Επί του μαθηματικού χωρίου του Θεαιτήτου του Πλάτωνος, υπό Ευαγγέλου Σταμάτη

Google Drive

Κόσκινο του Ερατοσθένους

Ο Ερατοσθένης μνημονεύεται στην αριθμητική για την μέθοδο γνωστή σαν κόσκινο  με την οποία βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από κάποιον αριθμό ν.

Α’ τρόπος: Γράφουμε στη σειρά ξεκινώντας από το 3 όλους τους περιττούς αριθμούς τους μικρότερους του ν. Οι σύνθετοι αριθμοί απορρίπτονται διαγράφοντας από το 3 κάθε τρίτο αριθμό, μετά από τον επόμενο αριθμό που έμεινε, από το 5 κάθε πέμπτο μετά από τον επόμενο αριθμό το 7 κάθε έβδομο αριθμό μετά από το επόμενο αριθμό που έμεινε, το 11 και κάθε ενδέκατο κ.ο.κ όλοι οι αριθμοί που έμειναν μετά το τέλος αυτής της διαδικασίας μαζί με το 2 είναι οι πρώτοιοι μικρότεροι του ν.

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
23	24	27	29	31	33	35	37	39	41
43	45	47

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
23	24	27	29	31	33	35	37	39	41
43	45	47

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
23	24	27	29	31	33	35	37	39	41
43	45	47

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
23	24	27	29	31	33	35	37	39	41
43	45	47

Οι εναπομείναντες αριθμοί   3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 μαζί με το 2 είναι οι πρώτοι οι μικρότεροι του 50.

ΑΝΑΣΤΗΛΩΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΤΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΤΟΥ ΚΥΡΗΝΑΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΑΣΥΜΜΕΤΡΟ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ

 Η διαπίστωση ότι υπάρχουν ασύμμετρα μήκη ως προς τη μονάδα του μήκους έγινε από τη Σχολή του Πυθαγόρα τον 5ο π.Χ. αιώνα. Δεν γνωρίζομε πώς ανακάλυψαν το σπουδαιότατο αυτό εύρημα το οποίον αναφέρεται ως προς την διαγώνιο και την πλευρά ενός τετραγώνου, που έχουν λόγο ρίζα 2 . Από τότε όμως η φήμη της Σχολής εσημείωσε παρακμή επειδή επρέσβευε ότι οι ακέραιοι αριθμοί (και οι ρητοί) έχουν κοσμογονική δύναμη τόσο στα φαινόμενα της Φύσης όσο και στα γεγονότα της ανθρώπινης κοινωνίας. Η ανακάλυψη του ασύμμετρου (λέμε και αρρήτου) της 2 επεκτάθηκε και στην απόδειξη του αρρήτου και άλλων τετρ. ριζών μη τετραγώνων φυσικών αριθμών και η σχετική διδασκαλία γινόταν από τον γεωμέτρη Θεόδωρο τον Κυρηναίο περί τα τέλη του 5ου αιών. στην Αθήνα...

Η Μάχη Της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας Με Το Άπειρο

Από την πολύ μακρινή αρχαιότητα, όλοι οι παλαιοί πολιτισμοί είχαν συγκεντρώσει ένα πλήθος εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων. Οι γνώσεις αυτές ήταν προϊόν των προβλημάτων της ζωής και της παραγωγής τους. Με τους αιώνες οι γνώσεις αυτές αυξάνονταν και σωρεύονταν για να καλύπτουν τις Λογιστικές, Ναυπηγικές και Αρχιτεκτονικές τους ανάγκες.

Κατά τη συγκέντρωση αυτών των εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων κάποια στιγμή διαπιστώθηκε ότι κάποιες από τις γνώσεις αυτές αλληλοσυγκρούονταν δηλαδή μερικές από αυτές αναιρούσαν κάποιες άλλες. Τότε ασφαλώς θα γεννήθηκε το θέμα ποιες από τις γνώσεις αυτές ήταν αληθείς και ποιες όχι.

Το φαινόμενο αυτό φυσικό είναι να παρουσιάστηκε στον πολιτισμό εκείνο που παρουσίασε τη μεγαλύτερη συσσώρευση μαθηματικών γνώσεων. Πρώτος αυτός θα πρέπει να ένιωσε την ανάγκη να επινοήσει μια διαδικασία με την οποία να επιβεβαιώνει ή να απορρίπτει τις προϋπάρχουσες εμπειρικές μαθηματικές γνώσεις.

Σήμερα δεν μπορούμε να ξέρουμε πόσο χρόνο πήρε η επινόηση αυτής της διαδικασίας επαλήθευσης, μπορούμε όμως να γνωρίζουμε ότι η διαδικασία αυτή, με το όνομα ΑΠΟΔΕΙΞΗ, εμφανίστηκε από τον ελληνικό πολιτισμό τον 7-6 αι. π.Χ.⁽¹⁾

Η απόδειξη μιας μαθηματικής πρότασης, όπως την ξέρουμε σήμερα, είναι μια διαδικασία η οποία στηριγμένη σε κάποιες αρχές της Λογικής, σε κάποιες προϋπάρχουσες αληθινές προτάσεις και κάποια αξιώματα και ορισμούς, οδηγεί στην επιβεβαίωση της πρότασης με την οποία ασχολείται. Η απόδειξη δεν ανακαλύπτει μαθηματικές αλήθειες, απλά επιβεβαιώνει ή απορρίπτει τον ισχυρισμό μιας πρότασης.

Μετά την εισαγωγή της απόδειξης οι μαθηματικές γνώσεις που υπήρχαν άρχισαν να οργανώνο­νται και να παίρνουν τη μορφή επιστήμης. Οι θεμελιωτές της επιστήμης αυτής και ειδικότερα της Γεωμετρίας που προηγήθηκε, έπρεπε να ορίσουν τις έννοιες του κάθε κλάδου και ακόμη να δεχτούν κά­ποιες αρχικές προτάσεις σαν αληθινές. Οι προτάσεις αυτές θα έπρεπε να είναι φανερά αληθινές, αυτονόητες, κοινά αποδεκτές ώστε να μπορέσουν να αποτελέσουν το θεμέλιο της επιστήμης να είναι τόσο αληθινές όσο, παραδείγματος χάριν, ότι ο Ήλιος είναι θερμός...

Οι αριθμοί στη φιλοσοφία του Πλάτωνα: Μια οπτική της Αριστοτελικής κριτικής

Η παρούσα εργασία αφορά την κριτική, την οποία άσκησε ο Αριστοτέλης κατά της θεωρίας του Πλάτωνα, σχετικά με την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών.
Στέφος Ευστάθιος, Διπλ. Ηλ/γος Μηχ/κός, Τσαβέ Αθανασία, Φιλόλογος Καθηγητές Γυμνασίου Ιαλυσού, Ρόδος.

Στόχος αυτής της εργασίας είναι ο σχολιασμός της κριτικής, που άσκησε ο Αριστοτέλης κατά της θεωρίας του Πλάτωνα, σχετικά με την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών. Βέβαια, οι αριθμοί δεν φορούν το φιλοσοφικό τους μανδύα για πρώτη φορά στην αρχαία Ελλάδα. Στη βραχμανική φιλοσοφία το Τριμούρτι, γνωστό ως Βράχμα, Βισνού και Σίβα – σύμβολα αντιστοίχως των δημιουργικών, συντηρητικών και καταστρεπτικών δυνάμεων της Φύσης – αποτελεί την τριαδική μορφή της Δυνάμεως του Σύμπαντος. Όταν αυτός ο τριπλός Θεός γίνεται Σαρίρα, λαμβάνει μια ορατή μορφή και τυποποιεί όλες τις αρχές της Ύλης, όλα τα σπέρματα της ζωής. Τότε είναι ο Θεός των τριών προσώπων ή η τριπλή δύναμη, η ουσία της Βεδικής Τριάδας.

Αυτή η μυστικιστική πλευρά του τρία στους Βραχμάνους δεν αποτελεί τη μόνη “σκοτεινή” πλευρά των αριθμών. Η Μονάδα, στη θεωρία του Πυθαγόρα, αφού δημιουργήσει τη Δυάδα, αποσύρεται στη σιωπή και το σκότος, δημιουργώντας έτσι την Τριάδα. Η απόκρυφη Δεκάδα (1+2+3+4=10) είναι ένας τρόπος έκφρασης αυτής της ιδέας. Το Ένα είναι ο Θεός. Το Δύο, η Ύλη. Το Τρία, συνδυάζοντας Μονάδα και Δυάδα και συναίτιος στη φύση και των δύο είναι ο φαινομενικός Κόσμος. Η Τετράδα ή η τέλεια μορφή εκφράζει την παντελή κενότητα ενώ η Δεκάδα, το συνολικό άθροισμα, περιλαμβάνει ολόκληρο τον Κόσμο.

Βλέπουμε, λοιπόν, πως οι Βραχμανικές ιδέες συμπίπτουν σε αρκετά σημεία με τις προ-χριστιανικές Εθνικές Φιλοσοφίες και με τον ίδιο τον Χριστιανισμό. Ομοίως, η αριθμοσοφία, η ερμητική γεωμετρία, η αστρολογία και όλες σχεδόν οι θρησκείες διέπονται από μια “Πλατωνική ιδεολογία” των αριθμών (Davis – Hersh, 110-130).

Ο Πλάτωνας δηλώνει ξεκάθαρα πως, οτιδήποτε ορατό, δημιουργήθηκε ή εξελίχθηκε από την αόρατη και αιώνια βούληση και κατά το δικό της τρόπο. Ο Ουρανός – μας λέει – δημιουργήθηκε σύμφωνα με το αιώνιο πρότυπο του «Ιδεατού Κόσμου», που περιλαμβάνεται, όπως όλα, στο δωδεκάεδρο, το γεωμετρικό σχήμα που χρησιμοποίησε η Θεότητα. Κατά τον Πλάτωνα, το Πρωταρχικό Ον είναι απορροή του Δημιουργικού Νου, που εμπεριέχει από καταβολής την «Ιδέα» του «κόσμου που προώρισται να δημιουργηθεί» και αυτήν την Ιδέα την γεννά αφ’ εαυτού. Οι νόμοι της Φύσης είναι οι εδραιωμένες σχέσεις αυτής της Ιδέας προς τις μορφές εκδήλωσής της (Κάλφας, 17-174).

Πλάτων και Αριστοτέλης για τα Μαθηματικά

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την απόδειξη. Μια ιστορική επομένως ανασκόπηση της φιλοσοφίας των μαθηματικών είναι φυσιολογικό να αρχίζει από εκεί.
Σύμφωνα με τον Thomas Kuhn για να κατανοήσουμε παλαιότερες εργασίες οφείλουμε να ξεχάσουμε την τρέχουσα επιστήμη και να εμβαπτισθούμε στην ανατραπείσα θεωρία, της οποίας τμήματα είναι οι προαναφερθείσες εργασίες. Ένας όμως σύγχρονος μαθηματικός δεν χρειάζεται να αναδιοργανώσει τη σκέψη του για να μελετήσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα οποία μοιάζουν με τις σύγχρονες εργασίες. Σήμερα είναι παραδεκτό πως τα Στοιχεία είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα.

Ο Κόσμος του Είναι

Πρόκειται για μια σύντομη περιγραφή της θεωρίας των Ιδεών του Πλάτωνα. Έχουμε πχ εικόνες του ωραίου παρόλα αυτά τίποτα δεν είναι απολύτως ωραίο. Ο υλικός κόσμος έχει ψεγάδια. Υπάρχει όμως ο κόσμος των Μορφών (Ιδεών), αιώνιος και αναλλοίωτος στον οποίο υπάρχει η «όντως Ομορφιά», η «'Οντως Δικαιοσύνη» κλπ. Οι ιδέες είναι οντολογικά υπαρκτές όχι νοητικά κατασκευάσματα. Έτσι ο Πλάτων δεν θα συμφωνούσε με την άποψη ότι η ομορφιά ή δικαιοσύνη κλπ βρίσκονται στο τρόπο που βλέπει κανείς τα πράγματα. Ο φυσικός κόσμος ονομάζεται κόσμος του γίγνεσθαι γιατί υπόκειται σε αλλαγή και στη φθορά, κατανοείται δε με τις αισθήσεις.

Πώς κατά τον Πλάτωνα αντιλαμβανόμαστε τις Μορφές, δηλ. ποια είναι η επιστημολογία του; Τις αντιλαμβανόμαστε μέσω της νόησης. Στον έργο του «Μένων», ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η «μάθηση» στην πραγματικότητα είναι ανάμνηση από τη ζωή της ψυχής στον κόσμο της Αληθείας, πριν εισέλθει στο σώμα.
Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του Είναι.

Ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά

Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία.
Η ιεράρχηση στην οντολογία του Πλάτωνα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι πριν εισέλθει στο σώμα.
Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων.

 Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας, πως γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων.
Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία, διατήρησαν την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο.

Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του Είναι.

Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομάζετο αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή.

Ο Σωκράτης και ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά

Ο Πλάτωνας θαύμαζε τα επιτεύγματα των μαθηματικών. Δεν ήταν όμως ίδια η στάση του Σωκράτη.
Ο Σωκράτης ενδιαφερόταν για την πολιτική και ηθική και όχι για την επιστήμη. Συζητούσε με τον καθένα που ήθελε και αυτό το έπραττε σε καθημερινή βάση. Στη συζήτηση προχωρούσε προσεκτικά, εκμαιεύοντας το πιστεύω του συνομιλητή του και κατόπιν προχωρούσε σε απροσδόκητες και ανεπιθύμητες συνέπειες αυτού του πιστεύω. Η όλη συζήτηση βοηθούσε στο ξεκαθάρισμα των αντιλήψεων.
Αντίθετα ο ώριμος Πλάτων, ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά και διατείνεται ότι είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να μάθει κάποιος, αφού είναι χρήσιμα σε όλες τις τέχνες αλλά και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας. Υποστήριζε ότι με τα μαθηματικά μπορούσε να περάσει κάποιος την πύλη που οδηγεί στο όντως Είναι. Με τα μαθηματικά οι άρχοντες θα περάσουν από τον κόσμο του γίγνεσθαι στον κόσμο του Είναι. Για αυτό συνιστούσε πολύχρονη μελέτη των μαθηματικών, των οποίων η γνώση προϋποτίθετο για την ενασχόληση με την φιλοσοφία.
Ο Πλάτωνας δεν πιστεύει ότι η φιλοσοφία είναι για τον οποιονδήποτε. Στην ιδανική του πολιτεία, ελάχιστοι συμμετέχουν στον φιλοσοφικό στοχασμό, ενώ η συντριπτική πλειοψηφία παίρνει τις οδηγίες από αυτούς κοιτώντας την δουλειά της. Έφθανε στο σημείο να υποστηρίξει ότι η φιλοσοφία είναι ακόμη και επικίνδυνη για τις μάζες.
Τα μαθηματικά προχωρούν με την μέθοδο της αποδείξεως, ενώ η Σωκρατική μεθοδολογία προχωρά με την μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Έτσι προϊόντος του χρόνου η μέθοδος του Σωκράτη εγκαταλείπεται από τον Πλάτωνα, ο οποίος θέλγεται από την χωρίς περιπλοκές μαθηματική μεθοδολογία την οποία θέλει να εφαρμόσει σε όλη την γνώση. Μετά τις σπουδές στα μαθηματικά και την φιλοσοφία κάποιοι θα συναντήσουν και κατανοήσουν τις Μορφές, ανεξάρτητα από παραδείγματα του υλικού κόσμου, φθάνοντας σε μη υποθετικές πρώτες αρχές.

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 1,2,3,4 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΑΡΧΑΙΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟΝ - ΜΕΤΑΦΡΑΣΙΣ

Κατὰ τὸ 1902 ὁ περίφημος Οὖγγρος μαθηματικὸς Bolyai, εἰς ἐκ τῶν ἱδρυτῶν τῆς ὑπερβολικῆς γεωμετρίας, ἔγραψεν, ὅτι εἶχε διαπιστώσει 1700 ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου  εἰς διαφόρους γλώσσας καὶ ἐντὸς διαστήματος 1900 ἐτῶν. Γενικῶς ὅμως πιστεύεται, ὅτι αἱ ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου ὑπερβαίνουν κατὰ πολὺ τὸν ἀριθμὸν τοῦτον. Εἰς τὴν Δυτικὴν Εὐρώπην ἡ ἔκδοσις τῶν Στοιχείου ἔγινε τὸ πρώτον κατὰ τὴν ἐποχὴν τῆς  Ἀναγεννήσεως ἐξ ἀραβικῶν ἐκδόσεων. Ἀπασαι αὗται ἐστηρίζοντο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων γενομένην ἐν Ἀλεξάνδρεια κατὰ τὸν 4ον μ.Χ. αἰώνα ὑπὸ τοῦ μαθηματικοῦ Θέωνος, πατρὸς τῆς μαθηματικοῦ καὶ φιλοσόφου Ὑπατίας. Κατὰ τὸ 1808 μετεφέρθησαν ἐκ τοῦ Βατικανοῦ ὑπὸ τοῦ Ναπολέοντος εἰς Παρισίους πολλοὶ ἑλληνικοὶ κώδικες, μεταξύ των ὅποιων ὃ F. Peyrard ἀνεκάλυψεν ἕνα, φερόμενον σήμερον ὑπὸ τὸ ὄνομα κῶδιξ Βατικανὸς ὓπ΄ ἄριθ. 190, ὅστις περιεῖχε τὰ Στοιχεῖα τοῦ Εὐκλείδου.

Ὁ κῶδιξ οὗτος ἐστηρίζετο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων πολὺ παλαιοτέραν τῆς ἐκδόσεως τοῦ Θέωνος (ὁ κῶδιξ ἐπεστράφη εἰς τὸ Βατικανὸν τὸ 1814). Ἀπὸ τὸν κώδικα τοῦτον διεπιστώθησαν τὸ πρώτον αἱ μεταβολαί, τὰς ὅποιας εἶχεν ἐπιφέρει ὁ Θέων, καὶ ἐσημειώθησαν αὗται ὑπὸ τοῦ Ε. F. August κατὰ τὴν ἔκδοσιν ὑπὸ τοῦτον τῶν Στοιχείων τὴν γενομένην κατὰ τὸ 1829.

Κατὰ τὸ 1882 - 1888 ὃ Δανὸς I. L. Heiberg τὴ σννεργασία τοῦ Γερμανοῦ Η. Μenge ἐξέδωκεν ἐν Λειψία τὰ ἔργα τὸν Εὐκλείδου. Ἐκ τὸν προλόγου τοῦ πρώτου τόμου τῶν Στοιχείων ὑπὸ τὸν J. L. Heiberg παραθέτομεν ἐδῶ τα σπουδαιότερα μέρη…

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 1,2,3,4 - Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

Εναλλακτικά:
GoogleDocs

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 5,6,7,8,9 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΟ 10 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 11,12,13 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 5,6,7,8,9 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΑΡΧΑΙΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟΝ - ΜΕΤΑΦΡΑΣΙΣ

Κατὰ τὸ 1902 ὁ περίφημος Οὖγγρος μαθηματικὸς Bolyai, εἰς ἐκ τῶν ἱδρυτῶν τῆς ὑπερβολικῆς γεωμετρίας, ἔγραψεν, ὅτι εἶχε διαπιστώσει 1700 ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου  εἰς διαφόρους γλώσσας καὶ ἐντὸς διαστήματος 1900 ἐτῶν. Γενικῶς ὅμως πιστεύεται, ὅτι αἱ ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου ὑπερβαίνουν κατὰ πολὺ τὸν ἀριθμὸν τοῦτον. Εἰς τὴν Δυτικὴν Εὐρώπην ἡ ἔκδοσις τῶν Στοιχείου ἔγινε τὸ πρώτον κατὰ τὴν ἐποχὴν τῆς  Ἀναγεννήσεως ἐξ ἀραβικῶν ἐκδόσεων. Ἀπασαι αὗται ἐστηρίζοντο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων γενομένην ἐν Ἀλεξάνδρεια κατὰ τὸν 4ον μ.Χ. αἰώνα ὑπὸ τοῦ μαθηματικοῦ Θέωνος, πατρὸς τῆς μαθηματικοῦ καὶ φιλοσόφου Ὑπατίας. Κατὰ τὸ 1808 μετεφέρθησαν ἐκ τοῦ Βατικανοῦ ὑπὸ τοῦ Ναπολέοντος εἰς Παρισίους πολλοὶ ἑλληνικοὶ κώδικες, μεταξύ των ὅποιων ὃ F. Peyrard ἀνεκάλυψεν ἕνα, φερόμενον σήμερον ὑπὸ τὸ ὄνομα κῶδιξ Βατικανὸς ὓπ΄ ἄριθ. 190, ὅστις περιεῖχε τὰ Στοιχεῖα τοῦ Εὐκλείδου.

Ὁ κῶδιξ οὗτος ἐστηρίζετο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων πολὺ παλαιοτέραν τῆς ἐκδόσεως τοῦ Θέωνος (ὁ κῶδιξ ἐπεστράφη εἰς τὸ Βατικανὸν τὸ 1814). Ἀπὸ τὸν κώδικα τοῦτον διεπιστώθησαν τὸ πρώτον αἱ μεταβολαί, τὰς ὅποιας εἶχεν ἐπιφέρει ὁ Θέων, καὶ ἐσημειώθησαν αὗται ὑπὸ τοῦ Ε. F. August κατὰ τὴν ἔκδοσιν ὑπὸ τοῦτον τῶν Στοιχείων τὴν γενομένην κατὰ τὸ 1829.

Κατὰ τὸ 1882 - 1888 ὃ Δανὸς I. L. Heiberg τὴ σννεργασία τοῦ Γερμανοῦ Η. Μenge ἐξέδωκεν ἐν Λειψία τὰ ἔργα τὸν Εὐκλείδου. Ἐκ τὸν προλόγου τοῦ πρώτου τόμου τῶν Στοιχείων ὑπὸ τὸν J. L. Heiberg παραθέτομεν ἐδῶ τα σπουδαιότερα μέρη…

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 5,6,7,8,9 - Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

Εναλλακτικά:
GoogleDocs

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΟ 10 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 11,12,13 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΟ 10 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΑΡΧΑΙΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟΝ - ΜΕΤΑΦΡΑΣΙΣ

Κατὰ τὸ 1902 ὁ περίφημος Οὖγγρος μαθηματικὸς Bolyai, εἰς ἐκ τῶν ἱδρυτῶν τῆς ὑπερβολικῆς γεωμετρίας, ἔγραψεν, ὅτι εἶχε διαπιστώσει 1700 ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου  εἰς διαφόρους γλώσσας καὶ ἐντὸς διαστήματος 1900 ἐτῶν. Γενικῶς ὅμως πιστεύεται, ὅτι αἱ ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου ὑπερβαίνουν κατὰ πολὺ τὸν ἀριθμὸν τοῦτον. Εἰς τὴν Δυτικὴν Εὐρώπην ἡ ἔκδοσις τῶν Στοιχείου ἔγινε τὸ πρώτον κατὰ τὴν ἐποχὴν τῆς  Ἀναγεννήσεως ἐξ ἀραβικῶν ἐκδόσεων. Ἀπασαι αὗται ἐστηρίζοντο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων γενομένην ἐν Ἀλεξάνδρεια κατὰ τὸν 4ον μ.Χ. αἰώνα ὑπὸ τοῦ μαθηματικοῦ Θέωνος, πατρὸς τῆς μαθηματικοῦ καὶ φιλοσόφου Ὑπατίας. Κατὰ τὸ 1808 μετεφέρθησαν ἐκ τοῦ Βατικανοῦ ὑπὸ τοῦ Ναπολέοντος εἰς Παρισίους πολλοὶ ἑλληνικοὶ κώδικες, μεταξύ των ὅποιων ὃ F. Peyrard ἀνεκάλυψεν ἕνα, φερόμενον σήμερον ὑπὸ τὸ ὄνομα κῶδιξ Βατικανὸς ὓπ΄ ἄριθ. 190, ὅστις περιεῖχε τὰ Στοιχεῖα τοῦ Εὐκλείδου.

Ὁ κῶδιξ οὗτος ἐστηρίζετο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων πολὺ παλαιοτέραν τῆς ἐκδόσεως τοῦ Θέωνος (ὁ κῶδιξ ἐπεστράφη εἰς τὸ Βατικανὸν τὸ 1814). Ἀπὸ τὸν κώδικα τοῦτον διεπιστώθησαν τὸ πρώτον αἱ μεταβολαί, τὰς ὅποιας εἶχεν ἐπιφέρει ὁ Θέων, καὶ ἐσημειώθησαν αὗται ὑπὸ τοῦ Ε. F. August κατὰ τὴν ἔκδοσιν ὑπὸ τοῦτον τῶν Στοιχείων τὴν γενομένην κατὰ τὸ 1829.

Κατὰ τὸ 1882 - 1888 ὃ Δανὸς I. L. Heiberg τὴ σννεργασία τοῦ Γερμανοῦ Η. Μenge ἐξέδωκεν ἐν Λειψία τὰ ἔργα τὸν Εὐκλείδου. Ἐκ τὸν προλόγου τοῦ πρώτου τόμου τῶν Στοιχείων ὑπὸ τὸν J. L. Heiberg παραθέτομεν ἐδῶ τα σπουδαιότερα μέρη…

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΟ 10 - Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

Εναλλακτικά:
GoogleDocs

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 11,12,13 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 11,12,13 Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΑΡΧΑΙΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟΝ - ΜΕΤΑΦΡΑΣΙΣ

Κατὰ τὸ 1902 ὁ περίφημος Οὖγγρος μαθηματικὸς Bolyai, εἰς ἐκ τῶν ἱδρυτῶν τῆς ὑπερβολικῆς γεωμετρίας, ἔγραψεν, ὅτι εἶχε διαπιστώσει 1700 ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου  εἰς διαφόρους γλώσσας καὶ ἐντὸς διαστήματος 1900 ἐτῶν. Γενικῶς ὅμως πιστεύεται, ὅτι αἱ ἐκδόσεις τῶν Στοιχείων τὸν Εὐκλείδου ὑπερβαίνουν κατὰ πολὺ τὸν ἀριθμὸν τοῦτον. Εἰς τὴν Δυτικὴν Εὐρώπην ἡ ἔκδοσις τῶν Στοιχείου ἔγινε τὸ πρώτον κατὰ τὴν ἐποχὴν τῆς  Ἀναγεννήσεως ἐξ ἀραβικῶν ἐκδόσεων. Ἀπασαι αὗται ἐστηρίζοντο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων γενομένην ἐν Ἀλεξάνδρεια κατὰ τὸν 4ον μ.Χ. αἰώνα ὑπὸ τοῦ μαθηματικοῦ Θέωνος, πατρὸς τῆς μαθηματικοῦ καὶ φιλοσόφου Ὑπατίας. Κατὰ τὸ 1808 μετεφέρθησαν ἐκ τοῦ Βατικανοῦ ὑπὸ τοῦ Ναπολέοντος εἰς Παρισίους πολλοὶ ἑλληνικοὶ κώδικες, μεταξύ των ὅποιων ὃ F. Peyrard ἀνεκάλυψεν ἕνα, φερόμενον σήμερον ὑπὸ τὸ ὄνομα κῶδιξ Βατικανὸς ὓπ΄ ἄριθ. 190, ὅστις περιεῖχε τὰ Στοιχεῖα τοῦ Εὐκλείδου.

Ὁ κῶδιξ οὗτος ἐστηρίζετο εἰς ἔκδοσιν τῶν Στοιχείων πολὺ παλαιοτέραν τῆς ἐκδόσεως τοῦ Θέωνος (ὁ κῶδιξ ἐπεστράφη εἰς τὸ Βατικανὸν τὸ 1814). Ἀπὸ τὸν κώδικα τοῦτον διεπιστώθησαν τὸ πρώτον αἱ μεταβολαί, τὰς ὅποιας εἶχεν ἐπιφέρει ὁ Θέων, καὶ ἐσημειώθησαν αὗται ὑπὸ τοῦ Ε. F. August κατὰ τὴν ἔκδοσιν ὑπὸ τοῦτον τῶν Στοιχείων τὴν γενομένην κατὰ τὸ 1829.

Κατὰ τὸ 1882 - 1888 ὃ Δανὸς I. L. Heiberg τὴ σννεργασία τοῦ Γερμανοῦ Η. Μenge ἐξέδωκεν ἐν Λειψία τὰ ἔργα τὸν Εὐκλείδου. Ἐκ τὸν προλόγου τοῦ πρώτου τόμου τῶν Στοιχείων ὑπὸ τὸν J. L. Heiberg παραθέτομεν ἐδῶ τα σπουδαιότερα μέρη…

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - ΒΙΒΛΙΑ 11,12,13 - Ε. ΣΤΑΜΑΤΗ

Εναλλακτικά:
GoogleDocs