Επί του μαθηματικού χωρίου του Θεαιτήτου του Πλάτωνος, υπό Ευαγγέλου Σταμάτη

Google Drive

ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΤΙΜΑΙΟΣ

ΤΙΜΑΙΟΣ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Οι αριθμοί στη φιλοσοφία του Πλάτωνα: Μια οπτική της Αριστοτελικής κριτικής

Η παρούσα εργασία αφορά την κριτική, την οποία άσκησε ο Αριστοτέλης κατά της θεωρίας του Πλάτωνα, σχετικά με την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών.
Στέφος Ευστάθιος, Διπλ. Ηλ/γος Μηχ/κός, Τσαβέ Αθανασία, Φιλόλογος Καθηγητές Γυμνασίου Ιαλυσού, Ρόδος.

Στόχος αυτής της εργασίας είναι ο σχολιασμός της κριτικής, που άσκησε ο Αριστοτέλης κατά της θεωρίας του Πλάτωνα, σχετικά με την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών. Βέβαια, οι αριθμοί δεν φορούν το φιλοσοφικό τους μανδύα για πρώτη φορά στην αρχαία Ελλάδα. Στη βραχμανική φιλοσοφία το Τριμούρτι, γνωστό ως Βράχμα, Βισνού και Σίβα – σύμβολα αντιστοίχως των δημιουργικών, συντηρητικών και καταστρεπτικών δυνάμεων της Φύσης – αποτελεί την τριαδική μορφή της Δυνάμεως του Σύμπαντος. Όταν αυτός ο τριπλός Θεός γίνεται Σαρίρα, λαμβάνει μια ορατή μορφή και τυποποιεί όλες τις αρχές της Ύλης, όλα τα σπέρματα της ζωής. Τότε είναι ο Θεός των τριών προσώπων ή η τριπλή δύναμη, η ουσία της Βεδικής Τριάδας.

Αυτή η μυστικιστική πλευρά του τρία στους Βραχμάνους δεν αποτελεί τη μόνη “σκοτεινή” πλευρά των αριθμών. Η Μονάδα, στη θεωρία του Πυθαγόρα, αφού δημιουργήσει τη Δυάδα, αποσύρεται στη σιωπή και το σκότος, δημιουργώντας έτσι την Τριάδα. Η απόκρυφη Δεκάδα (1+2+3+4=10) είναι ένας τρόπος έκφρασης αυτής της ιδέας. Το Ένα είναι ο Θεός. Το Δύο, η Ύλη. Το Τρία, συνδυάζοντας Μονάδα και Δυάδα και συναίτιος στη φύση και των δύο είναι ο φαινομενικός Κόσμος. Η Τετράδα ή η τέλεια μορφή εκφράζει την παντελή κενότητα ενώ η Δεκάδα, το συνολικό άθροισμα, περιλαμβάνει ολόκληρο τον Κόσμο.

Βλέπουμε, λοιπόν, πως οι Βραχμανικές ιδέες συμπίπτουν σε αρκετά σημεία με τις προ-χριστιανικές Εθνικές Φιλοσοφίες και με τον ίδιο τον Χριστιανισμό. Ομοίως, η αριθμοσοφία, η ερμητική γεωμετρία, η αστρολογία και όλες σχεδόν οι θρησκείες διέπονται από μια “Πλατωνική ιδεολογία” των αριθμών (Davis – Hersh, 110-130).

Ο Πλάτωνας δηλώνει ξεκάθαρα πως, οτιδήποτε ορατό, δημιουργήθηκε ή εξελίχθηκε από την αόρατη και αιώνια βούληση και κατά το δικό της τρόπο. Ο Ουρανός – μας λέει – δημιουργήθηκε σύμφωνα με το αιώνιο πρότυπο του «Ιδεατού Κόσμου», που περιλαμβάνεται, όπως όλα, στο δωδεκάεδρο, το γεωμετρικό σχήμα που χρησιμοποίησε η Θεότητα. Κατά τον Πλάτωνα, το Πρωταρχικό Ον είναι απορροή του Δημιουργικού Νου, που εμπεριέχει από καταβολής την «Ιδέα» του «κόσμου που προώρισται να δημιουργηθεί» και αυτήν την Ιδέα την γεννά αφ’ εαυτού. Οι νόμοι της Φύσης είναι οι εδραιωμένες σχέσεις αυτής της Ιδέας προς τις μορφές εκδήλωσής της (Κάλφας, 17-174).

Πλάτων και Αριστοτέλης για τα Μαθηματικά

Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την απόδειξη. Μια ιστορική επομένως ανασκόπηση της φιλοσοφίας των μαθηματικών είναι φυσιολογικό να αρχίζει από εκεί.
Σύμφωνα με τον Thomas Kuhn για να κατανοήσουμε παλαιότερες εργασίες οφείλουμε να ξεχάσουμε την τρέχουσα επιστήμη και να εμβαπτισθούμε στην ανατραπείσα θεωρία, της οποίας τμήματα είναι οι προαναφερθείσες εργασίες. Ένας όμως σύγχρονος μαθηματικός δεν χρειάζεται να αναδιοργανώσει τη σκέψη του για να μελετήσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα οποία μοιάζουν με τις σύγχρονες εργασίες. Σήμερα είναι παραδεκτό πως τα Στοιχεία είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα.

Ο Κόσμος του Είναι

Πρόκειται για μια σύντομη περιγραφή της θεωρίας των Ιδεών του Πλάτωνα. Έχουμε πχ εικόνες του ωραίου παρόλα αυτά τίποτα δεν είναι απολύτως ωραίο. Ο υλικός κόσμος έχει ψεγάδια. Υπάρχει όμως ο κόσμος των Μορφών (Ιδεών), αιώνιος και αναλλοίωτος στον οποίο υπάρχει η «όντως Ομορφιά», η «'Οντως Δικαιοσύνη» κλπ. Οι ιδέες είναι οντολογικά υπαρκτές όχι νοητικά κατασκευάσματα. Έτσι ο Πλάτων δεν θα συμφωνούσε με την άποψη ότι η ομορφιά ή δικαιοσύνη κλπ βρίσκονται στο τρόπο που βλέπει κανείς τα πράγματα. Ο φυσικός κόσμος ονομάζεται κόσμος του γίγνεσθαι γιατί υπόκειται σε αλλαγή και στη φθορά, κατανοείται δε με τις αισθήσεις.

Πώς κατά τον Πλάτωνα αντιλαμβανόμαστε τις Μορφές, δηλ. ποια είναι η επιστημολογία του; Τις αντιλαμβανόμαστε μέσω της νόησης. Στον έργο του «Μένων», ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η «μάθηση» στην πραγματικότητα είναι ανάμνηση από τη ζωή της ψυχής στον κόσμο της Αληθείας, πριν εισέλθει στο σώμα.
Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του Είναι.

Ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά

Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία.
Η ιεράρχηση στην οντολογία του Πλάτωνα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι πριν εισέλθει στο σώμα.
Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων.

 Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας, πως γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων.
Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία, διατήρησαν την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο.

Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του Είναι.

Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομάζετο αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή.

Ο Σωκράτης και ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά

Ο Πλάτωνας θαύμαζε τα επιτεύγματα των μαθηματικών. Δεν ήταν όμως ίδια η στάση του Σωκράτη.
Ο Σωκράτης ενδιαφερόταν για την πολιτική και ηθική και όχι για την επιστήμη. Συζητούσε με τον καθένα που ήθελε και αυτό το έπραττε σε καθημερινή βάση. Στη συζήτηση προχωρούσε προσεκτικά, εκμαιεύοντας το πιστεύω του συνομιλητή του και κατόπιν προχωρούσε σε απροσδόκητες και ανεπιθύμητες συνέπειες αυτού του πιστεύω. Η όλη συζήτηση βοηθούσε στο ξεκαθάρισμα των αντιλήψεων.
Αντίθετα ο ώριμος Πλάτων, ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά και διατείνεται ότι είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να μάθει κάποιος, αφού είναι χρήσιμα σε όλες τις τέχνες αλλά και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας. Υποστήριζε ότι με τα μαθηματικά μπορούσε να περάσει κάποιος την πύλη που οδηγεί στο όντως Είναι. Με τα μαθηματικά οι άρχοντες θα περάσουν από τον κόσμο του γίγνεσθαι στον κόσμο του Είναι. Για αυτό συνιστούσε πολύχρονη μελέτη των μαθηματικών, των οποίων η γνώση προϋποτίθετο για την ενασχόληση με την φιλοσοφία.
Ο Πλάτωνας δεν πιστεύει ότι η φιλοσοφία είναι για τον οποιονδήποτε. Στην ιδανική του πολιτεία, ελάχιστοι συμμετέχουν στον φιλοσοφικό στοχασμό, ενώ η συντριπτική πλειοψηφία παίρνει τις οδηγίες από αυτούς κοιτώντας την δουλειά της. Έφθανε στο σημείο να υποστηρίξει ότι η φιλοσοφία είναι ακόμη και επικίνδυνη για τις μάζες.
Τα μαθηματικά προχωρούν με την μέθοδο της αποδείξεως, ενώ η Σωκρατική μεθοδολογία προχωρά με την μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Έτσι προϊόντος του χρόνου η μέθοδος του Σωκράτη εγκαταλείπεται από τον Πλάτωνα, ο οποίος θέλγεται από την χωρίς περιπλοκές μαθηματική μεθοδολογία την οποία θέλει να εφαρμόσει σε όλη την γνώση. Μετά τις σπουδές στα μαθηματικά και την φιλοσοφία κάποιοι θα συναντήσουν και κατανοήσουν τις Μορφές, ανεξάρτητα από παραδείγματα του υλικού κόσμου, φθάνοντας σε μη υποθετικές πρώτες αρχές.

Πλάτων - Λεξικόν «Ηλιου»

ΠΛΑΤΩΝ - ΛΕΞΙΚΟΝ «ΗΛΙΟΥ»

Τα Μαθηματικά και η Φιλοσοφία στους διάλογους της μέσης περιόδου του Πλάτωνα.

Τα Μαθηματικά και η Φιλοσοφία στους διάλογους της μέσης περιόδου του Πλάτωνα.

(Μένων, Φαίδων, Πολιτεία, Θεαίτητος)

Διπλωματική εργασία του Βαγγέλη Σπηλιωτάκη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΡΕΘΥΜΝΟ - ΜΑΙΟΣ 1998

Περιεχόμενα

·    Εισαγωγή

·    Μαθηματικά και φιλοσοφία στους διάλογους Μένωνα και Θεαίτητο

·   Η υποθετική μέθοδος στον  Φαίδωνα

·    Η διαλεκτική μέθοδος στην Πολιτεία

·    Βιβλιογραφία

·    Περίληψη

Εισαγωγή

 «H ελληνική γεωμετρία υπήρξε αυτό το αδιάφθορο πρότυπο, πρότυπο που προτείνεται όχι μόνο σε κάθε γνώση που αποβλέπει στην τελειότητα του αλλά και απαράμιλλο πρότυπο των  τυπικών χαρακτηριστικών της ευρωπαϊκής νόησης……Αυτές οι κολόνες, αυτά τα κιονόκρανα , αυτά τα επιστύλια, αυτοί οι θριγκοί με τις υποδιαιρέσεις τους, και οι διακοσμήσεις που γέρνουν χωρίς ποτέ να φεύγουν από την θέση τους και την άρμοση τους, με κάνουν να σκέφτομαι εκείνες τις αρθρώσεις της καθαρής επιστήμης , όπως τις είχαν συλλάβει οι  Έλληνες, Ορισμούς, αξιώματα ,προτάσεις, θεωρήματα , συμπεράσματα , πορίσματα , προβλήματα……Δηλαδή ορατή η μηχανή του πνεύματος.  
                                             

                                                                                        Πωλ  Βαλερύ   Η  κρίση του πνεύματος. 

   

     Είναι γνωστό ότι τα μαθηματικά θέματα στον Πλάτωνα είναι πάντοτε ενταγμένα στο ευρύτερο πλαίσιο της επιστήμης που την θεωρεί ενοποιημένη  όχι όσο αφορά την  γλώσσα αλλά  αναφορικά με την μέθοδο και το είδος των όντων που εξετάζει. To καθεστώς της ενοποιημένης επιστήμης υπαγορεύεται από την  διάθρωση του αντικειμένου της γνώσης και εξετάζεται αναλυτικά από τον Πλάτωνα στην Πολιτεία[1] και αναφέρεται ρητά  τόσο στον  Μένωνα[2] όσο και στον Φαίδωνα και στον Θεαίτητο. Εδώ ο όρος  επιστήμη αναφέρεται  στην γνώση αλλά και στις συνθήκες της δυνατότητάς της. Δεν περιορίζεται στην γνώση κάποιου αντικειμένου αλλά κυρίως επεκτείνεται και εξετάζει τους όρους που καθιστούν  δυνατή και  εφικτή την διαδικασία της γνώσης. Περιλαμβάνει ότι ονομάζουμε  σήμερα επιστήμη και φιλοσοφία.

Τι είναι  όμως η μέθοδος. Στο βιβλίο Ζ της Πολιτείας, η διαλεκτική μέθοδος χαρακτηρίζεται ως διανοητική πορεία :

«Τι ούν ου διαλεκτική ταυτην την πορειαν καλεις»[Πολ. ,532β,] ,

 αλλά και ως οδός και τρόπος σκέψης :

«Λεγε ουν τις ο τρόπος της του διαλέγεσθαι δυνάμεως, και κατά ποία δη είδη διέστηκεν, και τίνες αυ οδοί, αύται γαρ αν ηδη ,ως εοικεν, αι προς αυτό αγουσαι ειεν, οι αφικόμενοι ώσπερ οδου ανάπαυλα αν ειη και τέλος της πορείας» [Πολ. 532ε] .

.Συζητώντας μεταφορικά κατανοούμε την μέθοδο ως την οδό και τον τρόπο για να φθάσουμε στην Θήβα  και η Θήβα προκαθορίζει τους δρόμους και τους τρόπους της προσέγγισής της. Αυτό είναι ένα θεμελιώδες ζήτημα που θα προσπαθήσω να κάνω φανερό στην  εργασία αυτή Ποίο ήταν όμως το μαθηματικό τοπίο που αντίκριζε ο Πλάτωνας, σε  ποίο βαθμό το διαμόρφωσε, και πως συσχέτισε τα μαθηματικά ως μέρος του σώματος της καθολικής επιστήμης.

Η συμβολή του Πλάτωνος στα Μαθηματικά

Εγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ»

Αι αριθμολογικαί γνώσεις του Πλάτωνος

 Θεωρούμεν συνήθως τον Πλάτωνα ως μέγαν φιλόσοφον, όστις διεσαφήνισε το αντικείμενον και την μέθοδον της φιλοσοφικής ερεύνης και δια της δημιουργικής του εργασίας εθεμελίωσε την κοσμοθεωρίαν του ιδεαλισμού. Η λαμπρότης του Φιλοσοφικού του έργου εγένετο  αφορμή  να μη  εκτιμηθή όσον έπρεπεν η συμβολή του δια την ανάπτυξιν των επιστημών και ιδιαιτέρως των μαθηματικών. Μόλις κατά τα τελευταία έτη με την εμφάνισιν των νέων μαθηματικών θεωριών των αναφερομένων εις τα σύνολα και τας τάξεις και με την συζήτησιν των γνωσιολογικών προβλημάτων των σχετιζομένων με τας πρώτας αρχάς επί των όποιων στηρίζεται η επιστήμη των αριθμών, εδόθη η αφορμή να μελετηθούν τα πλατωνικά συγγράμματα από καθαρώς επιστημονικής απόψεως. Αι γενόμεναι μελέται έδειξαν ότι ο Πλάτων υπήρξεν όχι μόνον γνώστης της μαθηματικής επιστήμης της εποχής του, αλλά και δια των κατευθύνσεων τας οποίας έδιδεν εις τους ερευνητάς οίτινες είχον συγκενητρωθή εις την υπ' αυτού ιδρυθείσαν κατά το 386 π.Χ. ακαδημίαν συνετέλεσε να καθορισθή ο θεωρητικός χαρακτήρ της μαθηματικής επιστήμης να υπερνικηθή η οξυτάτη, κρίσις ήτις ημπόδιζε την ανάπτυξιν της κατά τρόπον ώστε να δυνηθή η ερευνά να προχώρηση προς νέας λαμπράς ανακαλύψεις. Δια του Πλάτωνος υψούται η αριθμητική έρευνα εις την επίγνωσιν της θεωρητικής της αποστολής. Αι έννοιαι του μεγάλου και του μικρού, παρατηρεί ο Πλάτων εις την «Πολιτείαν» του (524 C), όπως τας χρησιμοποιεί η πρακτική αριθμητική, «η λογιστική», είναι τελείως συγκεχυμέναι. Την ιδίαν ποσότητα η κοινή αριθμητική αντίληψις την θεωρεί συγχρόνως και μεγάλην και μικράν. Παραβάλλων π.χ. ο απλούς άνθρωπος εξ αστραγάλους προς τεσσάρας τους θεωρεί περισσοτέρους, παραβάλλων όμως αυτούς προς δώδεκα τους θεωρεί ολιγωτέρους. Όταν κάμνη προσθέσεις, προσθέτει τα ανόμοια πράγματα χωρίς να τον ενδιαφέρη η ανομοιότης και η ανισότης των. Εν αντιθέσει προς την πρακτικήν αριθμητικήν, η αποστολή της θεωρητικής είναι κατά τον Πλάτωνα να υψωθή εις την θεώρησιν της φύσεως των αριθμών δια της νοήσεως. Χρέος της είναι να φθάση εις τας «υποθέσεις», δηλαδή εις τας βάσεις και τα πρώτα θεμέλια της αριθμητικής, και κατερχόμενη μεθαδικώς απ’ αυτάς να δικαιολόγηση τας προτάσεις τας οποίας θέλει να αποδείξη. Ομοίως και ο πρακτικός γεωμέτρης, ο όποιος ασχολείται με ορατά σχήματα, αν θέλη να γίνη επιστήμων πρέπει να εννοήση ότι τα ορατά γεωμετρικά σχήματα αποτελούν γραφικάς μόνον απεικονίσεις των ιδεωδών γεωμετρικών αντικειμένωνν. Την αστροναμικήν επιστήμην δεν την ενδιαφέρει η λαμπρά ποικιλία των ουρανίων σωμάτων, αλλ' η εξακρίβωσις και η κατανόησις των αληθινών κινήσεων των επί τη βάσει της ακριβούς ταχύτητος των και του αληθινού των σχήματος (Πλάτων Πολιτ. 529 D). Οι προ του Πλάτωνος μαθηματικοί οδηγούμενοι από την έμφυτον προς την επιστημονικήν αλήθειαν ορμήν, είχον ανακαλύψει πολλάς επιστημονικάς προτάσεις. Αλλ' εκείνος όστις έφθασε πρώτος εις την σαφή επίγνωσιν της θεωρητικής φύσεως της μαθηματικής ερεύνης και διέγνωσεν ότι πρέπει να στηριχθή το οικοδόμημα των μαθηματικών επιστημών επί ασφαλούς θεμελιώσεως και να καθορισθή η  μέθοδος, είναι ο  Πλάτων.

Πλάτων W. K. C. Guthri

      ΠΛΑΤΩΝ

W. K. C. Guthrie «ΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΟΙ»

Ο W.K.C. Guthrie (1906-1981) διετέλεσε καθηγητής της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και μέλος της Βρετανικής Ακαδημίας. Έγραψε πολλά βιβλία και άρθρα με θρησκειολογικό ή φιλοσοφικό περιεχόμενο. Το σπουδαιότερο έργο του είναι η εξάτομη ιστορία της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας, την οποία όμως δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει.

            α. Η θεωρία των Ιδεών

  Θα κατανοήσουμε πιθανόν τη φιλοσοφία του Πλάτωνα κα­λύτερα, αν τον δούμε να εργάζεται πρώτα υπό την επίδραση δύο σχετικών κινήτρων. Επιθυμούσε πρώτα από όλα να συνεχίσει το έργο του Σωκράτη εκεί που αναγκάστηκε να το αφήσει ο Σωκράτης, να παγιώσει τη διδασκαλία του δασκάλου του και να την υπερασπιστεί κατά των αναπόφευκτων ερωτημάτων. Αλλ’ ως προς αυτό δεν ενεργούσε μόνο από κί­νητρα προσωπικής αγάπης ή σεβασμού. Αυτό ταίριαζε με το δεύτερο κίνητρο του, που ήταν να υπερασπιστεί και να κατα­στήσει άξια υπερασπίσεως την ιδέα της πόλης-κράτους ως μο­νάδας ανεξάρτητης πολιτικά, οικονομικά και κοινωνικά. Για­τί ο Πλάτων σκέφτηκε ότι αυτός ο ευρύτερος στόχος μπορούσε να εκπληρωθεί επιτυχέστερα, αν αποδεχόταν και ανέπτυσσε την πρόσκληση του Σωκράτη προς τους Σοφιστές.

Η καταδίκη της πόλης-κράτος επισφραγίστηκε με την κατά­κτηση του Φιλίππου και του Αλεξάνδρου. Αυτοί επιβεβαίω­σαν ότι αυτή η συμπαγής ενότητα ζωής στην αρχαία Ελλάδα θα έπρεπε να υπερκαλυφθεί με την ανάπτυξη μεγάλων βασι­λείων ημιανατολικού τύπου. Αλλά δεν έκαναν κάτι περισσό­τερο από το να ολοκληρώσουν με δραστικό τρόπο μια πορεία παρακμής που βρισκόταν σε εξέλιξη για κάποιο χρονικό διά­στημα. Οι αιτίες βέβαια ήταν εν μέρει πολιτικές. Ήταν οι δια­σπαστικές συνέπειες των ενδοελληνικών πολέμων και το κατα­στροφικό αποτέλεσμα που είχε για την Αθήνα - στην οποία η συνδυασμένη οργάνωση πόλης-κράτους και κοινωνίας είχε δώσει τους καλύτερους καρπούς της - η ήττα και η πιθανή κατάρρευση και οι τυραννίες που ακολούθησαν την ήττα. Τρεφόμενα από αυτές τις δυσαρέσκειες τα κυρίαρχα ρεύματα της φιλοσοφικής σκέψης - που μας απασχολούν αυτή τη στιγ­μή - έπαιξαν το δικό τους ρόλο στην υπονόμευση των παρά δόσεων, των παραδεδομένων συμβάσεων, αν θέλετε, από τις οποίες εξαρτιόταν σε τόσο μεγάλη έκταση η ήπια συνέχιση της ζωής στη μικρή πόλη-κράτος.

Περὶ τῆς θεωρίας τῶν συνόλων παρὰ Πλάτωνι, ὑπὸ Εὐαγγ. Σταμάτη.

ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΤΟΣ 1958: ΤΟΜΟΣ 33ος

Α'. Ὁ Γεώργιος Κάντορ εἰς τὴν πραγματείαν αὐτοῦ Ἀρχαὶ μίας γενικῆς θεωρίας τῶν συνόλων, σέλ. 43, Λειψία 1883 (Grundlagen einer allgemeinen Mannich- faltigkeitslehre) γράφει τὰ ἑξῆς : Θεωρῶ ποικιλίαν ἢ σύνολον πᾶν πλῆθος, τὸ ὅποιον νοεῖται ὡς ἐν, δήλ. πᾶσαν συμπερίληψιν καθωρισμένων στοιχείων, τὰ ὅποια δυνάμει ἑνὸς νόμου δύνανται νὰ συνδεθῶσιν εἰς ἐν σύνολον καὶ πιστεύω ὅτι διὰ τούτου ὁρίζω τί, τὸ ὅποιον εἶναι συγγενὲς πρὸς τὸ Πλατωνικὸν εἶδος ἢ ἰδέαν, ὡς ἐπίσης καὶ πρὸς ἐκεῖνο, τὸ ὅποιον ὁ Πλάτων εἰς τὸν διάλογον αὐτοῦ Φίληβος ὀνομάζει μεικτόν.

Β' . Περὶ ἰδεῶν καὶ εἰδῶν ὁμιλεῖ ὁ Πλάτων εἰς τινὰς διάλογους αὐτοῦ μεταξὺ τῶν ὁποίων καὶ ὁ Παρμενίδης (129 - 135). Εἰς τὸν Παρμενίδην ὅμως ἀνευρίσκομεν μεταξὺ ἄλλων σπουδαίων μαθηματικῶν ἐννοιῶν καὶ γενικᾶς τινὰς ἀρχὰς μίας θεωρίας περὶ συνόλων. Ἐκ τῆς θεωρίας ταύτης ἀναφέρομεν ἐνταύθα μόνον στοιχειὰ τινά, ὡς εἶναι ὁ ὁρισμὸς τοῦ μέρους (στοιχείου) καὶ τοῦ ὅλου (συνόλου) :

Ο ρόλος των μαθηματικών μέσα από τα έργα του Πλάτωνα

Βαγγέλης Σπανδάγος. Περιοδικό Ευκλείδης E.M.E.

Ο μελετητής των "Διαλόγων" ή της "Πολιτείας" του Πλάτωνα με έκπληξη θα διαπιστώσει ότι μέσα από τη μουσική Παιδεία ο μεγάλος φιλόσοφος εισάγει κατά απροσδόκητο τρόπο ένα ακόμα είδος σπουδών, τα μαθηματικά. Κατά τα Πλατωνικό έργα, τα μαθηματικά πρέπει να έχουν θέση σ΄ όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες, αρχής γενομένης από τα στοιχειώδη. Το κατώτερο σχολείο δεν μπορεί να παραλείψει τη στοιχειώδη σπουδή των φυσικών αριθμών πιθανώς δε και των δωδεκαδικών κλασμάτων (το οποία χρησιμοποιούσε η Ελληνική μετρολογία). Τούτο απορρέει και από την ανάγκη εκμάθησης της γλώσσας και από την ίδια την ζωή. Ο Πλάτων όμως προχωρεί και πέραν των αναγκών αυτών. Στην κυρίως μελέτη των αριθμών προσθέτει τη "λογιστική", (δηλαδή την χρήση αριθμητικών ασκήσεων), ενσωματωμένη σε συγκεκριμένα προβλήματα της καθημερινής ζωής και των επαγγελμάτων. Παράλληλα παραχωρεί μέσα στη Γεωμετρία, θέση για τις απλές αριθμητικές εφαρμογές (μέτρα μήκους, επιφανείς όγκου κ.α), καθορίζει δε και ελάχιστο όριο αριθμητικών γνώσεων απαραιτήτων στην αστρονομία.