Ο Ευκλείδης

G.LORIA.  Ιστορία των Μαθηματικών

Η πρώτη εξέχουσα προσωπικότης, η οποία απαντάται εις την υπ’ όψει εποχήν, είναι συγχρόνως ο διασημότερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών: Ο Ευκλείδης (δεν πρέπει να συγχέε­ται με τον Ευκλείδη τον Μεγαρικόν, φιλόσοφον σύγχρονον του Σωκρά­τους και Πλάτωνος). Γεννηθείς εις την Αλεξάνδρειαν και ακμάσας κατά το έτος 300 π.Χ., διήγε βίον ήσυχον υπό την σκιάν των νέων Φαραώ, χρησιμοποιών τον χρόνον του άλλοτε εις ίδιας μαθηματικός έρευνας, άλ­λοτε εις περισυλλογήν των πορισμάτων προγενεστέρων ερευνών και άλλοτε εις προφορικήν διάδοσιν τούτων από τής έδρας, η οποία του είχεν ανατεθή εις το Μουσείον¹.

Ελλείπουν άλλαι λεπτομερέστεροι πληροφορίαι περί της ζωής του, αν εξαιρέσωμεν τας πολύ ολίγας και μικράς αξιοπιστίας ειδήσεις εξ αρα­βικών πηγών. Από τον σχολιαστήν Πάππον (3ος αιών μ.Χ.) μανθάνομεν περί του χαρακτήρος του, ότι ήτο πράος, ιδιότης άλλωστε συνήθης μεταξύ των μαθηματικών, και ότι ακόμη είχε μίαν ιδιαιτέραν τάσιν να μεταδίδη εις τους μεταγενεστέρους τα επιτεύγματα των προγενεστέρων χωρίς να επιφέρη εις αυτά μεταβολάς.

Η μεγίστη δημοτικότης του Ευκλείδου στηρίζεται κατά μέγιστον μέ­ρος εις τα Στοιχεία, ένα έργον, το όποιον επί μακρούς αιώνας εχρησίμευσε (και δεν έπαυσε να είναι μέχρι σήμερον) το βασικόν κείμενον διδασκαλίας του μαθήματος της γεωμετρίας εις τα περιφημότερα σχολεία. Ένα έργον, το όποιον εις αριθμόν εκδόσεων και μεταφράσεων δύναται ν' ανταγωνισθή την θείαν Κωμωδίαν* του Δάντη και ίσως υπολεί­πεται μόνον της  Αγίας   Γραφής.

Τα Στοιχεία διαιρούνται εις δεκατρία βιβλία, περιλαμβάνοντα, έκτος πολυαρίθμων αρχικών προτάσεων, 93 προβλήματα και 372 θεωρήματα. Το έργον, περιελθόν εις ημάς διά μέσου αναρίθμητων αντιγραφέων κατά κα­νόνα αναρμόδιων και ενίοτε ασυνειδήτων, υπέστη φθοράς και αλλοιώσεις, αι oποίαι εδόθησαν εις φως υπό των ειδικών της κλασικής φιλολογίας και των γνωριζόντων την αραβικήν γλώσσαν. Κατ' ευτυχή συγκυρίαν, τα καθησυ­χαστικά συμπεράσματα, εις τα όποια ούτοι ομοφώνως κατέληξαν, βεβαιώνουν ότι το υφ' ημών κατεχόμενον κείμενον ελάχιστα διαφέρει του αρχικού πρω­τοτύπου, εις τρόπον ώστε τούτο δύναται να θεωρηθή εν τω συνόλω του σύμφωνον προς το χειρόγραφον του μεγάλου αλεξανδρινοί) συγγραφέως του.

Ως είναι πολύ φυσικόν, το βιβλίον Ι των Στοιχείων του Ευκλείδου αρχίζει με μίαν σειράν πρώτων εννοιών, ορισμών και αιτημάτων, τα όποια υπήρξαν αντικείμενον οξυτάτης αναλύσεως εκ μέρους μαθηματικών και φιλοσόφων και εναντίον των οποίων κατά προτίμησιν εστράφησαν τα βέλη της κριτικής, ήτις επεσήμανε σοβαρά ελαττώματα εις την ουσία ν, εις την μορφήν και εις την διάταξιν. Μολονότι είναι ανάγκη ν' αναγνωρίσωμεν ότι τοιαύται παρατηρήσεις δεν στερούνται βάσεως, πρέπει, χάριν εντιμότητος και δικαιοσύνης, να λάβωμεν υπ' όψιν ότι αύται πιθανώς δεν θίγουν τον Ευκλείδη, άλλα κάποιον πολύ αφελή αντιγραφέα, ο όποιος ανίκανος να τροποποίηση τους συλλογισμούς του Ευκλείδου, δεν εδίστασε να μεταβάλη την σειράν εκθέσεως των αρχικών εννοιών και προτάσεων των Στοιχείων.

Σημειωτέον ότι εις τας αρχικάς προτάσεις ενυπάρχει σιωπηρώς, ως αναγκαία συνθήκη, η υποχρέωσις του γεωμέτρου να κάμη χρήσιν εις τας κατασκευάς του κανόνος και του διαβήτου και μόνον των οργάνων τούτων. Απαντάται ακόμη το περίφημον αίτημα, το πέμπτον κατά σειράν, «και εάν εις δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών ελάσσονας ποιή, εκβαλλομένας τας δύο ευθείας επ' άπει­ρον συμπίπτειν, εφ' α μέρη εισίν αι των δύο ορθών ελάσσονες». Είναι η περίφημος crux geometrica (γεωμετρική βάσανος), η οποία, όπως θα ίδωμεν, υπήρξε το κίνητρον δι' αναρίθμητους και διαφόρους έρευνας και ωδήγησε τελικώς εις την ανακάλυψιν νέων γεωμετρικών συστημάτων εν­τελώς διαφόρων του Ευκλείδειου.

Το διδακτικόν μέρος του βιβλίου Ι των Στοιχείων περιλαμβάνει όλα τα θεωρήματα και προβλήματα, πού είναι επαρκή και αναγκαία διά να φθάσωμεν εις το πυθαγόρειον θεώρημα. Και δεν πρέπει να εκπλαγή κανείς, επειδή συγκαταριθμούμεν μερικά προβλήματα εις την αλληλουχίαν των αποδεικτικών λόγων ενός θεωρήματος, διότι αποτελεί μόνιμον τακτικήν του Ευκλείδου να μη εξετάζη παρά σχήματα, των οποίων έχει διδάξει προηγουμένως την κατασκευήν, δι' ο και εις το έργον του  δεν υπάρχουν «υποθετικά σχήματα». Ας προστεθή μάλιστα, ότι εις πλείστας περιπτώ­σεις η «κατασκευή» παίζει διά τον Ευκλείδη (και όλους τους γεωμέτρας πού ηκολούθησαν τα ίχνη του) τον ίδιον ρόλον, τον όποιον αποδίδομεν σήμερον εις τα λεγόμενα «θεωρήματα υπάρξεως».

Εις το βιβλίον II των Στοιχείων ρίπτονται αι βάσεις της μεθό­δου πού ονομάζεται κοινώς «γεωμετρική άλγεβρα». Η μέθοδος αύτη κατέστησεν ικανούς τους αρχαίους να λύσουν, με την χρήσιν της φαντασίας και γεωμετρικών συλλογισμών, όλα τα προβλήματα α' και β' βαθμού. Διά να δώσωμεν μίαν κατά προσέγγισιν ιδέαν, αρκεί να παρατηρήσωμεν ότι, αν a² παριστά το τετράγωνον του a και ab το ορθογώνιον το έχον πλευ­ράς a, b, μερικαί εκ των προτάσεων του Ευκλείδου δύνανται ν' αναπαρα­χθούν υπό τας ακολούθους μορφάς:

Σημαντική εφαρμογή των αληθειών του V βιβλίου γίνεται από τον, Ευκλείδη εις το VI βιβλίον των Στοιχείων, όπου αναπτύσσεται η θεωρία της ομοιότητος των επιπέδων σχημάτων. Με το βιβλίον δε τούτο κλείει το μέρος εκείνο του έργου,   πού αφορά την επίπεδον γεωμετρίαν.

 Τα επόμενα τρία βιβλία είναι αφιερωμένα εις την Αριθμητικήν των ρητών αριθμών, η οποία εκτίθεται με αυστηρότητα και γενικότητα, μη υπολειπομένας των σήμερον εν χρήσει. Είναι αξιοσημείωτον ότι η παράστασις των γενικών αριθμών δεν γίνεται, όπως σήμερον, δια γραμμάτων, αλλά δι' ευθυγράμμων τμημάτων, οι δε συλλογισμοί είναι απόρροια υψη­λής εμπνεύσεως. Υπάρχουν περιπτώσεις, εις τας οποίας δεν είναι δύσκολον να διακρίνη κανείς την μέθοδον της τελείας επαγωγής εις την πρώ­την φάσιν της εξελίξεως της. Ολόκληρος η ύλη πού εκτίθεται εδώ έχει γίνει κλασική. Η μέθοδος λόγου χάριν του προσδιορισμού του μεγίστου κοινού διαιρετού δύο αριθμών φέρει μέχρι σήμερον το όνομα του Ευκλείδου, ακόμη και μετά την επέκτασιν της μεθόδου εις την ανάλογον έρευναν μεταξύ δύο ακεραίων ρητών συναρτήσεων. Ομοίως ο σήμερον εν χρήσει συλλογισμός, διά του οποίου αποδεικνύεται ότι «η σειρά των πρώ­των αριθμών είναι άπειρος» ² είναι ακριβώς εκείνος, τον όποιον εδίδαξεν ο μέγας διδάσκαλος του Μουσείου. Η μέθοδος τέλος η υποδειχθείσα υπό του ιδίου διά την κατασκευήν ενός τελείου αριθμού, ήτοι αριθμού ίσου προς το άθροισμα των διαιρετών του, αν και υπάρχει αμφιβολία κατά πόσον οδηγεί εις την εύρεσιν όλων των αριθμών του είδους τούτου, είναι ακόμη σήμερον η μοναδική μέθοδος την οποίαν γνωρίζομεν ³.

Αριθμητικού χαρακτήρος είναι ακόμη και το βιβλίον Χ των Στοι­χείων. Τούτο πράγματι περιέχει μίαν πλήρη θεωρίαν των ασύμμετρων των προερχομένων εκ της λύσεως διτετραγώνων εξισώσεων της μορφής :

x⁴ + ax² + b = 0

Πρόκειται περί ενός βιβλίου, το όποιον υπερέχει, εις έκτασιν και εις δυσκολίαν, όλων των άλλων και είναι άξιον απεριορίστου θαυμασμού, ακόμη και μετά την αραίωσιν των αναγνωστών του, λόγω της διαμορφωθείσης νέας γενικής θεωρίας των ασύμμετρων. Είναι αδύνατον να συνοψίσωμεν εδώ με ολίγας λέξεις το περιεχόμενον του περίφημου τούτου βιβλίου των Στοιχείων. Περιοριζόμεθα μόνον να μνημονεύσωμεν ότι άρχεται με την ακόλουθον σπουδαίαν πρότασιν, η οποία ελαμβάνετο συνεχώς υπό των αρχαίων ως λήμμα εις όλας τας μετρικάς έρευνας των : «δύο μεγεθών άνισων εκκειμένων, εάν από του μείζονος αφαιρεθή μείζον η το ήμισυ και του καταλειπομένου μείζον ή το ήμισυ, και τούτο αεί γίγνηται, λειφθήσεται τι μέγεθος, ο έσται έλασσον του εκκειμένου ελάσσονος μεγέθους».

Τα τελευταία τρία βιβλία των Στοιχείων, δηλαδή τα XI, XII και XIII, είναι αφιερωμένα, κατά μέγιστον μέρος, εις την γεωμετρίαν του χώρου. Ακριβέστερα το XI διδάσκει τας θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευ­θειών και επιπέδων, παραλληλίαν, καθετότητα κλπ. Εκ τίνων απαντωμένων ατελειών και κενών τεκμαίρεται ότι το βιβλίον τούτο αποτελεί ένα πρώτον σχέδιον καταστρώσεως της ύλης του, εν αναμονή τεχνικωτέρων μεταγενεστέρων αναθεωρήσεων.

Το επόμενον βιβλίον XII πραγματεύεται περί της μετρήσεως επιφα­νειών και όγκων των στερεών της στοιχειώδους γεωμετρίας και έχει διά τούτο ανεκτίμητον αξίαν, όχι μόνον διά τας πολυάριθμους σημαντικάς αλη­θείας πού διδάσκει, αλλ' επίσης διότι είναι το πρώτον βιβλίον εις το όποιον οφείλουν να προστρέξουν όσοι επιθυμούν να εξοικειωθούν με τας μεθόδους τετραγωνισμών και κυβισμών των αρχαίων, αγνοούντων την απειροστικήν ανάλυσιν.

Εις τα κυρτά κανονικά πολύεδρα είναι αφιερωμένον το βιβλίον XIII, το και τελευταίον των Στοιχείων. Το βιβλίον κλείει με την απόδειξιν της ανυπαρξίας ετέρων κανονικών πολυέδρων πέραν εκείνων, τα όποια ανεκάλυψεν ο Πυθαγόρας και κατέστησε δημοφιλή ο Πλάτων. Το γεγονός τούτο ήγαγε μερικούς εις το συμπέρασμα, ότι τελικός σκοπός του μεγάλου έργου του Ευκλείδου ήτο ακριβώς η κατασκευή των περιω­νύμων κοσμικών η πλατωνικών σχημάτων⁴. Την γνώμην αυτήν, φυσικά, δεν συμμερίζονται όσοι σκέπτονται, όπως και εγώ, ότι οιαδήποτε επιστη­μονική πραγματεία αποτελεί καθ' εαυτήν ένα αυτοσκοπόν.

, Εάν κάμωμεν μίαν σύγκρισιν μεταξύ της ύλης της περιεχόμενης εις τα Στοιχεία του Ευκλείδου και του συνόλου των γεωμετρικών γνώ­σεων, πού κατείχον οι προηγηθέντες γεωμέτραι, διαπιστώνομεν ευκόλως ότι δεν οφείλονται εις τον Ευκλείδη τα βιβλία Ι, II και IV, τα όποια εν τω συνόλω των πρέπει να ήσαν γνωστά εις τους Πυθαγορείους. Ούτε το βιβλίον III, το όποιον, κατά πάσαν πιθανότητα, είναι πρώτιστον έργον των γεωμετρών των συγχρόνων του Ιπποκράτους του Χίου (V αιών π.Χ.), ούτε το βιβλίον V, το όποιον γνωρίζομεν ότι είναι καρπός των θαυμάσιων ερ­γασιών του Ευδόξου.

Εις το βιβλίον VI ο Ευκλείδης πιθανώς συνέβαλεν εις την μετά πά­σης αυστηρότητος αποκατάστασιν αληθειών υπαγορευόμενων εκ της εμπει­ρίας, εις δε τα τρία επόμενα, VII, VIII και IX, περιωρίσθη εις διάρθρωσιν και συμπλήρωσιν αληθειών γνωστών ήδη εις την Σχολήν του Πυθαγόρου.

Το βιβλίον Χ περιέχει κατά μέγιστον μέρος εργασίας του Στοιχείων του, κατ' ελάχιστον δε του Θεαίτητου και των πρώτων Πυθαγορείων, ενώ η ύλη των τριών τελευταίων βιβλίων, XI, XII και XIII, εμπνευσμένη από την Πυθαγόρειον και Πλατωνικήν διδασκαλίαν, έχει αντληθή από εργα­σίας των Αρχύτα, Θεαίτητου, Αρισταίου και άλλων ίσως, των οποίων τα ονόματα, διά να χρησιμοποιήσω την φράσιν ενός μεγάλου ποιητού, «εγρά­φησαν εις το νερό».

Αλλά ούτε και η φιλάνθρωπος ιδέα της συγκροτήσεως εις ένα σύ­στημα διδασκαλίας του κτηθέντος μαθηματικού θησαυρού ανήκει, όπως. γνωρίζομεν, εις τον Ευκλείδην, ούτε και η αυστηρά ομοιομορφία της δο­μής του έργου είναι αποκλειστικώς εύρημα ιδικόν του. Περί της τελευ­ταίας ταύτης δεν θα παραλείψωμεν να κάμωμεν αμέσως λόγον, με πάσαν δυνατήν συντομίαν.

Δι' έκαστον θεώρημα, μετά την γενικήν του διατύπωσιν, υποδει­κνύονται, όπου είναι ανάγκη, αι συνθήκαι τας οποίας πρέπει να πληρούν τα δεδομένα διά το κύρος του θεωρήματος. Ακολουθεί η επανάληψις. της εκφωνήσεως επί του σχήματος, κατόπιν έρχεται η «κατασκευή», τουτέστιν η χάραξις των βοηθητικών γραμμών, και μετ' αυτήν η «απόδειξις» η οποία τελειώνει με την επανάληψιν της εκφωνήσεως, επισφραγιζομένην με τας καθιερωμένος λέξεις «όπερ έδει δείξαι». Ανάλογος τακτική τηρεί­ται και διά τα προβλήματα, τα όποια τελειώνουν ομοιοτύπως με την φρά­σιν «όπερ έδει ποιήσαι». Αι καταληκτικοί αύται φράσεις εχρησίμευον εις την αρχαιότητα προς τυπικήν διάκρισιν της λογικής, φύσεως του εκτιθε­μένου ζητήματος (θεώρημα η πρόβλημα), επέτρεψαν δε εις τους νεωτέρους εκδότας των Στοιχείων να θέσουν επί κεφαλής των προτάσεων τας λέξεις Θεώρημαή Πρόβλημα, αι οποίαι δεν υφίσταντο εις το πρωτότυπον.

Μολονότι ο Ευκλείδης είναι γνωστός εις τους κύκλους των μαθη­ματικών αποκλειστικώς ως συγγραφεύς των Στοιχείων, εν τούτοις οφείλονται εις αυτόν και άλλα έργα υψηλοτέρας στάθμης, τα όποια διά τούτο περιελαμβάνοντο, τουλάχιστον εν μέρει, μεταξύ των κειμένων εκεί­νων, τα όποια, κατά τα λεγόμενα του σχολιαστού Πάππου, συνιστώντο και προσεφέροντο εις εκείνους, οι όποιοι αφού διεξήρχοντο ευδοκίμως τα στοιχεία της γεωμετρίας, κατείχοντο από την φιλοδοξίαν να συνεχίσουν την πτήσιν των προς τας υψηλοτέρας περιοχάς της επιστήμης του δια­στήματος. Εκ των ευκλείδειων κειμένων, πού ανήκουν εις την «συλλογήν γραπτών αναλυτικής φύσεως», υπέκυψαν εις την καταλυτικήν δύναμιν του χρόνου όλα πλην ενός, φέροντος τον τίτλον Δεδομένα. Το έργον πραγματεύεται μίαν ειδικήν κατηγορίαν προτάσεων, αποκαλουμένων ακριβώς με το όνομα τούτο, διότι εκάστη πρότασις αφορά ένα σχήμα, του οποίου δίδονται ωρισμένα στοιχεία, «δεδομένα» κατά σχήμα («είδος», όπως προτιμά ο Ευκλείδης), κατά θέσιν ή κατά μέγεθος. Η πρότασις αποδεικνύεται με την έκθεσιν της κατασκευής του σχήματος, εις το οποίον αύτη αναφέρεται. Και διά να διευκρινήσωμεν καλύτερα τον χαρακτήρα των «Δε­δομένων», αναφέρομεν τας ακολούθους εκφωνήσεις του Ευκλείδου:

«Εάν τρίγωνον έχη μίαν γωνίαν δεδομένην και έχη δοθή ο λόγος των πλευρών, αι οποίαι περιέχουν την γωνίαν, τότε το είδος του τριγώνου είναι δεδομένον».

«Εάν τρίγωνον έχη μίαν γωνίαν δεδομένην, τότε και ο λόγος του εμβαδού του προς το ορθογώνιον των περιεχουσών την γωνίαν πλευρών είναι δεδομένος».

Πρόκειται λοιπόν περί προτάσεων δυναμένων να χαρακτηρισθούν ως «θεωρήματα υπάρξεως», υπό ευρυτέραν έννοιαν, λαμβανομένου υπ’ όψιν, ότι εις πολλάς περιπτώσεις αποκαθίσταται σιωπηρώς η ύπαρξις ουχί μιας γεωμετρικής οντότητος, άλλα μόνον μερικών χαρακτηριστικών ιδιοτήτων ταύτης. Όταν αι προτάσεις του Ευκλείδου θεωρηθούν υπ’ αυτήν την έν­νοιαν, κατανοείται πλήρως ο ισχυρισμός του Πάππου και ενός άλλου σχολιαστού, του εκ Νεαπόλεως Μαρίνου (5ος αιών μ.Χ., εις τον όποιον οφεί­λεται μία αξιόλογος έκδοσις μετά προλόγου του περί ου ο λόγος έργου), κατά τον όποιον το έργον τούτο του Ευκλείδου ήτο χρησιμώτατον εις όλους εκείνους, οι όποιοι εφιλοδόξουν να εξοικειωθούν με την δύσκολον τέχνην να λύουν γεωμετρικά προβλήματα. Το έργον περιλαμβάνει περί τας εκατόν προτάσεις (εκφραζόμεθα κατά τον ολίγον αόριστον αυτόν τρόπον επειδή μεταξύ των διαφόρων χειρογράφων των Δεδομένων δεν υπάρχει απόλυτος ομοφωνία), μερικαί των οποίων επανευρίσκονται υπό άλλην μορφήν εις νεώτερα βιβλία γεωμετρίας, ενώ άλλαι θα ήσαν άξιαι να λάβουν επίσης θέσιν εις αυτά, έστω και υπό μορφήν ασκήσεων.

Ένα άλλο έργον του Ευκλείδου Περί διαίρεσε ω ν, εχρησίμευεν, όπως και τα Δεδομένα, εις συμπλήρωσιν των Στοιχείων, αφού ολόκληρον ήτο αφιερωμένον εις μίαν ενδιαφέρουσαν κατηγορίαν προβλημάτων, ζητούντων να διαιρεθή - δι' ευθειών πληρουσών ωρισμένας συνθήκας - δοθέν επίπεδον σχήμα εις μέρη έχοντα προς άλληλα δεδομέ­νος εκ των προτέρων σχέσεις. Το ελληνικόν πρωτότυπον κείμενον δεν ανευρέθη μέχρι σήμερον, αλλ' εκ των πολλών και ασφαλών ιχνών, τα όποια το έργον τούτο κατέλιπεν εις την αραβικήν βιβλιογραφίαν, κατωρθώθη όχι μόνον να σχηματίσωμεν καθαράν ιδέαν περί αυτού, άλλα κατωρθώθη ακόμη και η ανακατασκευή του με πιθανήν ακρίβειαν.

Ανάλογος ήτο η θέσις, την οποίαν κατείχε και ένα άλλο σημαντικώτατον έργον του Ευκλείδου, εξαφανισθέν δυστυχώς από την μαθηματικήν βιβλιογραφίαν, επί του οποίου ο Πάππος παρέχει εκτεταμένος πληρο­φορίας, αι οποίαι όμως περισσότερον εξάπτουν παρά ικανοποιούν την περιέργειαν να γνωρίσωμεν το έργον πλήρως. Ο τίτλος του είναι Π ο ρ ί σ μ α τ α, επειδή ούτω εκαλούντο ειδικού τύπου προτάσεις, περιεχόμενοι εις τo έργον τούτο. Διότι, πρέπει να σημειώσωμεν, η λέξις «πόρισμα» είχεν εις την αρχαιότητα δύο διακεκριμένος σημασίας· αυτήν πού της αποδίδομεν και σήμερον, δηλαδή ως πρότασιν, της οποίας η αλήθεια απορρέει αμέσως εκ τίνος θεωρήματος, αλλά και μίαν άλλην, διά τον καθορισμόν της οποίας δεινοί μαθηματικοί ευρυμαθέστατοι υπέβαλον εις οξυτάτην ανάλυσιν τα υπό του Πάππου γραφόμενα εν σχέσει προς το έργον αυτό του Ευκλείδου. Τοιουτοτρόπως έφθασαν εις το συμπέρασμα, ότι τα πορίσματα, κατ' αναλογίαν προς τα δεδομένα, είναι θεωρήματα ατελή, τα όποια εκφράζουν μερικάς σχέσεις μεταξύ μεταβαλλόμενων καθ' ωρισμένον νόμον στοιχείων, τας σχέσεις των όποιων πρέπει να συμπληρώσωμεν, ίνα προσδιορίσωμεν το μέγεθος και την θέσιν μερικών σχημάτων απορρεόν­των εκ της υποθέσεως και συμπληρούντων ούτω ένα σύνηθες θεώρημα. Το πόρισμα λοιπόν μετέχει και του θεωρήματος και του προβλήματος· η δε λύσις του απαιτεί τόσον μίαν απόδειξιν όσον και μίαν κατασκευήν. Έστω ως παράδειγμα η ακόλουθος πρότασις:

«Εάν πλήρες ν-πλευρον μεταβάλλει σχήμα κατά τοιούτον τρόπον, ώστε αι πλευραί του να στρέφωνται περί ν σημεία συγγραμμικά και ότι ν—1 εκ των ν(ν—1)/2 κορυφών του διαγράφουν ανά μίαν ευθείαν έκαστον, αι υπόλοιποι κορυφαί του (ν—1) (ν—2)/2 διαγράφουν ισαρίθμους ευθείας».

Η ανωτέρω πρότασις είναι ένα πόρισμα, το όποιον δεν απαιτεί μό­νον την απόδειξιν της αληθείας του, άλλα και τον προσδιορισμόν της θέσεως των ευθειών, τας οποίας διαγράφουν αι αδέσμευτοι κορυφαί του πλήρους ν-πλευρού.

Πολλοί διάσημοι μαθηματικοί επεχείρησαν ν' ανακατασκευάσουν με εικασίας το απολεσθέν έργον, μεταξύ δε τούτων αρκεί να μνημονεύσωμεν τον πλέον πρόσφατον, Μ. Chasles, ο όποιος εχρησιμοποίησεν επωφε­λώς όσα συμπεράσματα είχον προηγουμένως αποκρυσταλλωθή. Μολαταύτα το έργον του, αναμφισβητήτως άριστον ως προσωπική εργασία, πόρρω απέχει από του ν' αποτελή ικανοποιητικήν αποζημίωσιν διά την απώλειαν του πρωτοτύπου, το όποιον, εικάζεται, υπερέβαινε κατά πολύ το φανταστικόν ανάτυπον. Ας προσθέσωμεν, ότι εις τον Γάλλον γεωμέτρην ανήκει η τιμή, ότι η ειδική έννοια και η λέξις πόρισμα επανεμφανίζονται εις σύγχρονα συγγράμματα**, όπου μερικά θεωρήματα παρουσιάζονται ακρι­βώς υπό την ιδιαιτέραν αυτήν άποψιν.

Ένα τρίτον απολεσθέν έργον του Ευκλείδου φαίνεται, εκ του τίτλου του Ψ ε υ δ ά ρ ι α, ότι απετέλει μίαν συλλογήν παραδόξων η παραλο­γισμών,   σκοπούντων   την   εξάσκησιν   της   νεολαίας   εις   την ακρίβειαν του συλλογίζεσθαι. Δυστυχώς, από το έργον αυτό δεν διεσώθη τίποτε, το όποιον να δύναται ν' άναφερθή ως παράδειγμα.

Υπό έτι χειροτέρας συνθήκας ευρισκόμεθα, αναφορικώς προς ένα άλλο έργον του Ευκλείδου υπό τον τίτλον Τόποι π ρ ο ς επιφάνεια. Ευρεία ποικιλία γνωμών, όσον αφορά το περιεχόμενον του έργου τούτου, κατοπτρίζεται εις τας διαφόρους υποθέσεις, αι οποίαι διετυπώθησαν υπό αρμοδίων μελετητών.

Όσον αφορά τέλος, μίαν πραγματείαν υπό τον τίτλον Κωνικά, αποδιδομένην επίσης εις τον Ευκλείδη, δεν μας είναι τίποτε γνωστόν, πλην του ότι αι ένδοξοι καμπύλαι, αι αποτελούσαι την,Μεναίχμιον τριάδα, ελαμβάνοντο δια τομής ορθού κυκλικού κώνου υπό επιπέδου καθέτου επί την γενέτειραν, διό και εχαρακτηρίζοντο με τα παλαιά ονό­ματα «οξυγωνίου, ορθογωνίου, αμβλυγωνίου κώνου τομαί».

Τα έργα πού εμνημονεύσαμεν μέχρι τούδε αφορούν αποκλειστι­κώς δύο από τα 4 μαθήματα του μεσαιωνικού εκπαιδευτικού προγράμμα­τος, του γνωστού υπό τον λατινικόν τίτλον quadrivium (τετραόδιον η τετράοδος), δηλαδή την Αριθμητικήν και την Γεωμετρίαν. Δεν παρέλειψεν όμως ο μέγας αλεξανδρινός και τα υπόλοιπα δύο, δηλαδή την Μουσικήν και την Αστρονομίαν. Τούτο αποδεικνύεται αφ' ενός μεν από ένα από­σπασμα γύρω από την μαθηματικήν θεωρίαν του ήχου⁵ και αφ' ετέρου από ένα βιβλίον, τιτλοφορούμενον Φαινόμενα, το όποιον είναι κατ' ουσίαν μία πραγματεία κοσμογραφίας, συντεταγμένη με την ιδίαν αυστη­ρώς ακριβολογημένην μορφήν, την οποίαν ο διάσημος καθηγητής του Μουσείου είχεν εφαρμόσει εις όλας τας άλλας εργασίας του, πού έφθα­σαν μέχρις ημών.

Διά μέσου των Αράβων έφθασεν ακόμη μέχρις ημών ένα απόσπασμα επί του μοχλού, αποδιδόμενον εις τον Ευκλείδη. Τέλος εις την ελληνικήν βιβλιογραφίαν αναφέρονται ως έργα του δύο πραγματείαι σχετικαί προς την μαθηματικήν θεωρίαν των φωτεινών φαινομένων. Το ένα τιτλοφορείται Οπτικά και περιέχει τας θεμελιώδεις προτάσεις της γεωμετρικής οπτικής, θεμελιουμένας αφ' ενός μεν επί της υποθέσεως του Πλάτωνος, καθ' ην η όρασις συντελείται δι' ακτίνων εκπορευομένων εκ του οφθαλμού, και αφ' ετέρου επί μερικών αιτημάτων, τα όποια λαμβά­νονται σήμερον ως θεμέλιον της Προοπτικής.

Το άλλο, τιτλοφορούμενον Κατοπτρικά, αφορά τα φαινόμενα της ανακλάσεως του φωτός επί επιπέδων κατόπτρων. Τούτο ασφαλώς δεν είναι έργον γνήσιον του Ευκλείδου, το πολύ δύναται ν' αποτελή μεταγενεστέραν συγκέντρωσιν υλικού, οφειλομένου εις τον μεγάλον γεωμέτρην της Αλεξανδρείας.

Μολονότι αι πλέον πρόσφατοι μαθηματικοί θεωρίαι του φωτός, στη­ριζόμενοι επί του πειράματος, εξετόπισαν τ' ανωτέρω έργα του Ευκλείδου από τας βιβλιοθήκας των ερευνητικών κέντρων, εν τούτοις ήτο καθήκον μας να τα μνημονεύσωμεν διά να καταδειχθή, πρώτον, ότι ο μέγας διδά­σκαλος περιέλαβεν εις τον ευρύν κύκλον της διδακτικής του δραστηριό­τητος όλας τας φυσικομαθηματικάς επιστήμας της εποχής του και διά να τονίσωμεν, δεύτερον, ότι εις αυτόν πιθανώτατα οφείλεται το γεγονός ότι - όπως θα ίδωμεν - εις τα καλύτερα γενικά διδακτικά βιβλία των μαθηματικών, πού εδημοσιεύθησαν κατά τους XVII και XVIII αιώνας, δεν ελλείπουν εκτεταμένα κεφάλαια αφιερωμένα εις τα οπτικά φαινόμενα τα απορρέοντα από την ευθύγραμμον διάδοσιν του φωτός.

* Προκειμένου να συμπληρώσωμεν μίαν τοιαύτην σύγκρισιν, ας ληφθή υπ’ όψιν, ότι η Θ ε ί α Κωμωδία ετυπώθη διά πρώτην φοράν το 1472, τα δε Στοιχεία του Ευκλείδου μόλις δέκα έτη βραδύτερον.

** Αρκεί ν' αναφέρωμεν την «Εισαγωγήν εις μίαν γεωμετρικήν θεωρίαν των επιπέδων καμπύλων» του L. Cremona.

         1. Η άποψις του συγγραφέως, ότι ο Ευκλείδης εγεννήθη εις Αλεξάνδρειαν, απο­τελεί υπόθεσιν, ως μη εξηκριβωμένη ιστορικώς. Ο τόπος και ο χρόνος γεννήσεως και θανάτου του Στοιχειωτολυ παραμένουν άγνωστα. Αραβικαί πηγαί, πολύ ολίγον αξιόπιστοι, αναφέρουν ότι εγεννήθη εις Τύρον της Συρίας, διό και Τύριος προσωνομάζετο, εκ πα­τρός Έλληνος, Ναυκράτους καλουμένου, γεννηθέντος εις Δαμασκόν και διαβούντος εις Τύρον.

       2. Πρόκειται περί τής προτάσεως υπ' αρ. 20 του IV βιβλίου των Στοιχείων: «oι πρώτοι αριθμοί πλείους εισί παντός του προτεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών», (βλ. Ε. Σταμάτη : Ευκλείδου Γεωμετρία).

 3.  Η μέθοδος αύτη απορρέει αμέσως εκ του Θεωρήματος 36 του IX  βιβλίου των Στοιχείων, κατά το οποίον, εάν θεωρήσωμεν την γεωμετρικήν πρόοδον.

Ι, 2, 4, 8, 16, ...,

σχηματίσωμεν δε τα μερικά αθροίσματα ταύτης μέχρις ότου μερικόν τι άθροισμα είναι αριθμός πρώτος, και πολλαπλασιάσωμεν το μερικόν τούτο άθροισμα επί τον τελευταίον προσθετέον του μερικού αθροίσματος, το προκύπτον γινόμενον είναι αριθμός τέλειος. Βλ. Ε. Σταμάτη : Ευκλείδου Γεωμετρία, Τόμος II (βιβλία V, VI, VII, VIII, IX), επε­ξηγήσεις εις το βιβλίον IX.

        4. Ήδη ο σχολιαστής Πρόκλος (412-485 μ.Χ.) αποφαίνεται υπέρ τής γνώμης ταύ­της ομιλών περί τού Στοιχειακού εις το ακόλουθον χωρίον : «Ευκλείδης ο τα Στοιχεία συναγαγών και πολλά μεν τού Ευδόξου συντάξας, πολλά δε των Θεαίτητου τελειωσάμενος, ότι δε τα μαλακώτερον δεικνύμενα τοις έμπροσθεν εις ανελέγκτους αποδείξεις αναγαγών γέγονε δε ούτος ο ανήρ επί τού πρώτου Πτολεμαίου· νεώτερος μεν έστι, των περί Πλάτωνα, πρεσβύτερος δε Ερατοσθένους και Αρχιμήδους και τη προαιρέσει δε Πλατωνικός εστί και τη φιλοσοφία ταύτη οικείος, όθεν δη και τής συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο την των καλουμένων Πλατωνικών σχημάτων σύστασιν».

       5. Ή εργασία αύτη, φέρουσα τον τίτλον «Κατατομή Κανόνος» και περιέχουσα στοιχεία θεωρίας τής μουσικής τού Πυθαγόρου, υποστηρίζεται ότι δεν είναι γνήσιον έργον του Ευκλείδου. Κατ' άλλους αποτελεί περίληψιν γενικωτέρου, μή σωζόμενου, έργου του Ευκλείδου υπό τον τίτλον «Στοιχεία  Μουσικής» (βλ. Ε. Σταμάτη :   Ευκλείδου Γεωμετρία, Τόμος Ι, Εισαγωγή σελ. 19).