθηματικός. Ο Πυθαγόρας εμπιστεύτηκε σ αυτήν τα γραπτά του με τη ρητή εντολή να μην τα ανακοινώσει σε αμύητους. Η Δομώ για αρκετά χρόνια τήρησε την εντολή του πατέρα της. Αργότερα όμως, άγνωστο γιατί δημοσίευσε (μαζί με άλ­λους Πυθαγόρειους) στην Αθήνα τη γεωμετρική διδασκαλία του Πυθαγόρα. Λέγεται ότι πρώτη η Δομώ επινόησε τη μέθοδο εγγραφής σε σφαίρα του δωδεκαέδρου. Η κόρη της Βιτάλη, κατά τον Αθήναιο δίδαξε Γεωμετρία στην Αθήνα. Οι άλ­λες δύο κόρες του Πυθαγόρα, η Αριγνώτη και η Μυία δίδαξαν κι αυτές μαθηματικά στις μαθή­τριες της σχολής του. Απόφοιτες της σχολής ταυ Πυθαγόρα και μυημένες στα ανώτερα επίπεδα της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας ήταν η Φιντύς. η Μέλισσα και η Τυμίλα. Κατά τον Βλεμμίδη η σχέση:

Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς

G.LORIA ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αι εργασίαι των νεωτέρον μαθητών του Πυθαγόρου και του Πλά­τωνος, καλυπτόμεναι εν γένει από μίαν αχλύν επισκιάζουσαν την διαύγειαν και την ακρίβειαν των φιλοσοφικών έργων, έχουν επί πλέον ένα αρνητικόν χαρακτηριστικόν γνώρισμα άξιον ιδιαιτέρας μνείας. Ότι δηλαδή ελλείπουν εντελώς από τας εργασίας αυτών εφαρμογαί των αναπτυσσομέ­νων θεωριών εις την λύσιν προβλημάτων. Το προκύπτον κενόν (της βαρύτητος του οποίου δεν έχουν ανάγκην αποδείξεως όσοι γνωρίζουν όποιον κίνητρον δια την μαθηματικήν έρευναν αποτελούν τα προβλήματα) πληρούται  θαυμασίως  από   ένα κορυφαίον επιστήμονα,  τον   Διόφαντον.

Περί της ζωής του Διόφαντου γνωρίζομεν ακόμη ολιγώτερα των όσων ηδυνήθημεν να μάθωμεν περί Ευκλείδου και Απολλώνιου. Δυνάμεθα να θεωρούμεν ως βέβαιον ότι έζησε και απέθανεν εις Αλεξάνδρειαν, ο δε χρόνος της ζωής του πρέπει να τοποθετηθή εντός του χρονικού διαστήματος από 200 π.Χ. μέχρι 400 μ.Χ., του όποιου το μήκος, βάσει διαφόρων υποθέσεων, δύναται περαιτέρω) να περιορισθή από του 150 π.Χ. μέχρι του 250  μ.Χ.

Το κυριώτερον έργον του αποτελείται από μίαν ποικιλωτάτην συλλογήν αριθμητικών προβλημάτων υπό τον τίτλον «Τα Αριθμητικά». Αρχι­κώς το έργον τούτο περιελάμβανε δεκατρία βιβλία, σήμερον όμως κατέχομεν μόνον τα 6. Κατά την γνώμην μερικών ιστορικών, η απώλεια δεν πρέπει να θεωρείται τόσον σοβαρά όσον είναι η διαφορά των αριθμών 6 και 13, διότι μερικά βιβλία ενδεχομένως εξηφανίσθησαν δια συγχωνεύσεως της ύλης των υπό πολύ τολμηρών και ελάχιστα ευσυνείδητων αντιγραφέων. Μία τοιαύτη παρηγορητική επιχειρηματολογία πόρρω απέχει από του να δύναται να υποστηριχθή κατά τρόπον αναντίρρητον, διότι η ερευνά των διοφαντικών κωδίκων διδάσκει ότι αι προσβολαί, τας οποίας υπέστη το έργον, ανάγονται εις τον XI και ίσως τον Χ αιώνα μ.Χ.

Δια να έκθεση μεθοδικώτερον ο Διόφαντος την ύλην που ανέλαβε να πραγματευθή, έκαμε χρήσιν ενός ειδικού συμβολισμού (ο όποιος θα ηδύνατο να χαρακτηρισθή ως στενογραφία) ασφαλώς αρκετά ατελέστερου εκείνου πού χρησιμοποιούμεν σήμερον, ικανού όμως να κάμη τους θαυ­μαστάς του να θεωρήσουν τον Διόφαντον ως «πατέρα της άλγεβρας». Δεν συντασσόμεθα με την άποψίν των, μολονότι αναγνωρίζομεν ότι οι χαρακτήρες, τους οποίους χρησιμοποιεί ο μέγας Έλλην μαθηματικός, δια να παραστήση την μονάδα, τον άγνωστον και τας δυνάμεις του, η δια να παραστήση την αφαίρεσιν η την ισότητα δύο εκφράσεων, αποτελούν την εμβρυώδη μορφήν του συμβολικού συστήματος, το οποίον ωδήγησε την επιστήμην του υπολογισμού εις τας υψηλοτέρας της κατακτήσεις. Δεν είναι δε άγνωστα εις τον Διόφαντον ούτε ο νόμος των εκθετών

Χ^μ · Χ^ν   =   Χ^{μ + ν}

(δια μ, ν, ακεραίους, θετικούς η αρνητικούς), ούτε ο κανών ο διδάσκων το σημείον των μερικών γινομένων αθροίσματος επί διαφοράν δύο τυχουσών ποσοτήτων.

Θαλής Μηλήσιος Ε.Σταμάτης

Θαλής ο Μιλήσιος 

Ο μέγας επιστήμων και φιλόσοφος 

Υπό Ευάγγελου Σταμάτη

Ο Θαλής, εις εκ των επτά σοφών της αρχαίας Ελλάδος, εγεννήθη εις την Ελληνικήν πόλιν της Μικράς 'Ασίας Μίλητον κατά το πρώτον έτος της τριακοστής πέμπτης Ολυμπιάδος (περί το 640 π.Χ.) απέθανε δε αυτόθι κατά την πεντηκοστήν όγδόην 'Ολυμπιάδα (περί το 546 π.Χ.). Κατά τον ιστορικόν και βιογράφον Σωσικράτη (πρώτος αιών π.Χ.), ο Θαλής απέθανεν εις ήλικίαν 98 ετών, εν κατ’ άλλην πληροφορίαν αναγραφομένην υπό του Διογένους του Λαέρτιου (4ος αιών) δ Θαλής ήτο ηλικίας 78 ετών, όταν απέθανε. Η πατρίς του Θαλού Μίλητος ήτο αρχαιότατη πόλις μνημονευομένη και υπό του Όμηρου (Ιλ. Β. 868), υπέστη όμως κατά την μακραίωνα αυτής ιστορίαν πολλάς καταστροφάς...

Θαλής Μηλήσιος Ε. Σταμάτης

Google docs

Ο Ευκλείδης

G.LORIA.  Ιστορία των Μαθηματικών

Η πρώτη εξέχουσα προσωπικότης, η οποία απαντάται εις την υπ’ όψει εποχήν, είναι συγχρόνως ο διασημότερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών: Ο Ευκλείδης (δεν πρέπει να συγχέε­ται με τον Ευκλείδη τον Μεγαρικόν, φιλόσοφον σύγχρονον του Σωκρά­τους και Πλάτωνος). Γεννηθείς εις την Αλεξάνδρειαν και ακμάσας κατά το έτος 300 π.Χ., διήγε βίον ήσυχον υπό την σκιάν των νέων Φαραώ, χρησιμοποιών τον χρόνον του άλλοτε εις ίδιας μαθηματικός έρευνας, άλ­λοτε εις περισυλλογήν των πορισμάτων προγενεστέρων ερευνών και άλλοτε εις προφορικήν διάδοσιν τούτων από τής έδρας, η οποία του είχεν ανατεθή εις το Μουσείον¹.

Ελλείπουν άλλαι λεπτομερέστεροι πληροφορίαι περί της ζωής του, αν εξαιρέσωμεν τας πολύ ολίγας και μικράς αξιοπιστίας ειδήσεις εξ αρα­βικών πηγών. Από τον σχολιαστήν Πάππον (3ος αιών μ.Χ.) μανθάνομεν περί του χαρακτήρος του, ότι ήτο πράος, ιδιότης άλλωστε συνήθης μεταξύ των μαθηματικών, και ότι ακόμη είχε μίαν ιδιαιτέραν τάσιν να μεταδίδη εις τους μεταγενεστέρους τα επιτεύγματα των προγενεστέρων χωρίς να επιφέρη εις αυτά μεταβολάς.

Η μεγίστη δημοτικότης του Ευκλείδου στηρίζεται κατά μέγιστον μέ­ρος εις τα Στοιχεία, ένα έργον, το όποιον επί μακρούς αιώνας εχρησίμευσε (και δεν έπαυσε να είναι μέχρι σήμερον) το βασικόν κείμενον διδασκαλίας του μαθήματος της γεωμετρίας εις τα περιφημότερα σχολεία. Ένα έργον, το όποιον εις αριθμόν εκδόσεων και μεταφράσεων δύναται ν' ανταγωνισθή την θείαν Κωμωδίαν* του Δάντη και ίσως υπολεί­πεται μόνον της  Αγίας   Γραφής.

Τα Στοιχεία διαιρούνται εις δεκατρία βιβλία, περιλαμβάνοντα, έκτος πολυαρίθμων αρχικών προτάσεων, 93 προβλήματα και 372 θεωρήματα. Το έργον, περιελθόν εις ημάς διά μέσου αναρίθμητων αντιγραφέων κατά κα­νόνα αναρμόδιων και ενίοτε ασυνειδήτων, υπέστη φθοράς και αλλοιώσεις, αι oποίαι εδόθησαν εις φως υπό των ειδικών της κλασικής φιλολογίας και των γνωριζόντων την αραβικήν γλώσσαν. Κατ' ευτυχή συγκυρίαν, τα καθησυ­χαστικά συμπεράσματα, εις τα όποια ούτοι ομοφώνως κατέληξαν, βεβαιώνουν ότι το υφ' ημών κατεχόμενον κείμενον ελάχιστα διαφέρει του αρχικού πρω­τοτύπου, εις τρόπον ώστε τούτο δύναται να θεωρηθή εν τω συνόλω του σύμφωνον προς το χειρόγραφον του μεγάλου αλεξανδρινοί) συγγραφέως του.

Ως είναι πολύ φυσικόν, το βιβλίον Ι των Στοιχείων του Ευκλείδου αρχίζει με μίαν σειράν πρώτων εννοιών, ορισμών και αιτημάτων, τα όποια υπήρξαν αντικείμενον οξυτάτης αναλύσεως εκ μέρους μαθηματικών και φιλοσόφων και εναντίον των οποίων κατά προτίμησιν εστράφησαν τα βέλη της κριτικής, ήτις επεσήμανε σοβαρά ελαττώματα εις την ουσία ν, εις την μορφήν και εις την διάταξιν. Μολονότι είναι ανάγκη ν' αναγνωρίσωμεν ότι τοιαύται παρατηρήσεις δεν στερούνται βάσεως, πρέπει, χάριν εντιμότητος και δικαιοσύνης, να λάβωμεν υπ' όψιν ότι αύται πιθανώς δεν θίγουν τον Ευκλείδη, άλλα κάποιον πολύ αφελή αντιγραφέα, ο όποιος ανίκανος να τροποποίηση τους συλλογισμούς του Ευκλείδου, δεν εδίστασε να μεταβάλη την σειράν εκθέσεως των αρχικών εννοιών και προτάσεων των Στοιχείων.

Αρχιμήδης ο Συρακούσιος

G.LORIA

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Ο Αρχιμήδης, εγεννήθη το 287 π.Χ. εις Συρακούσας. Κατά τινάς, πατήρ του ήτο ο αστρονόμος Φειδίας, γνωστός από μίαν προσπάθειάν του να προσδιορίση την σχέσιν των μεγεθών μεταξύ Ηλίου και Σελήνης. Όλοι περαιτέρω συμφωνούν με την γνώμην ότι ο Αρχιμήδης συνεδέετο διά δεσμών συγγενείας και φιλίας με τον τότε βασιλικόν οίκον της γενεθλίου του πόλεως.

Υπήρξε περίλαμπρον παράδειγμα πρωτοτύπου ερευνητού, ο οποίος, μη ενδιαφερόμενος ποσώς να ομαλύνη τον δρόμον εις τους αρχαρίους, απορ­ροφάται αποκλειστικώς και μόνον εις την αποκάλυψιν νέων αληθειών προς ικανοποίησιν εαυτού και των ωρίμων ήδη διανοουμένων. Αυτός είναι και ο λόγος, διά τον όποιον, ενώ η κατανόησις του Ευκλείδου δεν απαιτεί εξαιρετικήν προπαιδείαν και ευφυΐαν, τα προϊόντα της μαθηματικής σκέψεως, τα όποια πρόκειται τώρα να έξετάσωμεν, είναι προσιτά αποκλειστικώς και μόνον εις αναγνώστας υψηλής πνευματικής στάθμης.

Μετέβη δι' εκπαιδευτικούς σκοπούς εις Αίγυπτον, ελθών εις επαφήν, όχι βέβαια με τον Ευκλείδη, πού είχεν εν τω μεταξύ αποθάνει, αλλά με τους διαδόχους του, συνάψας δεσμούς στενής φιλίας με εξέχοντας γεωμέτρας (όπως ο Κόνων ο Σάμιος, ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος, ο Δοσίθεος κλπ), εις τους οποίους κατόπιν αφιέρωσεν όσα έργα συνέταξε, μετά την επιστροφήν του εις την πατρίδα.

Εκεί αφιέρωσεν εαυτόν εξ ολοκλήρου εις γεωμετρικός και μηχανικάς μελετάς. Όταν όμως, διαρκούντος του β' καρχηδονιακού πολέμου, η πόλις των Συρακουσών, ως σύμμαχος της Καρχηδόνος, περιεκυκλώθη από τον ρωμαϊκόν στρατόν, ο Αρχιμήδης έθεσε την ιδιοφυΐαν του εις την υπηρεσίαν της πατρώας γης και απεδείχθη τόσον καταπληκτικά γόνιμος εις την επινόησιν πρωτοτύπων όπλων, αμυντικών και επιθετικών (αρκεί να μνημονεύσωμεν τους φοβερούς καταπέλτας και τα θρυλικά καυστικά κάτοπτρα), ώστε παρουσίασε το μοναδικόν εις την ιστορίαν φαινόμενον ενός ανδρός μαχόμενου μόνου επί μίαν τριετίαν εναντίον ολοκλήρου στρα­τεύματος. Μόνον όταν η πολιορκία μετετράπη εις στενόν αποκλεισμόν και τα όπλα της προδοσίας εβοήθησαν τον πολιορκητήν, ο ύπατος Κλαύ­διος Μάρκελλος ηδυνήθη να καταβάλη τον μαθηματικόν εκείνον Βριά­ρεω, με τον όποιον ευρίσκετο εις πόλεμον. 

Κατά την διάρκειαν της λεηλασίας, η οποία ηκολούθησε την κατάληψιν των Συρακουσών (212 π.Χ.), ο Αρχιμήδης εφονεύθη υπό ρωμαίου στρατιώτου, παρά τας ρητάς διαταγάς τας δοθείσας υπό του Μαρκέλλου, όπως φεισθούν της ζωής του.

Εις μνήμην του ηγέρθη αντάξιος τάφος, επί του οποίου, κατ' εκφρασθείσαν άλλοτε επιθυμίαν του εχαράχθη σφαίρα εγγεγραμένη εις κύλινδρον, διά να υπενθυμίζη εις τους επερχόμενους ένα από τα ωραιότερα ευρήματα της οξυνοίας του. Από το σχήμα τούτο ανεκαλύφθη βραδύτερον το μνημείον, αναγνωρισθέν από τον Κικέρωνα, όταν κατά το 75 π.Χ. υπηρέτησεν ως ταμίας, εις Σικελίαν. Σήμερον δεν υπάρχει πλέον κανένα ίχνος του μνημείου.

Προκειμένου να εξετάσωμεν τα σωζόμενα έργα του Αρχιμήδους, δεν είναι δυνατόν ν' ανατρέξωμεν εις την χρονολογικήν σειράν, μόνην ικανήν να παράσχη αυθεντικήν εικόνα της εξελικτικής πορείας των ιδεών οιουδήποτε στοχαστού, καθ' όσον ελλείπουν τ' απαιτούμενα δεδομένα. Θα τηρήσωμεν λοιπόν, κατ' ανάγκην, άλλην σειράν, εναρμονιζομένην προς τα αντικείμενα των εργασιών.

Και είναι λογικόν ν' αρχίσωμεν την ανάλυσίν μας από την σπουδαιοτάτην συμβολήν του Συρακούσιου μαθηματικού εις τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου και της ευθειοποιήσεως της περιφερείας, των οποίων την ουσιαστικήν ταυτότητα πρώτος έφερεν εις φως, διά του γνωστού θεωρήματος του : «πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὐ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ   δὲ   περίμετρος τῇ βάσει».

Λεύκιππος ο Αβδηρίτης

Περιοδικό "ΔΑΥΛΟΣ"
        Π. Σαράντος.

Ο Λεύκιππος γεννήθηκε στην Μίλητο γύρω στο 485 π.Χ.. Ανήσυχο πνεύμα και κάτοχος των φιλοσοφικών κι επιστημονικών θεωριών της πατρίδος του μετέβη στην Ελέα, οπού παρακολούθησέ τις διδασκαλίες του Ζήνωνος και του Μελίσσου, που, καθώς φαίνεται, τον κατεγοήτευσαν. Στην σχολή που ίδρυσε αργότερα στα Άβδηρα, βλάστησε ένα νέο θαυμάσιο «δένδρο», που φέρει τα χαρακτηριστικά και της Ιωνίας και της Μεγάλης Ελλάδος: Πρόκειται για την Ατομική θεωρία, της οποίας υπήρξε ο αδιαμφισβήτητος (σύμφωνα με τον Αριστοτέλη και τον Θεόφραστο) πατήρ και γεννήτωρ. Το γεγονός ότι για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα παραγκωνίσθηκε ή και αγνοηθηκε δεν οφείλεται στον μαθητή και εταίρο του Δημόκριτο άλλα στον Επίκουρο, ο οποίος είτε από υστεροβουλία (στον Κήπο εδιδάσκετο αποκλειστικά η ατομική θεωρία) είτε χάριν αστειότητος έλεγε την φράση: «Λεύκιππον οὒδ’ εἰ γέγονεν οἶδα», που τελικὰ «πέρασε».

Ο Λεύκιππος, γνωρίζε το αναξιμάνδρειον άπειρον, όπως γνώρίζε και την αρχή του Εμπεδοκλέους, σύμφωνα με την οποία η οποιαδήποτε μεταβολή άλλο δεν είναι παρά ανακατάταξη των στοιχειακών οντοτήτων, οι οποίες κατά τον Μέλισσο είναι αΐδιες κι αμετάβλητες. Η «διαλεκτική» κι οι «διχοτομίες» του Ζήνωνος και το «αμετάπτωτον» του Μέλισσου τον συγκλόνισαν. «Αν μεταβληθή το ον, τότε θα χαθη και την θέση του θα καταλάβη το μη ον... κι αν υπάρχη πολλαπλότητα των όντων, τότε πρέπει ένα - εκαστον εξ αυτών να είναι όπως ακριβώς είναι και το ένα Ον», έλεγε ο Σάμιος. Ο Άκραγαντίνος κι ο Αναξαγόρας, αν και τα γνώριζαν αυτά, δεν μπόρεσαν να ξεπεράσουν τον Παρμενίδη, που ούτε ν’ ακούση ήθελε για μη ον η κενό, αφού το «παν εμπλέον εστί εόντος». Ο Λεύκιππος τόλμησε να «υιοθετήση» την έννοια του μη όντος ή κενού ως πρωταρχική προϋπόθεση για την ερμηνεία του φυσικού κόσμου, του οποίου η ύπαρξη οφείλεται στην κίνηση ή στον «ηρακλειτικόν πόλεμο».

Θαλής ο Μιλήσιος

Jean Brun  «ΟΙ ΠΡΟΣΩΚΡΑΤΙΚΟΙ»

   

Κατά τον Αριστοτέλη (Μετά τα Φυσικά, Ι, 983 β 20), ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν ο ιδρυτής της φιλοσοφίας των «φυσικών» ή «φυσιολόγων που ασχολούνταν με την αναζήτηση φυσικών αιτίων και αποστρέφονταν συνεπώς τις θεωρησιακές αφαιρέσεις των «θεολόγων», οι οποίοι κατέφευγαν σε μύθους και υπερφυσικές ερμηνείες. Ο Θαλής συγκαταλεγόταν μεταξύ των περίφημων επτά Σοφών της Ελλάδας κι ο Ευσέβιος τον παρουσιάζει ως «τον πατέρα της φιλοσοφίας και ιδρυτή της ιωνικής σχολής» (Praeparatio evangelica, XIV, 14).

Οι κυριότερες πηγές πληροφόρησης που διαθέτουμε σχετικά με τον Θαλή είναι ο Ηρόδοτος και ο Διογένης Λαέρτιος. Γεννήθηκε πιθανότατα το 624 π.Χ. και πέθανε το 548 π.Χ. Σύμφωνα με τον Ηρόδοτο, που έζησε ενάμιση αιώνα αργότερα, ο Θαλής είχε φοινικικό αίμα, ήταν δηλαδή Σημίτης, κατ' άλλους όμως συγγραφείς ήταν Μιλήσιος και μάλιστα αριστοκρατικής καταγωγής· όπως και να έχει όμως το πράγμα, το όνομα του πατέρα του, Εξάμυος, είναι καρικό, ενώ της μητέρας του, της Κλεοβουλίνης, ελληνικό. Ήταν σύγχρονος των Λυδών βασιλέων Αλυάττη και Κροίσου, του βασιλιά των Περσών Κύρου και του Σόλωνα του Αθηναίου. Από τα χρόνια του ακόμη, έφερε τον τίτλο του μεγάλου σοφού, του επιστήμονα δηλαδή και του σοφού μαζί. Υπάρχουν δύο πασίγνωστα ανέκδοτα που τον παρουσιάζουν άλλοτε ονειροπόλο κι άλλοτε σαν άνθρωπο προικισμένο με οξύτατο πρακτικό πνεύμα. Το πρώτο βρίσκεται στον Θεαίτητο του Πλάτωνα (174α): Κάποτε ο Θαλής παρατηρούσε τον ουρανό και, απορροφημένος καθώς ήταν από τη ρέμβη των άστρων, δεν πρόσεξε ένα πηγάδι που βρισκόταν μπροστά του, μ’ αποτέλεσμα να πέσει μέσα· έτσι αναγκάστηκε να υπομείνει τους χλευασμούς μιας Θρακός δούλης, που θεωρούσε γελοίο τον ζήλο του Θαλή να γνωρίσει τι υπήρχε πάνω από το κεφάλι του, τη στιγμή που δεν ήταν ικανός να δει τι γινόταν μπροστά στα πόδια του.

Πυθαγόρας ο Σάμιος

Ἐγκυκλοπεδικὸ λεξικὸ «ΗΛΙΟΥ». Ν.Ζαφειρίου.

Μέγας Ἕλλην μαθηματικὸς καὶ φιλόσοφος καὶ ἀρχηγέτης μεγάλου θρησκευτικοπολιτικοῦ κινήματος. Ἐγεννήθη ἐν Σάμω περὶ τὸ 580 π.Χ. καὶ ἀπέθανεν ἐν Μεταποντίῳ τῆς Κάτω Ἰταλίας περὶ τὸ 490 π. Χ. Κατά τινας συγγραφεῖς ὁ Πυθαγόρας ἐγεννήθη ἐν Μ. Ἀσία, ἠνδρώθη ὅμως ἐν Σάμω. Ὁ πατὴρ τοῦ ὠνομάζετο Μνήσαρχος, ἡ δὲ μήτηρ τοῦ Πυθαΐς. Ἐνυμφεύθη τὴν Θεανῶ, ἐξ ᾖς ἀπέκτησεν υἱὸν ὀνόματι Ἀρίμνυστον, κατ' ἄλλους δὲ Τηλαυγῆ, κατὰ τίνας δὲ συγγραφεῖς, καὶ δύο θυγατέρας, τὴν Μυῖαν καὶ τὴν Ἀριγνώτην. Αἱ βιογραφικαὶ περὶ Πυθαγόρου πληροφορίαι ὀφείλονται κυρίως εἰς Ἕλληνας συγγραφεῖς, ἀκμάσαντας κατὰ τοὺς μεταγενεστέρους χρόνους, ὄπως εἶναι ὁ Διογένης ὁ Λαέρτιος, ὁ Πορφύριος καὶ ὁ μαθητὴς αὐτοῦ Ἰάμβλιχος. Οὔτοι ἐξ ἅλλου ἀρύονται τὰ περὶ τοῦ βίου, τοῦ Πυθαγόρου ἐκ πραγματειῶν τοῦ Ἀριστοξένου καὶ τοῦ Δικαιάρχου, μαθητῶν τοῦ Ἀριστοτέλους, οἱ ὁποῖοι ἤκμασαν 200 ἔτη μετὰ τὸν θάνατον τοῦ Πυθαγόρου. Ἐὰν ληφθῇ ὑπ' ὄψει, ὅτι ἐπὶ 100 ἔτη ἀπὸ τοῦ θανάτου τοῦ Πυθαγόρου οὐδὲν ἐγράφη, καὶ ὅτι ἢ διδασκαλία εἰς τὴν Σχολὴν τοῦ ἦτο μόνον προφορική, τηρουμένη δι' ὄρκου, αὐστηρῶς μυστικὴ τότε δικαιολογούνται πολλοὶ ἀμφιβολίαι περὶ τῆς ἀκριβείας τῶν βιογραφικῶν πληροφοριῶν περὶ Πυθαγόρου, αἱ ὁποῖαι ἔφθασαν μέχρις ἡμῶν. Ὁπωσδήποτε ἡ προσωπικότης καὶ τὰ ἔργον τοῦ Πυθαγόρου περιεβλήθησαν τὸν πέπλον τοῦ μυστηρίου καὶ τοῦ θρύλου. Θεωρεῖται ὅμως βέβαιον, ὅτι ὁ Πυθαγόρας ἤσκησε μεγάλην ἐπιδρᾶσιν διὰ τὴν ἀνάπτυξιν ἐν Ἑλλάδι τῶν ἐπιστημῶν ἐν γένει καὶ τῆς φιλοσοφίας ἰδιαιτέρως.
Κατὰ τὴν παράδοσιν, ὁ Ἀγκαῖος, υἱὸς τοῦ Διός, εἶχεν ἀποικίσει τὴν Σάμην τῆς Κεφαλληνίας. Οὗτος ἔλαβε παρὰ τῆς Πυθίας τὸν χρησμὸν να ἐποικίσῃ τὴν νῆσον Μελάμφυλλον ἡ Φυλλίδα, εἰς τὴν ὁποίαν πράγματι ἐγκατέστησεν οὗτος Ἀθηναίους, Ἐπιδαυρίους καὶ Χαλκιδεὶς καὶ τὴν ὠνόμασε Σάμον. Ὁ χρησμὸς τῆς Πυθίας εἶχεν ὡς ἑξῆς:
Ἀγκαὶ' εἰναλίαν νῆσον Σάμον ἀντὶ Σάμης σὲ οἰκίζειν κέλομαι· Φυλλὶς δ' ὀνομάζεται αὔτη. (Ἀγκαῖε, σὲ προτρέπω να οἰκίσῃς τὴν ἐν θαλάσσῃ νῆσον καὶ να τὴν ὀναμάσης Σάμον ἀντὶ Σάμης τώρα αὔτη ὀνομάζεται Φυλλὶς)

Θεαίτητος ο Αθηναίος

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"

Ο Θεαίτητος εγεννήθη  Αθήνας περί το έτος 415 π.Χ. Ο πατήρ του ωνομάζετο Ευφρόνιος, κατήγετο δε εκ Σουνίου. Ο Σωκράτης συναντήσας τον Θεαίτητον περί το 400 π. Χ. ότε ούτος ήτο μειράκιον και συνδιαλεχθείς μετ' αυτού τον εθαύμασε διά την ιδιοφυίαν του και είπεν ότι θα γίνη ελλόγιμος (Πλάτωνος Θεαίτητος 142c -d). Εις τον ομώνυμον διάλογον ο Πλάτων αναφέρει, ότι ο Θεαίτητος κατά τον εν Κορίνθον πόλεμον ετραυματίσθη  βαρέως και ότι ακόμη προσεβλήθη υπό δυσεντερίας. Πόλεμοι των Αθηναίων εις την Κόρινθον έγιναν δύο. Ο εις κατά το 394 π.Χ. και ο άλλος κατά το 369 π. Χ. Οι περισσότεροι σχολιασταί τοποθετούν τον θάνατον του κατά το 369 π. Χ. οπότε ο Θεαίτητος θα ήτο 44 ετών. Δεν φαίνεται όμως πιθανόν, ότι οι Αθηναίοι εστρατεύοντο εις αυτήν την ηλικίαν.

Εκτός του Πλάτωνος και μεταγενέστεροι συγγραφείς αναφέρουν με θαυμασμόν την μαθηματικήν ιδιοφυίαν του Θεαίτητου. Εάν δεχθώμεν, ότι ο Θεαίτητος απέθανε κατά τον πρώτον εις την Κόρινθον πόλεμον, το 394 π.Χ, θα ήτο τότε 20 περίπου ετών. Ο σχολιαστής του α' βιβλίου των Στοιχειών του Ευκλείδου, Πρόκλος (410 - 485 μ. Χ.), εκ των τελευταίων διευθυντών της Ακαδημίας του Πλάτωνος αναφέρει ότι κατά τους χρόνους του Πλάτωνος υπήρξαν σπουδαίοι μαθηματικοί ο Λεωδάμας, ο Θάσιος, και Αρχύτας ο Ταραντίνος και Θεαίτητος ο Αθηναίος, παρά των οποίων ευρέθησαν νέα θεωρήματα και έγιναν αυτά επιστημονικότερα.

Δημόκριτος ο Αβδηρίτης

Ευάγ. Σταμάτης

 

Φιλόσοφος της αρχαιότητος, γεννη­θείς εις τα Άβδηρα της Θράκης μεταξύ των ετών 470-460 π.Χ. Ό,τι γνωρίζομεν περί του Δημοκρίτου του Αβδηρίτη οφείλεται κυρίως εις τον πολύ μεταγενέστερον τούτου συγγραφέα των βίων των φιλοσό­φων Διογένην τον Λα­έρτιον. Και άλλαι ό­μως ελάχισται μαρτυρίαι εκ σωζόμενων α­ποσπασμάτων αρχαίων συγγραφέων μας παρέχουν στοιχεία περί της ζωής και των έργων του Δημοκρίτου. Εκ των σωζόμενων πληροφοριών δεν είναι δυνατόν να μορφωθή σαφής γνώμη περί του βίου και του έργου του Δημοκρίτου διότι εις τας διασωθείσας ειδή­σεις υπάρχουν ενίοτε αντιθέσεις και αντιφά­σεις. Παρά ταύτα όμως δι' εν πράγμα δεν υπάρχει αντίθεσίς τις ή αντίφασις: ως προς το ότι δηλαδή ο Δημόκριτος ήτο μία μεγαλοφυΐα.

Παραθέτομεν περί τούτου ό,τι αναφέρει ο Διογένης ο Λαέρτιος: Ο Δημόκριτος ο Α­βδηρίτης ήτο υιός του Ηγησιστράτου ή του Αθηνοκρίτου ή, κατ' άλλους, του Δαμασίππου· μερικοί μάλιστα υποστηρίζουν ότι κατήγετο   εκ   Μιλήτου.

Ούτος ήκουσε μαθήματα μερικών μάγων και Χαλδαίων, τους οποίους αφήκεν ο Ξέρξης εις την πατρίδα του ως επόπτας όταν διήρχετο εκείθεν. Από τους μάγους και τους Χαλδαίους έμαθεν, ενώ ακόμη ήτο εις παιδικήν η­λικίαν, θεολογίαν και αστρολογίαν. Κατόπιν έγινε μαθητής του Λευκίππου και του Αναξαγόρου του τελευταίου τούτου ήτο 40 έτη νεώτερος. (Είναι αυτονόητον ότι αι πληροφορίαι περί μαθητείας του Δημοκρίτου πλησίον ξένων σοφών προέρχονται εκ μεταγενεστέρων και είναι όλως αναξιόπιστοι και αναληθείς). Οι συγγραφείς Δημήτριος και Αντισθένης ανα­φέρουν ότι επεσκέφθη την Αίγυπτον, όπου εδιδάχθη γεωμε­τρίαν, την Περσίαν (τους Χαλδαίους), την Ερυθράν θάλασ­σαν, όπου ήκουσε μαθήματα από τους γυμνοσοφιστάς, τας Ινδίας και την Αιθιοπίαν. Επίσης οι ίδιοι συγγραφείς ανα­φέρουν ότι είχεν άλλους δύο αδελφούς και ότι διένειμαν ού­τοι την πατρικήν περιουσίαν, του Δημοκρίτου λαβόντος το μικρότερον, εις μετρητά όμως, μέρος αυτής, προκειμένου δια των χρημάτων τούτων να επιχείρηση ούτος το ταξίδιόν του. Ο Δημήτριος προσθέτει ότι το μερίδιον τού Δημοκρίτου ανήλθεν εις 100 τάλαντα, τα οποία εξώδευσεν όλα κατά το ταξίδιόν του. Ο ίδιος αναφέρει ότι, ως νομίζεται, επεσκέ­φθη και τας Αθήνας. Επειδή από το σχετικόν χωρίον του Δημητρίου (κατά τον Λαέρτιον) έχει δημιουργηθή σύγχυσις σχετικώς,  προς τον  Δημόκριτον,   αναγράφομεν  επί  λέξεί  τους λόγους του Διογένους του Λαέρτιου:

Απολλώνιος ο Περγαίος

 G. LORIA. Ιστορία των Μαθηματικών.

Ο θαυμασμός ο εμπνεύσας τον G. Wallis δια τον Αρχιμήδη λέγων ότι «υπήρξεν ανήρ εκπληκτικής αγχινοίας, ο οποίος έθεσε πρώτος τα θεμέλια σχεδόν όλων εκείνων των επινοήσεων, διά τας οποίας καυχάται η εποχή μας», διαφαίνεται εξ ίσου καθαρά και εις την ακόλουθον δήλωσιν του Leibniz: «εκείνος, ο οποίος κατανοεί τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιον, θαυμάζει ολιγώτερον τας επινοήσεις των νεωτέρων μεγάλων ανδρών».

Εις τους λόγους αυτούς του Leibniz αναφέρεται πλησίον του Αρχιμήδους ένα άλλο όνομα και εξαίρεται ένας άλλος γεωμέτρης, εις τον οποίον απονέμεται ούτω η υψίστη τιμή (την οποίαν μεταξύ των συγχρό­νων μόνον ο Gauss μέχρι της ώρας επέτυχε) να τοποθετήται εις την αυτήν στάθμην με τον Συρακούσιον μαθηματικόν.

Είναι ο Απολλώνιος ο Περγαίος, γεννηθείς εις την Πέργην της Παμφυλίας, κατά τινάς 40 και κατ' άλλους 25 έτη προ τού Αρχιμήδους ενώ υπάρχουν και οι θεωρούντες το 170 π.Χ. ως έτος της ωριμότητός του. Εις την Αλεξάνδρειαν είχε διδασκάλους τους διαδόχους του Ευκλείδου. Διέμεινεν ακόμη εις Έφεσον και έπειτα εις Πέργαμον, πόλιν διαθέτουσαν Πανεπιστήμιον και Βιβλιοθήκην, ιδρύματα παραπλήσια προς εκείνα, τα όποια κατέστησαν διάσημον την Αλεξάνδρειαν. Ότι ο Απολλώνιος εδίδαξε δημοσία εδώ και αλλαχού είναι δυνατόν, μάλιστα πιθανόν, αλλ' ιστο­ρικώς μη εξηκριβωμένον.

Περί της ζωής του γνωρίζομεν τόσον ολίγα, ώστε δεν κατέστη ακόμη δυνατόν να εξακριβωθή τελικώς, αν ούτος, πρέπει να ταυτισθή με ένα αστρονόμον της εποχής, καλούμενον Απολλώνιον ε (έψιλον), προς διάκρισιν από πολλά άλλα ομώνυμα πρόσωπα (μία πρόσφατος εγκυκλοπαί­δεια αναγράφει όχι ολιγώτερα των 128). Ο σχολιαστής Πάππος τον περιγράφει ως άνθρωπον με χαρακτήρα ματαιόδοξον και υπεροπτικόν, μεθυσθέντα εκ της μεγάλης προς αυτόν εκτιμήσεως των συγχρόνων του, οι όποιοι, ζώντος έτι του Αρχιμήδους, εσυνήθιζον να τον αποκαλούν «μέγαν γεωμέτρην» και «κατ' εξοχήν γεωμέτρην».

Από τον θαυμασμόν αυτόν ήντλησεν ο Περγαίος την δύναμιν ν' άσκηση με ελευθεριότητα κριτικήν των έργων του Ευκλείδου και επρότεινε ριζικάς τροποποιήσεις εις την γενικήν διάταξιν της ύλης και εις τινά σημαντικά χωρία των Στοιχείων. Αν και αι σχετικαί ειδήσεις είναι, ατυχώς, ελλιπείς και αποσπασματικοί, αρκούν παρά ταύτα ν' αποδείξουν ότι εις τον Απολλώνιον ανήκει η τιμή, ότι πρώτος μετά θάρρους διήνοιξε μίαν οδόν, η οποία εγκαταλειφθείσα μετ' αυτόν, επί μακρούς αιώνας, ανευρέθη και εσυνεχίσθη υπό των νεωτέρων με την ψευδαίσθησιν, μάλιστα, ότι πρώτοι αυτοί ύψωσαν την σημαίαν της επαναστάσεως εναντίον μιας βαρύτατης δεσποτείας.

Δεν είναι αυτή η μόνη εργασία, την οποίαν ενέπνευσαν εις τον Απολλώνιον τα Στοιχεία του Ευκλείδου. Μέσω των Αράβων έφθασε μέχρις ημών η πληροφορία περί ερευνών, τας οποίας ενεπνεύσθη ο Απολ­λώνιος εκ του Χ βιβλίου, και τελικός καρπός των οποίων υπήρξε μία γενίκευσις (ποία;) της θεωρίας των ασύμμετρων, της αναπτυσσόμενης εις το βιβλίον τούτο των   Στοιχείων⁽¹⁾.

Ζήνων ο Εεάτης

Ζήνων ο Εεάτης. Από το βιβλίο «Οι προσωκρστικοί» του Θεόφυλου Βείκου.

α. Εισαγωγικά

O Ζήνων ο Eλελατης γεννήθηκε, με βάση τη μαρτυρία του Πλάτωνα¹²⁷ ανάμεσα στα χρόνια 490 και 485 π.Χ. Το πρόσωπο του παρουσιάζεται σε άμεση σχέση με το πρόσωπο του Παρμενίδη: ο Ζήνων είναι μαθητής του Παρμενίδη, «σύμμαχος» και υπερασπιστής της παρμενίδειας οντολογίας. Όπως ο Παρμενίδης, ήταν κι αυτός συνδεδεμένος με πυθαγόρειους κύκλους, αλλά περιόρισε έπειτα τη φιλοσοφική δραστηριότητα του στην άσκηση μιας επιχειρηματολογίας πού είχε σκοπό την υπεράσπιση ορισμένων παρμενίδειων θέσεων. Το βιβλίο του Ζήνωνα, από το όποιο ελάχιστα αποσπάσματα έχουν διασωθεί, ήταν γραμμένο μ' έναν παράδοξο τρόπο. Η μέθοδος του συνίστατο στην αποκάλυψη αντιφάσεων, στην εξαγωγή δηλαδή αντιφατικών συμπερασμάτων από ταυτόσημες προκείμενες η στην αποκάλυψη παραλογισμών, όπου καταλήγει κανείς με εξάρθρωση αντίθετων απόψεων, ξεκινώντας από αντιφατικά συμπεράσματα. Χρησιμοποιούσε συνήθως την έμμεση απόδειξη πού στα μαθηματικά παίζει σπουδαίο ρόλο. Λέει π.χ. κανείς πώς η ρίζα 2 είναι ένας άλογος αριθμός· για να το αποδείξει, υποθέτει πώς η ρίζα 2 είναι έλλογος αριθμός και δείχνει πώς αυτό οδηγεί σε αντίφαση. Άλλα, όταν μια υπόθεση έχει αντιφατικές συνέπειες, πρέπει αυτή να είναι ψευδής και ως εκ τούτου η αντίθετη της να είναι σωστή¹²⁸. Γι' αυτό ο Αριστοτέλης θεωρούσε τον Ζήνωνα επινοητή της «διαλεκτικής»¹²⁹. Ο όρος «διαλεκτική» σημαίνει εδώ «εριστική», και πραγματικά η φύση του έργου του Ζήνωνα έχει κριτικό και πολεμικό χαρακτήρα. Η κριτική του στρέφεται ενάντια σε δύο κυρίως υποθέσεις: στην υπόθεση άτι υπάρχει μια πολλαπλότητα πραγμάτων και στην υπόθεση ότι τα πράγματα κινούνται.

β. Επιχειρήματα ενάντια στην πολλαπλότητα

εἰ πολλά έστι, καὶ μεγάλα ἐστὶ καὶ μικρά μεγάλα μὲν ὅστε ἄπειρα τὸ μέγεθος εἶναι, μικρά δ' οὕτως ώστε μηδὲν ἔχειν μέγεθος, εἰ μὴ ἔχοι μέγεθος τὸ ὄν, οὐδ' ἄν εἴη. εἰ γὰρ άλλῳ ὄντι προσγένοιτο, οὐδέν ἄν μεῖζον ποιήσειεν^. μεγέθους γάρ μηδενός ὄντος, προσγενομένου δέ, ουδὲν οἷόν τε εἰς μέγεθος ἐπιδοῦναι. και οὕτως ἄν ἤδη τὸ προσγινόμενον οὐδέν εἴη. εἰ δέ ἀπογινομένου τὸ ἕτερον μηδέν ἔλαττον ἔσται μηδὲ αὖ προσγινομένου αὐξήσεται, δῆλον ὅτι τὸ προσγενόμενον οὐδέν ἦν οὐδέ τὸ ἀπογενόμενον. εἰ δὲ ἔστιν, ἀνάγκη ἕκαστον μέγεθος τι ἔχειν καὶ πάχος καὶ ἀπέχειν αύτοῦ τὸ ἔτερον άπὸ τοῦ ἐτέρου καὶ περὶ τοῦ προύχοντος ὁ αὐτός λόγος, καὶ γὰρ ἐκεῖνο ἐξει μέγεθος καὶ προέξει αὐτοῦ τι. ὅμοιον δὴ τοῦτο ἅπαξ τε εἰπεῖν καὶ ἀεὶ λέγειν οὐδὲν γὰρ αύτοῦ τοιοῦτον ἔσχατον ἔσται οὔτε ἕτερον πρὸος ἕτερον οὐκ ἔσται. οὕτως εἰ πολλά ἐστιν, ἀνάγκη αύτὰ μικρά τε εἶναι καὶ μεγάλα. μικρὰ μὲν ὤστε μὴ ἔχειν μέγεθος, μεγάλα δὲ ὤστε ἄπειρα εἶναι.

Αρχύτας o Ταραντίνος

G. LORIA

Είναι βέβαιον ότι αναμφισβήτητα επίσης δικαιώματα εις τον θαυμασμόν μας, όχι oλιγώτερα του Ιπποκράτους, κατέχει ο Αρχύτας o Ταραντίνος (428 - 365 π. Χ.), ο τελευταίος των Πυθαγορείων (ultimus Pithagoreorum), ο όποιος υπό των συγχρόνων, αλλά και των αμέσως μεταγενεστέρων των, περιγράφεται ως ο ιδεώδης τύπος του ελληνικού ανθρώπου εν μέσω μιας εκφυλισθείσης γενεάς. Στρατηγός συγκρίσιμος προς τους μέγιστους, ουδέποτε υπέστη το όνειδος της ήττης, φιλόσοφος και ηθικολόγος επιφανής, είχε την δόξαν να ίδη τον Πλάτωνα μεταξύ των πολυαρίθμων άλλων μαθητών του. Άριστος εργάτης της Αστρονομίας και της Μηχανικής, εθαυμάζετο από τον Οράτιον, ο όποιος δεν παρέλειψε να μνημόνευση εις στίχους το τραγικόν του τέλος κατά την διάρκειαν ενός ναυαγίου εις την Αδριατικήν θάλασσαν :

«Αρχύτα, εσύ, πού να μετράς τη γη,

τη θάλασσα νογάς, την άπειρη άμμο,

λίγη  μονάχα σκόνη

κοντά στο Λίντο - Μαρτίνο τώρα εσύ κρατάς·

ούτε ωφελήθηκες, για να σωθής, από τη γη

τα άστρα ακολουθώντας, στον Πόλο ν' ανεβής».

(Ωδή 28η  του Ι Βιβλίου)

Εις την ιστορίαν των μαθηματικών τα ίχνη του παρέμειναν από μίαν πνευματώδη λύσιν, πού έδωσεν εις το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, στηριζόμενος εις την μέθοδον της αναγωγής του Ιπποκράτους, δια της παρεμβολής δύο μέσων αναλόγων μεταξύ δύο δοθέντων μηκών. Δια να χαρακτηρίσωμεν την μέθοδον πού επενόησεν ο Αρχύτας, ας θεωρήσωμεν τας κατωτέρω επιφανείας, αι οποίαι εις ορθογώνιους καρτεσιανάς συντεταγμένος παρίστανται από τας εξισώσεις :

Archytas of Tarentum

Stanford Encyclopedia of Philosophy

First published Thu Jun 26, 2003; substantive revision Wed Jul 25, 2007

Archytas of Tarentum was a Greek mathematician, political leader and philosopher, active in the first half of the fourth century BC (i.e., during Plato's lifetime). He was the last prominent figure in the early Pythagorean tradition and the dominant political figure in Tarentum, being elected general seven consecutive times. He sent a ship to rescue Plato from the clutches of the tyrant of Syracuse, Dionysius II, in 361, but his personal and philosophical connections to Plato are complex, and there are many signs of disagreement between the two philosophers. A great number of works were forged in Archytas' name starting in the first century BC, and only four fragments of his genuine work survive, although these are supplemented by a number of important testimonia. Archytas was the first to solve one of the most celebrated mathematical problems in antiquity, the duplication of the cube. We also have his proof showing that ratios of the form (n+1) : n, which are important in music theory, cannot be divided by a mean proportional. He was the most sophisticated of the Pythagorean harmonic theorists and provided mathematical accounts of musical scales used by the practicing musicians of his day. He was the first to identify the group of four canonical sciences (logistic [arithmetic], geometry, astronomy and music), which would become known as the quadrivium in the middle ages. There are also some indications that he contributed to the development of the science of optics and laid the mathematical foundations for the science of mechanics. He saw the ultimate goal of the sciences as the description of individual things in the world in terms of ratio and proportion and accordingly regarded logistic, the science of number and proportion, as the master science. Rational calculation and an understanding of proportion were also the bases of the just state and of the good life for an individual. He gave definitions of things that took account of both their matter and their form. Although we have little information about his cosmology, he developed the most famous argument for the infinity of the universe in antiquity.