Ζήνων ο Εεάτης

Ζήνων ο Εεάτης. Από το βιβλίο «Οι προσωκρστικοί» του Θεόφυλου Βείκου.

α. Εισαγωγικά

O Ζήνων ο Eλελατης γεννήθηκε, με βάση τη μαρτυρία του Πλάτωνα¹²⁷ ανάμεσα στα χρόνια 490 και 485 π.Χ. Το πρόσωπο του παρουσιάζεται σε άμεση σχέση με το πρόσωπο του Παρμενίδη: ο Ζήνων είναι μαθητής του Παρμενίδη, «σύμμαχος» και υπερασπιστής της παρμενίδειας οντολογίας. Όπως ο Παρμενίδης, ήταν κι αυτός συνδεδεμένος με πυθαγόρειους κύκλους, αλλά περιόρισε έπειτα τη φιλοσοφική δραστηριότητα του στην άσκηση μιας επιχειρηματολογίας πού είχε σκοπό την υπεράσπιση ορισμένων παρμενίδειων θέσεων. Το βιβλίο του Ζήνωνα, από το όποιο ελάχιστα αποσπάσματα έχουν διασωθεί, ήταν γραμμένο μ' έναν παράδοξο τρόπο. Η μέθοδος του συνίστατο στην αποκάλυψη αντιφάσεων, στην εξαγωγή δηλαδή αντιφατικών συμπερασμάτων από ταυτόσημες προκείμενες η στην αποκάλυψη παραλογισμών, όπου καταλήγει κανείς με εξάρθρωση αντίθετων απόψεων, ξεκινώντας από αντιφατικά συμπεράσματα. Χρησιμοποιούσε συνήθως την έμμεση απόδειξη πού στα μαθηματικά παίζει σπουδαίο ρόλο. Λέει π.χ. κανείς πώς η ρίζα 2 είναι ένας άλογος αριθμός· για να το αποδείξει, υποθέτει πώς η ρίζα 2 είναι έλλογος αριθμός και δείχνει πώς αυτό οδηγεί σε αντίφαση. Άλλα, όταν μια υπόθεση έχει αντιφατικές συνέπειες, πρέπει αυτή να είναι ψευδής και ως εκ τούτου η αντίθετη της να είναι σωστή¹²⁸. Γι' αυτό ο Αριστοτέλης θεωρούσε τον Ζήνωνα επινοητή της «διαλεκτικής»¹²⁹. Ο όρος «διαλεκτική» σημαίνει εδώ «εριστική», και πραγματικά η φύση του έργου του Ζήνωνα έχει κριτικό και πολεμικό χαρακτήρα. Η κριτική του στρέφεται ενάντια σε δύο κυρίως υποθέσεις: στην υπόθεση άτι υπάρχει μια πολλαπλότητα πραγμάτων και στην υπόθεση ότι τα πράγματα κινούνται.

β. Επιχειρήματα ενάντια στην πολλαπλότητα

εἰ πολλά έστι, καὶ μεγάλα ἐστὶ καὶ μικρά μεγάλα μὲν ὅστε ἄπειρα τὸ μέγεθος εἶναι, μικρά δ' οὕτως ώστε μηδὲν ἔχειν μέγεθος, εἰ μὴ ἔχοι μέγεθος τὸ ὄν, οὐδ' ἄν εἴη. εἰ γὰρ άλλῳ ὄντι προσγένοιτο, οὐδέν ἄν μεῖζον ποιήσειεν^. μεγέθους γάρ μηδενός ὄντος, προσγενομένου δέ, ουδὲν οἷόν τε εἰς μέγεθος ἐπιδοῦναι. και οὕτως ἄν ἤδη τὸ προσγινόμενον οὐδέν εἴη. εἰ δέ ἀπογινομένου τὸ ἕτερον μηδέν ἔλαττον ἔσται μηδὲ αὖ προσγινομένου αὐξήσεται, δῆλον ὅτι τὸ προσγενόμενον οὐδέν ἦν οὐδέ τὸ ἀπογενόμενον. εἰ δὲ ἔστιν, ἀνάγκη ἕκαστον μέγεθος τι ἔχειν καὶ πάχος καὶ ἀπέχειν αύτοῦ τὸ ἔτερον άπὸ τοῦ ἐτέρου καὶ περὶ τοῦ προύχοντος ὁ αὐτός λόγος, καὶ γὰρ ἐκεῖνο ἐξει μέγεθος καὶ προέξει αὐτοῦ τι. ὅμοιον δὴ τοῦτο ἅπαξ τε εἰπεῖν καὶ ἀεὶ λέγειν οὐδὲν γὰρ αύτοῦ τοιοῦτον ἔσχατον ἔσται οὔτε ἕτερον πρὸος ἕτερον οὐκ ἔσται. οὕτως εἰ πολλά ἐστιν, ἀνάγκη αύτὰ μικρά τε εἶναι καὶ μεγάλα. μικρὰ μὲν ὤστε μὴ ἔχειν μέγεθος, μεγάλα δὲ ὤστε ἄπειρα εἶναι.

[Αν υπάρχει πολλαπλότητα πραγμάτων, αυτά είναι και μεγάλα και μικρά· τόσο μεγάλα ώστε να φτάνουν να είναι άπειρα στο μέγεθος, τόσο μικρά ώστε να μην έχουν καθόλου μέγεθος. Αν η πραγματικότητα δεν είχε μέγεθος, δεν θα μπορούσε να υπάρχει. Αν την προσθέταμε σ' άλλη πραγματικότητα δεν θα την έκανε πιο μεγάλη, γιατί ένα μηδαμινό μέγεθος πού προστίθεται δεν μπορεί να αυξήσει το μέγεθος. Και έτσι το προστιθέμενο δεν θα ήταν τίποτε. Και αν αυτό αφαιρεθεί, το άλλο δεν θα είναι λιγότερο, ούτε πάλι με προσθήκη θα μεγαλώσει. Είναι φανερό πώς αυτό πού προστέθηκε και αφαιρέθηκε δεν ήταν τίποτε. Αλλ' αν υπάρχει, κάθε πράγμα πρέπει να έχει κάποιο μέγεθος και πάχος και να απέχει το ένα από το άλλο. Και για το μέρος πού βρίσκεται μπροστά απ' αυτό ισχύει το ίδιο επιχείρημα. Γιατί και εκείνο θα έχει μέγεθος και θα υπάρχει κάτι πριν απ' αυτό. Κι αυτό είναι το ίδιο πράγμα να το πούμε μια φορά και να το λέμε πάντοτε. Επειδή κανένα μέρος της πραγματικότητας δεν θα είναι το τελευταίο και ούτε είναι δυνατό το ένα να μην έχει σχέση με το άλλο. Επομένως, αν υπάρχει πολλαπλότητα πραγμάτων, αυτά τα πράγματα είναι ανάγκη να είναι μικρά και μεγάλα, τόσο μικρά πού να μην έχουν τελικά καθόλου μέγεθος, τόσο μεγάλα ώστε να είναι άπειρα].

Β 3

εἰ πολλά ἐστίν, ἀνάγκη τοσαῦτα εἶναι ὅσα ἐστὶ καὶ οὔτε πλείονα αὐτών οὔτε ἐλάττονα. εἰ δέ τοσαῦτα ἐστιν ὅσα ἐστί, πεπερασμένα ἄν εἴη. εἰ πολλά ἐστιν, ἄπειρα τὰ ὄντα ἐστίν ἀεὶ γὰρ ἕτερα μεταξύ τῶν ὄντων ἐστί, καὶ πάλιν ἐκείνων ἕτερα μεταξύ, καὶ οὕτως ἄπειρα τὰ ὄντα ἐστί.

[Αν υπάρχει πολλαπλότητα πραγμάτων, αυτά είναι ανάγκη να είναι τόσα πολλά όσα είναι, ούτε πιο πολλά ούτε πιο λίγα απ' όσα υπάρχουν. Αν υπάρχουν τόσα όσα είναι, αυτά θα είναι πεπερασμένα. Αν είναι πολλά, τα πράγματα πού υπάρχουν είναι άπειρα. Γιατί πάντοτε υπάρχουν άλλα πράγματα ανάμεσα στα πράγματα και πάλι άλλα ανάμεσα σ' εκείνα. Και έτσι τα πράγματα πού υπάρχουν είναι απειράριθμα].

Η υπόθεση πού αναιρείται είναι πώς δεν υπάρχει μία πραγματικότητα παρά πολλές. Αν υπάρχουν πολλά πράγματα, αυτά έχουν ποικίλα μεγέθη: είναι μεγάλα και μικρά. Τα μεγάλα φτάνουν στο σημείο να είναι άπειρα και τα μικρά φτάνουν ως το σημείο να χάνουν ολότελα το μέγεθος τους. Τίποτε όμως δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς μέγεθος. Επομένως, μια και δεχόμαστε πώς τα πράγματα υπάρχουν, πρέπει να δεχτούμε πώς έχουν ένα μέγεθος, πού φτάνει ως το άπειρο. Επίσης τίποτε δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς πάχος ή μάζα. Όπως ως προς το μέγεθος κανένα πράγμα δεν αυξάνεται όταν προστίθεται σ' αυτό ένα πράγμα χωρίς μέγεθος, ούτε ελαττώνεται όταν αυτό το τελευταίο αφαιρείται από εκείνο - πράγμα πού σημαίνει πώς αυτό πού προστίθεται και αυτό πού αφαιρείται δεν είναι τίποτε (τίποτε, λοιπόν, δεν προστίθεται πραγματικά και τίποτε δεν αφαιρείται) - ανάλογα και στην περίπτωση της μάζας. Αυτή δεν επηρεάζεται από την πρόσθεση ή αφαίρεση ενός πράγματος πού δεν θα είχε καθόλου μάζα.

Με την προϋπόθεση, εξάλλου, ότι η πραγματικότητα είναι ένα πολλαπλό σύνολο, αυτό θα πρέπει να θεωρηθεί πώς συγκροτείται από μέρη, μια και δεχόμαστε εξ υποθέσεως την πολλαπλότητα. Αν τα μέρη αυτά οδηγηθούν στα έσχατα όρια της διαιρετότητας τους, φτάνουν σε μονάδες πού δεν έχουν κανένα απολύτως μέγεθος και πού, συνακόλουθα, δεν είναι μέρη όπως αυτά νοούνται σαν σύνολα μονάδων. Το συμπέρασμα είναι πώς, αν τα πράγματα είναι πολλά, είναι κατ' ανάγκη μικρά, μονάδες δηλαδή πού τελικά είναι χωρίς μέγεθος, και μεγάλα, τόσο μεγάλα, ώστε τελικά να είναι άπειρα.

Συνοπτικά, το πρώτο επιχείρημα μπορεί να αποδοθεί ως εξής: ας υποθέσουμε πώς τα πράγματα αποτελούνται από μέρη πού δεν υπόκεινται σε παραπέρα διαίρεση, θα έπρεπε τότε να σκεφτούμε τα μέρη αυτά από τη μια απλά (μη-εκτατά) και από την άλλη έκτατα. Αν ήταν μη-εκτατά, δηλαδή μαθηματικά σημεία, κάθε άθροισμα τέτοιων σημείων θα ήταν επίσης μη-εκτατό. Αν όμως τα σκεφτόμασταν ως έκτατα, τότε αυτά θα περιορίζονταν από γειτονικά μέρη πού επίσης θα ήταν έκτατα, άρα περιοριζόμενα από γειτονικά μέρη, κι έτσι ως το άπειρο. Η πραγματικότητα, λοιπόν, θα ήταν άθροισμα από απείρως πολλά έκτατα μέρη και μαζί άπειρα έκτατο σύνολο. Αν όμως η πραγματικότητα αποτελεί κάτι μη-εκτατό και μαζί άπειρο σε έκταση σύνολο, αυτό αναιρεί την άποψη πώς τα πράγματα είναι πολλαπλότητες μονάδων.

Φαίνεται πώς η επιχειρηματολογία αυτή στρεφόταν ενάντια κυρίως στην άποψη των Πυθαγορείων για τη σύσταση του κόσμου από έσχατες μονάδες. Άλλα δεν πρέπει να ήταν μόνο οι Πυθαγόρειοι στόχος της ζηνώνειας επιχειρηματολογίας¹³⁰.

Το δεύτερο επιχείρημα αναφέρεται στον αριθμό των πολλών πραγμάτων. Αν τα πράγματα είναι πολλά, πρέπει να είναι περιορισμένα, γιατί είναι ανάγκη να είναι τόσα όσα είναι, ούτε περισσότερα ούτε λιγότερα από τα υπάρχοντα. Αλλά πρέπει να είναι απεριόριστα στον αριθμό, γιατί ανάμεσα στο ένα και στο άλλο πρέπει να υπάρχει ένα τρίτο, ανάμεσα σ' αυτό και στο καθένα από εκείνα άλλα δύο ενδιάμεσα και έτσι ως το άπειρο. Αν λ.χ. ονομάσουμε δύο πράγματα αι και α₂ και τα θεωρήσουμε αποχωρισμένα το ένα από το άλλο, πρέπει να δεχτούμε ανάμεσα τους ένα τρίτο πράγμα α₃, ανάμεσα στο α₁ και στο α₃, ένα α₄, ανάμεσα στο α₁ και στο α₄, ένα α₅, ανάμεσα στο α₅ και στο α₁, ένα α₆ και έτσι χωρίς τέλος¹³¹. Έτσι, αν η πραγματικότητα είναι ένα σύνολο από μέρη, αυτά είναι περιορισμένα αν η πραγματικότητα είναι ένα σύνολο από μονάδες σύμφωνα με την πυθαγόρεια άποψη, αυτές είναι σαν σημεία: ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία α₁ και α₂ είναι δυνατό να ληφθούν προς οποιεσδήποτε κατευθύνσεις σημεία α₂, α₃, α₄, α₅,... α_¥ Αυτό ήταν ίσως μια σαφής πρόκληση να εισαχθεί η ιδέα του κενού στην θεώρηση του κόσμου, πράγμα πού συνέβη στην ατομική θεωρία, όπου το κενό παίζει ένα λειτουργικό ρόλο.

Οι προκείμενες πού υπόκεινται στην επιχειρηματολογία του Ζήνωνα ενάντια στην θέση μιας πολλαπλότητας πραγμάτων είναι¹³²:

α. Ένα σύνολο από άπειρα πολλές έκτατες μονάδες έχει, σύμφωνα, με το αξίωμα του Ευδόξου - Αρχιμήδη, άπειρο μέγεθος, ακόμα κι αν οι μονάδες είναι ελάχιστες.

β. Ένα σύνολο από άπειρα πολλές μη-έκτατές μονάδες είναι μη-εκτατό.

Επειδή και οι δύο αυτές θέσεις αποκλείονται και οι μονάδες πού συνθέτουν την πραγματικότητα μπορούν να είναι μόνο είτε έκτατες είτε μη-εκτατές, η αρχική υπόθεση της πολλαπλότητας αναιρείται.

Το παράδοξο της διχοτομίας

Α 25

τέτταρες δ΄ εἰσὶν οἱ λόγοι περὶ κινήσεως Ζήνωνος οἱ παρέχοντες τὰς δυσκολίας τοῖς λύουσιν, πρῶτος μὲν ὁ περὶ τοῦ μὴ κινεῖσθαι διὰ τὸ πρότερον εἰς τὸ ἥμισυ δεῖν ἀφικέσθαι τὸ φερόμενον ἢ πρὸς τὸ τέλος .... (Ἀριστ., Φυσ., Ζ 9. 239b 11).

διὸ καὶ ὁ Ζήνωνος λόγος ψεῦδος λαμϐάνει τὸ μὴ ἐνδέχεσθαι τὰ ἄπειρα διελθεῖν ἢ ἅψασθαι τῶν ἀπειρων καθ΄ ἕκαστον ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ. διχῶς γὰρ λέγεται καὶ τὸ μῆκος καὶὁ χρόνος ἄπειρον, καὶ ὅλως πᾶν τὸ συνεχές, ἤτοι κατὰ διαίρεσιν ἢ τοῖς ἐσχάτοις. τῶν μὲν οὖν κατὰ ποσὸν ἀπείρων οὐκ ἐνδέχεται ἅψασθαι ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ, τῶν δὲ κατὰ διαίρεσιν ἐνδέχεται· καὶ γὰρ αὐτὸς ὁ χρόνος οὕτως ἄπειρος. ὥστε ἐν τῷ ἀπείρῳ καὶ οὐκ ἐν τῷ πεπερασμένῳ συμϐαίνει διιέναι τὸ ἄπειρον, καὶ ἅπτεσθαι τῶν ἀπείρων τοῖς ἀπείροις, οὐ τοῖς πεπερασμένοις (Ἀριστ., Φυσ., Ζ 2. 233 a 21)

πολλοὺς γὰρ λόγους ἔχομεν ἐναντίους ταῖς δόξαις, καθαπερ Ζήνωνος, ὅτι οὐκ ἐνδέχεται κινεῖσθαι οὐδὲ τὸ στάδιον διελθεῖν. ('Αριστ., Τοπ, Θ 8. 160 b7).

[Υπάρχουν τέσσερα επιχειρήματα του Ζήνωνα για την κίνηση πού παρέχουν δυσκολίες σ' εκείνους πού θέλουν να λύσουν τα προβλήματα. Το πρώτο επιχείρημα είναι αυτό πού δείχνει πώς η κίνηση δεν υπάρχει γιατί αυτό πού κινείται πρέπει πρώτα να περάσει τη μισή απόσταση προτού φτάσει στο τέρμα...

Γι' αυτό και το επιχείρημα του Ζήνωνα λανθασμένα προϋποθέτει πώς δεν μπορεί ένα πράγμα να περάσει άπειρα πράγματα ή να έρθει σε επαφή με καθένα από άπειρα πράγματα σε πεπερασμένο χρόνο. Υπάρχουν δύο απόψεις με τις όποιες θεωρούνται το μήκος και ο χρόνος άπειρα και γενικά καθετί το συνεχές, η άποψη της διαίρεσης και η άποψη των έσχατων άκρων τους. Ένα πράγμα δεν μπορεί σε πεπερασμένο χρόνο να έρθει σ' επαφή με πράγματα ποσοτικά άπειρα, αλλά μπορεί να έρθει σ' επαφή με πράγματα άπειρα από την άποψη της διαίρεσης. Γιατί απ' αυτή την άποψη και ο ίδιος ο χρόνος είναι άπειρος. Συνακόλουθα, στον άπειρο και όχι στον πεπερασμένο χρόνο συμβαίνει να περνά το άπειρο και η επαφή των άπειρων πραγμάτων γίνεται σε άπειρες και όχι σε πεπερασμένες χρονικές στιγμές.

Έχουμε πολλά επιχειρήματα ενάντια στο να δεχτούμε τις γνώμες, όπως ακριβώς του Ζήνωνα, πώς η κίνηση είναι αδύνατη και δεν μπορούμε να διασχίσουμε το στάδιο].

Η κίνηση είναι αδύνατη. Δεν μπορεί κανείς να διανύσει μια απόσταση, γιατί, προτού φτάσει στο τέρμα πρέπει πρώτα να περάσει τη μισή απόσταση, προτού διανύσει τη μισή απόσταση πρέπει να περάσει το μισό διάστημα αυτής της μισής απόστασης, κι έτσι έπ’ άπειρο. Είναι, λοιπόν, αδύνατο να διανυθεί μια πεπερασμένη απόσταση, πού αποτελείται όμως από άπειρη σειρά σημείων, σε πεπερασμένο χρόνο. Το επιχείρημα συνδέεται με την υπόθεση πώς ο χώρος είναι έπ’ άπειρον διαιρετός και πώς μια ορισμένη έκταση ορίζεται από άπειρη σειρά σημεί. Ο Αριστοτέλης παρατηρεί πώς ο Ζήνων πέφτει στο ακόλουθο κυρίως λάθος: συγχέει το άπειρο ως προς την ποσότητα με το άπειρο κατά τη διαίρεση. Στην πραγματικότητα πρόκειται ιδώ για έκταση, πού εξωτερικά ιδωμένη εμφανίζεται σαν περιορισμένη σε ορισμένα πέρατα, ενώ αντίθετα από άποψη εσωτερικής σύνθεσης παριστάνεται σαν ένα άθροισμα πεπερασμένων εκτάσεων πού οδηγεί στο άπειρο. Αυτό δεν σημαίνει πώς ο Ζήνων θεμελίωσε το επιχείρημα του πάνω στην υπόθεση πώς η έκταση είναι επ' άπειρον διαιρετή. Αντίστροφα, η άπειρη διαιρετότητα είναι το συμπέρασμα του: η πορεία διαίρεσης και πρόσθεσης μερών του χώρου οδηγεί στο άπειρο. Έτσι το παράλογο της κίνησης δεν είναι παρά το παράλογο της αντίφασης ανάμεσα στο πεπερασμένο και στο άπειρο του χώρου όπου λαμβάνει χώρα η κίνηση¹³³.

Κατ' αυτόν τον τρόπο ο Ζήνων παρουσίαζε έναν πεπερασμένο συνεχή χώρο σαν ασυνεχή και ως προς τη σύνθεση του άπειρο και τον παρίστανε σε άμεση σχέση με μια κίνηση πού αποτελεί γεωμετρική πορεία:

Στην α απόσταση, η κίνηση θα είναι τελικά, όταν ολοκληρωθεί, σαν καταμέτρηση από το δρομέα μιας σειράς υποδιαστημάτων, πού προκύπτουν με διαδοχική διαίρεση και πού το καθένα έχει τη διάσταση . Ή θα είναι η κίνηση σαν εκτέλεση, λ.χ. από μια απειρομηχανή, άπειρων πράξεων σε πεπερασμένο χρόνο. Άλλα και ο χρόνος είναι άπειρος. Έτσι ένας δρομέας πού έχει να διατρέξει την απόσταση α και τρέχει με σταθερή ταχύτητα v, έχει ανάγκη από ένα ορισμένο χρόνο t. Για να ολοκληρώσει τη διαδρομή πρέπει λογικά να καλύψει πρώτα το μισό της απόστασης (α/2) στο μισό χρόνο (1/2) και, προτού καλύψει τη μισή απόσταση, πρέπει να διανύσει προηγουμένως το τέταρτο τί|ς απόστασης (α/4) στο τέταρτο όλου του χρόνου (1/4) κι έτσι ως το άπειρο. Σε μια κανονική χρονική ακολουθία ο δρομέας πρέπει να διανύσει μια αναδρομική πορεία άπειρης σύνθεσης με υποδιαστήματα πού το μήκοςτους είναι..., 1/2ⁿ,..., 1/2³, 1/2², 1/2 (όπου n είναι οσοδήποτε μεγάλος αριθμός). Σ' αυτήν τη σειρά δεν υπάρχει πρώτος όρος, πράγμα πού ση­μαίνει πως η αναδρομική πορεία, πού αυτή παριστάνει, είναι άπειρη¹³⁴. Έτσι η κίνηση είναι in mante προβληματική¹³⁵.

Ὁ Ἀχιλλεύς

Α 26

δεύτερος δ΄ ὁ καλούμενος Ἀχιλλεύς. ἔστι δ΄ οὗτος ὅτι τὸ βραδύτατον οὐδέποτε καταληφθήσεται θέον ὑπὸ τοῦ ταχίστου· ἔμπροσθεν γὰρ ἀναγκαῖον ἐλθεῖν τὸ διῶκον, ὅθεν ὥρμησε τὸ φεῦγον, ὥστ΄ ἀεί τι προέχειν ἀναγκαῖον τὸ βραδύτερον. ἔστι δὲ καὶ οὗτος ὁ αὐτὸς· λόγος τῷ διχοτομεῖν, διαφέρει δ΄ ἐν τῷ διαιρεῖν μὴ δίχα τὸ προσλαμϐανόμενον μέγεθος (Άριστ., Φυσ. Ζ 9.239 b 14).

[Δεύτερο επιχείρημα είναι αυτό πού ονομάζεται «Αχιλλέας». Σύμφωνα μ' αυτό, ένα ταχύτατο σώμα δεν πρόκειται ποτέ να φτάσει τρέχοντας ένα βραδύτατο πού περπατά μπροστά του. Γιατί είναι ανάγκη να έρθει πρώτα στο σημείο απ' όπου το προπορευόμενο σώμα ξεκίνησε. Το αποτέλεσμα είναι να προπορεύεται πάντοτε κατά τι το βραδύτερο σώμα. Κι αυτό το επιχείρημα είναι ίδιο με κείνο τις διχοτομίας, με τη διαφορά πώς δεν διαιρεί σε δύο ίσα μέρη το μέγεθος πού κάθε φορά προκύπτει].

Ένα το πρώτο επιχείρημα προβάλλει μια άπειρη διαιρετότητα με αφηρημένο τρόπο, το δεύτερο επιχείρημα, πού ονομάζεται «Άχιλλεύς», κάνει με συγκεκριμένο τρόπο διαίρεση και πρόσθεση¹³⁶. Ένα ταχύτατο σώμα δεν μπορεί να φτάσει ποτέ ένα βραδύτατο σώμα πού κινείται μπροστά του. Γιατί, για να φτάσει το πρώτο τη θέση πού κατείχε το δεύτερο, όταν εκείνο ξεκίνησε πίσω του, χρειάζεται έναν ορισμένο χρόνο. Κατά το χρόνο αυτό, το δεύτερο σώμα έχει προωθηθεί σε μια άλλη παραπέρα θέση. "Ωσπου να φτάσει το πρώτο σώμα αύτη τη νέα θέση του δεύτερου σώματος, αυτό έχει κινηθεί πάλι πιο πέρα, κι έτσι συνεχώς. Τη δραματική αυτή εικόνα του ταχύτατου σώματος πού όσο κι αν πασχίζει να φτάσει ένα σώμα, πού κινείται με βραδύτατο ρυθμό, δεν το κατορθώνει, μπορούμε να την περιγράψουμε ως εξής: έστω άτι το ταχύ­τατο σώμα είναι ο Αχιλλέας και το βραδύτατο η χελώνα. Υποθέτουμε ακόμα πώς ο Αχιλλέας είναι 100 φορές ταχύτερος από τη χελώνα και άτι αυτή προηγείται κατά τη στιγμή της εκκίνησης του Αχιλλέα 1.000 μέτρα. Κατά το χρόνο πού ο Αχιλλέας θα έχει διανύσει 1.000 μέτρα, η χελώνα θα έχει κερδίσει ένα προβάδισμα 10 μέτρων όταν ο Αχιλλέας θα έχει καλύψει την απόσταση αυτή των 10 μέτρων, η χελώνα θα προηγείται πάλι κατά 10 εκατοστά του μέτρου, κι έτσι χωρίς τέλος.

Εδώ παρουσιάζεται η υπόθεση της συσχετικής κίνησης δύο αντίθετων σωμάτων. Η θεωρία του χώρου πού παρουσιάζεται ιδώ είναι, βέβαια, η ίδια όπως και στο προηγούμενο επιχείρημα: ο χώρος είναι άπειρα διαιρετός ως προς τη σύνθεση, είναι δηλαδή άθροισμα πεπερασμέ­νων εκτάσεων πού φτάνει ως το άπειρο. Η πορεία όμως της κίνησης δεν είναι ιδώ μια απλή γεωμετρική σειρά, όπως στο «στάδιο», αλλά εξαιρετικά πολύπλοκη, ώστε να είναι δύσκολο να παρασταθεί απλά μ' ένα σχήμα. Η εκτέλεση της όλης διαδικασίας κίνησης από μέρους του ταχύτατου σώματος, ως το σημείο πού αυτό να φτάσει το βραδύτατο σώμα, παρουσιάζεται σαν εξαντλητική καταμέτρηση του άπειρου πλήθους των υποδιαστημάτων της όλης απόστασης. Αλλά σε πεπερασμένο χρόνο είναι αδύνατο να συντελεστεί μια άπειρη σειρά πράξεων.

Ο Αριστοτέλης κιόλας παρατήρησεπώς «άπειρο» σημαίνει δύο πράγματα: μια συνεχής απόσταση μπορεί να είναι άπειρη είτε σε σχέση με τα όριά της είτε σε σχέση με τη διαιρετότητα της. Και ο Ζήνων συγχέει τις δύο αυτές σημασίες του απείρου, λέγοντας πώς μια άπειρη ως προς τη διαιρετότητα απόσταση δεν μπορεί να διανυθεί σε πεπερασμένο χρόνο.

Άλλα σήμερα τα επιχειρήματα του Ζήνωνα δικαιώνονται από την άποψη άτι το πρόβλημα του συνεχούς, πού τίθεται με τα επιχειρήματα αυτά, δεν δημιουργήθηκε μέσα από τον κόσμο αλλά από μια εννοιακή σύμβαση, πού έχει νόημα στη γλώσσα της γεωμετρίας αλλά δεν έχει κανένα νόημα στη γλώσσα πού μιλάμε για θέματα της καθημερινής ζωής. Μπορούμε, λοιπόν, να λέμε από τη μια πώς ο Αχιλλέας θα διανύει επ' άπειρον όλο και πιο μικρά διαστήματα και από την άλλη πώς ο Αχιλλέας άνετα φτάνει τη χελώνα¹³⁷.

Το βέλος

Α 27

τρίτος δ΄ ὁ νῦν ῥηθείς, ὅτι ἡ ὀιστὸς φερομένη ἕστηκεν. συμϐαίνει δὲ παρὰ τὸ λαμϐάνειν τὸν χρόνον συγκεῖσθαι ἐκ τῶν νῦν· μὴ διδομένου γὰρ τούτου οὐκ ἔσται ὁ συλλογισμός. (Άριστ., Φυσ., Ζ 9. 2391 b 30).

[Τρίτο επιχείρημα είναι αυτό πού μόλις τώρα αναφέρθηκε, πως το βέλος πού βρίσκεται σε κίνηση είναι σταματημένο. Συμβαίνει αυτό, επειδή προϋποτίθεται πώς ο χρόνος αποτελείται οπό στιγμές. Χωρίς αυτή την προϋπόθεση δεν έπεται συμπέρασμα].

Το τρίτο επιχείρημα ενάντια στην κίνηση, συγκεκριμενοποιείται στο παράδειγμα του βέλους πού πετάει. Η κίνηση κάθε πράγματος είναι στην πραγματικότητα ακινησία, γιατί το «κινούμενο» πράγμα καταλαμβάνει σε κάθε στιγμή χώρο ίσο με τις διαστάσεις του και μέσα σ' αυτόν ακριβώς το χώρο μένει ακίνητο. Επειδή, λοιπόν, ο δρόμος πού ακολουθεί το βέλος στο πέταγμα του αποτελείται οπό τέτοια μέρη του χώρου, ίσα προς τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου, έπεται πώς το βέλος «ηρεμεί» σε κάθε χρονική στιγμή πού αντιστοιχεί σε κάθε τέτοιο μέρος του χώρου. Επομένως το αντικείμενο ηρεμεί σε όλο το χώρο, επειδή αυτός συντίθεται από τα μέρη ακριβώς, πού το καθένα τους είναι ίσο με τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου, και καθ' όλο το χρόνο, πού συντίθεται από τις αντίστοιχες στιγμές. Μ' άλλα λόγια, το αντικείμενο Α, πού «κινείται», υποθέτουμε πώς βρίσκεται κατά το χρόνο t₁ στην θέση Θ₁, στο χρόνο t₂ στην θέση Θ₂ κλπ. Ανάμεσα στο χρόνο t₁ και στο χρόνο t₂, καθώς επίσης και ανάμεσα στο χωρικό σημείο Θ₁ και στο σημείο Θ₂ υπάρχουν πολλά σημεία t_n και Θ_η. Αν λοιπόν απομονώσουμε ένα οποιοδήποτε ζευγάρι αυτών των σημείων του χώρου και του χρόνου, το αντικείμενο παρουσιάζεται ακίνητο, γιατί ο χώρος και ο χρόνος συντίθενται απ' αυτά ακριβώς τα σημεία.

Εδώ παρουσιάζεται μια άλλη ιδέα: ο χώρος και ο χρόνος συντίθενται τελικά οπό αδιαίρετα minima. Αυτή η ιδέα παρουσιάζει ξεχωριστό ενδιαφέρον, ιδιαίτερα για τη γένεση της ατομικής θεωρίας. Ο χρόνος συντίθεται από αδιαίρετες στιγμές χωρίς διάρκεια. Το νόημα αυτής της θέσης διαφωτίζεται, αν λάβουμε υπόψη την παρμενίδεια θέση πώς το όν επιδέχεται μόνο μια χρονική διάσταση: το παρόν¹³⁸. Ο Ζήνων, λοιπόν, παίρνει ένα πράγμα πού υποτίθεται πώς κινείται, το απομονώνει στο παρόν από κάθε χρόνο πού προηγείται η έπεται, και έτσι το δικαιολογεί σαν ακίνητο και αμετάβλητο. Γιατί εδώ ακριβώς βρίσκεται η αντιφατικότητα της κίνησης, θεωρημένη από την ελεατική, και όχι λ.χ. οπό την αριστοτελική σκοπιά. Ένα πράγμα δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι υπήρχε και ότι θα υπάρξει αλλά μόνον ὅτι ἔστιν καί, επιπλέον, δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι υπάρχει σ' έναν τόπο και ότι δεν υπάρχει συγχρόνως εκεί, όπως θα συνέβαινε αν δεχόταν κανείς την κίνηση:

Β 4

τὸ κινούμενον οὔτ' ἐν ᾧ ἔστι τόπῳ κινεῖται οὔτ' έν ᾧ μὴ ἔστι.

[Αυτό πού κινείται δεν κινείται ούτε στο χώρο πού είναι ούτε στο χώρο πού δεν είναι].

Αυτό το απόσπασμα δείχνει πώς ο Ζήνων χρησιμοποιεί ένα γνήσια ελεατικό μοτίβο σκέψης στην πολεμική του ενάντια στην ιδέα της κίνησης. Η όλη κίνηση, πού προϋποτίθεται στην ανθρώπινη εμπειρία σαν συνεχής, παρουσιάζεται εδώ σαν να συντίθεται οπό ασυνεχείς φάσεις. Πρόκειται δηλαδή για «κινηματογραφική» και όχι για φυσική κίνηση. Η, αντί για τον κινηματογράφο, εισάγεται εδώ το καλειδοσκόπιο: η κίνηση δεν είναι στην πραγματικότητα κίνηση παρά μια διαδοχή από ακινησίες.

Για την ακρίβεια, πρέπει εδώ να κάνουμε την ακόλουθη διάκριση¹³⁹: η πρόταση «εκείνο πού καταλαμβάνει χώρο όμοιο μ' αυτό το ίδιο, είναι ακίνητο» αληθεύει όταν αναφέρεται σ' ένα χρονικό διάστημα, αλλά δεν αληθεύει όταν αναφέρεται σ' ένα χρονικό σημείο. Έτσι, η πρόταση «ό,τι κινείται καταλαμβάνει σε κάθε στιγμή ένα χώρο όμοιο μ' αυτό το ίδιο», είναι σωστή, όταν αφορά ένα χρονικό σημείο, και ψευδής όταν αναφέρεται στην κατάληψη ενός χώρου κατά ένα χρονικό διάστημα. Μ' αυτό το νόημα, δεν δικαιολογείται το συμπέρασμα πώς το σώμα ηρεμεί σε κάθε στιγμή, γιατί «ηρεμία», σε αντίθεση προς την «κίνηση», είναι έννοια πού ορίζεται σε σχέση με χρονικά διαστήματα και χρονικά σημεία. Όταν οι στιγμές από τις όποιες συντίθεται το χρονικό διάστημα πού κινείται το βέλος είναι χρονικά άτομα, και επειδή το βέλος δεν κινείται σε καμιά στιγμή, πρέπει η κίνηση να γίνεται μόνο ανάμεσα οπό τις στιγμές, δηλαδή να μη συμβαίνει καθόλου. Με την προϋπόθεση, λοιπόν, πώς ο χρόνος έχει ατομική (και όχι συνεχή) δομή, η κίνηση και γενικά το γίγνεσθαι δεν μπορεί να κατανοηθεί¹⁴⁰.

Τα κινούμενα ίσα σώματα

Α 28

τέταρτος δ΄ ὁ περὶ τῶν ἐν σταδίῳ κινουμένων ἐξ ἐναντίας ἴσων ὄγκων παρ΄ ἴσους, τῶν μὲν ἀπὸ τέλους τοῦ σταδίου τῶν δ΄ ἀπὸ μέσου, ἴσῳ τάχει, ἐν ᾧ συμϐαίνειν οἴεται ἴσον εἶναι χρόνον τῷ διπλασίῳ τὸν ἥμισυν. ἔστι δ΄ ὁ παραλογισμὸς ἐν τῷ τὸ μὲν παρὰ κινούμενον τὸ δὲ παρ΄ ἠρεμοῦν τὸ ἴσον μέγεθος ἀξιοῦν τῷ ἴσῳ τάχει τὸν ἴσον φέρεσθαι χρόνον.   τοῦτο δ΄ ἐστὶ ψεῦδος.   οἷον ἔστωσαν οἱ ἑστῶτες ἴσοι ὄγκοι ἐφ΄ ὧν τὰ ΑΑ, οἱ δ΄ ἐφ΄ ὧν τὰ ΒΒ ἀρχόμενοι ἀπὸ τοῦ μέσου τῶν Α, ἴσοι τὸν ἀριθμὸν τούτοις ὄντες καὶ τὸ μέγεθος, οἱ δ΄ ἐφ΄ ὧν τὰ ΓΓ ἀπὸ τοῦ ἐσχάτου, ἴσοι τὸν ἀριθμὸν ὄντες τούτοις καὶ τὸ μέγεθος, καὶ ἰσοταχεῖς τοῖς Β. συμϐαίνει δὴ τὸ πρῶτον Β ἅμα ἐπὶ τῷ ἐσχάτῳ εἶναι καὶ τὸ πρῶτον Γ, παρ΄ ἄλληλα κινουμένων.   συμϐαίνει δὲ καὶ τὸ Γ παρὰ πάντα τὰ Β διεξεληλυθέναι, τὰ δὲ Β παρὰ τὰ <Α> ἡμίση· ὥστε ἥμισυν εἶναι τὸν χρόνον·  ἴσον γὰρ ἑκάτερόν ἐστι παρ΄ ἕκαστον.   ἅμα δὲ συμϐαίνει τὰ Β παρὰ πάντα τὰ Γ παρεληλυθέναι· ἅμα γὰρ ἔσται τὸ πρῶτον Γ καὶ τὸ πρῶτον Β ἐπὶ τοῖς ἐναντίοις ἐσχάτοις, ἴσον χρόνον παρ΄ ἕκαστον γινόμενον τῶν Β ὅσον περ τῶν Α, ὥς φησι, διὰ τὸ ἀμφότερα ἴσον χρόνον παρὰ τὰ Α γίγνεσθαι. (Ἀριστ., Φυσ., Ζ 9.239 b 33).

[Το τέταρτο επιχείρημα είναι αυτό πού άφορα τις δυο σειρές σωμάτων, πού καθεμιά συντίθεται οπό ίσο αριθμό σωμάτων ίσου μεγέθους, πού ξεπερνούν το ένα το άλλο σ' έναν αγώνα δρόμου καθώς προχωρούν με ίση ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις και ενώ η μια σειρά αρχικά κατέχει το χώρο ανάμεσα στο τέρμα και στο μέσο του δρόμου και η άλλη το χώρο ανάμεσα στο μέσο και την αφετηρία. Αυτό, νομίζω, συνεπάγεται το συμπέρασμα ότι το μισό ενός δεδομένου χρόνου ισούται προς το διπλάσιο του χρόνου αυτού. Το σφάλμα του συλλογισμού βρίσκεται στην προϋπόθεση πώς ένα σώμα χρειάζεται ίσο χρόνο όταν κινείται με ίση ταχύτητα για να περάσει ένα σώμα πού βρίσκεται σε κίνηση και ένα σώμα ίσου μεγέθους πού βρίσκεται σε στάση, πράγμα πού είναι λάθος. Π.χ. ας πούμε ΑΑ τα στατικά σώματα ίσου μεγέθους, ΒΒ τα σώματα πού είναι ίσα, σε αριθμό και μέγεθος προς τα ΑΑ και αρχικά κατέχουν το μισό του δρόμου οπό την αφετηρία ως το μέσο των Α, και ΓΓ εκείνα πού αρχικά κατέχουν το άλλο μισό οπό το τέρμα ως το μέσο των Α ίσα σε αριθμό, μέγεθος και ταχύτητα προς τα Β. Τότε συμβαίνουν τρεις περιπτώσεις: πρώτα, καθώς τα ΒΒ και τα ΓΓ περνούν το ένα το άλλο, το πρώτο Β φτάνει το τελευταίο Γ την ίδια στιγμή πού το πρώτο Γ φτάνει το τελευταίο Β. Δεύτερο, αύτη τη στιγμή το πρώτο έχει περάσει όλα τα Β, ενώ το πρώτο Β έχει περάσει μόνο τα μισά <Α> και συνεπώς έχει καταλάβει μόνο το μισό χρόνο απ' εκείνον πού ήταν κατειλημμένος οπό το πρώτο Γ, εφόσον κάθε ένα οπό τα δυο τους καταλαμβάνει ίσο χρόνο για να περάσει το κάθε σώμα. Τρίτο, την ίδια στιγμή όλα τα Β έχουν περάσει όλα τα Γ, γιατί το πρώτο Γ και το πρώτο Β θα φτάσουν ταυτόχρονα στα αντίθετα άκρα του δρόμου, εφόσον, όπως λέει ο Ζήνων, ο χρόνος πού καλύπτει το πρώτο Γ όταν περνά κάθε ένα οπό τα Β είναι ίσος προς εκείνον πού καλύπτει το ίδιο όταν περνά κάθε ένα οπό τα Α, επειδή τόσο το πρώτο Β όσο και το πρώτο Γ καλύπτουν ίσο χρόνο για να περάσουν όλα τα Α].

(Διάγραμμα Αλεξάνδρου: Σιμπλ., εις Φυσ., 1016,14)

Το τελευταίο επιχείρημα ενάντια στην κίνηση είναι το πιο πολύπλοκο απ' όλα και αναφέρεται, όπως το προηγούμενο, στο χώρο και στο χρόνο σον σύνθετα από αδιαίρετα minima¹⁴¹. Εδώ παρουσιάζεται ειδικά η σχέση ανάμεσα στο χρόνο κίνησης και στο χώρο πού διανύεται, με έμφαση στο γεγονός πώς η ταχύτητα είναι σχετική: εξαρτάται αν το κινούμενο σώμα συσχετίζεται μ' ένα ακίνητο ή μ' ένα άλλο κινούμενο αντικείμενο, οπότε παίρνει διαφορετικές κατά περίπτωση αξίες. Κανονικά θα έπρεπε ίσα διαστήματα να διανύονται από ίσα σώματα, πού έχουν την ίδια ταχύτητα, σε ίσο χρόνο. Όταν όμως ίσα σώματα κινούνται με ίση ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις μέσα στον ίδιο χώρο, προσπερνούν σώματα ακίνητα, πού βρίσκονται μέσα στον ίδιο αυτό χώρο, με ταχύτητα διπλάσια απ' εκείνη πού θα παρατηρούνταν αν τα σταθερά αυτά σώματα κινούνταν. Επειδή τα Β και Γ σώματα είναι κινούμενα, το πρώτο Β προσπερνάει δύο Γ στον ίδιο χρόνο t πού περνάει ένα στατικό Α. Για να περάσει όμως το Β ένα Γ, απαιτείται χρόνος 1/2, κατά τον όποιο περνάει μισό Α. Τόσο όμως το Α όσο και ο αντίστοιχος χρόνος πού απαιτείται να διανυθεί (t) συντίθενται οπό αδιαίρετα minima, από τα όποια τα πρώτα δεν περνούν στα δεύτερα. Δηλαδή ένα αδιαίρετο χωρικό minimum δεν περνά μέσα σ' ένα αδιαίρετο χρονικό minimum, σε μια στιγμή χωρίς διάρκεια. Το πείραμα αυτό του Ζήνωνα εξαρθρώνει την κίνηση και την ανάγει σε minima-άτομα, χωρικά και χρονικά, μέσα στα όποια η κίνηση αυτή αναιρείται. Το επιχείρημα αυτό διαφωτίζεται, αν λάβουμε υπόψη άτι οι Πυθαγόρειοι συνέχεαν αδιαίρετες αριθμητικές μονάδες με τα σημεία σε άπειρα διαιρετά γεωμετρικά μεγέθη έτσι, σύμφωνα με την πυθαγόρεια αυτή άποψη, κάθε πράγμα πού υπάρχει έχει ένα κάποιο φυσικό μέγεθος. Πρόθεση, λοιπόν, του Ζήνωνα ήταν ίσως, παράλληλα με την αναίρεση της κίνησης, να υπεισέλθει και σε τρέχουσες στον καιρό του επιστημονικές συζητήσεις¹⁴².

δ. Χώρος

Β 4

τὸ κινούμενον οὔτ' ἐν ᾧ ἔστι τόπῳ κινεῖται οὔτ' έν ᾧ μὴ ἔστι.

[Το πράγμα πού κινείται, δεν κινείται οδτε στον τόπο πού είναι ούτε στον τόπο πού δεν είναι].

Α 24

ὁ δὲ Ζήνων ἠπόρει, ὅτι «εἰ ἔστι τι ὁ τόπος, ἐν τίνι ἔσται;» λύειν οὐ χαλεπόν. (Ἀριστ., Φυσ., Δ 3.1) 22).

[Ο Ζήνων αντιμετώπιζε το πρόβλημα πώς «αν ο τόπος είναι κάτι τι, αυτό πρέπει να υπάρχει σε κάτι». Δεν είναι δύσκολο να το λύσει κανείς].

Α 24

ἡ γὰρ Ζήνωνος ἀπορία ζητεῖ τινα λόγον εἰ γὰρ πᾶν τὸ ὀν ἐν τόπῳ, δῆλον ὅτι καὶ τοῦ τόπου τόπος ἔσται, καὶ τοῦτο εἰς ἄπειρον πρόεισίν(Ἀριστ., Φυσ., Δ 1. 209 3 23).

[H δυσκολία του Ζήνωνα ζητεί μια εξήγηση. Γιατί αν κάθε τι πού υπάρχει έχει ένα χώρο, είναι φανερό πώς και ο χώρος θα έχει ένα χώρο, κι έτσι στο άπειρο].

Β 5

εἰ ἔστιν ὁ τόπος, ἔν τινι ἔσται· πᾶν γάρ ὄν ἔν τινι· τὸ δὲ ἔν τινι καὶ ἐν τόπῳ ἔσται ἄρα καὶ ὁ τόπος ἐν τόπῳ, και τοΰτο ἐπ' ἄπειρον· οὐκ ἄρα ἔστι ν ὁ τόπος¹⁴³.

[Αν υπάρχει ο χώρος, θα είναι σε κάτι. Γιατί κάθε πράγμα είναι σε κάτι. Κι αυτό πού είναι σε κάτι είναι και σε χώρο. Συνακόλουθα και ο χώρος θα είναι σε χώρο, κι αυτό έπ’ άπειρον. Δαν υπάρχει λοιπόν ο χώρος].

Το επιχείρημα αυτό παρουσιάζεται ολότελα απομονωμένο μέσα στα γνωστά μας γενικά πλαίσια της σκέψης του Ζήνωνα. O συλλογισμός πρέπει να είναι μάλλον ο ακόλουθος:

(α) οτιδήποτε υπάρχει, βρίσκεται σε χώρο.

(β) ο χώρος υπάρχει, άρα [δεδομένων των (α) και (β)]

(γ) ο χώρος βρίσκεται σε χώρο, κι έτσι επ' άπειρο¹⁴⁴.

Το παράδοξο αυτό οδηγεί στην άρνηση του χώρου μόνο σε σχέση με την πολλαπλότητα: ο χώρος της πολλαπλότητας είναι αντιφατικός και οδηγεί στο άπειρο, ενώ η χωρική παράσταση του όντος, μια καθαρά ελεατική θέση πού ξεκινά οπό τον Παρμενίδη, δικαιολογείται πολύ καλά με την εικόνα μιας τέλειας σφαίρας πού είναι μαζί πεπερασμένη και άπειρη. Το επιχείρημα, λοιπόν, του Ζήνωνα αναφέρεται στο χώρο του πολλαπλού κόσμου και εξυπηρετεί παράλληλα τη γνήσια ελεατική παράσταση του ενός (όντος) με χωρικές προϋποθέσεις. Άλλωστε, η παράσταση οποιασδήποτε μορφής ύπαρξης, όσο λίγο υλική κι αν είναι αυτή, χωρίς χωρικές προϋποθέσεις, είναι κάτι πού ξεπερνά την προσωκρατική νοοτροπία. Οι προσωκρατικοί σκέφτονται τις μορφές ύπαρξης, ακόμα και τις δυνάμεις και τις μορφές του θείου, με χωρικές παραστάσεις.

ε. Σημασία των επιχειρημάτων.

Τα επιχειρήματα του Ζήνωνα, ή όπως λέγονται κοινώς, τα «ζηνώνεια παράδοξα», δεν είναι σοφίσματα και δεν αποτελούν λογικά παιχνίδια. Ο Ζήνων ήθελε να στηρίξει ορισμένες βασικές ελεατικές θέσεις με συγκεκριμένα επιχειρήματα πού μαρτυρούν μαθηματική κατάρτιση, δύναμη παρατήρησης και οξύτητα πνεύματος. Τα επιχειρήματα του δεν αναφέρονται στο όν παρά στον πολλαπλό κόσμο. Έτσι η ανάλυση, η προβληματική του, η επιχειρηματολογία του γενικά είχε σαν αποτέλεσμα να ερευνηθούν πιο πέρα τα ιδιαίτερα σημαντικά προβλήματα του χώρου, του χρόνου και της κίνησης. Η υπόθεση του μάλιστα για τα αδιαίρετα minima πρέπει να ήταν ξεχωριστά ερεθιστική για τον Λεύκιππο, πού εισηγήθηκε πρώτος την ατομική θεωρία.

Γενικά, η ιδέα της άπειρης διαιρετότητας και του απειροελάχιστου άνοιγε για τα ελληνικά μαθηματικά το δρόμο προς τη θεωρία του απειροστού. Και ως σήμερα ακόμα είναι παρωθητική η ιδέα των ατόμων του χώρου και του χρόνου (Hodon, chronon) καθώς και η ιδέα του συνεχούς (continuum). Η συζήτηση των επιχειρημάτων του Ζήνωνα δεν αναπτύσσεται τόσο στα πλαίσια της φυσικής φιλοσοφίας όσο στα πλαίσια της λογικής και των μαθηματικών.

_________________________________

127  Parm., 127 a

128  Rod 126.

129  Διογ. Λ., VIII, 57.

130. Owen, 199-222.

131. Πβ.Lee,31.

132. Πβ. Rod, 127.

133 Galogero 135-36

134 Πβ. .James, 182: δεν μπορούν να περάσουν 14 λεπτά, γιατί προηγουμένως πρέπει να έχουν περάσει 7 λεπτά και πριν από τα 7 πρέπει να έχουν περάσει 3 1/2 λεπτά και πριν απ' αυτά 1 3/4 κι έτσι δίχως τέλος ως το ήπειρο.

135 Για το επιχείρημα αυτό καθώς και για τα άλλα ζηνώνεια επιχειρήματα σε σχέση με προβλήματα της καντιανής αντιθετικής του καθαρού λόγου, πβ. Βέικου, « Τα ζηνώνεια παράδοξα», 324 κ.έ.

136 Galogero 139-40

137. Για «σύμβαση» κάνει λόγο ο Black, 126, ενώ ο Whithrow, 152 κάνει λόγο για «πλάσμα». Πβ. Rod,,134.

138. Β 8,5.

139. Τήν προτείνει o Black, 143-144.

140. Πβ. Rod, 135-136.

141. Για τη σχέση αυτή Ζήνωνος και Πυθαγορείων, πβ. Kirk-Raven, 297 και Guthrie II, 96.

142. Για μια αναλυτική συζήτηση του επιχειρήματος, βλ. Βέικου, «Τα ξηνώνεια παράδοξα», 329-330.

143. Το κείμενο αυτό υιοθετήθηκε εκ των υστέρων οπό τους εκδότες Diels-Kranz ως κατά λέξη παράθεμα (Β 5) με βάση την έρευνα του Calogero, (Studi su1l' eleatismo), 93 κ.ε. (CALOGERO, 101 κ.έ.): VS, 1498,5.

144. Vlastos ,Zeno, 375.