Άρρητοι αριθμοί: Προαγγελία της πρώτης κρίσης

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

Οι πρώτοι αριθμοί με τους οποίους ερχόμαστε σε επαφή στα πρώτα παιδικά μας χρόνια είναι οι λεγόμενοι φυσικοί ή θετικοί ακέ­ραιοι αριθμοί 1, 2, 3,.... Αυτοί οι αριθμοί είναι αφαιρέσεις που προ­κύπτουν από τη διαδικασία αρίθμησης πεπερασμένων συνόλων αντι­κειμένων. Λίγο αργότερα συνειδητοποιούμε ότι οι ανάγκες της κα­θημερινής ζωής απαιτούν, εκτός από την αρίθμηση μεμονωμένων αντικειμένων, και τη μέτρηση διάφορων ποσοτήτων όπως το μήκος, το βάρος, ο χρόνος. Για να ικανοποιήσουμε τις απλές αυτές ανάγκες μέτρησης χρειαζόμαστε τα κλάσματα, γιατί είναι σπάνιο ένα μήκος, για παράδειγμα, να περιέχει ακριβώς ένα ακέραιο πλήθος προκαθο­ρισμένων μονάδων μήκους. Για μερικές μετρήσεις όπως είναι η καταγραφή πολύ χαμηλών θερμοκρασιών, το μηδέν, οι αρνητικοί ακέ­ραιοι και τα αρνητικά κλάσματα αποδεικνύονται χρήσιμα. Το αριθ­μητικό μας σύστημα έχει διευρυνθεί. Αν όμως ορίσουμε ένα ρητό αριθμό ως το πηλίκο δύο ακεραίων, p/q, q ≠ 0, τότε αυτό το σύστη­μα των ρητών αριθμών είναι αρκετό για όλους τους ακέραιους και όλα τα κλάσματα.

Οι ρητοί αριθμοί έχουν μια απλή γεωμετρική παράσταση. Σημειώστε δύο διαφορετικά σημεία Ο και Ι (βλ. σχήμα 1) σε μια οριζόντια ευθεία γραμμή, έτσι ώστε το Ι να βρίσκεται δεξιά από το Ο και πάρτε το τμήμα ΟΙ σαν μονάδα μήκους. Αν θεωρήσουμε ότι τα Ο και Ι παριστάνουν αντίστοιχα τους αριθμούς Ο και 1, τότε οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι μπορούν να παρασταθούν από ένα σύνολο σημείων πάνω στην ευθεία που απέχουν μεταξύ τους κατά τη μονάδα μήκους. Οι θετικοί ακέραιοι βρίσκονται δεξιά από το Ο και οι αρνητικοί αριστερά από το Ο. Τα κλάσματα με παρονομαστή q παριστάνονται με τα σημεία που διαιρούν κάθε μοναδιαίο διάστη­μα σε q ίσα μέρη. Τότε για κάθε ρητό αριθμό υπάρχει ένα μοναδικό σημείο πάνω στην ευθεία. Οι πρώτοι μαθηματικοί θεωρούσαν προ­φανές, όπως εξάλλου θεωρούν και σήμερα όσοι δεν έχουν εμβαθύνει στα μυστήρια της ευθείας των αριθμών, ότι μ' αυτό τον τρόπο εξα­ντλούνται όλα τα σημεία της ευθείας· η κοινή λογική αυτό ακριβώς μαρτυρά.

Πρέπει να αποτέλεσε πραγματικό πνευματικό σοκ για τον άν­θρωπο η γνώση ότι υπάρχουν σημεία στην ευθεία των αριθμών που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Αυτή η ανακάλυψη ήταν ασφαλώς μία από τις μεγαλύτερες επιτυχίες των αρχαίων Ελλήνων και πρέπει να έγινε κάπου στον έκτο ή τον πέμπτο π.Χ. αιώνα από την αδελφότητα των πυθαγορείων. Είχε ανατείλει μια πραγματικά μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.

Οι πυθαγόρειοι, πιο συγκεκριμένα, ανακάλυψαν ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός που να αντιστοιχεί στο σημείο Ρ της ευθείας των αριθμών (βλ. σχήμα 2) η απόσταση ΟΡ είναι ίση με τη διαγώνιο τετραγώνου, πλευράς ίσης με τη μονάδα. Αργότερα βρέθηκαν κι άλλα σημεία της ευθείας των αριθμών που δεν αντιστοιχούσαν σε ρητούς αριθμούς. Έπρεπε λοιπόν να επινοηθούν νέοι αριθμοί που να αντιστοιχούν σ' αυτά τα σημεία και αφού αυτοί οι αριθμοί δεν μπο­ρούσαν να είναι ρητοί ονομάστηκαν άρρητοι αριθμοί[1].

Σχήμα 1

 

 Σχήμα 2

Επειδή, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου πλευράς ίσης με τη μονάδα είναι √2, για να αποδείξουμε ότι το παραπάνω σημείο Ρ δεν παριστάνεται από ρητό αριθμό, αρκεί να αποδείξουμε ότι ο √2 είναι άρρητος. Παρατηρούμε λοιπόν αρχικά ότι για κάθε θετικό ακέραιο α, ο α είναι άρτιος, αν και μόνο αν ο α είναι άρτιος. Ας υποθέσουμε τώρα, για το σκοπό της απόδειξης, ότι ο √2 είναι ρητός, δηλαδή ότι √2 = p/q, όπου ρ και q πρώτοι προς αλλήλους ακέραιοι[2]. Τότε: 

p = q√2, ή

p² = 2q².

Αφού ο p² είναι το διπλάσιο ενός ακεραίου, συμπεραίνουμε ότι ο p² και συνεπώς και ο p πρέπει να είναι άρτιος. Έστω λοιπόν p = 2ν.

Τότε η τελευταία εξίσωση γίνεται:

4ν²= 2q² , ή

2ν²  = q²

από την οποία καταλήγουμε ότι το q² και συνεπώς και ο q πρέπει να είναι άρτιος. Αυτό όμως είναι αδύνατο αφού υποθέσαμε ότι οι ρ και q είναι πρώτοι προς αλλήλους. Έτσι η υπόθεση ότι ο √2 είναι ρητός μας οδήγησε σε μια αδύνατη κατάσταση και συνεπώς η υπό­θεση πρέπει να απορριφθεί. Αυτή η απόδειξη ότι ο √2 είναι άρρητος είναι ουσιαστικά αυτή που αναφέρεται στον Αριστοτέλη (384-322 π.Χ.). Σύμφωνα με τον Πλάτωνα (427-347 π.Χ.) μετά την απόδειξη αυτή ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος (περίπου 425 π.Χ.) απέδειξε ότι και οι 

είναι επίσης άρρητοι.

Η ανακάλυψη της ύπαρξης άρρητων αριθμών ανέτρεψε μια άλλη πίστη των αρχαίων Ελλήνων. Δεδομένων δύο ευθύγραμμων τμημά­των η κοινή λογική οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι πρέπει να υπάρ­χει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα, ίσως πολύ πολύ μικρό, που να χωράει ακέραιες φορές σε καθένα από τα δεδομένα ευθύγραμμα τμή­ματα. Το ίδιο πράγματι διαισθάνονται ακόμα και σήμερα όλοι που δεν γνωρίζουν το αντίθετο. Αλλά ας πάρουμε σαν ευθύγραμμα τμή­ματα την πλευρά α και μια διαγώνιο δ ενός τετραγώνου. Αν υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα μ που να χωράει ακέραιες φορές στα α και δ τότε θα έχουμε: α = qμ και δ = pμ, όπου p και q θετικοί αριθ­μοί. Αλλά δ =√2 α , οπότε pμ = qμ√2 . Δηλαδή ρ = q √2 , οπότε ο  √2= ρ/q είναι ρητός αριθμός. Συνεπώς σε αντίθεση με τη διαίσθη­ση υπάρχουν ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα, δηλαδή ευθύγραμμα τμήματα που δεν έχουν κοινή μονάδα μέτρησης.

Ας δώσουμε μια άλλη, γεωμετρική, απόδειξη ότι ο √2  είναι άρρητος αριθμός, δείχνοντας ότι η πλευρά και η διαγώνιος τετραγώ­νου είναι ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα. Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο. Τότε, σύμφωνα με αυτή την υπόθεση, υπάρχει ένα ευθύ­γραμμο τμήμα ΑΡ (βλ. σχήμα 3) τέτοιο ώστε και η διαγώνιος ΑΓ και η πλευρά ΑΒ του τετραγώνου ΑΒΓΔ να είναι ακέραια πολλα­πλάσια του ΑP δηλαδή τα ΑΓ και ΑΒ να είναι ασύμμετρα ως προς ΑΡ. Στην ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΓΒ₁ = ΑΒ και φέρνουμε την Β₁Γ₁ κάθετη στην ΓΑ. Τότε μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα ότι Γ₁Β = Γ₁Β₁ = ΑΒ₁, οπότε το ΑΓ₁ = ΑΒ -ΑΒ₁ και το ΑΒ₁ είναι σύμμετρα ως προς ΑΡ. Αλλά τα ΑΓ₁ και ΑΒ₁ είναι η διαγώνιος και η πλευρά ενός τετραγώνου με πλευρά μικρότερη από το μισό της πλευράς του αρχικού τετραγώνου. Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία αυτή αρκετές φορές θα προκύψει τελικά ένα τετράγωνο του οποίου η διαγώνιος ΑΓν και η πλευρά ΑΒν θα είναι σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα ως προς το ΑΡ και ΑΓν < ΑΡ. Αυτό όμως είναι άτοπο κι έτσι αποδει­κνύεται το θεώρημα.

Σχήμα 3

Διαπιστώνουμε ότι όλοι οι παραπάνω συλλογισμοί που απο­δείχνουν ότι ο √2  είναι άρρητος αριθμός χρησιμοποιούν την έμμεση μέθοδο απόδειξης ή εις άτοπο απαγωγή. Ο διαπρεπής Άγγλος μαθηματικός Τζ. Χ. Χάρντυ (G.H. Hardy, 1877-1947) έχει κάνει μια θαυμάσια παρατήρηση γι' αυτόν τον τύπο απόδειξης. Στο σκά­κι, η κίνηση κατά την οποία προσφέρεται ένα πιόνι στον αντίπαλο είναι ένα κόλπο στο οποίο ένα πιόνι ή ένα άλλο κομμάτι θυσιάζεται για να επιτευχθεί μια πιο πλεονεκτική θέση. Ο Χάρντυ έδειξε ότι η εις άτοπο απαγωγή «είναι ένα πολύ καλύτερο τέχνασμα από αυτό του σκακιού: ο παίχτης στο σκάκι θυσιάζει ένα πιόνι ή ένα άλλο κομμάτι, ενώ ο μαθηματικός θυσιάζει το παιχνίδι)[3]. Η εις άτοπο απαγωγή εμφανίζεται ως το πιο θαυμαστό τέχνασμα που μπορεί να συλλάβει ο ανθρώπινος νους.

Σχήμα 3,4

Μια ενδιαφέρουσα αντιμετώπιση των άρρητων αριθμών βρίσκου­με στους αρχαίους χρόνους όταν οι Έλληνες γεωμέτρες προσπάθη­σαν να κατασκευάσουν κανονικό πολύγωνο πέντε πλευρών. Εύκολα είχαν κατασκευάσει, κανονικά πολύγωνα τριών και τεσσάρων πλευ­ρών, δηλαδή ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο και η κατασκευή κανονικού εξαγώνου δεν παρουσίαζε ασφαλώς καμιά δυσκολία. Αλλά η κατασκευή κανονικού πολυγώνου με πέντε πλευρές —δηλαδή κα­νονικού πενταγώνου— είναι μια εντελώς άλλη υπόθεση. Το ζήτημα είναι να κατασκευαστεί γωνία 36 , αφού το διπλάσιο της η γωνία 72 , είναι η κεντρική γωνία που βρίσκεται απέναντι από κάθε πλευ­ρά του κανονικού και εγγεγραμμένου σε κύκλο πενταγώνου. Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο όταν καθεμιά από τις δύο γωνίες της βάσης του είναι το διπλάσιο της γωνίας της κορυφής του (βλ. σχήμα 4), τότε οι γωνίες της βάσης είναι 72 και η γωνία της κορυφής είναι 36 . Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή ενός τέτοιου ισοσκελούς τριγώνου. Στο σχήμα 4 έστω ΑΓ η διχοτόμος της γωνίας ΟΑΒ της βάσης. Τότε ΟΓ = ΑΓ = ΑΒ και το τρίγωνο ΒΑΓ είναι όμοιο με το ΑΟΒ. Αν πάρουμε το ΟΑ = 1 και ονομάσουμε το ΑΒ= χ, τότε έχουμε διαδοχικά ΑΒ/ΒΓ = ΟΑ/ΑΒ,   χ(1-χ) = 1/χ,    χ²+χ-1 =0.

Αυτό συνεπάγεται: χ = (√5 —1)/2. Η κατασκευή αυτού του χ είναι εύκολη υπόθεση και δίνεται στο σχήμα 5. Στο σχήμα αυτό έχουμε ΟΑ = 1 και ΜΟ = 1/2 και συνεπώς ΑΜ =√5/2 και ΑΒ = ΑΝ = ΑΜ-ΜΝ = (√5-1)/2 = χ.

Η κατασκευή του εγγεγραμμένου κανονικού πενταγώνου είναι τώρα εύκολη.

Όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ (όπως το ΟΒ στο σχήμα 4) διαιρείται από ένα σημείο Γ έτσι. ώστε το μεγαλύτερο τμήμα ΟΓ να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου τμήματος ΓΒ και του όλου τμήματος ΟΒ, δηλαδή όταν:

λέμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ διαιρείται σε χρυσή τομή. Είδα­με παραπάνω ότι αν το χ παριστάνει, έναν από τους λόγους ΓΒ/ΟΓ ή ΟΓ/ΟΒ, τότε χ = ( √5 -1)/2. Αυτός ο αριθμός ή μερικές φορές ο αντίστροφος του y =1/χ = (√5 +1)/2 ≈1,618, ονομάζεται χρυσός λόγος και αυτός ο λόγος φαίνεται, ότι βρίσκεται παντού μέσα στη φύση και αλλού.

Εδώ απλά σημειώνουμε ότι ψυχολογικά τεστ τείνουν να δείξουν πως το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που είναι, πιο ευχάριστο στο μάτι για τους περισσότερους ανθρώπους, είναι αυτό που ο λόγος του πλάτους προς το μήκος του είναι ο χρυ­σός λόγος χ. Αυτό το ορθογώνιο που λέγεται, χρυσό ορθογώνιο είναι θεμελιακό σε μια καλλιτεχνική τεχνική γνωστή ως «δυναμική συμ­μετρία», που έχει μελετηθεί από τον Τζ. Χάμπιτζ (Jay Hambidge) και άλλους. Ο χρυσός λόγος και το χρυσό ορθογώνιο έχουν παρατη­ρηθεί στην ελληνική αρχιτεκτονική και κεραμική και έχουν εφαρμο­στεί στη γλυπτική, τη ζωγραφική, το αρχιτεκτονικό σχέδιο, τη σχε­δίαση επίπλων και την τυπογραφική εμφάνιση. Πλήθος καλλιτέχνες, όπως ο γνωστός Αμερικανός ζωγράφος Τζορτζ Μπέλλοους (George Bellows), έχουν χρησιμοποιήσει εκτενώς στη δουλειά τους τις αρχές της δυναμικής συμμετρίας.

Μια βασική διαφορά μεταξύ ρητών και άρρητων αριθμών συνει­δητοποιήθηκε μετά την επινόηση των δεκαδικών κλασμάτων. Μπο­ρούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι κάθε ρητός αριθμός γράφεται σε δεκαδική μορφή είτε με ένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων είτε με περιοδική επανάληψη μιας ομάδας ψηφίων, και αντίστροφα, κάθε δεκαδική μορφή πεπερασμένη ή περιοδικά επαναλαμβανόμενη παριστάνει ένα ρητό αριθμό. Για παράδειγμα: 7/4 = 1,75 και 47/22 = 2,1363, όπου η γραμμή πάνω από το 63 δηλώνει ότι το δεκαδικό μέρος 63 επαναλαμβάνεται απεριόριστα. Συνεπώς, η δεκαδική παρά­σταση ενός άρρητου αριθμού είναι μη πεπερασμένη και μη επαναλαμβανόμενη και, αντίστροφα, κάθε μη πεπερασμένη και μη επαναλαμβανόμενη δεκαδική μορφή παριστάνει κάποιον άρρητο αριθμό.

Η διάκριση ανάμεσα στις δεκαδικές παραστάσεις των ρητών και των άρρητων αριθμών είναι πολύ χρήσιμη στον προσδιορισμό ορισμέ­νων ιδιοτήτων των αριθμών αυτών. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, πως θέλουμε να αποδείξουμε ότι μεταξύ δύο θετικών άρρητων αριθμών υπάρχει πάντα ένας ρητός. Συμβολίζουμε τους δύο άρρητους με α και β, (0<α<b, και τις δεκαδικές τους παραστάσεις ως

α = α_ο, α_ι,α₂...       και       β = β_ο, β₁,β₂… .

Έστω κ η πρώτη τιμή του ν για την οποία αν  βν (ν = 0, 1, 2,...). Τότε ο αριθμός

γ = β_ο, β₁,β₂... β_κ

είναι ένας ρητός αριθμός μεταξύ α και β.

 

Ένας πραγματικός αριθμός ονομάζεται απλά κανονικός αν όλα τα δέκα ψηφία (0, 1,... 9) εμφανίζονται στη δεκαδική του παράστα­ση με την ίδια συχνότητα. Ονομάζεται δε κανονικός αν όλες οι ομά­δες ψηφίων ίδιου μήκους, εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα. Α­ποτελεί πεποίθηση, αλλά δεν έχει αποδειχτεί ότι οι αριθμοί π, e και √2 , για παράδειγμα, είναι κανονικοί αριθμοί. Για να αποκτήσουμε και στατιστική απόδειξη της υποτιθέμενης κανονικότητας αυτών των αριθμών, έχουμε υπολογίσει τις δεκαδικές τους παραστάσεις μέχρι ένα μεγάλο αριθμό δεκαδικών θέσεων.

Στα 1967, Βρετανοί μαθηματικοί εργαζόμενοι σε έναν υπολο­γιστή προσδιόρισαν 100.000 ψηφία από τη δεκαδική παράσταση του √2. Στα 1971 ο Ζακ Ντούτκα (Jacques Dutka) του Πανεπιστημίου της Κολούμπια υπολόγισε πάνω από ένα εκατομμύριο ψηφία για το √2  — μετά από 47,5 ώρες λειτουργίας του υπολογιστή, η μηχανή κατέγραψε τη δεκαδική παράσταση του √2  με τουλάχιστον 1.000.082 σωστά ψηφία, γεμίζοντας 200 πυκνογραμμένες σελίδες εκτυπωτή, με 5.000 ψηφία σε κάθε σελίδα. Αυτή είναι η μεγαλύτερη προσέγ­γιση άρρητου αριθμού που έγινε ποτέ.

 

Ασκήσεις

5.1  (α) Το σύμβολο της αδελφότητας των πυθαγορείων ήταν το πεντάγραμμο, δηλαδή το αστέρι που σχηματίζεται από τις πέντε διαγώνιους ενός κανονικού πενταγώνου. Αποδείξτε ότι κάθε πλευρά του πενταγράμμου διαιρεί τις άλλες δυο πλευρές που τέμνει σε χρυ­σή τομή.

(β) Αν χ είναι ο χρυσός λόγος (√5 -1)/2 αποδείξτε ότι:

5.2  (α) Κατασκευάστε με κανόνα και διαβήτη ένα κανονικό πεντάγωνο αν δίνεται μία πλευρά του πενταγώνου.

(β) Ας υποθέσουμε ότι οι κ και λ είναι πρώτοι προς αλλήλους θετικοί ακέραιοι και ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη ένα κανονικό κ-γωνο και ένα κανονικό λ-γωνο. Αποδείξτε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε με τον ίδιο τρόπο και ένα κανονικό κλ-γωνο.

(γ) Αποδείξτε την Πρόταση XIII, 10 των Στοιχείων του Ευ­κλείδη: Η πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, ενός κανονικού εξα­γώνου και ενός κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένων στον ίδιο κύ­κλο αποτελούν πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.

5.3  (α) Βρείτε το ρητό αριθμό που έχει δεκαδική παράσταση 3,239.

(β) Αποδείξτε ότι ο αριθμός

0,12345678910111213...,

του οποίου η δεκαδική παράσταση αποτελείται από τους διαδοχι­κούς θετικούς ακέραιους, είναι άρρητος αριθμός.

5.4  (α) Αποδείξτε ότι μεταξύ δύο διαφορετικών ρητών αριθ­μών υπάρχουν άπειροι στο πλήθος ρητοί καθώς και άπειροι το πλή­θος άρρητοι αριθμοί.

(β) Αποδείξτε ότι μεταξύ δυο διαφορετικών άρρητων αριθμών υπάρχουν άπειροι στο πλήθος ρητοί καθώς και άπειροι το πλήθος άρρητοι αριθμοί.

Λύσεις

Σχήμα 6

5.1  (α) Στο σχήμα 6, τα. ισοσκελή τρίγωνα ΔΑΗ και ΘΔΓ είναι

όμοια. Συνεπώς ΑΔ : ΔΗ =ΔΓ : ΘΓ, οπότε ΑΒ : ΔΗ = ΔΗ: ΗΒ.

5.2  (α) Στο σχήμα 6, έστω ΒΘ η δεδομένη πλευρά. Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΠΡΣ με καθέτους ΠΣ και ΡΣ ίσες με ΒΘ και ΒΘ/2 αντίστοιχα. Στην ΠΡ που προκύ­πτει, σημειώστε το Τ ώστε Ρ Τ = ΡΣ. Τότε ΠΤ = ΗΒ = ΗΓ= ΘΓ, κ.ο.κ.

(β) Επειδή οι κ και λ είναι πρώτοι προς αλλήλους, υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α και β, ώστε ακ - βλ = ±1. Συνεπώς η διαφορά ανάμεσα στη γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο και βαίνει σε α πλευρές ενός κ-γώνου και στη γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο και βαίνει σε β πλευρές ενός λ-γώνου είναι: α·(360°/κ) -β·(360°/λ) = (ακ - βλ)·(360°/κλ) = ±360°/κλ

(γ) Έστω α, β, γ τα μήκη των πλευρών ενός κανονικού πεντα­γώνου, δεκαγώνου και εζαγώνου αντίστοιχα, εγγεγραμ­μένων σε κύκλο με μοναδιαία ακτίνα. Τότε γ =1, β = ( - 1)/2. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση β και τις ίσες πλευρές να έχουν μήκος 1, έστω κ το ύφος πάνω σε μία από τις ίσες πλευρές και λ η προβολή της βάσης πάνω στην ίδια πλευρά. Τότε.

λ² = β²-κ²,   κ²=1-(1-λ²)

από τις οποίες παίρνουμε: α² = 4κ² = 4β² - β⁴. Δείξτε

τώρα ότι α² = ρ²  + γ²

5.3.   (α) Έστω χ = 3,2  και y = 0, . Τότε 10χ = 32+y, 1000χ

= 3239 + y. Με απαλοιφή του y=0,39 βρίσκουμε 990χ = 3207 ή χ = 3207/990.

(β) Η ανάπτυξη ούτε τελειώνει ούτε επαναλαμβάνεται.

Σχετική Βιβλιογραφία

1.  Hambidge Jay, The Elements of Dynamic Symmetry. New York: Dover Publications, 1976.

2.  Heath T.L., History of Greek Mathematics, 2 τομ. New York: Oxford University Press, 1931.

3.  Huntley H.E., The Divine Proporation, a Study of Mathematical Beauty, New York: Dover Publications, 1970.

---

[1]  Δύο ακέραιοι είναι πρώτοι προς αλλήλους αν δεν έχουν κοινό θετικό και ακέραιο διαιρέτη, εκτός από τη μονάδα. Έτσι οι 5 και 18 είναι πρώτοι προς αλλήλους, ενώ οι 12 και 18 δεν είναι.

---

[2]   Στο βιβλίο γίνεται το εξής σχόλιο: Οι ρητοί αριθμοί λέγονται από το ratio (= λόγος). Έτσι οι αριθμοί που δεν είναι rational (δηλαδή δε γράφονται με τη μορφή λόγου) είναι irrational (το πρόθεμα ir είναι στερη­τικό). Κάτι αντίστοιχο ισχύει και στα ελληνικά, όπου ρητός είναι αυτός που μπορεί να εκφραστεί. Σύμφωνα λοιπόν με μια άποψη οι ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να εκφραστούν (πεπερασμένο πλήθος ψηφίων ή απεριό­ριστο αλλά περιοδικά επαναλαμβανόμενο) ενώ οι άρρητοι αυτοί που δεν μπορούν (Σ.τ.μ.).

---

[3] G.H. Hardy, A Mathematician's Apology, New York: Cambridge University Press, 1941, σελ. 34