Η βίβλος των μαθηματικών

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 π.Χ., η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές. Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος, ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής. Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλε­ξάνδρεια, λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 π.Χ. άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επαν­δρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης, που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα.

Ο Ευκλείδης, από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντα του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκα­τρία βιβλία ή μέρη, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιω­ματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώ­τος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματι­κών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρ­ξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων*. Τα Στοιχεία. του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυ­πωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θε­μελίωσης των μαθηματικών.

Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα-κλειδιά που χρησιμοποιού­νται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης· είναι τα θεωρή­ματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα· τα γράμ­ματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτά­σεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα.

Ο Ευκλείδης

G.LORIA.  Ιστορία των Μαθηματικών

Η πρώτη εξέχουσα προσωπικότης, η οποία απαντάται εις την υπ’ όψει εποχήν, είναι συγχρόνως ο διασημότερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών: Ο Ευκλείδης (δεν πρέπει να συγχέε­ται με τον Ευκλείδη τον Μεγαρικόν, φιλόσοφον σύγχρονον του Σωκρά­τους και Πλάτωνος). Γεννηθείς εις την Αλεξάνδρειαν και ακμάσας κατά το έτος 300 π.Χ., διήγε βίον ήσυχον υπό την σκιάν των νέων Φαραώ, χρησιμοποιών τον χρόνον του άλλοτε εις ίδιας μαθηματικός έρευνας, άλ­λοτε εις περισυλλογήν των πορισμάτων προγενεστέρων ερευνών και άλλοτε εις προφορικήν διάδοσιν τούτων από τής έδρας, η οποία του είχεν ανατεθή εις το Μουσείον¹.

Ελλείπουν άλλαι λεπτομερέστεροι πληροφορίαι περί της ζωής του, αν εξαιρέσωμεν τας πολύ ολίγας και μικράς αξιοπιστίας ειδήσεις εξ αρα­βικών πηγών. Από τον σχολιαστήν Πάππον (3ος αιών μ.Χ.) μανθάνομεν περί του χαρακτήρος του, ότι ήτο πράος, ιδιότης άλλωστε συνήθης μεταξύ των μαθηματικών, και ότι ακόμη είχε μίαν ιδιαιτέραν τάσιν να μεταδίδη εις τους μεταγενεστέρους τα επιτεύγματα των προγενεστέρων χωρίς να επιφέρη εις αυτά μεταβολάς.

Η μεγίστη δημοτικότης του Ευκλείδου στηρίζεται κατά μέγιστον μέ­ρος εις τα Στοιχεία, ένα έργον, το όποιον επί μακρούς αιώνας εχρησίμευσε (και δεν έπαυσε να είναι μέχρι σήμερον) το βασικόν κείμενον διδασκαλίας του μαθήματος της γεωμετρίας εις τα περιφημότερα σχολεία. Ένα έργον, το όποιον εις αριθμόν εκδόσεων και μεταφράσεων δύναται ν' ανταγωνισθή την θείαν Κωμωδίαν* του Δάντη και ίσως υπολεί­πεται μόνον της  Αγίας   Γραφής.

Τα Στοιχεία διαιρούνται εις δεκατρία βιβλία, περιλαμβάνοντα, έκτος πολυαρίθμων αρχικών προτάσεων, 93 προβλήματα και 372 θεωρήματα. Το έργον, περιελθόν εις ημάς διά μέσου αναρίθμητων αντιγραφέων κατά κα­νόνα αναρμόδιων και ενίοτε ασυνειδήτων, υπέστη φθοράς και αλλοιώσεις, αι oποίαι εδόθησαν εις φως υπό των ειδικών της κλασικής φιλολογίας και των γνωριζόντων την αραβικήν γλώσσαν. Κατ' ευτυχή συγκυρίαν, τα καθησυ­χαστικά συμπεράσματα, εις τα όποια ούτοι ομοφώνως κατέληξαν, βεβαιώνουν ότι το υφ' ημών κατεχόμενον κείμενον ελάχιστα διαφέρει του αρχικού πρω­τοτύπου, εις τρόπον ώστε τούτο δύναται να θεωρηθή εν τω συνόλω του σύμφωνον προς το χειρόγραφον του μεγάλου αλεξανδρινοί) συγγραφέως του.

Ως είναι πολύ φυσικόν, το βιβλίον Ι των Στοιχείων του Ευκλείδου αρχίζει με μίαν σειράν πρώτων εννοιών, ορισμών και αιτημάτων, τα όποια υπήρξαν αντικείμενον οξυτάτης αναλύσεως εκ μέρους μαθηματικών και φιλοσόφων και εναντίον των οποίων κατά προτίμησιν εστράφησαν τα βέλη της κριτικής, ήτις επεσήμανε σοβαρά ελαττώματα εις την ουσία ν, εις την μορφήν και εις την διάταξιν. Μολονότι είναι ανάγκη ν' αναγνωρίσωμεν ότι τοιαύται παρατηρήσεις δεν στερούνται βάσεως, πρέπει, χάριν εντιμότητος και δικαιοσύνης, να λάβωμεν υπ' όψιν ότι αύται πιθανώς δεν θίγουν τον Ευκλείδη, άλλα κάποιον πολύ αφελή αντιγραφέα, ο όποιος ανίκανος να τροποποίηση τους συλλογισμούς του Ευκλείδου, δεν εδίστασε να μεταβάλη την σειράν εκθέσεως των αρχικών εννοιών και προτάσεων των Στοιχείων.

Ευκλείδης ο Αλεξανδρεύς

Ε. Σταμάτη

Διάσημος μαθηματικός της αρχαιότητος. Περί του βίου του γνωρίζομεν μόνον ότι έζησε και ήκμασεν εν Αλεξάνδρεια περί το 300 π.Χ. επί βασιλείας Πτολεμαίου του Α', παρά του οποίου ετιμάτο πολύ. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι «Πτολεμαῖος, ἢρετό ποτε αὐτόν, εἴ τίς ἐστίν περί γεωμετρίαν ὁδός συντομωτέρα τῆς στοιχειώσεως» (ο Πτολεμαίος ηρώτησεν αυτόν κάποτε, εάν υπάρχη τρόπος να μάθη κανείς την γεωμετρίαν συντομώτερον παρά εάν σπουδάση την στοιχείωσιν) (Στοιχεία ελέγετο, ως γνωστόν, το βιβλίον της γεωμετρίας του Ευκλείδου). «Ὁ δέ ἀπεκρίνατο, μή εἶναι βασιλικήν ἀτραπόν ἐπί γεωμετρίαν» (ο δε Ευκλείδης απήντησεν ότι δεν υπάρχει ιδιαίτερος τρόπος δια τους βασιλείς, δια να σπουδάσουν την γεωμετρίαν).

Άραβες συγγραφείς αναφέρουν ότι ο Ευκλείδης εγεγννήθη εις την Τύρον εκ πατρός Ναυκράτου και πάππου Ζηνάρχου. Αι πληροφορίαι όμως αύται δεν θεωρούνται ακριβείς, διότι οι ίδιοι συγγραφείς αναφέρουν ότι ο Πυθαγόρας ήτο μαθητής του Σολομώντος, ότι ο Ίππαρχος ήτο Χαλδαίος και ότι οι Έλληνες μαθηματικοί είχον επιγραφήν, έξω της σχολής των, «μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω». Προφανής σύγχυσις εκ της επιγραφής της Ακαδημίας του Πλάτωνος.

Το έργον του Ευκλείδου: Ως σπουδαιότατον έργον του Ευκλείδου θεωρούνται τα «Στοιχεῖα», αποτελούμενα εκ 13 βιβλίων. Περί τούτων ο Πρόκλος γράψει τα έξης : «Εὐκλείδης, ὁ τά Στοιχεῖα συναγαγών καί πολλά μέν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλά δέ τῶν Θεαίτητου τελεωσάμενος, ἔτι δέ τά μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθεν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών» (ο Ευκλείδης, ο όποιος συνήθροισε τα Στοιχεία (της γεωμετρίας) και πολλά μεν παραχθέντα υπό του Ευδόξου συνέταξε, πολλά δε παραχθέντα υπό του Θεαίτητου απετελείωσε, προσέτι δε μερικά εκ των πρώτων (θεωρημάτων), άτινα δεν είχον αυστηράς αποδείξεις, διετύπωσεν εις αδιασείστους αποδείξεις).

Υπό τον όρον «Στοιχεῖα» ο Ευκλείδης εξέδωκε παν ό,τι παρήγαγες ή ελληνική επιστήμη εις την γεωμετρίαν και την θεωρίαν των αριθμών επί σειράν όλην αιώνων. Φαίνεται ότι προ του Ευκλείδου τοιούτον έργον είχον εκδώσει ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο Θεύδιος και άλλος τις. Τα «Στοιχεῖα» όμως του Ευκλείδου επεσκίασαν τας προηγούμενος εκδόσεις και ουδείς μεταγενέστερος του Ευκλείδου κατώρθωσε να υπερβάλη ταύτα εις πληρότητα, και τελειότητα αυστηράς και συστηματικής διατυπώσεως. Και απλώς ως εκδότης εάν θεωρηθή ο Ευκλείδης, το έργον του τούτο τον αναδεικνύει μέγαν μαθηματικόν. Ουδεμία όμως ένδειξις υπάρχει ότι εις τα «Στοιχεῖα» δεν περιλαμβάνονται πρωτότυποι εργασίαι του Ευκλείδου. Τουναντίον πιστεύεται ότι πολλά θεωρήματα των «Στοιχείων» είναι το πρώτον αποδεδειγμένα υπό του Ευκλείδου. Έκτος των 13 βιβλίων των «Στοιχείων» υπάρχουν και δύο ακόμη βιβλία, το 14ον και το 15ον, τα όποια άλλοτε εθεωρούντο του Ευκλείδου. Εκ τούτων το πρώτον έχει συνταχθή υπό του μαθηματικού Υψικλέους, ακμάσαντος περί το 150 π.Χ., και το δεύτερον εις πολύ μεταγενέστερον χρόνον (περίπου τον 6ον αιώνα μ.Χ.). Δεύτερον έργον του Ευκλεί­δου σώζεται το υπό τον τίτλον «Δεδομένα», το όποιον περιέχει εφαρμογάς και συμπληρώσεις των θεωρημάτων των «Στοιχείων». Τρίτον έργον του Ευκλείδου, μνημονευόμενον υπό του Πρόκλου, είναι το «Περί διαιρέσεων». τούτο ανευρέθη διατυπωμένον εν τη λατινική γλώσση κατά τα μέσα του 16ου αιώνος, προερχόμενον όμως ουχί εκ του ελληνικού κειμένου, αλλ' εξ αραβικής μεταφράσεως. Επί πλέον εφέρετο τούτο εις την μετάφρασιν αυτήν ως έργον του Άραβος Μωχάμμετ Μπαγναντίν. Ολίγον βραδύτερον ανευρέθη εις Παρίσιους τμήμα του έργου «Περί διαιρέσεως» εις την αραβικήν, το όποιον είναι συμπλήρωμα του εις την λατινικήν ευρεθέντος και συμφωνεί προς τα σημειούμενα υπό του Πρόκλου εις τα «Περί διαιρέσεων» βιβλίον. Εις το έργον τούτο ο Ευκλείδης πραγματεύεται τομάς γεωμετρικών σχημάτων.