Μελέτη Επάνω στα παράδοξα της κίνησης του Ζήνωνα του Ελεάτη

Μαθηματική Επιθεώρηση Τ47
Ευάγγ. Ν. Μαρινάκης

Ζήνων. Αρχαίο Κείμενα - Αποσπάσματα

Aristote Metaph. Β 4. 1001 b 7

ἔτι εἰ ἀδιαίρετον αὐτὸ τὸ ἕν, κατὰ μὲν τὸ Ζήνωνος ἀξίωμα οὐθὲν ἂν εἴη. ὃ γὰρ μήτε προστιθέμενον μήτε ἀφαιρού­μενον ποιεῖ μεῖζον μηδὲ ἔλαττον, οὔ φησιν εἶναι τοῦτο τῶν ὄντων, ὡς δηλονότι ὄντος μεγέθους τοῦ ὄντος· καὶ εἰ μέγεθος, σωματικόν· τοῦτο γὰρ πάντῃ ὄν. τὰ δὲ ἄλλα πῶς μὲν προστιθέμενα ποιήσει μεῖζον, πῶς δ΄ οὐθέν, οἷον ἐπίπεδον καὶ γραμμή· στιγμὴ δὲ καὶ μονὰς οὐδαμῶς.

Simpl. Phys. 97, 13

ἠπόρει δὲ ὡς ἔοικε διὰ τὸ τῶν μὲν αἰσθητῶν ἕκαστον κατηγορικῶς τε πολλὰ λέγεσθαι καὶ μερισμῷ, τὴν δὲ στιγμὴν μηδὲ ἓν τιθέναι· ὃ γὰρ μήτε προστιθέμενον αὔξει μήτε ἀφαιρού­μενον μειοῖ, οὐκ ὤιετο τῶν ὄντων εἶναι. Idem. 99, 10 ἐνταῦθα δέ, ὡς ὁ Εὔδημός φησι, καὶ ἀνήιρει [Zenon] τὸ ἕν <τὴν γὰρ στιγμὴν ὡς τὸ ἕν λέγει>, τὰ δὲ πολλὰ εἶναι συγχωρεῖ. ὁ μέντοι Ἀλέξανδρος καὶ ἐνταῦθα τοῦ Ζήνωνος ὡς τὰ πολλὰ ἀναιροῦντος μεμνῆσθαι τὸν Εὔδημον οἴεται. «ὡς γὰρ ἱστορεῖ <φησίν> Εὔδημος [fr.5], Ζ. ὁ Παρμενίδου γνώριμος ἐπειρᾶτο δεικνύναι ὅτι μὴ οἶόν τε τὰ ὅντα πολλὰ εἶναι τῷ μηδὲν εἶναι ἐν τοῖς οὖσιν ἕν, τὰ δὲ πολλὰ πλῆθος εἶναι ἑνάδων». καὶ ὅτι μὲν οὐχ ὡς τὰ πολλὰ ἀναιροῦντος τοῦ Ζήνωνος Εὔδημος μέμνηται νῦν, δῆλον ἐκ τῆς αὐτοῦ λέξεως· οἶμαι δὲ μηδὲ ἐν τῷ Ζήνωνος βιϐλίῳ τοιοῦτον ἐπιχείρημα φέρεσθαι οἷον ὁ Ἀλέξανδρός φησι. Philop. Phys 42, 9 Ζ. γὰρ ὁ Ἑλεάτης πρὸς τοὺς διακωμωιδοῦντας τὴν Παρμενίδου τοῦ διδασκάλου αὐτοῦ δόξαν λέγουσαν ἓν τὸ ὂν εἶναι ἐνιστά­μενος καὶ συνηγορῶν τῇ τοῦ διδασκάλου δόξῃ ἐπεχείρει δεικνύναι ὅτι ἀδύνατον πλῆθος εἶναι ἐν τοῖς οὖσιν. εἰ γάρ, φησίν, ἔστι πλῆθος, ἐπειδὴ τὸ πλῆθος ἐκ πλειόνων ἑνάδων σύγκειται, ἀνάγκη εἶναι ἑνάδας πλείους ἐξ ὧν τὸ πλῆθος συνέστηκεν. εἰ τοίνυν δείξομεν ὅτι ἀδύνατον εἶναι πλείονας ἑνάδας, δῆλον ὅτι ἀδύνατον εἶναι πλῆθος· τὸ γὰρ πλῆθος ἐξ ἑνάδων. εἰ δὲ ἀδύνατον εἶναι πλῆθος, ἀνάγκη δὲ ἢ τὸ ἓν εἶναι ἢ τὸ πλῆθος, πλῆθος δὲ εἶναι οὐ δύναται, λείπεται τὸ ἓν εἶναι κτλ. Seneca Ep. 88, 44 Parmenides ait ex his quae videntur nihil esse universo ; Z. Eleates omnia negotia de deiecit ; ait nihil esse …

Ζήνων ο Εεάτης

Ζήνων ο Εεάτης. Από το βιβλίο «Οι προσωκρστικοί» του Θεόφυλου Βείκου.

α. Εισαγωγικά

O Ζήνων ο Eλελατης γεννήθηκε, με βάση τη μαρτυρία του Πλάτωνα¹²⁷ ανάμεσα στα χρόνια 490 και 485 π.Χ. Το πρόσωπο του παρουσιάζεται σε άμεση σχέση με το πρόσωπο του Παρμενίδη: ο Ζήνων είναι μαθητής του Παρμενίδη, «σύμμαχος» και υπερασπιστής της παρμενίδειας οντολογίας. Όπως ο Παρμενίδης, ήταν κι αυτός συνδεδεμένος με πυθαγόρειους κύκλους, αλλά περιόρισε έπειτα τη φιλοσοφική δραστηριότητα του στην άσκηση μιας επιχειρηματολογίας πού είχε σκοπό την υπεράσπιση ορισμένων παρμενίδειων θέσεων. Το βιβλίο του Ζήνωνα, από το όποιο ελάχιστα αποσπάσματα έχουν διασωθεί, ήταν γραμμένο μ' έναν παράδοξο τρόπο. Η μέθοδος του συνίστατο στην αποκάλυψη αντιφάσεων, στην εξαγωγή δηλαδή αντιφατικών συμπερασμάτων από ταυτόσημες προκείμενες η στην αποκάλυψη παραλογισμών, όπου καταλήγει κανείς με εξάρθρωση αντίθετων απόψεων, ξεκινώντας από αντιφατικά συμπεράσματα. Χρησιμοποιούσε συνήθως την έμμεση απόδειξη πού στα μαθηματικά παίζει σπουδαίο ρόλο. Λέει π.χ. κανείς πώς η ρίζα 2 είναι ένας άλογος αριθμός· για να το αποδείξει, υποθέτει πώς η ρίζα 2 είναι έλλογος αριθμός και δείχνει πώς αυτό οδηγεί σε αντίφαση. Άλλα, όταν μια υπόθεση έχει αντιφατικές συνέπειες, πρέπει αυτή να είναι ψευδής και ως εκ τούτου η αντίθετη της να είναι σωστή¹²⁸. Γι' αυτό ο Αριστοτέλης θεωρούσε τον Ζήνωνα επινοητή της «διαλεκτικής»¹²⁹. Ο όρος «διαλεκτική» σημαίνει εδώ «εριστική», και πραγματικά η φύση του έργου του Ζήνωνα έχει κριτικό και πολεμικό χαρακτήρα. Η κριτική του στρέφεται ενάντια σε δύο κυρίως υποθέσεις: στην υπόθεση άτι υπάρχει μια πολλαπλότητα πραγμάτων και στην υπόθεση ότι τα πράγματα κινούνται.

β. Επιχειρήματα ενάντια στην πολλαπλότητα

εἰ πολλά έστι, καὶ μεγάλα ἐστὶ καὶ μικρά μεγάλα μὲν ὅστε ἄπειρα τὸ μέγεθος εἶναι, μικρά δ' οὕτως ώστε μηδὲν ἔχειν μέγεθος, εἰ μὴ ἔχοι μέγεθος τὸ ὄν, οὐδ' ἄν εἴη. εἰ γὰρ άλλῳ ὄντι προσγένοιτο, οὐδέν ἄν μεῖζον ποιήσειεν^. μεγέθους γάρ μηδενός ὄντος, προσγενομένου δέ, ουδὲν οἷόν τε εἰς μέγεθος ἐπιδοῦναι. και οὕτως ἄν ἤδη τὸ προσγινόμενον οὐδέν εἴη. εἰ δέ ἀπογινομένου τὸ ἕτερον μηδέν ἔλαττον ἔσται μηδὲ αὖ προσγινομένου αὐξήσεται, δῆλον ὅτι τὸ προσγενόμενον οὐδέν ἦν οὐδέ τὸ ἀπογενόμενον. εἰ δὲ ἔστιν, ἀνάγκη ἕκαστον μέγεθος τι ἔχειν καὶ πάχος καὶ ἀπέχειν αύτοῦ τὸ ἔτερον άπὸ τοῦ ἐτέρου καὶ περὶ τοῦ προύχοντος ὁ αὐτός λόγος, καὶ γὰρ ἐκεῖνο ἐξει μέγεθος καὶ προέξει αὐτοῦ τι. ὅμοιον δὴ τοῦτο ἅπαξ τε εἰπεῖν καὶ ἀεὶ λέγειν οὐδὲν γὰρ αύτοῦ τοιοῦτον ἔσχατον ἔσται οὔτε ἕτερον πρὸος ἕτερον οὐκ ἔσται. οὕτως εἰ πολλά ἐστιν, ἀνάγκη αύτὰ μικρά τε εἶναι καὶ μεγάλα. μικρὰ μὲν ὤστε μὴ ἔχειν μέγεθος, μεγάλα δὲ ὤστε ἄπειρα εἶναι.

Ζήνων ο Ελεάτης

Ε. Σταμάτη από το

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"

Έλλην φιλόσοφος, γεννηθείς κατά την 78ην Ολυμπιάδα (468—465 π.Χ.) εις την Ελέαν της Κάτω Ιταλίας, αποικίαν ούσαν των Φωκαέων, εκ πατρός Τελευταγόρου. Περί του βίου του και της διδασκαλίας του γνωρίζομεν τινά εκ πληροφοριών, τας οποίας αντλούμεν εκ των έργων του Πλάτωνος, του Αριστοτέλους, του Πλουτάρχου του Διόδωρου και άλλων.

Ο Πλάτων ενιαχού τον μνημονεύει και υπό το όνομα «Ελεατικός Παλαμήδης» ( Σοφιστής 215 Α'. Φαίδρος 261 Δ'). Υπήρξε μαθητής του Παρμενίδου του οποίου φαίνεται ότι επεξέτεινε τας θεωρίας περί όντος και απείρου. Αναφέρεται και ως εις των διδασκάλων του Περικλέους. Μετασχών εις κίνησιν προς ανατροπήν του τυράννου Νεάρχου της γενέτειρας του εθανατώθη δια ποικίλων βασανιστηρίων. Κατά τον Ηρακλείδη τον Ποντικόν ενώ ανεκρίνετο. εζήτησε να είπη κάτι εις το ούς του τυράννου, το όποιον αφού εδάγκωσεν απέκοψε και κατόπιν εθανατώθη. Κατά τους Έρμιτπτον, Αντισθένην και Σουίδαν εξεταζόμενος υπό του τυράννου, απέκοψε την εαυτού γλώσσαν και την έπτυσε κατά πρόσωπον αυτού κατόπιν δε εθανατώθη θλιβόμενος εντός μεγάλου ιγδίου.

Κατά τον Αριστοτέλη, ο Ζήνων είναι ο ευρετής της διαλεκτικής. Πλήρη εικόνα των θεωριών του Ζήνωνος δεν κατέχομεν. Ιδέαν τινά περί αυτών λαμβάνομεν εκ των επιχειρημάτων, τα οποία χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης εις τα «Φυσικά και τα «Μετά τα Φυσικά» του δια την ανατροπήν ωρισμένων αντιλήψεων του Ζήνωνος, αι οποίαι αφορούν εις τας έννοιας του χώρου. του χρόνου, της κινήσεως και του μεγέθους, και εκ τίνων άλλων αποσπασμάτων. Κατά τον Σουίδαν ο Ζήνων έγραψεν έργα υπό τους τίτλους: «Έριδες», «Εξήγησις του Εμπεδοκλέους», «Προς τους Φιλοσόφους», «Περί φύσεως». Ο Πλούταρχος, ο Εύδημος και ο Φίλων μνημονεύουν ότι είχεν ούτος γράψει και αποφθέγματα μερικά των οποίων σώζονται. Ο Πλάτων μνημονεύει τον Ζήνωνα επανειλημμένως εις τον διάλογον αυτού «Παρμενίδης» όπου αναφέρεται ότι, όταν ο Ζήνων επεσκέφθη τας Αθήνας μετά του Παρμενίδου, πολλοί Αθηναίοι μεταξύ των οποίων και ο Σωκράτης ο οποίος ήτο τότε πολύ νέος, έσπευσαν ν' ακούσουν τας νέας θεωρίας του Ζήνωνος. Αναφέρει ακόμη ο Πλάτων ότι ο Ζήνων ανεγίνωσκε τας θεωρίας του εκ συγγραμματος του (το οποίον δεν σώζεται). Δια την απόδειξιν ότι δεν υπάρχει κίνησις ο Ζήνων χρησιμοποιεί τέσσαρα επιχειρήματα ως μνημονεύει περί τούτου ο Αριστοτέλης (Φυσικά Ζ' 9. 239 β 9).

Οι Ελεάτες - Jean Brun

ΟΙ ΕΛΕΑΤΕΣJean Brun

Α. Ξενοφάνης ο Κολοφώνιος

Ο Ξενοφάνης γεννήθηκε το 570 π.Χ. και πέθανε σε πολύ μεγάλη ηλικία. Στα είκοσι πέντε του χρόνια εγκαταλείπει τον Κολοφώνα για να γλιτώσει από την εισβολή των Περσών, πηγαίνει αρχικά στην Ελλάδα κι αργότερα στην Ελέα και στις Συρακούσες. Πέρασε τη ζωή του περιπλανώμενος από πόλη σε πόλη και απαγγέλλοντας ποιήματα, ίσως μάλιστα να ήταν και ραψωδός. Όντας εξαιρετικά φτωχός, έγραφε ιάμβους και ελεγείες, μεταξύ των οποίων εποποιίες για την ίδρυση του Κολοφώνα και της Ελέας. Δεν μας απομένουν πια παρά ορισμένα αποσπάσματα από τις Ελεγείες του και τους Σίλλους (δηλ. σάτιρες), ενώ μια παράδοση του αποδίδει ακόμα ένα εκτενές ποίημα με τίτλο Περί Φύσεως. Γελοιοποιούσε τον Πυθαγόρα, γνωρίστηκε πιθανότατα με τον Αναξίμανδρο τον Μιλήσιο αλλά και εθεωρείτο από τον Ηράκλειτο πολύξερος δίχως μυαλό (απ. 40).