Ελληνικά Μαθηματικά. Ε. Σταμάτη

Αν και ο αρχαίος Ελληνικός πολιτισμός κατατάσσεται χρονολογικώς υπό των πλείστων μετά τον βαβυλωνιακόν και τον αίγυπτιακόν πολιτισμόν, εν τούτοις υποστηρίζεται δια σοβαρών επιχειρημάτων και η γνώμη ότι ο Ελληνικός πολιτισμός της προμηκυναϊκής εποχής είναι πολύ παλαιότερος του βαβυλωνιακοί και του αιγυπτιακού. Τοιαύτην γνώμην αναγιγνώσκομεν εις την πεοισπούδαστον πραγματείαν του στρατηγού έ. ά. κ. Ξ. Λίβα, υπό τον τίτλον «Η Αιγηίς, από παλαιότατων χρόνων μέχρι σήμερον, ως κοιτίς των Αρίων και του Ελληνισμού», Αθήναι, 1956. Ενισχυτικόν επιχείρημα της απόψεως ταύτης του κ. Ξ. Λίβα, είναι ότι ο Όμηρος, όστις έζησε κατά τινάς περί το 1200 π.Χ., πρέπει να είναι δημιούργημα πολιτισμού προηγηθέντος αυτού κατά χιλιάδας τινάς ετών. Οπωσδήποτε η θεία Πρόνοια επεφύλαξε την τιμήν της δημιουργίας των επιστημών και της φιλοσοφίας εις τον λαόν των αρχαίων Ελλήνων. Ποίος Έλλην πρώτος συνέλαβε την ιδέαν της ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΣ εις τα μαθηματικά, δεν είναι γνωστόν. Είναι όμως γνωστόν εξ ιστορικών μαρτυριών ότι ο εκ των επτά σοφών της αρχαίας Ελλάδος Θαλής ο Μιλήσιος είχε πρώτος αποδείξει ωρισμένα γεωμετρικά θεωρήματα. Ως εκ τούτου ο Θαλής θεωρείται υπό πολλών ο θεμελιωτής των επιστημών. Αναμφισβητήτως δε ο θεμελιωτής ούτος ήτο Έλλην. Ο Θαλής εγεννήθη περί το 640 π. Χ. εν Μιλήτω) της Μικράς Ασίας...

Ελληνικά Μαθηματικά. Ε. Σταμάτη

GoogleDocs

Archimedes T. L Heath

Archimedes T. L Heath

Geometrical Solutions, Derived From Mechanics. A Treatise of Archimedes - J. L. Heiberg

Johan Ludvig Heiberg (27 November 1854 – 4 January 1928) was a Danish philologist and historian. He is best known for his discovery of previously unknown texts in the Archimedes Palimpsest, and for his edition of Euclid's Elements that T. L. Heath translated into English. He also published an edition of Ptolemy's Almagest. Heiberg was born in Denmark, the son of Johanne Henriette Jacoba (née Schmidt) and Emil Theodor Heiberg. Heiberg was Professor of Classical Philology at the University of Copenhagen from 1896 until 1924. Among his more than 200 publications were editions of the works of Archimedes (1880 and 1912), Euclid (with Heinrich Menge) (1883–1916), Apollonius of Perga (1891–93), Serenus of Antinouplis (1896), Ptolemy (1898/1903), and Hero of Alexandria (1899). Many of his editions are still in use today. Heiberg inspected the vellum manuscript in Constantinople in 1906, and realized that it contained mathematical works by Archimedes that were unknown to scholars at the time. Heiberg's examination of the manuscript was with the naked eye only, while modern analysis of the texts has employed x-ray and ultraviolet light. The Archimedes Palimpsest is currently stored at the Walters Art Museum in Baltimore,Maryland.....

Αρχιμήδους Άπαντα 1970 - Ευάγγελος Σταμάτης - Τόμος Α Μέρος Β

Αρχιμήδους Άπαντα 1970 - Ευάγγελος Σταμάτης - Τόμος Α Μέρος Β

Αρχιμήδους Άπαντα 1970 - Ευάγγελος Σταμάτης - Τόμος Γ

Αρχιμήδους Άπαντα 1970 - Ευάγγελος Σταμάτης - Τόμος Γ

The Works of Archimedes T.L. Heath

Thomas Heath's parents were Mary Little, from Hibaldstowe, Lincolnshire, and Samuel Heath who was a farmer from Thornton Cutris, Ulceby, Lincolnshire. Mary and Samuel had six children, three sons and three daughters. Thomas was the youngest of the three boys and he, like all the children, was musical and academically gifted. Thomas Little Heath was named after his grandfather on his mother's side, who was Thomas Little. He received a love of the classics from his father who had classics as his hobby.

After attending Caistor Grammar School and Clifton College, he went up to Trinity College Cambridge in 1879 holding a foundation scholarship. He was awarded a first class degree in both mathematics and classics. He took Part I and Part II of the Classical Tripos in 1881 and 1883, being twelfth wrangler in the Mathematical Tripos of 1882.

He took the Civil Service examination in 1884 and obtained the top mark. He became a clerk in the Treasury and was quickly promoted. He was private secretary to Sir Reginald Earle, later becoming permanent secretary. Heath was then private secretary to various financial secretaries at the Treasury up to 1907 when he was appointed Assistant secretary to the Treasury. In 1913 he was appointed as permanent secretary to the Treasury, taking control of the administrative side of the Treasury. He left the Treasury in 1919 for the National Debt Office, holding a post there until he retired in 1926. He was honoured for his work in the Civil Service by being appointed C.B. in 1903, K.C.B. in 1909, and K.C.V.O. in 1916.

Heath was [2]:-

... an admirable example of the older type of Civil servant. His courage and honesty were beyond question; his technique was perfect; but his mind was not, perhaps, sufficiently pliable or fertile in ideas to adapt itself readily to the conditions which between 1914 and 1918 had upset every kind of preconceived ideas of the desk and paper man, such as he really was.

However Heath had two separate careers, one as a civil servant, the other as one of the leading world experts on the history of mathematics. He was a specialist in the history of Greek mathematics, writing articles on 'Pappus' and 'Porisms' for Encyclopaedia Britannica while still an undergraduate. In his first year at the Treasury he wrote an essay on Diophantus and this won him a Cambridge Fellowship. Cayley recommended its publication by Cambridge University Press and Diophantus of Alexandria: a study in the history of Greek algebra appeared in 1885.

In 1896 he published Apollonius of Perga which presented the important text on conic sections using modern notation, and it contained an important preface giving details of previous Greek work on conic sections. Archimedes was published in 1897 but at this stage the important work called The Method had not been discovered, so Heath added a translation of this in an edition he brought out in 1912. In 1908 Heath's three volume work on Euclid appeared. The second edition of his translation of Euclid, brought out in 1926, has since become the standard English version of the text. Between these two editions, in 1920, he published his version of Book I of the Elements written in Greek. This was intended to encourage schools to teach directly from Book I, but it does make us realise how things have changed in British schools today - how many of today's schoolchildren could use a book written in Greek as their mathematics textbook!

Greek astronomical work also attracted Heath's attention and in 1913 he published a translation of Aristarchus' On the sizes and distances of the sun and moon again with an important preface, this time giving a thorough account of Greek astronomy. Perhaps his most famous work, however, is History of Greek Mathematics which appeared in 1921. It is a two volume work, cleverly written by partly following a chronological path, partly grouping subject areas together. A single volume version on Greek mathematics, condensing the material from his earlier work, appeared in 1931 under the title A manual of Greek mathematics and the following year he produced a companion volume Greek astronomy.

Heath was elected a Fellow of the Royal Society in 1912 and served for two terms on its council. Following the publication of History of Greek Mathematics he was elected president of the Mathematical Association for 1922-23. In 1932 he was elected a fellow of the British Academy.

One might think that having a career in the Civil Service and yet being a leading historian of mathematics would leave Heath little time for other hobbies but in fact this was not so. He was always interested in music and he had married Ada Mary Thomas in 1914, who was a professional musician, reinforcing his interest. Heath also spent time mountaineering [2]:-

... and he made most of the principal ascents in the Dolomites.

He died at Merry Hall in Ashtead, Surrey.

Article by: J J O'Connor and E F Robertson

Ιστορια των Ελληνικών μαθηματικών. Eγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ».

Κ.Δ Γεωργούλης.(Καλαμάτα 1894 - Αθήνα 1968) φλόλογος και εκπαιδευτικός. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, στο Βερολίνο και στο Φράιμπουργκ. Το 1940 διορίστηκε γενικός επιθεωρητής μέσης εκπαίδευσης. Από το 1941 ανέλαβε τη διεύθυνση του Διδασκαλείου Μέσης Εκπαίδευσης και την περίοδο 1953-57 διετέλεσε γενικός γραμματέας του υπουργείου Παιδείας. Ο Γ. άσκησε επιρροή στα εκπαιδευτικά πράγματα της χώρας. Ίδρυσε την Εταιρεία Ελλήνων Φιλολόγων και διηύθυνε το περιοδικό Πλάτων. Το μεγαλύτερο μέρος του συγγραφικού του έργου αναφέρεται στη μελέτη και ερμηνεία συγγραμμάτων και ιδεών του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη: Αριστοτέλους πρώτη Φιλοσοφία (τα μετά τα Φυσικά), Εισαγωγή - Ερμηνεία (1935), Πλάτωνος Πολιτεία (Εισαγωγή - Ερμηνεία -Σχόλια) (1939) κ.ά.

Η αρτιότερη ίσως αναφορά στα Αρχαία Ελληνικά μαθηματικά.

Καμιά άλλη επιστήμη δεν είναι εις τόσον μεγάλον βαθμόν αντιπροσωπευτική του ελληνικού πνεύματος, όσον η μαθηματική επιστήμη. Οι Έλληνες την εθεμελίωσαν, της εχάραξαν τας μεγάλας κατευθυντηρίους γραμμάς επί των οποίων εξακολουθεί να κινήται και να αναπτύσσεται ακόμη και σήμερον, και εδημιούργησαν την τεχνικήν της ορολογίαν. Εάν ανοίξη κανείς και σήμερον οιονδήποτε μαθηματικόν βιβλίον εις οιανδήποτε γλώσσαν και αν έχη τούτο γραφή, θα διαπίστωση ότι ου μόνον ο τρόπος της σκέψεως είναι τελείως ελληνικός, αλλά και όλοι οι οροί διατηρούνται εις την γλωσσικήν μορφήν, την οποίαν τους έδωκαν οι αρχαίοι Έλληνες...

Λύσεις στα αινίγματα του Αρχιμήδη

Περιοδικό GEO

Η συμβολή του Πλάτωνος στα Μαθηματικά

Εγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ»

Αι αριθμολογικαί γνώσεις του Πλάτωνος

 Θεωρούμεν συνήθως τον Πλάτωνα ως μέγαν φιλόσοφον, όστις διεσαφήνισε το αντικείμενον και την μέθοδον της φιλοσοφικής ερεύνης και δια της δημιουργικής του εργασίας εθεμελίωσε την κοσμοθεωρίαν του ιδεαλισμού. Η λαμπρότης του Φιλοσοφικού του έργου εγένετο  αφορμή  να μη  εκτιμηθή όσον έπρεπεν η συμβολή του δια την ανάπτυξιν των επιστημών και ιδιαιτέρως των μαθηματικών. Μόλις κατά τα τελευταία έτη με την εμφάνισιν των νέων μαθηματικών θεωριών των αναφερομένων εις τα σύνολα και τας τάξεις και με την συζήτησιν των γνωσιολογικών προβλημάτων των σχετιζομένων με τας πρώτας αρχάς επί των όποιων στηρίζεται η επιστήμη των αριθμών, εδόθη η αφορμή να μελετηθούν τα πλατωνικά συγγράμματα από καθαρώς επιστημονικής απόψεως. Αι γενόμεναι μελέται έδειξαν ότι ο Πλάτων υπήρξεν όχι μόνον γνώστης της μαθηματικής επιστήμης της εποχής του, αλλά και δια των κατευθύνσεων τας οποίας έδιδεν εις τους ερευνητάς οίτινες είχον συγκενητρωθή εις την υπ' αυτού ιδρυθείσαν κατά το 386 π.Χ. ακαδημίαν συνετέλεσε να καθορισθή ο θεωρητικός χαρακτήρ της μαθηματικής επιστήμης να υπερνικηθή η οξυτάτη, κρίσις ήτις ημπόδιζε την ανάπτυξιν της κατά τρόπον ώστε να δυνηθή η ερευνά να προχώρηση προς νέας λαμπράς ανακαλύψεις. Δια του Πλάτωνος υψούται η αριθμητική έρευνα εις την επίγνωσιν της θεωρητικής της αποστολής. Αι έννοιαι του μεγάλου και του μικρού, παρατηρεί ο Πλάτων εις την «Πολιτείαν» του (524 C), όπως τας χρησιμοποιεί η πρακτική αριθμητική, «η λογιστική», είναι τελείως συγκεχυμέναι. Την ιδίαν ποσότητα η κοινή αριθμητική αντίληψις την θεωρεί συγχρόνως και μεγάλην και μικράν. Παραβάλλων π.χ. ο απλούς άνθρωπος εξ αστραγάλους προς τεσσάρας τους θεωρεί περισσοτέρους, παραβάλλων όμως αυτούς προς δώδεκα τους θεωρεί ολιγωτέρους. Όταν κάμνη προσθέσεις, προσθέτει τα ανόμοια πράγματα χωρίς να τον ενδιαφέρη η ανομοιότης και η ανισότης των. Εν αντιθέσει προς την πρακτικήν αριθμητικήν, η αποστολή της θεωρητικής είναι κατά τον Πλάτωνα να υψωθή εις την θεώρησιν της φύσεως των αριθμών δια της νοήσεως. Χρέος της είναι να φθάση εις τας «υποθέσεις», δηλαδή εις τας βάσεις και τα πρώτα θεμέλια της αριθμητικής, και κατερχόμενη μεθαδικώς απ’ αυτάς να δικαιολόγηση τας προτάσεις τας οποίας θέλει να αποδείξη. Ομοίως και ο πρακτικός γεωμέτρης, ο όποιος ασχολείται με ορατά σχήματα, αν θέλη να γίνη επιστήμων πρέπει να εννοήση ότι τα ορατά γεωμετρικά σχήματα αποτελούν γραφικάς μόνον απεικονίσεις των ιδεωδών γεωμετρικών αντικειμένωνν. Την αστροναμικήν επιστήμην δεν την ενδιαφέρει η λαμπρά ποικιλία των ουρανίων σωμάτων, αλλ' η εξακρίβωσις και η κατανόησις των αληθινών κινήσεων των επί τη βάσει της ακριβούς ταχύτητος των και του αληθινού των σχήματος (Πλάτων Πολιτ. 529 D). Οι προ του Πλάτωνος μαθηματικοί οδηγούμενοι από την έμφυτον προς την επιστημονικήν αλήθειαν ορμήν, είχον ανακαλύψει πολλάς επιστημονικάς προτάσεις. Αλλ' εκείνος όστις έφθασε πρώτος εις την σαφή επίγνωσιν της θεωρητικής φύσεως της μαθηματικής ερεύνης και διέγνωσεν ότι πρέπει να στηριχθή το οικοδόμημα των μαθηματικών επιστημών επί ασφαλούς θεμελιώσεως και να καθορισθή η  μέθοδος, είναι ο  Πλάτων.

Πυθαγόρας και πρώϊμος πυθαγορισμός

Από το βιβλίο «Οι προσωκρστικοί» του Θεόφυλου Βείκου.

 

Αριθμός

Τι είναι όμως οι αριθμοί και πώς αναπτύχθηκε η ιδέα του αριθμού ^[1] Αντίθετα προς τα θρησκευτικά και καλλιτεχνικά σύμβολα, ο αριθμός είναι ένα επιστημονικό σύμβολο, και μάλιστα το πιο σημαντικό. O αριθμός, το πιο λογικό προϊόν του ανθρώπινου πνεύματος, φαίνεται να είναι επίσης η πιο κοινή αφηρημένη ιδέα στη συνηθισμένη καθημερινή σκέψη. Έτσι δικαιολογείται γιατί ο υπολογισμός έχει γίνει το πρότυπο και το μέτρο της ακριβούς σκέψης, και πρέπει να ήταν έτσι από την αρχή. Όταν όμως τα μαθηματικά θεωρούνται σαν επιστήμη πού θεμελιώθηκε από τον αρχαίο πυθαγορισμό, δεν θα πρέπει να αγνοούμε ότι η αρίθμηση και ο υπολογισμός είχαν αναπτυχθεί πιο παλιά, σε ανατολικούς πολιτισμούς. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ανακαλύψει τη σειρά των τακτικών αριθμών και ήξεραν να τακτοποιούν τα πράγματα αριθμητικά. Αλλά τα μαθηματικά δεν αναπτύχθηκαν σαν αυστηρή επιστήμη στους ανατολικούς πολιτισμούς. Αυτό ήταν μάλλον έργο των Ελλήνων. Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τον αριθμό σαν σύμβολο, τον απόλυτο δηλαδή αριθμό πού έχει μέσα του νόημα πού ξεπερνά το ρόλο του σαν όριο μιας απλής αρίθμησης και υπολογισμού. Η ανακάλυψη αυτή επέτρεψε τη θεμελίωση των μαθηματικών σαν επιστήμη, δηλαδή σαν ένα σύστημα συμβόλων, πού είναι και το πιο αξιόλογο επιστημονικό σύστημα. Ενώ οι ανατολικοί λαοί είχαν φτάσει σε υψηλό βαθμό τεχνικής στον υπολογισμό, πράγμα πού συντελέστηκε με τη συσσώρευση εμπειριών πολλών αιώνων, η στάση τους παρέμεινε πρακτική και τα αποτελέσματα εξυπηρετούσαν τρέχουσες μόνο πρακτικές ανάγκες. Έτσι δεν ήταν σε θέση να προχωρήσουν στην αφαίρεση. Αντίθετα, στην Ελλάδα οι αριθμοί είχαν συλληφθεί όχι με βάση ένα σύμβολο, όπως ήταν λ.χ. η βαβυλωνιακή σφήνα (▼) πού επαναλαμβάνεται στον σχηματισμό μεγάλων αριθμών, αλλά με βάση τη στιγμή ( • ) -αρχικά πέτρα η ψήφο- πού δίνει οπτικό σχήμα στην παράσταση των αριθμών, όπως π.χ.

Δύο διάσημα θεωρήματα των Ελληνικών Μαθηματικών

Η απολογία ενός μαθηματικού

G.H. Hardy

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

Οφείλω να δώσω παραδείγματα «πραγματικών» μαθηματικών θεωρημάτων θεωρήματα που ο κάθε μαθηματικός θα παραδεχτεί ότι είναι πρώτης τάξεως. Και ως προς αυτό βρίσκομαι σε εξαιρετικά μειονεκτική θέση εξ αιτίας των περιορισμών υπό τους οποίους γράφω. Αφ' ενός μεν τα παραδείγματα μου πρέπει να είναι πολύ απλά και κατανοητά για τον αναγνώστη που δεν έχει ειδικές μαθηματικές γνώσεις. Καμιά λεπτομερής προκαταρκτική εξήγηση δεν θα πρέπει να είναι αναγκαία, και ο αναγνώστης πρέπει να είναι σε θέση να παρακολουθεί τόσο τις αποδείξεις όσο και τις διατυπώσεις. Αυτές οι συνθήκες αποκλείουν, επί παραδείγματι, πολλά από τα πιο όμορφα θεωρήματα της Αριθμοθεωρίας, όπως το θεώρημα «των δύο τετραγώνων» του Fermat ή τον νόμο των τετραγωνικών αντίστροφων. Αφ' ετέρου δε, τα παραδείγματα μου θα πρέπει να προέρχονται από τα «καθαρά» Μαθηματικά, τα μαθηματικά του εργαζόμενου επαγγελματία μαθηματικού. Και αυτή η συνθήκη αποκλείει ένα σημαντικό κομμάτι τους που θα ήταν συγκριτικά εύκολο να γίνει κατανοητό, αλλά το οποίο υπεισέρχεται στη Μαθηματική Λογική και Φιλοσοφία.

Η αρχαία Ελλάδα - Dirk J Stuik

Dirk J Stuik. Σύντομη ιστορία των μαθηματικών.

 

Κεφάλαιο 1

Σε όλα τα ανατολικά μαθηματικά, δεν βρίσκουμε πουθενά νά έχει γίνει απόπειρα νά δοθεί αυτό πού ονομάζουμε απόδειξη. Δεν προβάλλανε καμιά επιχειρηματολογία, παρά μόνο δίνανε εντολές εφαρμογής ορισμένων κανόνων: «Κάμε έτσι, κάμε αυτό». Αγνοούμε με ποιόν τρόπο έβρισκαν τα θεωρήματα. Για παράδειγμα, πως φτάσανε οι Βαβυλώνιοι στο θεώρημα του Πυθαγόρα; Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες για νά εξηγηθεί ο τρόπος με τον οποίο οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι πορίζονταν τα εξαγόμενα τους. Όλες όμως οι ερμηνείες πού έχουν δοθεί είναι υποθετικής φύσης. Ολόκληρος ο ανατολικός τρόπος σκέψης φαίνεται εξαρχής παράξενος και διόλου ικανοποιητικός γι' αυτούς πού έχουν εκπαιδευτεί με την αυστηρά δομημένη συλλογιστική του Ευκλείδη. Αλλ' αυτό το παραξένεμα δεν διαρκεί, όταν συνειδητοποιήσουμε πώς τα περισσότερα μαθηματικά πού διδάσκονται για τους τωρινούς μηχανικούς και τεχνικούς είναι ακόμα του είδους «κάμε έτσι, κάμε αυτό», δίχως να καταβάλλεται μεγάλη προσπάθεια για αυστηρή απόδειξη. Σε πολλά σχολεία μέσης εκπαίδευσης, η άλγεβρα διδάσκεται μάλλον σαν ένα σύνολο κανόνων παρά ως μια απαγωγική επιστήμη. Τα ανατολικά μαθηματικά δεν κατάφεραν ποτέ, όπως φαίνεται, να χειραφετηθούν από τη χιλιόχρονη επίδραση των προβλημάτων τεχνολογίας και διοίκησης, για τα όποια είχαν επινοηθεί.

Κατά τη διάρκεια των τελευταίων αιώνων της δεύτερης π. Χ. χιλιετίας, έγιναν στην περιοχή της μεσογειακής λεκάνης οικονομικές και πολιτικές αλλαγές τεράστιες. Μέσα σε μιαν ατμόσφαιρα ταραγμένη από πολέμους και μετακινήσεις πληθυσμών, συντελέστηκε το πέρασμα από την εποχή του Χαλκού στη σύγχρονη εποχή, την εποχή του Σιδήρου. Ελάχιστες λεπτομέρειες είναι γνωστές για την περίοδο αυτών των μεγάλων αναστατώσεων. Προς το τέλος της, ίσως γύρω στο 900 π. Χ., οι Χετταίοι καθώς και η μινωική αυτοκρατορία είχαν εξαφανιστεί, η δύναμη της Αιγύπτου και της Βαβυλωνίας είχε σημαντικά περιοριστεί, και νέοι λαοί εμφανίστηκαν στο ιστορικό προσκήνιο. Οι πιο εξέχοντες ήσαν οι Εβραίοι, οι Ασσύριοι, οι Φοίνικες και οι Έλληνες. Η αντικατάσταση του χαλκού από τον σίδηρο προξένησε μεταβολές, πού δεν περιορίστηκαν μονάχα στις μεθόδους διεξαγωγής του πολέμου. Τα εργαλεία παραγωγής έγιναν φτηνότερα, με αποτέλεσμα ν' αυξηθεί το κοινωνικό πλεόνασμα, να τονωθεί το εμπόριο και να δοθεί έτσι στον απλό λαό η δυνατότητα μιας ευρύτερης συμμετοχής σε ζητήματα οικονομίας και πιο ενεργής ανάμειξης στο δημόσιο βίο. Το γεγονός αυτό αντικατοπτρίστηκε σε δυο μεγάλες καινοτομίες: την αντικατάσταση της άβολης γραφής της αρχαίας Ανατολής με το ευκολομάθητο αλφάβητο και την εισαγωγή νομισματικού χρήματος, πού με τη σειρά του συνέβαλε στην άνθηση του εμπορίου. Είχε φτάσει ο καιρός όπου και η πνευματική καλλιέργεια δεν μπορούσε πια να παραμένει προνόμιο αποκλειστικό μιας ιθύνουσας τάξης στην Ανατολή.

Οι μαθηματικοί του Μεσαιωνικού ελληνισμού

Του Μιχάλη Μανωλόπουλου ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.δ. τ.1/12

Θα ακολουθήσει μία περιληπτική αναφορά σε μαθηματικούς του Μεσαιωνικού Ελληνισμού. Σημαντικό μέρος των βιογραφούμενων εκτός από την ενασχόλησή του με τα μαθηματικά είχε να επιδείξει επιστημονική δράση και στις υπόλοιπες θετικές επιστήμες όπως και στην θεολογία, την φιλοσοφία, την ποίηση και την ιστορία. Κάποιοι υπήρξαν επίσης προσωπικότητες με έντονη πολιτική δράση. Όπως είναι φυσικό το ενδιαφέρον μας εστιάστηκε κυρίως στην πρώτη τους δραστηριότητα.

Και μία επισήμανση που νομίζουμε δεν στερείται σημασίας. Η αυτοκρατορία που επί έντεκα αιώνες διαμόρφωσε ένα λαμπρό πολιτισμό, ποτέ δεν αυτοαποκλήθηκε Βυζαντινή. Οι κάτοικοι της ονόμαζαν τους εαυτούς τους Ρωμαίους ή Χριστιανούς και την πατρίδα τους Ρωμανία. Όσο μάλιστα υποχωρούσε, με το πέρασμα του χρόνου, η ταύτιση του Έλληνα με τον ειδωλολάτρη διευρύνετο η χρήση του ονόματος Έλληνας. Σ' αυτό το άρθρο λοιπόν υπάρχει η συνεισφορά της «Νέας Ρώμης» στα μαθηματικά, αλλά και στις φυσικές επιστήμες γενικότερα, συνεισφορά του Ελληνισμού και μάλιστα του Μεσαιωνικού Ελληνισμού. Είναι απαραίτητο να αναφερθεί εδώ, μια άποψη που την ασπάζεται η πλειοψηφία των ιστορικών της επιστήμης. Ο Μεσαίωνας δεν είναι καθόλου μια «σκοτεινή» περίοδος της ιστορίας, όπως ίσως θα άρεσε σε κάποιους, ούτε η σχολαστική παράδοση εκείνης της εποχής υπονόμευε την επιστήμη. Αυτά κυρίως για τον δυτικό Μεσαίωνα γιατί στην Ανατολή έχουμε μία τεράστια πνευματική, πολιτιστική καλλιτεχνική και επιστημονική άνθιση, με αποτέλεσμα τον 14° και 15° αιώνα, τα πλήθη στη Δύση να κρέμονται από τα στόματα ακόμα και μετρίων λογίων προσφύγων από την Ανατολή. Η δημιουργικότητα του ελληνικού πνεύματος δεν περιορίζεται μόνο στην αρχαιότητα. «Ο ρόλος του Βυζαντίου στην εξέλιξη των επιστημών και ιδιαίτερα των μαθηματικών και της αστρονομίας είναι σημαντικός» (Ιστορία της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, έκδοση του Πανεπιστημίου του Cambridge). Κληρικοί, μοναχοί αλλά και λαϊκοί καλλιέργησαν και συντήρησαν τον πολιτισμό και τις επιστήμες. Χαρακτηριστικό της ευρύτητας του πνεύματος των, είναι το ενδιαφέρον τους για την σοφία των Περσών και των Ινδών, όπως αναφέρει ο καθηγητής Β. Τατάκης.

Συνηθίζεται η Βυζαντινή Ιστορία να διαιρείται σε τρεις μεγάλες περιόδους: την Πρώιμη, τη Μέση και την Ύστερη.

Α. Πρώιμη Περίοδος

Αρχίζει το 324 μ.Χ. με την ίδρυση της Νέας Ρώμης (Κωνσταντινουπόλεως). Διαρκεί μέχρι τα μέσα περίπου του 7ου αιώνα. Το τέλος της συμπίπτει με την άνοδο του Ισλαμισμού και την οριστική εγκατάσταση των Αράβων στις νοτιοανατολικές ακτές της Μεσογείου.

Ιστορία μαθηματικων G. LORIA - Αρχαία Ελλάδα

Ότι γνωρίζομεν γύρω από το επιστημονικόν έργον της αρχαίας Ελλάδος αποδεικνύει ότι, ακόμη και αν οι Έλληνες ήντλησαν έκτος της μητρός πατρίδος τα στοιχεία της γνώσεως, ούτοι μετεσχημάτισαν ταύτα τόσον βαθέως και τα ανέπτυξαν περαιτέρω κατά τρόπον τόσον πρωτότυπον, ώστε δεν είναι δυνατόν ν’ αρνηθώμεν ότι ολόκληρος η επιστημονική των δημιουργία αποτελεί αποκλειστικήν και αναπαλλοτρίωτον πνευματικήν ιδιοκτησίαν των, τόσον μάλλον, καθ' όσον δεν υπάρχει εις το ελληνικόν πνεύμα κανένα ιδιαίτερον γνώρισμα ή γεγονός, πού να μη ευρίσκεται εις πλήρη συμφωνίαν προς ότι άλλο γνωρίζομεν γύρω από την ιδιοφυΐαν αυτής της προνομιούχου φυλής της φύσεως...

Ιστορία Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Eγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ»

Η αρτιότερη ίσως αναφορά στα Αρχαία Ελληνικά μαθηματικά

Eγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ». Κ.Δ Γεωργούλης.

Ο ρόλος των μαθηματικών μέσα από τα έργα του Πλάτωνα

Βαγγέλης Σπανδάγος. Περιοδικό Ευκλείδης E.M.E.

Ο μελετητής των "Διαλόγων" ή της "Πολιτείας" του Πλάτωνα με έκπληξη θα διαπιστώσει ότι μέσα από τη μουσική Παιδεία ο μεγάλος φιλόσοφος εισάγει κατά απροσδόκητο τρόπο ένα ακόμα είδος σπουδών, τα μαθηματικά. Κατά τα Πλατωνικό έργα, τα μαθηματικά πρέπει να έχουν θέση σ΄ όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες, αρχής γενομένης από τα στοιχειώδη. Το κατώτερο σχολείο δεν μπορεί να παραλείψει τη στοιχειώδη σπουδή των φυσικών αριθμών πιθανώς δε και των δωδεκαδικών κλασμάτων (το οποία χρησιμοποιούσε η Ελληνική μετρολογία). Τούτο απορρέει και από την ανάγκη εκμάθησης της γλώσσας και από την ίδια την ζωή. Ο Πλάτων όμως προχωρεί και πέραν των αναγκών αυτών. Στην κυρίως μελέτη των αριθμών προσθέτει τη "λογιστική", (δηλαδή την χρήση αριθμητικών ασκήσεων), ενσωματωμένη σε συγκεκριμένα προβλήματα της καθημερινής ζωής και των επαγγελμάτων. Παράλληλα παραχωρεί μέσα στη Γεωμετρία, θέση για τις απλές αριθμητικές εφαρμογές (μέτρα μήκους, επιφανείς όγκου κ.α), καθορίζει δε και ελάχιστο όριο αριθμητικών γνώσεων απαραιτήτων στην αστρονομία.

Το Παλίμψηστο Χειρόγραφο του Αρχιμήδη

Παλίμψηστο

Με τον όρο παλίμψηστο περιγράφονται αρχαία κείμενα σε πάπυρους και περγαμηνές ή ζωγραφικοί πίνακες που επικαλύφθηκαν με άλλο κείμενο ή εικόνα σε μεταγενέστερη εποχή για να χρησιμοποιηθούν ξανά ως βάση για τη δημιουργία νεότερων έργων. Η σύγχρονη τεχνολογία μας δίνει πλέον τη δυνατότητα, μέσω των ακτίνων Χ και της φωτογράφησης σε διάφορα μήκη κύματος φωτός, να διαβάζουμε το αρχικό κείμενο που υπήρχε στον πάπυρο.

Επιστημονική βιβλιοθήκη Life.

ΤΑ ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ—τα μαθηματικά για τα μαθηματικά, χωρίς, δηλαδή, συγκεκριμένο πρακτικό σκοπό—γεννήθηκαν όταν ο άνθρωπος άρχισε να σκέπτεται τους αριθμούς σαν αριθμούς, πέρα από το να μετράη τα πρόβατα του, και όταν άρχισε να σκέπτεται τα σχήματα σαν σχήματα, πέρα από τη μορφή ενός βάζου. Αλλά τα πρώτα αυτά καθαρά μαθηματικά δεν ήσαν η λογική και συστηματική επιστήμη πού γνωρίζομε σήμερα. Οι ξεχασμένοι σοφοί της Μεσοποταμίας, πού ανεκάλυψαν το 60δικό σύστημα, σπάνια σταματούσαν για να γεφυρώσουν τις ανακαλύψεις τους με τις εσωτερικές τους σχέσεις η για να εμβαθύνουν στις σκέψεις πού τους οδήγησαν σ’ αυτές. Όπως οι επήλυδες σε μια χρυσοφόρο περιοχή, πήγαιναν από δω κι από κει, μάζευαν τα ψήγματα πού βρισκόντουσαν στην επιφάνεια, αδιαφορώντας να σκάψουν στο έδαφος για να βρουν τη φλέβα. Οι πινακίδες με τη σφηνοειδή γραφή και οι πάπυροι, όπου οι Μεσοποτάμιοι και άλλοι αρχαίοι λαοί είχαν καταγράψει τα αποτελέσματα των μαθηματικών τους γνώσεων, ήσαν τόσο άδειοι από συλλογισμούς όσο οι οδηγοί μαγειρικής και παραμελούσαν τις αποδείξεις; όπως τα συνταγολόγια των φαρμακοποιών. Πρόσθεσε αυτό, η αφαίρεσε εκείνο—έλεγαν—και θα βρής έτσι την αλήθεια. Ένα περίφημο αιγυπτιακό κείμενο, ο πάπυρος του Ρήντ, αυτοτιτλοφορείται «οδηγίες για την κατανόηση όλων των σκοτεινών πραγμάτων», αλλά περιλαμβάνει κανόνες αυθαίρετους, διατυπωμένους χωρίς εξηγήσεις.