Απολλώνιος ο Περγαίος

 G. LORIA. Ιστορία των Μαθηματικών.

Ο θαυμασμός ο εμπνεύσας τον G. Wallis δια τον Αρχιμήδη λέγων ότι «υπήρξεν ανήρ εκπληκτικής αγχινοίας, ο οποίος έθεσε πρώτος τα θεμέλια σχεδόν όλων εκείνων των επινοήσεων, διά τας οποίας καυχάται η εποχή μας», διαφαίνεται εξ ίσου καθαρά και εις την ακόλουθον δήλωσιν του Leibniz: «εκείνος, ο οποίος κατανοεί τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιον, θαυμάζει ολιγώτερον τας επινοήσεις των νεωτέρων μεγάλων ανδρών».

Εις τους λόγους αυτούς του Leibniz αναφέρεται πλησίον του Αρχιμήδους ένα άλλο όνομα και εξαίρεται ένας άλλος γεωμέτρης, εις τον οποίον απονέμεται ούτω η υψίστη τιμή (την οποίαν μεταξύ των συγχρό­νων μόνον ο Gauss μέχρι της ώρας επέτυχε) να τοποθετήται εις την αυτήν στάθμην με τον Συρακούσιον μαθηματικόν.

Είναι ο Απολλώνιος ο Περγαίος, γεννηθείς εις την Πέργην της Παμφυλίας, κατά τινάς 40 και κατ' άλλους 25 έτη προ τού Αρχιμήδους ενώ υπάρχουν και οι θεωρούντες το 170 π.Χ. ως έτος της ωριμότητός του. Εις την Αλεξάνδρειαν είχε διδασκάλους τους διαδόχους του Ευκλείδου. Διέμεινεν ακόμη εις Έφεσον και έπειτα εις Πέργαμον, πόλιν διαθέτουσαν Πανεπιστήμιον και Βιβλιοθήκην, ιδρύματα παραπλήσια προς εκείνα, τα όποια κατέστησαν διάσημον την Αλεξάνδρειαν. Ότι ο Απολλώνιος εδίδαξε δημοσία εδώ και αλλαχού είναι δυνατόν, μάλιστα πιθανόν, αλλ' ιστο­ρικώς μη εξηκριβωμένον.

Περί της ζωής του γνωρίζομεν τόσον ολίγα, ώστε δεν κατέστη ακόμη δυνατόν να εξακριβωθή τελικώς, αν ούτος, πρέπει να ταυτισθή με ένα αστρονόμον της εποχής, καλούμενον Απολλώνιον ε (έψιλον), προς διάκρισιν από πολλά άλλα ομώνυμα πρόσωπα (μία πρόσφατος εγκυκλοπαί­δεια αναγράφει όχι ολιγώτερα των 128). Ο σχολιαστής Πάππος τον περιγράφει ως άνθρωπον με χαρακτήρα ματαιόδοξον και υπεροπτικόν, μεθυσθέντα εκ της μεγάλης προς αυτόν εκτιμήσεως των συγχρόνων του, οι όποιοι, ζώντος έτι του Αρχιμήδους, εσυνήθιζον να τον αποκαλούν «μέγαν γεωμέτρην» και «κατ' εξοχήν γεωμέτρην».

Από τον θαυμασμόν αυτόν ήντλησεν ο Περγαίος την δύναμιν ν' άσκηση με ελευθεριότητα κριτικήν των έργων του Ευκλείδου και επρότεινε ριζικάς τροποποιήσεις εις την γενικήν διάταξιν της ύλης και εις τινά σημαντικά χωρία των Στοιχείων. Αν και αι σχετικαί ειδήσεις είναι, ατυχώς, ελλιπείς και αποσπασματικοί, αρκούν παρά ταύτα ν' αποδείξουν ότι εις τον Απολλώνιον ανήκει η τιμή, ότι πρώτος μετά θάρρους διήνοιξε μίαν οδόν, η οποία εγκαταλειφθείσα μετ' αυτόν, επί μακρούς αιώνας, ανευρέθη και εσυνεχίσθη υπό των νεωτέρων με την ψευδαίσθησιν, μάλιστα, ότι πρώτοι αυτοί ύψωσαν την σημαίαν της επαναστάσεως εναντίον μιας βαρύτατης δεσποτείας.

Δεν είναι αυτή η μόνη εργασία, την οποίαν ενέπνευσαν εις τον Απολλώνιον τα Στοιχεία του Ευκλείδου. Μέσω των Αράβων έφθασε μέχρις ημών η πληροφορία περί ερευνών, τας οποίας ενεπνεύσθη ο Απολ­λώνιος εκ του Χ βιβλίου, και τελικός καρπός των οποίων υπήρξε μία γενίκευσις (ποία;) της θεωρίας των ασύμμετρων, της αναπτυσσόμενης εις το βιβλίον τούτο των   Στοιχείων⁽¹⁾.

Επί πλέον, Υψικλής ο Αλεξανδρεύς (Β' αιών μ.Χ.) αναφέρει ότι ο Απολλώ­νιος ετελειοποιήσεν ένα έργον του Αρισταίου του Πρεσβυτέρου περί πολυέδρων, καταλήξας εις αυστηροτάτην απόδειξιν της ακολούθου προτάσεως: «Εάν ένα δωδεκάεδρον και ένα εικοσάεδρον είναι εγγεγραμ­μένα εις την αυτήν σφαίραν, ο λόγος των όγκων των ισούται προς την λόγον των επιφανειών των».

Τέλος έχει διασωθή η μνήμη τριών άλλων έργων του Απολλώνιου αναφερομένων εις την στοιχειώδη γεωμετρίαν. Μολονότι τα έργα αυτά εχάθησαν, αι πληροφορίαι, τας οποίας παρέχει ο Πάππος μας επιτρέπουν να δώσωμεν ιδέαν του χαρακτήρος και του περιεχομένου των.

α) Περί επαφών. Η εργασία αύτη περιλαμβάνεται εις δύο βι­βλία, εις τα όποια παρείχετο η λύσις εις όλας τας δυνατάς περιπτώσεις, του ακολούθου προβλήματος : «Δοθέντων τριών στοιχείων, έκαστον των οποίων δύναται να είναι σημείον, ευθεία, περιφέρεια, να γραφή περιφέ­ρεια διερχόμενη διά των σημείων και εφαπτομένη των ευθειών και περι­φερειών». Σήμερον πολλοί προτιμούν να θεωρούν όλας τας δυνατάς υπο­θέσεις, ως μερικάς περιπτώσεις της κατασκευής περιφερείας εφαπτομένης τριών άλλων, δηλαδή του προβλήματος πού ονομάζεται εις τα σύγχρονα εγχειρίδια γεωμετρίας «πρόβλημα του Απολλώνιου». Αι πολλαί και αξιόλογοι εργασίαι, αι οποίαι αφιερώθησαν εις το θέμα τούτο από της Αναγεννήσεως μέχρι των ήμερων μας, καταδεικνύουν την διαρκή αξίαν την αποδιδομένην εις αυτό.

β) Επίπεδοι τόποι. Άλλη εργασία εις δύο βιβλία, αποβλέπουσα εις την εύρεσιν του γεωμετρικού τόπου ενός σημείου επί επιπέδου, εις πολλάς περιπτώσεις ένθα ο ζητούμενος τόπος είναι ευθεία γραμμή η περιφέρεια (οι αρχαίοι διέκρινον επίπεδον τόπον, αν ο τόπος ευθεία η περιφέρεια, στερεόν τόπον, αν κωνική τομή, γραμμικόν τόπον, αν τυχούσα άλλη καμπύλη). Παράδειγμα, η γνωστή «περιφέρεια του Απολλώνιου», η οποία είναι γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, των οποίων αι αποστάσεις από δύο σταθερών σημείων αυτού έχουν λόγον σταθερόν.

γ) Περί νεύσεων. Το έργον τούτο, αποτελούμενον εκ δύο βιβλίων, περιείχε προβλήματα νεύσεων, των οποίων η γενική διατύπωσις είχεν ως έξης : «δύο δοθεισῶν γραμμῶν θέσει, θεῖναι μεταξὺ τούτων εὐθεῖαν τῷ μεγέθει δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοθὲν σημεῖον» - «δύο δοθεισών γραμμών θέσει, θείναι μεταξύ τούτων ευθείαν τω μεγέθει δεδομένην νεύουσαν επί δοθέν σημείον» ⁽²⁾

Εις τον αυτόν γεωμέτρην αποδίδεται μία γραφική μέθοδος ευθειοποιήσεως της περιφερείας, στηριζομένη εις την χρήσιν ειδικής καμπύλης, η οποία δεν κατέστη δυνατόν μέχρι της στιγμής να εξακριβωθή. Μερι­κοί ιστορικοί παραδέχονται ότι η εν λόγω καμπύλη πρέπει να ήτο η κυκλική στερεά έλιξ, λαμβανομένου υπ' όψιν ότι κατά τινά φήμην ο Απολλώνιος είχεν αφιερώσει εις την καμπύλην αυτήν ειδικήν πραγματείαν (περί Κοχλιού)⁽³⁾.

Σχήμα 1

Εις τον Απολλώνιον ανήκει ακόμη η τιμή ότι έλυσε το Δήλιον πρόβλημα με την ακόλουθον μέθοδον: Έστωσαν αι δύο δοθείσαι ευθείαι (σχ. 1) AB=a, AC=b διατεταγμέναι ορθογωνίως. Ας συμπληρωθή το ορθογώνιον ABDC και ας προσδιορισθή το κέντρον αυτού Ο. Ας άχθη κατόπιν διά του D ευθεία τοιαύτη, ώστε τα σημεία τομής αυτής μετά των ΑΒ και AC προεκτεινομένων, ήτοι τα σημεία Χ, Υ να απέχουν εξ ίσου από το σημείον Ο, πράγμα επιτεύξιμον διά δοκιμών. Τότε ΒΧ=χ και CY = y είναι αι δύο ζητούμενοι μέσαι.

Τούτο επαληθεύεται ευκόλως, εάν γράψωμεν τας εξισώσεις διά των οποίων εκφράζονται αι συνθήκαι να κείνται τα τρία σημεία Χ, D, Υ επ’ ευθείας, τα δε Χ και Υ εις ίσην απόστασιν από του Ο:

Εκ τούτων προκύπτουν αι αντιστοίχως ισοδύναμοι σχέσεις:

 Απαλείφοντες ήδη διαδοχικώς εκ της δευτέρας τα μεγέθη y και χ, μέσω της πρώτης, ευρίσκομεν, ως έδει,

η, όπερ το αυτό,

Πρέπει να σημειώσωμεν ότι, παρ' όλην την αναμφισβήτητον αξίαν των, δεν είναι επί των έργων τούτων, όπου στηρίζεται η μεγίστη φήμη, με την οποίαν από αιώνων περιέβαλλον τον Απολλώνιον όλοι οι δυνάμενοι να εκτιμήσουν μίαν μαθηματικήν έρευναν. Θεμέλιον, σχεδόν αποκλειστικόν, της φήμης του είναι η πραγματεία του περί κωνικών τομών, γνωστή υπό τον σύντομον τίτλον Κωνικά, μία από τας εξοχωτέρας εργασίας, πού έχει να παρουσίαση η επιστημονική βιβλιογραφία όλων των εποχών και όλων των εθνών.

Εκ των οκτώ βιβλίων, πού την απετέλουν, τα τέσσαρα πρώτα διεσώθησαν εις το πρωτότυπον, πιθανώς διότι, χρησιμοποιούμενα ως διδακτικόν κείμενον εις τα σχολεία, ετύγχανον αλλεπαλλήλων αντιγραφών και ούτω εκυκλοφόρουν περισσότερον των άλλων τριών, των οποίων διεσώθη αραβική μετάφρασις. Το όγδοον και τελευταίον θεωρείται οριστικώς απολεσθέν.

Γνωρίζομεν ότι δεν ήτο ο Απολλώνιος εκείνος, ο οποίος ανεκάλυψε τας περίφημους καμπύλας, ούτε και ο πρώτος επιχειρήσας να έκθεση μεθοδικώς την θεωρίαν των. Το γεγονός όμως ότι το έργον του επέτυχε να επιφέρη την έκλειψιν των αναλόγων έργων των αποδιδόμενων εις τον Αρισταίον, τον Ευκλείδη, ίσως δε και τον Αρχιμήδη, μαρτυρεί την αδιαφιλονίκητον υπεροχήν του ιδικού του. Πάντως η εξαφάνισις των άλλων καθιστά δυσχερή τον προσδιορισμόν των τελειοποιήσεων, τας οποίας ηδυνήθη να επιφέρη ο Απολλώνιος εις την θεωρίαν των κωνικών τομών, μολονότι υπάρχουν ασφαλείς ενδείξεις επιτρέπουσαι να συμπεράνωμεν ότι η νέα πραγματεία διαφέρει των προηγουμένων κατά τούτο ότι ο Περγαίος ορμάται από γενικόν ορισμόν των περίφημων καμπύλων ως τομών κώνου κυκλικής βάσεως παραγομένων υπό τυχόντων επιπέδων, ενώ οι προγενέστεροι εθεώρουν αποκλειστικώς τας τομάς τας παραγομένας υπό επιπέδων καθέτων επί την γενέτειραν. Εν­τεύθεν και ο λόγος, διά τον όποιον εθεώρησεν απαραίτητον να εγκατά­λειψη τα παλαιά ονόματα των καμπύλων αυτών και να τα αντικαταστήση δι' άλλων προσφυεστέρων, τα όποια είναι αυτά πού χρησιμοποιούμεν και σήμερον. Ας προσθέσωμεν ότι επειδή διά τον Απολλώνιον, ως και διά την Αρχιμήδη, μία υπερβολή εθεωρείτο αποτελούμενη από ένα μόνον κλάδον, όταν παρουσιάζετο περίπτωσις, καθ' ην έπρεπε να εξετασθή η καμπύλη πλήρης, εχρησιμοποίει την έκφρασιν «τομαί αντικείμεναι».

Ο τρόπος της εκθέσεως του Απολλώνιου ακολουθεί πιστώς το ευκλείδιον υπόδειγμα, ειδικώτερα εις τα τρία πρώτα βιβλία. Ως χαρακτηριστικόν της διατάξεως, την οποίαν προτιμά, αναφέρομεν ότι περί το τέλος έκαστου βιβλίου τοποθετούνται τα προβλήματα εκείνα, των οποίων η λύσις στηρίζεται επί των προηγηθέντων θεωρημάτων.

Προβαίνοντες ήδη εις λεπτομερεστέραν επισκόπησιν των Κωνι­κών του Απολλώνιου, παρατηρούμεν ότι το Βιβλίον Ι αρχίζει με μίαν σειράν ορισμών και θεωρημάτων αφορώντων τους κυκλικούς κώνους εν γένει. Αποδεικνύεται ειδικώτερα η ύπαρξις δευτέρας σειράς κυκλικών τομών εις τους πλάγιους κώνους. Κατόπιν αποδεικνύεται η θεμελιώδης ιδιότης των κωνικών τομών, η οποία εκφράζεται σήμερον διά της καρτε­σιανής εξισώσεως :

ένθα q μικρότερον, ίσον η μεγαλύτερον του μηδενός, καθ' όσον η κα­μπύλη έχει 0,1 η 2 πραγματικά σημεία εις το άπειρον.

Ορμώμενος από την σχέσιν αυτήν και χρησιμοποιών μίαν ορολογίαν εν χρήσει από της εποχής του Πυθαγόρου διά μίαν σημαντικήν κατηγορίαν προβλημάτων  (εννοούμεν την «παραβολήν των χωρίων»₎ πού ανάγεται εις την λύσιν της δευτεροβαθμίου εξισώσεως εις όλας της τας περιπτώσεις), προτείνει τα ονόματα «έλλειψις», «παραβολή» και «υπερ­βολή» ως και τας εννοίας «ορθία πλευρά» και «πλαγία πλευρά».

Έπεται ένα πλήθος σπουδαίων θεωρημάτων επί των σειρών παραλ­λήλων τεταγμένων, των χορδών και εφαπτόμενων, τα όποια παρέχουν τα μέσα διά τον προσδιορισμόν κυκλικού κώνου φέροντος παραβολήν η έλλειψιν η υπερβολήν, των οποίων δίδονται μία διάμετρος και η διεύθυνσις των αντιστοίχων τεταγμένων και επί πλέον η ορθία πλευρά (διά πα­ραβολήν) ή η ορθία και η πλαγία (δι' έλλειψιν και υπερβολήν). Ούτω αποδεικνύεται πλήρως, ότι πάσα καμπύλη παριστωμένη υπό εξισώσεως του τύπου (α) δύναται να ληφθή ως τομή κώνου με κυκλικήν βάσιν.

Εις το Βιβλίον II γίνεται λόγος περί των ασύμπτωτων της υπερβο­λής ή των δύο αντικειμένων τομών και εξετάζονται περαιτέρω αι σχέσεις σημείων και εφαπτόμενων εις τας καμπύλας του είδους τούτου. Ειδικώτερον, παρέχεται εδώ, υπό μορφήν γενικωτέραν της συνήθους, η κανονική εξίσωσις της υπερβολής αναφερομένης εις τας   ασύμπτωτους της :

 Τo τελευταίον μέρος του βιβλίου περιλαμβάνει πολλά ενδιαφέροντα προ­βλήματα χαράξεως εφαπτόμενων   εις κωνικάς, κατά διαφόρους τρόπους.

Τα όρια, τα όποια προκαθωρίσαμεν εις το βιβλίον μας, δεν μας επι­τρέπουν να μνημονεύσωμεν πολλάς εκ των προτάσεων του αυτού τύπου, τας οποίας αποδεικνύει ο Απολλώνιος. Υποχρέωσίς μας είναι όμως να σημειώσωμεν ότι, όπως βέβαιοι ο ίδιος μετά θριάμβου εις τον πρόλογον του μεγάλου έργου του, αι εν λόγω προτάσεις του επέτρεψαν να προσδιορίση πλήρως «τον γεωμετρικόν τόπον σημείου τοιούτου, ώστε το γινόμενον δύο ευθειών αγομένων εξ αυτού υπό δοθείσας γωνίας προς δύο ευθείας σταθεράς, να έχη δοθέντα λόγον προς το ορθογώνιον δύο άλλων ευθειών αγομένων επίσης εξ αυτού υπό δοθείσας γωνίας προς δύο άλλας σταθεράς ευθείας, η προς το τετράγωνον της ευθείας της αγομένης ομοίως υπό δοθείσαν γωνίαν προς τρίτην τίνα σταθεράν ευθείαν». Το ιστορικόν αυτό πρόβλημα είναι ο «επί τρεις και τεσσάρας γραμμάς τόπος» των αρ­χαίων γεωμετρών.

Ο εν λόγω γεωμετρικός τόπος είναι πάντοτε καμπύλη δευτέρου βα­θμού. Εις την περίπτωσιν των τεσσάρων γραμμών η καμπύλη είναι περι­γεγραμμένη εις το απλούν τετράπλευρον, του οποίου πλευραί είναι αι δοθείσαι ευθείαι. Και επειδή αντί του σταθερού λόγου είναι θεμιτόν να δώση κανείς ένα σημείον του ζητουμένου τόπου, δυνάμεθα να συμπεράνωμεν ότι ο μέγας γεωμέτρης, εν έσχατη αναλύσει, είχε λύσει το θεμελιώδες πρόβλημα «να κατασκευασθή κωνική τομή διερχόμενη διά πέντε σημείων».

Προς ατυχίαν μας ο Απολλώνιος δεν παρέχει καμμίαν σχετικήν λεπτομέρειαν. Είναι λοιπόν φυσικόν να διερωτηθώμεν μήπως η έπαρσις, πού απετέλει γνώρισμα του χαράκτηρος του, τον παρέσυρεν εις το να υποσχεθή πράγματα περισσότερα των όσων ήτο εις θέσιν να πραγματο­ποίηση⁽⁴⁾. Τοιαύτη όμως ανευλαβής εικασία δεν δύναται να ευσταθήση, αφ' ότου ο βαθύτατος γνώστης της ελληνικής γεωμετρίας Zeuthen H. G., απέδειξεν ότι με την βοήθειαν των στοιχείων των παρεχομένων υπό του Απολλώνιου το πρόβλημα των τριών και τεσσάρων ευθειών δύναται με ευχέρειαν να λυθή εις την υπόθεσιν ότι δύο εξ αυτών είναι μεταξύ των παράλληλοι και επί πλέον απέδειξεν, ότι το γενικόν πρόβλημα δύναται πάντοτε ν' αναχθή εις την ειδικήν ταύτην περίπτωσιν.

Μεταξύ των πολλών μετρικών προτάσεων πού απαντώμεν εις το Βι­βλίον III, παρατηρούμεν ότι πολλαί εξ αυτών είναι μερικαί περιπτώσεις του ακολούθου θεωρήματος : «εάν εκ τίνος σημείου Μ του επιπέδου μιας κωνικής τομής αχθούν δύο χορδαί ΑΒ, CD σταθερών διευθύνσεων, ο λόγος

ΜΑ·MB : MC ·MD

έχει τιμήν σταθεράν, ανεξάρτητον της θέσεως του σημείου Μ».

Αν και η πρότασις ήτο ήδη γνωστή εις τον Αρχιμήδη, φέρει σή­μερον το όνομα «Θεώρημα του Newton», ίσως διά να υπενθυμίζη την γενίκευσιν, πού επέτυχεν ο αθάνατος Άγγλος γεωμέτρης, εις όλας τας αλγεβρικάς καμπύλας.

Μία άλλη αξιόλογος κατηγορία θεωρημάτων του Απολλωνίου αφορά (διά να χρησιμοποιήσωμεν ένα σύγχρονον όρον) τας κωνικάς τομάς ως περιβάλλουσας ευθειών και καταλήγει εις την κατασκευήν εφαπτομένης διερχόμενης διά δοθέντος σημείου του επιπέδου δοθείσης κωνικής τομής.

Εις την περίπτωσιν της παραβολής το πρόβλημα ανάγεται εις το επόμενον : «δεδομένων εις το επίπεδον δύο ευθειών και ενός σημείου εφ' εκάστης, να άχθη εκ τίνος σημείου του επιπέδου ευθεία αποτέμνουσα επί των δοθεισών ευθειών τμήματα, μετρούμενα από των δοθέντων σημείων, τοιαύτα ώστε να έχουν μεταξύ των δοθέντα λόγον». Αυτό είναι το πρό­βλημα που έφερε τον τίτλον λόγου άποτομή. Εις το πρόβλημα τούτο ο Απολλώνιος αφιέρωσεν ειδικήν εργασίαν υπό τον αυτόν τίτλον, της οποίας δεν έχομεν σήμερον παρά μίαν αραβικήν μετάφρασιν⁽⁵⁾.

Εις την περίπτωσιν της υπερβολής το πρόβλημα ανάγεται εις το ανωτέρω με την μόνην διαφοράν ότι των δύο αποτεμνομένων ευθυγράμ­μων τμημάτων δίδεται, αντί του λόγου, το ορθογώνιον. Είναι δε το πρό­βλημα γνωστόν υπό τον τίτλον χωρίου αποτομή, εις το όποιον επίσης ο Απολλώνιος αφιέρωσεν ειδικήν εργασίαν, της οποίας γνωρίζομεν μόνον όσα ο Πάππος μνημονεύει περί αυτής. Εκ των αρκετά λεπτολογημένων πληροφοριών του Πάππου κατέστη δυνατή μία ιδεατή ανακατασκευή του απολεσθέντος έργου.

Ας προσθέσωμεν ότι υπό παρόμοιας συνθήκας ευρισκόμεθα αναφορικώς προς ένα τρίτον έργον του αυτού γεωμέτρου αφιερωμένον εις την ούτω καλουμένην διωρισμένην τομήν, ήτοι εις το ακόλουθον πρόβλημα: «δοθέντων επ' ευθείας τεσσάρων σημείων Α, Β, C, D, να ευ­ρέθη επ' αυτής άλλο σημείον Ρ τοιούτον, ώστε ο λόγος

ΑΡ·CP : ΒΡ· DP

να είναι σταθερός»⁽⁶⁾.

Ας επιστρέψωμεν ήδη εις το Βιβλίον III των Κωνικών διά να σημειώσωμεν την εκεί παρουσίαν των εστιών εις τας μετά κέντρου καμπύ­λας. Αναπτύσσονται αι σημαντικώτεραι ιδιότητες αυτών, χωρίς εν τού­τοις να χαρακτηρίζωνται με ειδικόν όνομα. Περί διευθετουσών ουδεμία γίνεται μνεία — εις το σημείον ακριβώς τούτο εντοπίζεται συνήθως η αξιολογωτέρα έλλειψις του έργου του Απολλωνίου — ούτε και περί εστίας της παραβολής. Κατά πόσον τοιαύτη σιωπή δύναται να ερμηνευθή ως ση­μαίνουσα—πράγμα  ελάχιστα  πιθανόν—ότι  ο Απολλώνιος  ηγνόει την ύπαρξιν του σπουδαιότατου αυτού σημείου, δεν είμεθα εις θέσιν να εξακριβώσωμεν. Μία απάντησις εις την απορίαν αυτήν θα υπήρχεν ίσως εις ένα ακόμη έργον του περί καυστικών κατόπτρων, του οποίου όμως ουδέν ίχνος ευρέθη μέχρι της στιγμής.

Δεν δυνάμεθα να κλείσωμεν τας πληροφορίας αυτάς περί του III βι­βλίου των Κωνικών, χωρίς να αναφερθώμεν εις μίαν σπουδαιοτάτην ομάδα προτάσεων, περί το τέλος του βιβλίου, εκ των οποίων διδασκόμεθα εις ειδικάς περιπτώσεις, την γένεσιν των κωνικών τομών μέσω προβολι­κών δεσμών ακτίνων.

Μεγαλυτέραν ενότητα παρουσιάζει το επόμενον Βιβλίον IV, του οποίου πρόγραμμα είναι η έρευνα του αριθμού των σημείων τομής δύο κωνικών εις τας διαφόρους αμοιβαίας θέσεις, εις τας οποίας αύται δύ­νανται να ευρεθούν. Αι σχετικαί προτάσεις προβάλλουν ευθύς εκ της ενοράσεως, αλλ' η αυστηρά απόδειξις της αληθείας των δύναται να γίνη μό­νον διά της χρήσεως διαφόρων τεχνασμάων, πολλά των οποίων στηρί­ζονται εις την εις άτοπον απαγωγήν. Η σπουδαιότης των συμπερασμάτων συνίσταται εις τας εφαρμογάς, τας οποίας ταύτα ευρίσκουν κατά τας διε­ρευνήσεις προβλημάτων βαθμού ανωτέρου του δευτέρου.

Με το Βιβλίον V εισερχόμεθα εις την υψηλοτέραν περιοχήν της θεωρίας των κωνικών, ένθα τίθενται αι βάσεις της θεωρίας των καθέτων επί τας κωνικάς τομάς. Ο Απολλώνιος αποδεικνύει όχι μόνον ότι έξ ενός σημείου του επιπέδου μιας κωνικής διέρχονται εν γένει τέσσαρες κάθετοι της καμπύλης, αλλ' ακόμη την ύπαρξιν απείρων σημείων έκαστον των οποίων διαπεράται υπό δύο μόνον καθέτων. Ο γεωμετρικός τόπος των είναι, όπως θα εέλέγομεν σήμερον, η «ενειλιγμένη», καμπύλη της οποίας ο Απολλώνιος ευρίσκει τας πλέον χαρακτηριστικός ιδιότητας, χωρίς παρά ταύτα να την εξετάζη ρητώς.

Οι πόδες των καθέτων, πού δύνανται ν' αχθούν εκ τίνος σημείου προς μίαν κωνικήν μετά κέντρου, λαμβάνονται διά τομής της κωνικής με μιαν υπερβολήν, η οποία σήμερον καλείται «υπερβολή του Απολλώνιου». Προσκειμένου όμως περί παραβολής, ως βοηθητική γραμμή δύναται να χρησιμοποιηθή μία περιφέρεια, λεπτομέρεια σημαντική υπό έποψιν γραφικής κατασκευής, η οποία λεπτομέρεια διέφυγε της προσοχής του Απολλώνιου. Διό και εσχολιάσθη από τον Πάππον ⁽⁷⁾.

Εις το Βιβλίον VI του μεγάλου έργου καθορίζονται αι συνθήκαι ισότητος και ομοιότητος δύο κωνικών η δύο τμημάτων αυτών. Είναι γενική η πεποίθησις ότι εδώ ο Περγαίος περιωρίσθη εις την αναδιάρθρωσιν και συμπλήρωσιν μιας θεωρίας, της οποίας τα κύρια σημεία είχον ήδη διατπωθή προ αυτού.

Αρκετά μεγαλυτέραν πρωτοτυπίαν παρουσιάζει το άκόλουθον Βιβλίον VII, το τελευταίον εκ των σωζόμενων. Εις τούτο εκτίθενται αξιόλογοι εκφράσεις διά μερικάς συναρτήσεις διαμέτρων και παραμέτρων των κωνικών τομών και προσδιορίζονται κατόπιν τα ακρότατα των συναρτήσεων τούτων.

Προ της αδυναμίας ν' άναφέρωμεν το πλήθος των αληθειών, τας οποίας παρατάσσει Εις το βιβλίον τούτο ο αθάνατος γεωμέτρης, περιοριζόμεθα να σημειώσωμεν εκ τούτων τας προτάσεις εκείνας, πού ονομάζονται σήμερον «Θεωρήματα του Απολλώνιου» και αι οποίαι εκφράζουν ότι εις έλλειψιν και υπερβολή ν με a, b δύο τυχούσας συζυγείς διαμέτρους υπό γωνίαν ω,  αι ποσότητες

είναι αναλλοίωτοι.

Όσον αφορά το Βιβλίον VIII — αθώον θύμα των αιώνων της βαρβαρότητος, πού διεδέχθησαν τον ελληνικόν πολιτισμόν — γνωρίζομεν, κατά δήλωσιν του ιδίου του συγγραφέως, ότι περιείχε τας λύσεις μερικών προβλημάτων σχετιζομένων προς τας συναρτήσεις, πού εξητάσθησαν εις το προηγούμενον βιβλίον. Πολύτιμοι και διεξοδικαί πληροφορίαι περιέχονται επίσης εις τα Λήμματα, τα όποια συνέγραψεν ο Πάππος, ίνα διευκολύνη την κατανόησιν του πρωτοτύπου έργου. Εκ των πληροφοριών τούτων ηδυνήθη ο διάσημος αστρονόμος Halley (1656 -1724) ν' ανασύνθεση το απολεσθέν βιβλίον εις μιαν εργασίαν, πού θεωρείται από τας πλέον επιτυχείς του είδους τούτου, αλλ' η οποία φυσικά δεν αρκεί να μας αποζημίωση διά την αξιοθρήνητον απώλειαν του υψηλότερου μέρους της μεγάλης Απολλωνείου συγγραφής.

Αλλ' όσον και αν αύτη μας παρουσιάζεται σήμερον ελλιπής, όσον και αν υπέστη διά μέσου των  αιώνων πολλάς και βαθείας διαταρακτικάς αλλοιώσεις, ιδίως δια χειρός των Αράβων, παρά ταύτα η εν λόγω συγγραφή ορθούται προ ημών ως έργον άξιον πολλού θαυμασμού και βαθείας μελέτης εκ μέρους των νεωτέρων, αν μη τι άλλο, διότι συγκρίνοντες το περιεχόμενον αυτού προς την ύλη ν των συγχρόνων βιβλίων επί του αυτού θέματος, δεν θα βραδύνωμεν ν' αντιληφθώμεν, μετά 20 και πλέον αιώνας, πόσον ασθενής είναι η διαφορά. Όσον αφορά δε τας αποδεικτικάς μεθόδους, η απομάκρυνσις από τα σύγχρονα συγγράμματα ανωτέρας συνθετικής γεωμετρίας εμφανίζεται αρκετά έντονος, διότι (γεγονός παράδοξον, αλλ' εντελώς σύμφωνον προς την αλήθειαν) το έργον του Απολλώνιου προσεγγίζει πολύ περισσότερον προς τας τελευταίας αναπτύξεις της θεωρίας των καμπύλων β' βαθμού μέσω καρτεσιανών συντεταγμένων.

Πράγματι όχι μόνον αι ιδιότητες, πού χαρακτηρίζουν τας τρεις περίφημους καμπύλας, μεταφράζονται, ως είδομεν, εις τας κανονικάς εξισώσεις της καρτεσιανής παραστάσεως, άλλα και πλείστοι από τους συλλογισμούς, μεταφραζόμενοι εις σύγχρονον αλγεβρικήν γλώσσαν, προκύπτουν ισοδύναμοι, κατά βάθος, προς απαλοιφάς, λύσεις εξισώσεων και αλλαγάς συντεταγμένων.

Διά τούτο εις την μεγάλον Έλληνα γεωμέτρην ανήκει η τιμή ότι ανεκάλυψε την γονιμωτέραν μέθοδον προς σπουδήν των τομών του κώνου και ότι δι' εφαρμογής αυτής έφθασεν εις όλας τας ωραιοτέρας ιδιότητας των καμπύλων τούτων. Ο θαυμασμός την όποιον προεκάλεσεν επί 20 αιώνας διά το επίτευγμα τούτο είναι όθεν απολύτως δικαιολογημένος. Ότι δε το συναίσθημα τούτο δεν εξησθένησεν, ούτε έσβυσεν εις τας ψυχάς των συγχρόνων, αποδεικνύεται από το γεγονός ότι, όταν ο παρελθών αιών παρέστη έκπληκτος εις την αναγέννησιν της καθαράς γεωμετρίας διά των εργασιών του Steiner, το μόνον ιστορικόν πρόσωπον πού ηδυνήθη να συγκριθή, ως προς τα επιτεύγματα, αμείωτον υπήρξεν ο γεωμέτρης πού εχάρισεν αιωνίαν δόξαν εις την Πέργην και έφθασεν εις το απόγειον της ελληνικής γεωμετρίας.

_________________________________________________________

(1) Βλ. Υπόμνημα του F. Woepcke, δημοσιευθέν Εις τον τόμον XIV (Paris, 1856) των Mem. pres. par divers savants.

(2) Κατά τον Πάππον, η πραγματεία του Απολλώνιου περιελάμβανε τας ακολού­θους περιπτώσεις νεύσεων :

Ι. Δοθέντος (a) ημικυκλίου και ευθείας καθέτου επί την διάμετρον ή (b) δυο ημικυ­κλίων με τας βάσεις επ' ευθείας, παρεμβαλείν μεταξύ τούτων ευθείαν δοθέντος μήκους νεύουσαν (ήτοι διερχομένην) προς μιαν γνωνίαν του ημικυκλίου ή εντός των ημικυκλίων αντιστοίχως.

II. Δοθέντος ρόμβου με προεκταθείσαν την μιαν πλευράν, παρεμβαλείν ευθείαν δο­θέντος μήκους εις την εξωτερικήν γωνίαν νεύουσαν προς την άντικειμένην κορυφήν του ρόμβου.

III. Εις δοθέντα κύκλον παρεμβαλείν χορδήν δοθέντος μήκους νεύουσαν προς δοθέν σημείον.

Το βιβλίον Ι του Απολλωνίου περιελάμβανε 4 περιπτώσεις του I (a), 2 περιπτώ­σεις του III καί 2 του II. Τό βιβλίον II περιείχε 10 περιπτώσεις του I .(b).

(Βλ. T.L. Heath : A manual of Greek Mathematics, Dover publications, 1963).

(3) Το σύγγραμμα τούτο αναφέρει ό Πρόκλος· «καθάπερ 'Ἀπολλώνιος ἐν τῷ περὶ κοχλίου γράμματι δείκνυσι»

(4) Ο Απολλώνιος εις την εισαγωγικήν προς Εύδημον επιστολήν του, ομιλών διά το περιεχόμενον των Κωνικών λέγει σχετικώς προς τον επί τρεις και τεσσάρας γραμμάς τόπον τα έξης : «τὸ δὲ τρίτον (βιβλίον) πολλὰ καὶ παράδοξα θεωρήματα χρήσιμα πρός τε τάς συνθήκας τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ  πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα (δηλαδὴ νέα), ἃ   καὶ   κατανοήσαντες   συνείδομεν μὴ συντιθέμενον ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τεσσάρας γραμμὰς τόπον, ἄλλα μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὒκ' εὐτυχώς οὐ γὰρ ἢν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελεωθῆναι τὴν συνθέσιν».

(5) Ο Halley εδημοσίευσε το έργον εις λατινικήν μετάφρασιν το 1706, υπό τον τίτλον Sectio Rationis.

(6) «Από τα σχόλια του Πάππου δυνάμεθα να συμπεράνωμεν ότι η εργασία του Απολλώνιου περιελάμβανεν εξονυχιστικήν διερεύνησιν του προβλήματος. Ο προσδιορισμός του Ρ μέσω της εξισώσεως ΑΡ. CP = λ.ΒΡ. DP δεν είναι καθ' εαυτόν δυσχερής, διότι το πρόβλημα δύναται αμέσως να τεθή υπό εξίσωσιν τετραγωνικής μορφής, την οποίαν οι Έλληνες δεν είχον καμμίαν δυσκολίαν ν' αναγάγουν εις παραβολήν χωρίου. Αλλ' εκ των δεδομένων του Πάππου δυνάμεθα να συμπεράνωμεν, ότι η διερεύνησις περιελάμβανε τον προσδιορισμόν των ορίων δυνατότητος, τον αριθμόν των λύσεων, κλπ, και ότι η αναπτυσσόμενη θεωρία ωώμοίαζε προς την θεωρίαν της ενελίξεως εις την προβολικήν γεωμετρίαν» (T.L. Heath : Α. Manual of Greek Mathematics, Dover publications 1963, σ. 366).

(7) Διά την έλλειψιν:

η απολλώνιος υπερβολή ως προς το σημείον (ξ, η) έχει εξίσωσιν :

 ενώ  οι  πόδες  των  εκ  του  αυτού σημείου   αγομένων   καθέτων επί την παραβολήν

 προσδιορίζονται  από την  υπερβολήν  πού   έχει εξίσωσιν:

ή από την περιφέρειαν :.