Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς

G.LORIA ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Αι εργασίαι των νεωτέρον μαθητών του Πυθαγόρου και του Πλά­τωνος, καλυπτόμεναι εν γένει από μίαν αχλύν επισκιάζουσαν την διαύγειαν και την ακρίβειαν των φιλοσοφικών έργων, έχουν επί πλέον ένα αρνητικόν χαρακτηριστικόν γνώρισμα άξιον ιδιαιτέρας μνείας. Ότι δηλαδή ελλείπουν εντελώς από τας εργασίας αυτών εφαρμογαί των αναπτυσσομέ­νων θεωριών εις την λύσιν προβλημάτων. Το προκύπτον κενόν (της βαρύτητος του οποίου δεν έχουν ανάγκην αποδείξεως όσοι γνωρίζουν όποιον κίνητρον δια την μαθηματικήν έρευναν αποτελούν τα προβλήματα) πληρούται  θαυμασίως  από   ένα κορυφαίον επιστήμονα,  τον   Διόφαντον.

Περί της ζωής του Διόφαντου γνωρίζομεν ακόμη ολιγώτερα των όσων ηδυνήθημεν να μάθωμεν περί Ευκλείδου και Απολλώνιου. Δυνάμεθα να θεωρούμεν ως βέβαιον ότι έζησε και απέθανεν εις Αλεξάνδρειαν, ο δε χρόνος της ζωής του πρέπει να τοποθετηθή εντός του χρονικού διαστήματος από 200 π.Χ. μέχρι 400 μ.Χ., του όποιου το μήκος, βάσει διαφόρων υποθέσεων, δύναται περαιτέρω) να περιορισθή από του 150 π.Χ. μέχρι του 250  μ.Χ.

Το κυριώτερον έργον του αποτελείται από μίαν ποικιλωτάτην συλλογήν αριθμητικών προβλημάτων υπό τον τίτλον «Τα Αριθμητικά». Αρχι­κώς το έργον τούτο περιελάμβανε δεκατρία βιβλία, σήμερον όμως κατέχομεν μόνον τα 6. Κατά την γνώμην μερικών ιστορικών, η απώλεια δεν πρέπει να θεωρείται τόσον σοβαρά όσον είναι η διαφορά των αριθμών 6 και 13, διότι μερικά βιβλία ενδεχομένως εξηφανίσθησαν δια συγχωνεύσεως της ύλης των υπό πολύ τολμηρών και ελάχιστα ευσυνείδητων αντιγραφέων. Μία τοιαύτη παρηγορητική επιχειρηματολογία πόρρω απέχει από του να δύναται να υποστηριχθή κατά τρόπον αναντίρρητον, διότι η ερευνά των διοφαντικών κωδίκων διδάσκει ότι αι προσβολαί, τας οποίας υπέστη το έργον, ανάγονται εις τον XI και ίσως τον Χ αιώνα μ.Χ.

Δια να έκθεση μεθοδικώτερον ο Διόφαντος την ύλην που ανέλαβε να πραγματευθή, έκαμε χρήσιν ενός ειδικού συμβολισμού (ο όποιος θα ηδύνατο να χαρακτηρισθή ως στενογραφία) ασφαλώς αρκετά ατελέστερου εκείνου πού χρησιμοποιούμεν σήμερον, ικανού όμως να κάμη τους θαυ­μαστάς του να θεωρήσουν τον Διόφαντον ως «πατέρα της άλγεβρας». Δεν συντασσόμεθα με την άποψίν των, μολονότι αναγνωρίζομεν ότι οι χαρακτήρες, τους οποίους χρησιμοποιεί ο μέγας Έλλην μαθηματικός, δια να παραστήση την μονάδα, τον άγνωστον και τας δυνάμεις του, η δια να παραστήση την αφαίρεσιν η την ισότητα δύο εκφράσεων, αποτελούν την εμβρυώδη μορφήν του συμβολικού συστήματος, το οποίον ωδήγησε την επιστήμην του υπολογισμού εις τας υψηλοτέρας της κατακτήσεις. Δεν είναι δε άγνωστα εις τον Διόφαντον ούτε ο νόμος των εκθετών

Χ^μ · Χ^ν   =   Χ^{μ + ν}

(δια μ, ν, ακεραίους, θετικούς η αρνητικούς), ούτε ο κανών ο διδάσκων το σημείον των μερικών γινομένων αθροίσματος επί διαφοράν δύο τυχουσών ποσοτήτων.

Δια να καταστήσωμεν σαφεστέραν την σκέψιν μας, όσον άφορα την γνώμην ότι ο Διόφαντος είναι ο γενάρχης της μεγάλης οικογενείας των αλγεβριστών, πρέπει να σημειώσωμεν ότι από τούδε και εις το έξης αποδίδομεν εις την λέξιν «άλγεβρα» την σημασίαν της επιστήμης, η οποία συγκεντρώνει συστηματικώς όλας  τας μεθόδους   τας  χρησιμοποιούμενος προς λύσιν προβλημάτων με αριθμητικά η γενικά δεδομένα και με αγνώστους του αυτού είδους, ως και τας συναφείς θεωρίας, αι οποίαι οδηγούν εις την διατύπωσιν και δικαιολογίαν των. Επί πλέον υιοθετούμεν την υπό Nesselmann προταθείσαν διάκρισιν τριών φάσεων, αναπτύξεως των αλγεβρικών θεωριών, ήτοι:

1) Εις το πρώτον στάδιον, η άλγεβρα δύναται να ονομασθή ρητορική, αφού λόγω ελλείψεως  παντός συμβολισμού, οι υπολογισμοί γίνονται δια του λόγου. Τα αριθμητικά κείμενα των νεοπλατωνικών και νεοπυθαγορικών σχολών ανήκουν εις το πρώτον τούτο είδος της άλγεβρας.

2)  Εις το  δεύτερον της  στάδιον, η άλγεβρα  δύναται να ονομασθή συγκεκομμένη, διότι χρησιμοποιεί γενικώς τον λόγον, παρεμβάλλουσα μόνον εδώ και εκεί συντομογραφίας δια να καταστήση την πορείαν των συλλογισμών και των υπολογισμών  ευκολωτέραν και συνοπτικωτέραν. Ακριβώς αυτήν την νέαν φασίν εξελίξεως εκφράζει ο Διόφαντος.

3) Εις το τελευταίον και τελειότερον στάδιον εξελίξεως, η άλγεβρα δύναται να ονομασθή συμβολική, καθ' όσον χρησιμοποιεί ειδικά σύμβολα δια να παραστήση τα δεδομένα και τα ζητούμενα (τους άγνωστους), ως επίσης δια να παραστήση τας διαφόρους πράξεις. Και θα ίδωμεν ότι έπρεπε ν' ανέλθωμεν εις τον XVII αιώνα προτού δυνηθή η άλγεβρα να φθάση εις το στάδιον τούτο της εξελίξως.

Εκ των προβλημάτων, τα όποια πραγματεύεται ο αριθμητικός της Αλεξανδρείας μερικά είναι πρώτου βαθμού, αλλά δευτέρου βαθμού και ένα μόνον του τρίτου. Μερικά είναι ωρισμένα, αλλά απροσδιόριστα. Των τελευταίων τούτων ο Διόφαντος δεν έρευνα τας ακεραίας και θετικάς λύσεις, όπως συνηθίζομεν σήμερον, αλλά μόνον τας θετικάς ρητάς λύσεις. Τούτο προφανώς καθίστα την έρευναν πολύ ευκολωτέραν και αποδεικνύει ότι είναι πράγματι αδικαιολόγητος η ονομασία Διοφαντική ανάλυσις, η οποία εδόθη εις την απροσδιόριστον ανάλυσιν, ακόμη και εκ μέρους εκείνων (και αρκεί ν' αναφέρομεν το ένδοξον άνομα του Jacobi) οι όποιοι εγνώριζον κατά βάθος το έργον του Διόφαντου.

Μία γενική επισκόπησις των προβλημάτων πού πραγματεύεται o Διόφαντος, φέρει εις φως, ότι δύνανται να κατανεμηθούν εις ομάδας και ότι τα στοιχεία εκάστου συνδέονται μεταξύ των με προφανείς αναλογικάς σχέσεις. Επί πλέον ότι ο Διόφαντος δεν εξήτασε πάντοτε όλα τα προβλήματα, τα όποια θα είχον δικαίωμα να περιληφθούν εις την ιδίαν ομάδα. Κατά πόσον τα προκύπτοντα κενά είναι αποτέλεσμα εσκεμμένης ενεργείας του συγγραφέως η επεβλήθησαν εις το κείμενον από αντιγραφείς μικράς αξιοπιστίας, είναι σήμερον αδύνατον να   εξακριβώσωμεν.

Αι μέθοδοι, τας οποίας ακολουθεί ο μέγας Έλλην αριθμητικός δια την λύσιν των εξεταζομένων προβλημάτων, δεν εκτίθενται υπό τούτου με όρους γενικούς, άλλ' εφαρμόζονται απλώς από περιπτώσεως εις περίπτωσιν. Επαφίεται λοιπόν εις τον αναγνώστην να εξαγάγη εκ των εφαρμογών γενικά συμπεράσματα. Ούτω βλέπομεν, ότι δια να λύση ένα πρόβλημα πρώτου βαθμού με ένα άγνωστον, προβαίνει περίπου κατά την σύγχρονον μέθοδον της συγκεντρώσεως - εις το ένα μέλος της εξισώσεως των όρων πού έχουν τον άγνωστον, εις δε το άλλο μέλος τους γνωστούς όρους. Τοιουτοτρό­πως το πρόβλημα ανάγεται εις την εκτέλεσιν μιας διαιρέσεως η εις την αναζήτησιν μιάς τετάρτης αναλόγου. Όταν κατόπιν ο Διόφαντος επιλαμβά­νεται προβλήματος αναγομένου εις ωρισμένον σύστημα γραμμικών εξι­σώσεων, συναντά μίαν δυσκολίαν άγνωστον εις ημάς, η οποία προήρχετο εκ του γεγονότος ότι όντος διέθετε, ένα μόνον σύμβολον προς παράστασιν των αγνώστων. Δια την υπερνίκησιν της δυσκολίας αυτής εξέ­φραζε τους λοιπούς αγνώστους συναρτήσει ενός προνομιούχου, ο όποιος δεν ήτο πάντοτε ένας εξ εκείνων, πού εισήρχοντο εις την εκφώνησιν του προβλήματος, αλλά συχνά ήτο ένας βοηθητικός άγνωστος, εκλεγόμενος εις εκάστην ιδιαίτερον περίπτωσιν. Ακριβώς δε εις την εκλογήν τοιούτου βοηθητικού άγνωστου ο Διόφαντος έδωσεν εξαιρετικά δείγματα ευφυΐας και γονιμότητος, τα όποια ίσος να έφθασαν, αλλά δεν υπερέ­βησαν οι μεταγενέστεροι   μαθηματικοί.

Είναι δυσκολώτερον να εξαγάγωμεν κάποιον συμπερασμόν γενικού χαρακτήρος, όσον αφορά τας λύσεις των διοφαντικών προβλημάτων, αι οποίαι ισοδυναμούν προς λύσεις δευτεροβαθμίων εξισώσεων, αφού π.χ. δεν κατέστη ακόμη δυνατόν να μάθωμεν μετά βεβαιότητος, εάν ούτος εγνώριζε τας δύο ρίζας της δευτεροβαθμίου εξισώσεως εις την περίπτωσιν πού είναι αμφοτέραι θετικαί. Και το σκότος γίνεται μεγαλύτερον όσον άφορα τον τρόπον, τον οποίον ακολουθεί δια ν' αναγνώριση ότι η κυ­βική εξίσωσις :

χ³-3χ²+3χ-1=χ²+2χ+3

έχει ρίζαν χ = 4, μολονότι φαίνεται πιθανή η υπόθεσις, ότι έφθασεν εις το συμπέρασμα τούτο αφού προηγουμένως έδωσεν εις αυτήν την ακόλουθον μορφήν:

χ(χ²+1) = 4(χ²+1).

Η ίδία ποικιλία ευφυέστατων τεχνασμάτων, πού απαντάται εις την λύσιν συστημάτων πρώτου βαθμού, εφαρμόζεται και προκειμένου περί συστημάτων εξισώσεων, των οποίων μία τουλάχιστον είναι δευτεροβάθμιος, εις τρόπον ώστε η μελέτη του Διόφαντου να είναι ακόμη και σήμερον πολύ διδακτική δι εκείνον πού επιθυμεί να εξοικειωθή με την λύσιν τοιούτων συστημάτων.

Από όλα αυτά δυνάμεθα να συμπεράνωμεν, ότι κατά τον χειρισμόν ωρισμένων προβλημάτων, ο Διόφαντος ενεργεί κατά τρόπον μη διαφέροντα εκείνου, τον οποίον θα ηκολούθει ένας σύγχρονος αλγεβριστής. Αλλά τούτο δεν δύναται να επαναληφθή προκειμένου περί των αορί­στων προβλημάτων. Εν πρώτοις, ενώ ημείς σήμερον εις τα προβλήματα του είδους τούτου απαιτούμεν την γενικήν λύσιν εις ακεραίους και θετικούς αριθμούς, ο Έλλην μαθηματικός περιορίζεται εν γένει εις την εύρεσιν μιας ειδικής λύσεως εις αριθμούς ρητούς θετικούς. Ούτως εχόντων των πραγμάτων, είναι φανερόν ότι δια τον Διόφαντον δεν υφίσταται πρόβλημα απροσδιο­ρίστου αναλύσεως πρώτου βαθμού, αφ' ης στιγμής δοθείσης μιας αυθαι­ρέτου τιμής χ₀ του αγνώστου   χ, μικροτέρας  του λόγου γ/α, η εξίσωσις

αχ + βy = γ

επαληθεύεται από τον ρητόν θετικόν αριθμόν:

Όταν όμως μεταξύ των εξισώσεων του προβλήματος ευρίσκονται και δευτεροβάθμιοι, ο Διόφαντος δέχεται δια μερικούς αγνώστους εκφρά­σεις περιέχουσας ένα αόριστον, και εκλέγει  τούτους  κατά τρόπον ώστε το όλον να είναι ρητόν. Π.χ. εις την εξίσωσιν

_Χ² + y² = α² + β²

θέτει

χ = λξ-α

y = μξ-β

όπου λ, μ αυθαίρετοι σταθεραί και ξ μία προσδιοριστέα ποσότης. Ευρίσκει ούτω:

και τότε οι άγνωστοι χ, y προκύπτουν ρητοί. Μας είναι αδύνατον να μνημονεύσωμεν τας ποικίλας μορφάς, υπό τας οποίας ο Διόφαστος εφαρμόζει την ιδέαν αυτήν, αν και παρέχουν ισάριθμα δείγματα απαραμίλλου δεξιοτεχνίας εις τους υπολογισμούς. Θ' αρκεσθώμεν μάλλον εις το να παρατηρήσωμεν ότι πλείστα των διοφαντικών προβλημάτων οδηγούν εις το ακόλουθον γενικόν πρόβλημα: Δοθεισών δύο αλγεβρικών ρητών ακε­ραίων συναρτήσεων πρώτου η δευτέρου βαθμού με ένα άγνωστον, να προσδιορισθώ μία τιμή τούτου, δια την οποίαν αι δύο συναρτήσεις ν' αποκτούν τετραγωνικάς τιμάς. Η λύσις μιας τοιαύτης «διπλοϊσότητος» εις το πεδίον των ακεραίων αριθμών είναι επιχείρησις αρκετά δυσχερής, αλλά και εις το πεδίον των ρητών αριθμών παρουσιάζει τεραστίας δυσκο­λίας, τας οποίας ο ίδιος ο Διόφαντος δεν ηδυνήθη να υπερνίκηση παρά μόνον εις ειδικάς περιπτώσεις, καταφεύγων μάλιστα ενίοτε εις την, υπ' αυτού ονομασθείσαν «προσεγγιστικήν μέθοδον», η οποία αποτελεί μίαν μορφήν του κανόνος της «αυθαιρέτου αφετηρίας» (Regula falsi).

Παραδείγματα διπλών ισοτήτων απαντώνται εις το VI βιβλίον του υπό εξέτασιν έργου, το βιβλίον δε τούτο κατ' αντίθεσιν προς τα προη­γούμενα παρουσιάζει απόλυτον ενότητα και αποσκοπεί εις την κατα­σκευήν τριγώνων ορθογωνίων με πλευράς μετρούμενος υπό ρητών αρι­θμών πληρούντων ωρισμένας συνθήκας. π.χ. την συνθήκην, όπως η διχο­τόμος της ορθής γωνίας εκφράζηται επίσης δια ρητού αριθμού η όπως το εμβαδόν του τριγώνου προσλαβόν «τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον» - «τον εν εκατέρα των ορθών, ποιή τετράγωνον» ¹.

Ας σημειωθή τέλος, ότι μεταξύ των προβλημάτων τα όποια πραγματεύεται ο Διόφαντος, ένα μόνον έχει συνάφειαν με τον πρακτικόν βίον, το ακόλουθον: «Ἠγόρασε τὶς δύο εἴδη οἴνου, ἐκ μὲν τοῦ ἑνὸς τὸν χοέα πρὸς 8 δραχμᾶς, ἐκ δὲ τοῦ ἄλλου τὸν χοέα πρὸς 5 δραχμᾶς καὶ εἶπεν ὅτι ἡ τιμὴ τοῦ ὅλου νὰ εἶναι τετράγωνος ἀριθμός, ὁ ὅποιος, προστιθέμενος εἰς τὸ 60 ἐσχημάτιζε τετράγωνον ἀριθμόν, τοῦ ὁποίου ἡ τετραγωνικὴ ρίζα ἰσοῦται πρὸς τὸ ἄθροισμα τῶν χοέων. Νὰ εὑρεθοῦν οἱ ὀκτάδραχμοι χοεῖς»².

                                                                       .

Τα Αριθμητικά του Διόφαντου είναι άξια πολλής προ­σοχής και μελέτης όχι μόνον δια το θέλγητρον των περιεχομένων προ­βλημάτων και την αξίαν των μεθόδων λύσεως αυτών, άλλ' ακόμη διότι διδασκόμεθα πλήθος αριθμητικών θεωρημάτων, τα όποια δεν απαντώνται εις αρχαιότερους συγγραφείς. Αναφέρομεν π.χ. τα εξής:

Ι. Το τετράγωνον δύο αριθμών, ων έκαστος είναι άθροισμα δύο τετραγώνων, δύναται να εκφρασθή κατά δύο διαφόρους τρόπους ως άθροισμα δύο τετραγώνων.

II. Η διπλοϊσότης η έχουσα ως πρώτα μέλη α1χ + β₁, α₂χ + β₂ λύε­ται όταν β₁, β₂ αριθμοί τετράγωνοι.

III. Εάν 3α +1 είναι άθροισμα τριών τετραγώνων, ο αριθμός α δεν δύναται να είναι τής μορφής 8η + 2.

IV. Κάθε αριθμός ίσος προς το άθροισμα δύο κύβων δύναται να εκφρασθή επίσης ως διαφορά δύο κύβων η, με άλλας λέξεις, ένας κύβος δύναται ν' αναλυθή εις άθροισμα τριών άλλων.

Εξ άλλου από ένα χωρίον του Διόφαντου φαίνεται, ότι ούτος είχε διαίσθησιν της ιδιότητος, καθ' ην πας αριθμός ακέραιος δύναται να εκφρασθή ως άθροισμα το πολύ τεσσάρων τετραγώνων.

Η απουσία εκ της μαθηματικής γραμματείας κειμένων του είδους των αριθμητικών του Διόφαντου, αρχαιοτέρας εποχής, η εξαφάνισις επαρκών σχολίων (τα δύο πρώτα βιβλία εύρον ένα υπομνηματιστήν κατά τον XIV αιώνα εν τω προσώπω του Μαξίμου Πλανούδη, ενώ αγνοούμεν τελείως την έκτασιν παρόμοιας εργασίας οφειλομένης εις την Υπατίαν), ως και η λήθη που εκάλυψε τον Διόφαντον εκ της ελλείψεως προσώπων ικανών να κατανοήσουν το έργον του, αποτελούν ισάριθμα θλιβερά περιστατικά διότι καθιστούν αδύνατον την ακριβή εκτίμησιν του βαθμού της πρωτοτυπίας του εν λόγω έργου. Πρέπει εν τούτοις να παρατηρήσωμεν, ότι από μερικάς φράσεις του Διόφαντου αγόμεθα εις το συμπέρασμα, ότι το έργον του δεν είναι εξ ολοκλήρου νέον, αλλ' ότι αποτελεί συγκέντρωσιν προϋπάρχοντος υλικού, το οποίον ούτος επεξειργάσθη και ετελειοποίησε με τοιαύτην επιμέλειαν εις τρόπον, ώστε να δυνηθή να σύνθεση ένα σύ­νολον μεγίστης ωφελιμότητος δια τους φιλομαθείς.

Η ολίγον αυστηρά αύτη κρίσις ευρίσκει, όπως λέγουν μερικοί, επιβεβαίωσιν εις ό,τι απέμεινε σήμερον από ένα μικρόν έργον του Διοφάντου περί πολυγώνων αριθμών, εις το οποίον δεν περιέχον­ται θέματα η μέθοδοι πρωτότυποι, αλλ' η εκ των Στοιχείων του Ευκλείδου γνωστή γεωμετρική άλγεβρα εφαρμόζεται εις μίαν διωρθωμένην και βελτιωμένην ανάπτυξιν μιας θεωρίας η οποία περιελαμβάνετο εις απολεσθέν σήμερον   κείμενον  του Υψικλέους του Αλεξανδρέως.

Σπεύδομεν παρά ταύτα να σημειώσωμεν, ότι η εκ της διαπιστώσεως ταύτης εξαγωγή συμπεράσματος, ότι ο Διόφαντος υπήρξε τάχα κάτι περισσότερον ενός ερανιστού, δεν αποτελεί κρίσιν επαρκώς θεμελιωμένην, διότι δεν ελλείπουν εις την ιστορίαν της ανθρωπινής σκέψεως παρα­δείγματα πρωτοτύπων ερευνητών, οι όποιοι εις την αυγήν η την δύσιν της σταδιοδρομίας των δεν εθεώρησαν ασχολίαν κατωτέραν εαυτών την συγγραφήν θεωριών, αι οποίαι δεν έφερον την σφραγίδα της ιδικής των εμπνεύσεως. Δια τούτο, καθ' ημάς, το πρόβλημα της πρωτοτυπίας του Διόφαντου, όπως συμβαίνει και με τα αφορώντα την ζωήν του, καλύπτεται, μέχρι της στιγμής, από ανεξιχνίαστον σκότος.

1.  Βλ. Ε. Σταμάτη : Διοφάντου Αριθμητικά Αθήναι 1963, Βιβλίον VI, σελ. 316-317.

2.  Βλ. Ε. Σταμάτη : Διοφάντου Αριθμητικά, Αθήναι 1963,   σελ. 297 (Βιβλίον V, πρβλ. 30)