Αρχιμήδους Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου. Howard Eves

Ο στοχαστής και ο κακοποιός

Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ».

Είναι εκπληκτικό πόσες από τις σημαντικές εξελίξεις των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής έχουν την προέλευση τους σε εργασίες που έγιναν δυο χιλιετηρίδες πριν, από τους αρχαίους Έλληνες· όπως άρεσε στον Τζούλιαν Λόουελ Κούλιτζ (Julian Lowell Coolidge), το διάσημο γεωμέτρη του Χάρβαρντ που έζησε στις αρχές του αιώνα μας, να λέει: «Τότε στη γη κατοικούσαν γίγαντες». Δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία πως ο μεγαλύτερος από όλους αυτούς τους γίγαντες ήταν ο περίφημος Αρχιμήδης από τις Συρακούσες, ένας άνθρωπος με απίστευτο μαθηματικό ταλέντο. Σ' αυτή τη διάλεξη θα δούμε ότι ο Αρχιμήδης βρίσκοντας, με τα περιορισμένα μέσα που είχε στη διάθεση του, τα εμβαδά ορισμένων καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων και τα εμβαδά και τους όγκους ορισμένων καμπύλων επιφανειών έβαλε τα θεμέλια του ολοκληρωτικού λογισμού, που πολλά πολλά χρόνια αργότερα έμελλε να προχωρήσει προς την τελειοποίηση του με τους Κέπλερ (Kepler), Καβαλιέρι (Cavalieri), Φερμά (Fermat), Ουόλλις (Wallis), Μπάρροου (Barrow), Λάιμπνιτς (Leibnitz) και Νεύτωνα.

Ο Αρχιμήδης, από την ελληνική πόλη της Σικελίας Συρακούσες, γεννήθηκε περίπου στα 287 π.Χ. και πέθανε όταν οι Ρωμαίοι κυρίευαν τις Συρακούσες στα 212 π.Χ. Ήταν γιος αστρονόμου και απολάμβανε την εκτίμηση του τυράννου των Συρακουσών Ιέρωνα.

Πιστεύουν ότι έμεινε μερικά χρόνια στο Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας στην Αίγυπτο, γιατί ανάμεσα στους φίλους του ανέφερε και τους Κόνωνα, Δοσίθεο και Ερατοσθένη, που και οι τρεις ήταν μέλη του περίφημου αυτού πανεπιστημίου. Πολλές από τις μαθηματικές ανακαλύψεις του Αρχιμήδη είχαν ανακοινωθεί σ' αυτούς τους ικανούς απογόνους του Ευκλείδη.

Έχουν καταγραφεί πολλά ανέκδοτα σχετικά με τον Αρχιμήδη από μεταγενέστερους ρωμαίους ιστορικούς. Υπάρχουν αίφνης περιγραφές έξυπνων επινοήσεων του Αρχιμήδη για την ενίσχυση της άμυνας των Συρακουσών στη διάρκεια της δίχρονης πολιορκίας της από τον αποτυχημένο ρωμαίο στρατηγό Μάρκελλο. Περιγράφονται καταπέλτες με ρυθμιζόμενα βεληνεκή, βλητικοί πόλοι τοποθετημένοι πάνω σε βάσεις με τροχούς που μεταφέρονταν γρήγορα σε κάθε σημείο των τειχών της πόλης και από εκεί έριχναν τεράστια βάρη εναντίον εχθρικών πλοίων, και τεράστιοι κινητοί γερανοί που σήκωναν σκάφη των κατακτητών από τη θάλασσα και τα έκαναν κομμάτια. Το ανέκδοτο ότι ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε μεγάλους συγκλίνοντες φακούς για να βάλει φωτιά στα πανιά των εχθρικών πλοίων διατυπώθηκε αργότερα, αλλά μπορεί να είναι αλήθεια. Λένε ακόμα πως ο Αρχιμήδης καυχιόταν: «δώστε μου ένα μέρος να σταθώ και θα κινήσω τη Γη», ενώ καθόταν αναπαυτικά σ' ένα κάθισμα στην ακρογιαλιά και κουνούσε, χωρίς καμιά προσπάθεια και με το ένα χέρι, με μια σύνθετη τροχαλία ένα βαρύ πλοίο μέσα στη θάλασσα.

Ο Αρχιμήδης, όπως και άλλοι μεγάλοι μαθηματικοί, μπορούσε να πετύχει μεγάλο βαθμό πνευματικής συγκέντρωσης και λέγονται πολλά ανέκδοτα που δείχνουν πόσο αποκοβόταν από το περιβάλλον του όταν ήταν συγκεντρωμένος σε κάποιο πρόβλημα. Πιο συχνά αναφέρουν το ανέκδοτο του τυράννου Ιέρωνα με κάποιον ύποπτο χρυσοχόο. Ο Ιέρωνας παράγγειλε σ' ένα χρυσοχόο ένα χρυσό στέμμα. Όταν όμως αυτό τελείωσε, ο τύραννος φοβήθηκε πως ο χρυσοχόος είχε αντικαταστήσει ένα μέρος του χρυσού με ασήμι. Καθώς δεν ήθελε να χαλάσει το στέμμα για να ξεκαθαρίσει το ζήτημα αυτό, ανέφερε το πρόβλημα στον Αρχιμήδη, ο οποίος μια μέρα ενώ βρισκόταν στα λουτρά της πόλης βρήκε το κλειδί της λύσης ανακαλύπτοντας τον πρώτο νόμο της υδροστατικής: Κάθε σώμα που βυθίζεται σε υγρό που ισορροπεί, δέχεται τόση άνωση όσο είναι το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώμα. Μέσα στη χαρά της ανακάλυψης του, βγήκε από το λουτρό και ξεχνώντας να ντυθεί, έτρεξε σπίτι μέσα από τους δρόμους της πόλης φωνάζοντας Εύρηκα! Εύρηκα!

Πολλές από τις ανακαλύψεις του ο Αρχιμήδης τις έκανε πάνω σε σχήματα που σχεδίαζε στις στάχτες της θράκας ή στο στρώμα του λαδιού που έβαζε στο σώμα του όταν τελείωνε το λουτρό του. Ρωμαίοι ιστορικοί αναφέρουν ότι το τέλος του ήρθε μια μέρα όταν, απορροφημένος με ένα γεωμετρικό σχήμα που είχε σχεδιάσει σ' ένα δίσκο με άμμο και καθώς οι φρουροί απρόσεχτα είχαν χαλαρώσει την επιτήρηση τους, ο Μάρκελλος και οι άνδρες του έσπασαν τον κλοιό της πολιορκημένης πόλης. Σύμφωνα με μια εκδοχή, όταν ο ίσκιος ενός ρωμαίου στρατιώτη έπεσε πάνω στο σχήμα, ο Αρχιμήδης ένευσε στον ανεπιθύμητο επισκέπτη πίσω του να μην καταστρέψει το σχήμα^[1], οπότε εκείνος εξαγριωμένος κάρφωσε το σπαθί του στο σώμα του γέρου άντρα.

Δέκα πραγματείες του Αρχιμήδη έχουν φτάσει ως εμάς και υπάρχουν ίχνη μερικών ακόμα χαμένων εργασιών. Οι πραγματείες που σώζονται, όλες αριστουργήματα μαθηματικής έκθεσης, γραμμένα με τελειότητα και μεγάλη οικονομία στην παρουσίαση, έχουν μεγάλη πρωτοτυπία, υπολογιστική επιδεξιότητα και αυστηρότητα στις αποδείξεις. Η πιο αξιοσημείωτη ίσως προσφορά αυτών των εργασιών στα μαθηματικά είναι η πρώτη ανάπτυξη των διαδικασιών το ολοκληρωτικού λογισμού. Ας στρέψουμε λοιπόν τώρα την προσοχή μας σ' αυτό το μεγάλο επίτευγμα.

Αρκετές από τις εργασίες του Αρχιμήδη χρησιμοποιούν διαδικασίες ισοδύναμες με την εκτέλεση μιας γνήσιας ολοκλήρωσης. Εδώ θα ασχοληθούμε με δύο μόνο από αυτές τις εργασίες — τις πιο αγαπημένες εργασίες του Αρχιμήδη: Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου και μια άλλη που βρέθηκε μόλις πρόσφατα, με τον τίτλο Έφοδος. Στην πρώτη εργασία, γραμμένη σε δύο βιβλία και με 60 συνολικά προτάσεις, εμφανίζονται για πρώτη φορά στα μαθηματικά σωστές εκφράσεις για το εμβαδόν σφαίρας και σφαιρικής ζώνης μιας βάσης και για τον όγκο σφαίρας και σφαιρικού τμήματος μιας βάσης. Οι περιπτώσεις του εμβαδού και του όγκου σφαίρας διατυπώνονται εντυπωσιακά σ' ένα πόρισμα των Προτάσεων 33 και 34 του Βιβλίου Ι: Ο κύλινδρος με βάση ίση με ένα μέγιστο κύκλο της σφαίρας και ύφος ίσο με μια διάμετρο της σφαίρας έχει συνολική επιφάνεια (παράπλευρη επιφάνεια μαζί με τις δυο βάσεις) ακριβώς ίση με τα 3/2 της επιφάνειας της σφαίρας και όγκο ακριβώς ίσο με τα 3/2 του όγκου της σφαίρας. Από αυτή την πρόταση προκύπτουν εύκολα οι γνωστοί τύποι:

για το εμβαδόν Ε και τον όγκο V σφαίρας ακτίνας r. Οι ιδέες της ολοκλήρωσης βρίσκονται στην αλυσίδα των προτάσεων που, ευφυώς, οδηγούν βήμα βήμα σ' αυτά τα αποτελέσματα. Εδώ, στη θέση της άμεσης και εύπλαστης μεθόδου των ορίων, βρίσκουμε την έμμεση και δύσχρηστη αλλά εξίσου εξυπηρετική διπλή εις άτοπο απαγωγή, που είναι γνωστή ως μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου. Αν και σε μια πιο εκτεταμένη σειρά διαλέξεων η μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου θα είχε μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών, στο βιβλίο αυτό αποφεύγουμε να παρουσιάσουμε τη μέθοδο και συνεπώς μαζί μ' αυτή να μελετήσουμε την έξυπνη απόδειξη που έδωσε ο Αρχιμήδης για τους παραπάνω τύπους του εμβαδού και του όγκου σφαίρας^[2]. Αντί γι' αυτές θα εξετάσουμε λεπτομερειακά μια εξήγηση που δίνει ο Αρχιμήδης στην εργασία του Έφοδος, στην οποία μας λέει πώς έφτασε στους τύπους αυτούς για πρώτη φορά. Αυτή η επεξήγηση δεν περιέχει μόνο ιδέες ολοκλήρωσης αλλά προσφέρει επίσης μια ενδιαφέρουσα μέθοδο ανακάλυψης.

Η Έφοδος του Αρχιμήδη ήταν χαμένη για πολύ καιρό και γνωστή μόνο από αναφορές σ' αυτή, μέχρι που στα 1906 ανακαλύφθηκε στην Κωνσταντινούπολη ένα αντίγραφο της, του 10ου αιώνα, από το διακεκριμένο Γερμανό ιστορικό των μαθηματικών Τζ. Λ. Χάιμπεργκ (J.L. Heiberg). Η εργασία που βρέθηκε ήταν ένα παλίμψηστο, δηλαδή χειρόγραφο σε περγαμηνή που μερικούς αιώνες αργότερα ξαναχρησιμοποιήθηκε αφού πρώτα καθαρίστηκε το μελάνι, αλλά με το πέρασμα του χρόνου το πρώτο κείμενο επανεμφανίστηκε κάτω από το πιο πρόσφατο. Η εργασία έχει τη μορφή επιστολής που απευθύνεται στον Ερατοσθένη στο Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας.

Η μέθοδος της εξάντλησης, αν και αυστηρή, είναι στείρα μέθοδος· δηλαδή, από τη στιγμή που ένας τύπος είναι γνωστός, η μέθοδος της εξάντλησης προσφέρει ένα θαυμάσιο εργαλείο για την απόδειξη του τύπου, αλλά η ίδια η μέθοδος δεν προσφέρεται για την αρχική ανακάλυψη του τύπου^[3]. Με ποιόν τρόπο τότε ανακάλυψε ο Αρχιμήδης τους τύπους που βρίσκονται στην πραγματεία του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, για παράδειγμα, που τόσο καθαρά απέδειξε εκεί με τη μέθοδο της εξάντλησης; Την απάντηση τη δίνει ο ίδιος ο Αρχιμήδης στην Έφοδο.

Η βασική ιδέα της μεθόδου του Αρχιμήδη (γνωστή περισσότερο ως μέθοδος της ισορροπίας) είναι η εξής: για να βρούμε ένα ζητούμενο εμβαδόν ή όγκο κόβουμε την επιφάνεια ή το σώμα σ' ένα πολύ μεγάλο αριθμό λεπτές, παράλληλες και επίπεδες λωρίδες ή λεπτές παράλληλες φέτες και (νοητά) κρεμάμε αυτά τα κομμάτια στο ένα άκρο δεδομένου μοχλού με τέτοιον τρόπο, ώστε αυτά να βρίσκονται σε ισορροπία με ένα σχήμα του οποίου η περιεκτικότητα και το κέντρο βάρους είναι γνωστά. Για να καταλάβουμε καλά αυτή τη μέθοδο ας τη χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τον όγκο μιας σφαίρας.

Έστω r η ακτίνα της σφαίρας. Τοποθετούμε τη σφαίρα έτσι ώστε η πολική της διάμετρος να βρίσκεται πάνω σ' έναν οριζόντιο άξονα x και ο βόρειος πόλος της Β στην αρχή του (βλέπε σχήμα 1). Κατασκευάζουμε τον κύλινδρο και τον κώνο εκ περιστροφής που προκύπτει αν περιστρέψουμε το ορθογώνιο ΒΚΛΝ που έχει διαστάσεις 2rχxr και το τρίγωνο ΒΜΝ (που είναι ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με σκέλη μήκους 2r) γύρω από τον άξονα x. Στη συνέχεια κόβουμε από τα τρία στερεά λεπτές κάθετες φέτες (θεωρούμε ότι είναι επίπεδοι κύλινδροι) σε απόσταση x από το Β και με πάχος Δx. Οι φέτες αυτές έχουν προσεγγιστικά όγκους

σφαίρα: πx(2r - x)Δx,^[4]

κύλινδρος: πρ2Δx,

κώνος: πx² Δx.

Παίρνουμε τώρα αντίστοιχες φέτες από τη σφαίρα και τον κώνο και τις κρεμάμε από τα κέντρα τους στο Τ, όπου ΤΒ = 2r. Οι δύο αυτές φέτες μαζί έχουν ως προς Β ροπή^[5]

[πx(2r – x)Δx + πx²Δx] = 4πr²xΔx

Παρατηρούμε ότι η ροπή αυτή είναι τέσσερις φορές η ροπή της φέτας που κόπηκε από τον κύλινδρο όταν αυτή αφεθεί εκεί που βρίσκεται. Προσθέτοντας ένα μεγάλο αριθμό από τέτοιες φέτες βρίσκουμε:

2r[όγκος σφαίρας + όγκος κώνου] = 4r[όγκος κυλίνδρου]

ή

ή

Αυτός, όπως μας λέει στην   Έφοδο, ήταν ο τρόπος με τον οποίο ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τον τύπο που δίνει τον όγκο σφαίρας. Η μαθηματική του συνείδηση όμως δεν του επέτρεπε να δεχτεί μια τέτοια μέθοδο σαν απόδειξη και έτσι έδωσε μια αυστηρή απόδειξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εξάντλησης.

Σχήμα 1

Στη μέθοδο της ισορροπίας του Αρχιμήδη διαπιστώνουμε τη γονιμότητα της με ασάφεια θεμελιωμένης ιδέας να θεωρούμε ότι ένα μέγεθος συντίθεται από ένα μεγάλο αριθμό μικρών κομματιών. Δε χρειάζεται να πούμε ότι, με τη σύγχρονη θεωρία των ορίων, η μέθοδος της ισορροπίας του Αρχιμήδη μπορεί να γίνει απόλυτα αυστηρή και είναι ουσιαστικά η ίδια με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης που χρησιμοποιούμε σήμερα. Ασφαλώς, από κάθε άποψη, η εργασία αυτή του Αρχιμήδη είναι μια αληθινά μεγάλη στιγμή των μαθη­ματικών.

Σχήμα 2

Ο Αρχιμήδης αγαπούσε τόσο πολύ την εργασία του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, ώστε είπε ότι θα ήθελε όταν πεθάνει να χαραχτεί στον τάφο του το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο, όπως στο σχήμα 2. Ο Μάρκελλος είχε αναπτύξει τέτοιο θαυμασμό και εκτίμηση για τον Αρχιμήδη ως αντίπαλο που κατάφερνε για καιρό να βγαίνει νικητής κατά την πολιορκία των Συρακουσών, ώστε, όταν έμαθε πως πέθανε με την πτώση της πόλης, τον έθαψε με μεγάλη μεγαλοπρέπεια και τελετές και έστησε στον τάφο του μια πέτρινη στήλη πάνω στην οποία ήταν σκαλισμένο το σχήμα που είχε ζητήσει ο Αρχιμήδης. Πολλά χρόνια αργότερα, όταν ο Κικέρωνας επισκέφτηκε τις Συρακούσες σαν ρωμαίος ταμίας' για να εισπράξει φόρους, κανείς δεν ήξερε να τον οδηγήσει στον τάφο του Αρχιμήδη. Μετά από πολλές έρευνες βρήκε την ταφόπετρα ανάμεσα σε ψηλούς βάτους και ξανάφτιαξε το έδαφος γύρω από τον τάφο. Με το πέρασμα του χρόνου όμως, ο τάφος παραμελήθηκε και όλα έδειχναν ότι με την αύξηση της πόλης ο τάφος θα χανόταν οριστικά. Στα 1965 όμως, σκάβοντας για τη θεμελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες, ο ατμοκίνητος εκσκαφέας σήκωσε μια ταφόπετρα με το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο σκαλισμένο πάνω. Για άλλη μια φορά ο τάφος του μεγαλύτερου Συρακούσιου είχε βρεθεί.

Ο Τσεχοσλοβάκος επιστήμονας Πετρ Μπέκμαν (Petr Beckmann), που σήμερα βρίσκεται στο τμήμα ηλεκτρολόγων μηχανολόγων του Πανεπιστημίου του Κολοράντο, θεωρεί ότι η ιστορία δημιουργείται κυρίως μέσα από μια θανατηφόρα σύγκρουση ανάμεσα σε δυο τάξεις ανθρώπων, των στοχαστών και των κακοποιών. Γι' αυτές τις δύο τάξεις ο Μπέκμαν έχει διατυπώσει το νόμο που θα μπορούσε να ονομαστεί νόμος του Μπέκμχν: «Στη σύγκρουση μεταξύ στοχαστών και κακοποιών, οι κακοποιοί πάντα κερδίζουν αλλά οι στοχαστές επιζούν πάντα των αντιπάλων τους». Για παράδειγμα, οι Έλληνες και συγκεκριμένα ο Αρχιμήδης ήταν στοχαστές, ενώ οι Ρωμαίοι και συγκεκριμένα ο Μάρκελλος ήταν κακοποιοί. Στη διαμάχη ανάμεσα στον Αρχιμήδη και το Μάρκελλο ο Μάρκελλος κέρδισε, αλλά τα επιτεύγματα του Αρχιμήδη θα επιζούν πέρα από οτιδήποτε έκανε ο Μάρκελλος. Ο σερ Γουίλλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (Sir William Rowan Hamilton), o μεγαλύτερος Ιρλανδός μαθηματικός, παρατήρησε κάποτε για την κρίσιμη αυτή σύγκρουση: «Ποιος δε θα προτιμούσε τη φήμη του Αρχιμήδη από του κατακτητή του Μάρκελλου;» Ακόμα ο Βρετανός φιλόσοφος Άλφρεντ Νορθ Χουάιτχεντ (Alfred North Whitehead) παρατήρησε σχετικά με το θάνατο του Αρχιμήδη: «Κανένας Ρωμαίος δεν πέθανε ποτέ στοχαζόμενος πάνω από ένα γεωμετρικό σχήμα». Τέλος, ενώ ο νόμος του Μπέκμαν εγγυάται πως η ανθρώπινη μνήμη του Αρχιμήδη ξεπερνάει την ανθρώπινη μνήμη του Μάρκελλου, ο διάσημος Βρετανός αριθμοθεωρίστας Τζ. Χ. Χάρντυ μας βεβαιώνει ότι ανάμεσα και στους ίδιους τους Έλληνες

στοχαστές «η μνήμη του Αρχιμήδη θα παραμένει ζωντανή όταν η μνήμη του Αισχύλου θα έχει σβήσει, γιατί οι γλώσσες πεθαίνουν όχι όμως και οι μαθηματικές ιδέες».

Σε μια πιο εκτεταμένη σειρά διαλέξεων πάνω στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών ο Αρχιμήδης θα εμφανιζόταν πάνω από μία φορά, γιατί ήταν αυτός που ξεκίνησε τη μακρόχρονη ιστορία του επιστημονικού υπολογισμού του π και ήταν αυτός που έγραψε τα πρώτα αξιόλογα κείμενα πάνω στη μαθηματική φυσική. Σε μια επόμενη διάλεξη θα επιστρέψουμε στο Βιβλίο II της εργασίας του Αρχιμήδη Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, για να το σχολιάσουμε σχετικά με τη λύση κυβικών εξισώσεων.

1 «Μη μου τους κύκλους τάραττε» (Σ.τ.μ.).

2 Από αυτή την άποψη, η μέθοδος της εξάντλησης μοιάζει πολύ _/ με τη μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής που οι μαθητές διδάσκονται στην άλγεβρα.

3 Πρέπει όμως να πούμε ότι η μέθοδος του Αρχιμήδη, βελτιωμένη από τη σύγχρονη θεωρία των ορίων, βρίσκεται σε όλα σχεδόν τα σχολικά βιβλία στερεομετρίας.

4 Επειδή ακτίνα αυτής της φέτας είναι η μέση ανάλογος των, χ και 2γ-χ.

5 Η ροπή ενός όγκου ως προς ένα σημείο είναι το γινόμενο του όγκου επί την απόσταση του σημείου από το κέντρο βάρους του όγκου.

Ασκήσεις

9.1 Ο πρώτος νόμος της υδροστατικής είναι η Πρόταση 7 του Βιβλίου Ι του έργου Περί οχουμένων του Αρχιμήδη, (α) Έστω ότι ένα στέμμα βάρους β κιλών αποτελείται από β₁ κιλά χρυσό και β₂ κιλά ασήμι. Υποθέτουμε ότι όταν ζυγιστούν στο νερό τα β-κιλά χρυσού χάνουν κι κιλά, τα β κιλά ασήμι χάνουν κ₂ και το στέμμα χάνει κ κιλά. Αποδείξτε ότι:

(β) Υποθέτουμε ότι το στέμμα που αναφέραμε στο (α) όταν βυθι­στεί στο νερό εκτοπίζει όγκο ν κυβικών εκατοστομέτρων και ότι κομμάτια από καθαρό χρυσό και καθαρό ασήμι με το ίδιο βάρος του στέμματος όταν βυθιστούν στο νερό εκτοπίζουν αντί­στοιχα όγκους ν₁ και ν₂. Αποδείξτε ότι

9.2 Υποθέτοντας ότι ισχύει το θεώρημα: το εμβαδόν σφαιρικής

Σχήμα 3

ζώνης είναι ίσο με το γινόμενο της περιφέρειας ενός μέγιστου κύκλου επί το ύψος της ζώνης, αποδείξτε το γνωστό τύπο που δίνει το εμβαδόν της σφαίρας και το θεώρημα: το εμβαδόν ζώνης μιας βάσης είναι ίσο με το εμβαδόν ενός κύκλου που έχει ακτίνα τη χορ­δή του τόξου που παράγει την ζώνη.

9.3 Έστω ότι μας δίνονται δυο καμπύλες (χ) και (λ) και ένα σημείο Ο. Ας υποθέσουμε ακόμη ότι επιτρέπουμε στον εαυτό μας να σημειώσει σε δοσμένο κανόνα, ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΑ και μετά να τον τοποθετήσει έτσι ώστε να περνά από το Ο, και το Κ να πέσει στην (χ) και το Α στην (λ). Η ευθεία που ορίζει ο κανόνας λέμε ότι κατασκευάστηκε με «νεύση». Προβλήματα που δεν λύνο­νται με τα ευκλείδεια όργανα (κανόνα και διαβήτη) μπορούν να λυθούν αν επιτρέπουμε στον εαυτό μας και την χρήση νεύσης. Δείξ­τε την ορθότητα της ακόλουθης κατασκευής, με νεύση.

Έστω ΑΟΒ επίκεντρη γωνία σε έναν δοσμένο κύκλο. Από το Β φέρουμε γραμμή ΒΓΔ που ξανατέμνει τον κύκλο στο Γ, την προέκταση της ΑΟ στο Δ και είναι τέτοια ώστε ΓΑ = Ο Α. Τότε ισχύει: (γωνία ΑΔΒ) =1/3· (γωνίας ΑΟΒ).

Η παραπάνω κατασκευή της τριχοτόμησης γωνίας προκύπτει από ένα θεώρημα που διατύπωσε ο Αρχιμήδης.

9.4 Με τον έλικα του Αρχιμήδη μπορούμε να δώσουμε μια έξυπνη λύση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού (δηλαδή στο πρό­βλημα της κατασκευής ενός τετραγώνου που να έχει εμβαδόν ίσο με αυτό ενός δεδομένου κύκλου)· από ό,τι γνωρίζουμε ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε πράγματι τον έλικά του γι ' αυτόν το σκοπό. Με δυναμικούς όρους, μπορούμε να ορίσουμε τον έλικα ως το γεωμετρικό τόπο ενός σημείου P που κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια αχτίνα, η οποία με τη σειρά της περιστρέφεται με σταθερή επίσης ταχύτητα πάνω σ' ένα επίπεδο γύρω από την αρχή της. Αν πάρουμε σαν θέση αναφοράς τη θέση Ο Α της περιστρεφόμενης αχτί­νας όταν το P ταυτίζεται με την αρχή Ο της ακτίνας, τότε το ΟΡ

Σχήμα 4

είναι ανάλογο με τη γωνία ΑΟΡ και η πολική εξίσωση του έλικα είναι p = αθ, όπου α η σταθερά αναλογίας.

Δείξτε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να κατασκευάσουμε, με τη βοήθεια του έλικα του Αρχιμήδη, ένα τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίσο με αυτό του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα α.

9.5    Δείξτε με ποιον τρόπο, χρησιμοποιώντας τον έλικα του Αρχιμήδη, μπορούμε να χωρίσουμε μια γωνία ΑΟΒ σε τρεις (ή γενικά σε περισσότερες) ίσες γωνίες.

9.6     Άραβες μελετητές έχουν αποδώσει στον Αρχιμήδη το«θεώρημα της σπασμένης χορδής» που λέει ότι αν στο σχήμα 4, οι ΑΒ και ΒΓ απαρτίζουν μια σπασμένη χορδή ενός κύκλου, με ΒΓ>ΑΒ, και αν το Μ είναι το μέσο του τόξου ΑΒΓ, τότε το ίχνος Ν της καθέτου από το Μ πάνω στην ΒΓ είναι το μέσον της σπασμέ­νης χορδής ΑΒΓ.

(α) Αποδείξτε το θεώρημα της σπασμένης χορδής.

(β) Αν ονομάσουμε το τόξο ΜΓ = 2x και το τόξο ΒΜ = 2y, απο­δείξτε διαδοχικά ότι ΜΓ = 2ημx, ΒΜ = 2ημy, ΑΒ = 2ημ (x-y), ΝΓ = 2ημx συνy, ΝΒ = 2ημy συνx. Αποδείξτε τώρα ότι το θεώρημα της σπασμένης χορδής δίνει την ταυτότητα

ημ(x-y) = ημx συνy-ημy συνx.

Υποδείξεις για την λύση.

9.1 (α) Τa β₁ κιλά καθαρού χρυσού θα χάσουν β₁κ₁/β κιλά όταν ζυγιστούν μέσα στο νερό. Τα β₁ κιλά από καθαρό ασήμι θα χάσουν β₂κ₂/β κιλά όταν ζυγιστούν μέσα στο νερό. Συνεπώς β₁κ₁/β +β₂κ₂=κ

 (β) κ:κ₁:κ₂=ν:ν₁:ν₂

Σχήμα5

9.2 Αν α είναι η χορδή του τόξου που παράγει τη ζώνη, τότε α² = (2p)-(h)

9.4 Στο σχήμα 5, ΟΡ = τοξ ΑΒ. Συνεπώς, αν πάρουμε το ΟΡ κάθετο στο ΟΑ, τότε το ΟΡ θα έχει μήκος ίσο με το ένα τέταρτο της περιφέρειας του κύκλου. Επειδή το εμβαδόν Κ του κύκλου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της ακτίνας του και της περιφέρειαςτου, έχουμε Κ=(α/2)(4ΟΡ)=2α(ΟΡ)  και έτσι η πλευρά του ζητουμένου τετραγώνου είναι η μέση ανάλογος των 2α και ΟΡ, δηλαδή της διαμέτρου του κύκλου και του μήκους του διανύσματος του έλικα που είναι κάθετος στο Ο Α.

9.5   Έστω ότι το ΟΒ τέμνει τον έλικα στο P και τριχοτομεί το τμήμα ΟΡ με τα σημεία Ρι και Ρ2. Αν οι κύκλοι (Ο, ΟΡ₁) και (Ο, ΟΡ₂) τέμνουν τον έλικα στα Τ₁ και Τ₂, τότε τα ΟΤ₁ και ΟΤ₂ τριχοτομούν τη γωνία ΑΟΒ.

9.6   (α) Προεκτείνετε την ΓΒ μέχρι ένα σημείο Ε, τέτοιο ώστε BE = ΒΑ. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΜΒΑ και ΜΒΕ είναι ίσα.

Σχετική Βιβλιογραφία

1.   Dijksterhuis E.J., Archimedes. New York: Humanities Press. 1957.

2.   Heath T.L., The Works of Archimedes. New York: Cambridge Univ­ersity Press, 1912, επανέκδοση από Dover, New York.