Πυθαγόρας και πρώϊμος πυθαγορισμός

Από το βιβλίο «Οι προσωκρστικοί» του Θεόφυλου Βείκου.

 

Αριθμός

Τι είναι όμως οι αριθμοί και πώς αναπτύχθηκε η ιδέα του αριθμού ^[1] Αντίθετα προς τα θρησκευτικά και καλλιτεχνικά σύμβολα, ο αριθμός είναι ένα επιστημονικό σύμβολο, και μάλιστα το πιο σημαντικό. O αριθμός, το πιο λογικό προϊόν του ανθρώπινου πνεύματος, φαίνεται να είναι επίσης η πιο κοινή αφηρημένη ιδέα στη συνηθισμένη καθημερινή σκέψη. Έτσι δικαιολογείται γιατί ο υπολογισμός έχει γίνει το πρότυπο και το μέτρο της ακριβούς σκέψης, και πρέπει να ήταν έτσι από την αρχή. Όταν όμως τα μαθηματικά θεωρούνται σαν επιστήμη πού θεμελιώθηκε από τον αρχαίο πυθαγορισμό, δεν θα πρέπει να αγνοούμε ότι η αρίθμηση και ο υπολογισμός είχαν αναπτυχθεί πιο παλιά, σε ανατολικούς πολιτισμούς. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ανακαλύψει τη σειρά των τακτικών αριθμών και ήξεραν να τακτοποιούν τα πράγματα αριθμητικά. Αλλά τα μαθηματικά δεν αναπτύχθηκαν σαν αυστηρή επιστήμη στους ανατολικούς πολιτισμούς. Αυτό ήταν μάλλον έργο των Ελλήνων. Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τον αριθμό σαν σύμβολο, τον απόλυτο δηλαδή αριθμό πού έχει μέσα του νόημα πού ξεπερνά το ρόλο του σαν όριο μιας απλής αρίθμησης και υπολογισμού. Η ανακάλυψη αυτή επέτρεψε τη θεμελίωση των μαθηματικών σαν επιστήμη, δηλαδή σαν ένα σύστημα συμβόλων, πού είναι και το πιο αξιόλογο επιστημονικό σύστημα. Ενώ οι ανατολικοί λαοί είχαν φτάσει σε υψηλό βαθμό τεχνικής στον υπολογισμό, πράγμα πού συντελέστηκε με τη συσσώρευση εμπειριών πολλών αιώνων, η στάση τους παρέμεινε πρακτική και τα αποτελέσματα εξυπηρετούσαν τρέχουσες μόνο πρακτικές ανάγκες. Έτσι δεν ήταν σε θέση να προχωρήσουν στην αφαίρεση. Αντίθετα, στην Ελλάδα οι αριθμοί είχαν συλληφθεί όχι με βάση ένα σύμβολο, όπως ήταν λ.χ. η βαβυλωνιακή σφήνα (▼) πού επαναλαμβάνεται στον σχηματισμό μεγάλων αριθμών, αλλά με βάση τη στιγμή ( • ) -αρχικά πέτρα η ψήφο- πού δίνει οπτικό σχήμα στην παράσταση των αριθμών, όπως π.χ.

 

 

Με τη μέθοδο αυτή δινόταν πρωταρχική σημασία στη λειτουργία της όρασης, γιατί τα σχήματα ήταν τα πιο κατάλληλα για να δείξουν τις σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς και η μόνη αίσθηση πού μας επιτρέπει να αφαιρέσουμε ένα σχήμα η έναν τύπο από ένα οποιοδήποτε αντικείμενο, έναν τύπο μάλιστα πού είναι δυνατό να χρησιμοποιείται επανειλημμένα, είναι η όραση. Έτσι ο οπτικός τύπος οδηγεί στην αφαίρεση και εξυπηρετεί την ανάπτυξη των μαθηματικών σαν επιστήμη. Η πορεία, μάλιστα, της αφαίρεσης μπορεί να βαίνει συνεχώς προχωρητικά, πράγμα πού είναι φανερό αν σκεφτούμε πώς εξελίχθηκε ο αριθμός από το απλό σύμβολο, πού χρησιμοποιόταν για τη μέτρηση, ως τον ασύμμετρο, τον φανταστικό άπειρο αριθμό.

Τι ήταν, λοιπόν, οι αριθμοί; Ο εικονογραφικός τρόπος παράστασης των αριθμών οδηγούσε τους Πυθαγόρειους σε υψηλό επίπεδο σκέψης, καθώς αυτοί συζητούσαν τις ιδιότητες ενός σχήματος η τύπου πού αποτελούνταν από στιγμές. Δεν φαίνεται να υπάρχει κανένας λόγος για να αμφισβητήσουμε την παράδοση ότι αυτοί οι «εικονικοί» αριθμοί ανάγονται στη γενιά του Πυθαγόρα. Το 1 είναι η τελεία, το 2 η γραμμή, το 3 το τρίγωνο, το 4 το τετράεδρο, το πρώτο δηλαδή ευθύγραμμο στερεό σχήμα. Η γεωμετρική παράσταση του αριθμού ήταν πολύ κατάλληλη για να ερευνηθούν οι σχέσεις των αριθμών μεταξύ τους. Αυτό γίνεται κατανοητό αν αφήσουμε κατά μέρος όλη τη συμβολική της άλγεβρας, πού χρησιμοποιούμε σήμερα, και καταφύγουμε σε σχήματα. Δεν θα γράψουμε λ.χ.

(α+β)² = α²+2αβ+β² αλλά θα σχηματίσουμε ένα τετράγωνο ως έξης:

 

Έτσι μιά αριθμητική αναγκαιότητα παριστάνεται γεωμετρικά. Μ' ένα άλλο παράδειγμα, εκφράζουμε αριθμητικά έναν νόμο καθολικά αποδεκτό με τύπο της αλγεβρικής μας συμβολικής, λέμε δηλαδή ότι για όλα τα χ, ψ, ω, για τα όποια αληθεύει η σχέση χ²+ψ²= ω², ισχύει:

Αυτό, λοιπόν, μπορούσε να εκφραστεί διαφορετικά. Οι μαθητές του Πυθαγόρα έλεγαν, αντί χ, «ο πρώτος αριθμός», αντί ψ «ο δεύτερος αριθμός», αντί ω «ο τρίτος αριθμός». Για την έκφραση όμως ενός νόμου, όπως αυτός διατυπώνεται με αριθμητική γλώσσα, δηλαδή αφηρημένα, δεν είναι δυνατή μια έκφραση αντίστοιχη πού να παριστάνει την ιδέα γεωμετρικά. Ωστόσο, υπάρχει και η περίπτωση όπου η αριθμητική παρουσιάζεται αδύναμη να εκφράσει τα πράγματα, κι έτσι καταφεύγουμε στη γλώσσα της γεωμετρίας. Πρόκειται γι' αυτό πού οι μαθητές του Πυθαγόρα ονόμαζαν άλογους αριθμούς.

Η ανακάλυψη ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ασύμμετρη προς τις πλευρές του, έγινε δυνατή μέσα από την οπτική λειτουργία του νου. Αυτό πού δεν μπορούμε να εκφράσουμε με αριθμητικούς όρους, μπορούμε να το παραστήσουμε γεωμετρικά φέρνοντας έναν κύκλο πάνω στη διαγώνιο. Κατ' αυτόν τον τρόπο παριστάνεται μπροστά στα μάτια μας αυτό πού δεν εκφράζεται, το άλογο, το όποιο έγκειται σ' αυτό πού υπολείπεται του τετραγώνου, μια και ο κύκλος εγγράφεται πάνω στη διαγώνιο πού είναι ασύμμετρη προς τις πλευρές του τετραγώνου:

Αν αντέτεινε κανένας την άποψη πώς οι πλευρές του τετραγώνου και η διαγώνιος έχουν ένα κοινό μέτρο, δει δηλαδή αυτά είναι συμμετρικά, φερόταν αναγκαστικά στην αντίφαση, γιατί οι πλευρές του τετραγώνου θα έπρεπε τότε να είναι ένας άρτιος και ένας περιττός αριθμός, πράγμα πού είναι αδιανόητο και πού μόνο την ασυμμετρία επιτρέπει να είναι νοητή ^[2].

Η καθολικότερη επίσης επιστημονική θεωρία για τον αριθμό σαν έσχατη πραγματικότητα δεν πρέπει να παρουσιάζεται από τη σκοπιά της καθαρής αριθμητικής. Αυτή δεν πρέπει επίσης να συλλαμβάνεται με τις αναλογίες της δικής μας μαθηματικής φυσικής. Οπωσδήποτε, η εξέλιξη των μαθηματικών μπορεί να παραλληλιστεί και να θεωρηθεί συνυφασμένη, από μερικές απόψεις, μ' εκείνη της φυσικής. Το πέρασμα από τη μαθηματική συμβολική της μιλήσιας κοσμολογίας στον ατομισμό του Λεύκιππου και του Δημόκριτου, πού παριστάνει το τέλος μιας πρώτης ανάπτυξης της φυσικής, είναι ανάλογο με το πέρασμα από τη μαθηματική συμβολική στο αξίωμα του Ευκλείδη, πού μπορεί να θεωρηθεί σαν η πρώτη επιστημονική θεωρία και το πρότυπο μιας τέτοιας θεωρίας ^[3]. Η πυθαγόρεια θεωρία για τον αριθμό σαν έσχατη πραγματικότητα δεν ήταν, βέβαια, τόσο αυστηρή επιστημονική θεωρία, αλλά οπωσδήποτε αυτή προέκυψε από την ανακάλυψη νέων κανονικοτήτων μέσα στη φύση. Η κανονικότητα του κόσμου δεν ερμηνεύεται εδώ με μιαν αρχή δικαιοσύνης, όπως στον Αναξίμανδρο, αλλά με μιαν αρχή αρμονίας πού συνίσταται στη σχέση μερών και όλου. Όταν γίνεται λόγος για κοσμική αρμονία, πρέπει να εννοείται η μουσική αρμονία, η ταιριαστή συνήχηση των τόνων, και παράλληλα η γεωμετρική κανονικότητα και η τεκτονική άρθρωση του κόσμου^[4]. Ο αριθμός, λοιπόν, δεν είναι αρχή στο νόημα ενός υποστρώματος όλων των μεταβολών πού λαμβάνουν χώρα μέσα στον κόσμο αλλά στο νόημα της έσχατης πραγματικότητας, στο νόημα ενός καθολικού μέτρου όλων των σχέσεων πού υπάρχουν ανάμεσα στα μέρη και στα σύνολα και συνακόλουθα στο νόημα μιας κανονικότητας και αρμονίας.

Οι ανακαλύψεις και οι θεωρίες αυτές είναι δυνατό να εκτιμηθούν σαν θεμέλια και κίνητρα του πυθαγορισμού του 5ου αιώνα, πού μια συνοπτική του εικόνα μας δίνει ο Αριστοτέλης ^[5].

Η πρώτη γενιά των Πυθαγορείων πού διατηρούσε ακόμα νωπή τη μνήμη του μεγάλου δασκάλου και ιδρυτή της σχολής είναι εκείνη πού προηγείται της γενιάς των Πυθαγορείων πού ήκμασαν με τον Φιλόλαο αρχηγό μετά το τέλος του 5ου π.Χ. αιώνα.
Οι κύριες ιδέες του πρώτου αυτού πυθαγορισμού μπορούν να αναλυθούν κάτω από τα ακόλουθα θέματα: πέρας και άπειρο, φύση του αριθμού, αριθμός και κόσμος, αριθμογονία και κοσμογονία, αρμονία των σφαιρών, ψυχή.

Πέρας και άπειρον. Περιττόν και αρτιον

Άριστ., Μεταφυσ., Α 5. 986 a15:

«φαίνονται δη και ούτοι τον αριθμόν νομίζοντες αρχήν είναι... του δε αριθμού στοιχεία το τε άρτων και το περιττόν, τούτων δε το μεν πεπερασμένον το δε άπειρον, το δ' εν εξ αμφοτέρων είναι τούτων (και γάρ άρτιον είναι και περιττόν), τον δ' αριθμόν έκ του ενός, αριθμούς δε, καθάπερ εϊρηται, τον όλον ουρανόν. έτεροι δε των αυτών τούτων τας αρχάς δέκα λέγουσιν είναι τας κατά συστοιχίαν λεγομένας.»

περάς – άπειρον
περιττόν - άρτιον
εν - πλήθος
δεξιόν - αριστερόν
άρρεν - θήλυ
ηρεμούν - κινούμενον
ευθύ - καμπύλον
φως - σκότος
αγαθόν – κακόν
τετράγωνον – ετερόμηκες

[Είναι φανερό πώς κι αυτοί (οι Πυθαγόρειοι) νομίζουν ότι ο αριθμός είναι αρχή... και ότι τα στοιχεία του αριθμού είναι το άρτιο και το περιττό, και απ' αυτά το ένα είναι πεπερασμένο και το άλλο άπειρο και ότι το ένα αποτελείται και από τα δύο αυτά (γιατί αυτό είναι και άρτιο και περιττό) και ο αριθμός βγαίνει από το ένα και αριθμοί είναι, καθώς έχουμε πει, ολόκληρος ο κόσμος. Άλλοι έξαλλου απ' αυτούς τους ίδιους θεωρούν δέκα τις αρχές, αυτές πού λέγονται κατά συστοιχία. πέρας - άπειρο περιττό - άρτιο ένα - πολλά δεξιό - αριστερό αρσενικό - θηλυκό ήρεμο - κινητό ευθύ - καμπύλο φως - σκοτάδι καλό - κακό τετράγωνο - ετερόμηκες]

Δεν είναι παράξενο να είχαν δημιουργηθεί από την πρώτη κιόλας περίοδο της σχολής διαφορετικές τάσεις επιμέρους ομάδων και ο Αριστοτέλης αναγνωρίζει τέτοιες διαφοροποιήσεις απόψεων (έτεροι δε των αυτών τούτων). Εκείνη όμως ή άποψη πού φαίνεται πώς εξασφάλιζε γενική αποδοχή στον πρώτο πυθαγορισμό είναι ο έσχατος δυαδισμός: πέρας - άπειρον και περιττόν - άρτιον. Στον παραπάνω πυθαγόρειο πίνακα των δέκα αντιθετικών άρχων τα πέρας - άπειρον και περιττόν - άρτιον δεν κατέχουν απλά την πρώτη θέση παρά έχουν πρωταρχική σημασία. Όταν επιβάλλεται ένα πέρας στο άπειρο και αόριστο, το αποτέλεσμα  είναι η δημιουργία των αριθμών. Η μονάδα η το εν δεν είναι ένας αριθμός αλλά η αρχή του αριθμού, γιατί περιλαμβάνει και το πέρας και το άπειρο και το άρτιο και το περιττό. Εφόσον το ένα δεν είναι ένας αριθμός παρά η πηγή του αριθμού, το πεπερασμένο και το άπειρο πού αυτό περιλαμβάνει είναι οι έσχατες αρχές όλων των πραγμάτων.

Η αρχή του άρτιου είναι η δυάδα ή ο αριθμός 2. Φαίνεται πώς το άρτιο εξισώνεται γενικά με το άπειρο, όπως το πέρας με το περιττό. Οι αρχές δηλαδή περιττό - άρτιο δεν έχουν το νόημα πού φαντάζεται κανένας, ότι δηλαδή όλοι οι αριθμοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Επειδή η σειρά των αριθμών είναι ατέλειωτη, δεν μπορούμε να διαιρούμε συνεχώς τον καθένα απ' αυτούς με το 2 και τελικά να σημειώνουμε αν το υπόλοιπο είναι 0 ή 1. Είναι αδύνατο δηλαδή να σχηματίσουμε όλους τους άρτιους αριθμούς και, συνακόλουθα, δεν δικαιολογείται η πρόταση ότι όλοι οι αριθμοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Ένας απεριόριστος αριθμός πράξεων, πού θα ήταν δυνατό να εκτελεστούν για να αποδείξουν αυτή την πρόταση, είναι φυσικά κάτι το αδιανόητο^[6].

Οι Πυθαγόρειοι βρήκαν έναν τρόπο για να αντιμετωπίσουν αυτό το πρόβλημα του απείρου, χρησιμοποιώντας τον «γνώμονα». Με τον γνώ­μονα το άπειρο περιορίζεται βαθμηδόν. Ο περιορισμός όμως αυτός νοείται εδώ μ' ένα ειδικό σχήμα πού αντιπροσωπεύει το περιττό:

Πρόκειται, στο πρώτο σχήμα, για προσθήκη πιο πολλών «γνωμόνων» ^[7] γύρω οπό το ένα, προσθήκη πού μπορεί να γίνεται διαδοχικά και να αυξάνει τους αριθμούς έπ’ άπειρο, χωρίς να αλλοιώνεται το σχήμα (δηλαδή το τετράγωνο). Κάθε σχηματικός αριθμός που προστίθεται δίνει τον επόμενο αριθμό του ίδιου σχήματος, κι αυτό μπορεί να συμβαίνει έπ’ άπειρο με διαδοχικές προσθήκες άρτιων αριθμών. Όταν όμως οι «γνώμονες» τοποθετούνται γύρω οπό το δύο, το σχήμα πού αντιπροσωπεύει τη σειρά των άρτιων αριθμών οδηγεί ως το άπειρο, αλλ' αυτό δεν παραμένει σταθερό, όπως συμβαίνει με το σχήμα των περιττών σχηματικών αριθμών. Με κάθε προσθήκη άρτιων αριθμών γύρω οπό το δύο, το σχήμα αλλάζει, μια και κάθε φορά η αναλογία του μήκους και του ύψους του μεταβάλλεται. Γι' αυτό, άλλωστε, συμπεριλαμβάνεται στον πίνακα των αντιθέτων το ζεύγος τετράγωνον - ετερόμηκες. Το ετερόμηκες αναφέρεται σε μια ορθή γωνία στην οποία η μια πλευρά υπερέχει οπό την άλλη κατά μια μονάχα μονάδα. Θα πρέπει, λοιπόν, να είναι δικαιολογημένη η εντύπωση του Αριστοτέλη ότι αυτό μπορεί να αποτελεί ένα παράδειγμα πού δικαιώνει τις εξισώσεις περιττόν = πέρας και άρτιον = άπειρον. Έκτος απ' αυτό ήταν αξίωμα γνωστό σ' όλους τους Έλληνες μαθηματικούς ότι η μονάδα είναι αδιαίρετη και ότι κλάσματα όπως 1/2, 1/4, ή 1/16 δεν αποτελούν παρά μια μονάδα οπό ένα σύνολο 2, 4, ή 16 μονάδων. Ο άρτιος αριθμός δεν έχει μέσο και η απουσία ενός μέσου μπορεί να ήταν ένα άλλο επιχείρημα για την κατοχύρωση της εξίσωσης άρτιον = άπειρον, αντίθετα με το περιττό και ειδικά τον αριθμό 3 πού έχει αρχή, μέσο και τέλος και εξισώνεται έτσι με το πέρας^[8].

Φύση του αριθμού.

Οι πρώτοι Πυθαγόρειοι είχαν συλλάβει τον αριθμό παριστάνοντας τον με ψήφους η στιγμές και σχηματίζοντας έτσι γεωμετρικά σχήματα, π.χ. τρίγωνα, τετράγωνα, ορθογώνια. Με τη μέθοδο αυτή, η αριθμητική φύση του αριθμού συγχεόταν με τη γεωμετρική του φύση. Ο αριθμός 10 λ.χ., πού είναι ο τελειότατος αριθμός, παριστάνεται με στιγμές διατεταγμένες σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο κατά τον ακόλουθο τρόπο:

Αυτή η ονομαζόμενη από τους Πυθαγόρειους τετρακτύς της δεκάδος θεωρούνταν κάτι το ιερό, η πηγή της αιώνιας φύσης. Βάση είναι η μο­νάδα πού με διαδοχικές προσθέσεις ως το 4 σχηματίζει τον αριθμό δέκα: 1+2+3+4=10. Ήδη οι μαθητές του Πυθαγόρα είχαν δείξει την αποτελεσματικότητα της μεθόδου αυτής πού επινόησαν, και είχαν κάνει φανερό πώς το σχήμα γεννά οπό μέσα του συνεχώς νέες δυνατότητες συσχέτισης των αριθμών μεταξύ τους και σχηματισμού νέων αριθμητικών και γεωμετρικών αναλογιών. Η μέθοδος αυτή, όσο απλοϊκή κι αν είναι, αναπληρώνει την έλλειψη τύπων για αριθμητικές σχέσεις. Οι Πυθαγόρειοι ανέπτυξαν τη μέθοδο παράστασης των αριθμών με τη μορφή σχεδίων σαν αυτά πού συναντώνται σήμερα στα ντόμινο η στους κύβους^[9] και κατόρθωσαν να θεμελιώσουν τα μαθηματικά σαν επιστήμη. Οι σχηματικοί αριθμοί μπορούν να αναπτύσσονται σημαντικά και να ποικίλλουν έπ’ άπειρο, αποκαλύπτοντας στο ασκημένο ανθρώπινο μάτι απεριόριστες δυνατότητες σκέψης. Ο νους είναι εδώ κατ' εξοχήν οπτικός, γιατί λειτουργεί μέσα οπό σχήματα.

Ο αριθμός είναι, βέβαια, κάτι πού υπάρχει, αλλά δεν θα έπρεπε να θεωρείται πώς αυτός υπάρχει με τον ίδιο τρόπο όπως ένα φυσικό πράγμα. Αν λ.χ. έχουμε πέντε ψηφίδια, ο αριθμός 5 δεν υπάρχει στο ίδιο επίπεδο πού υπάρχουν και τα ψηφίδια. Θα ήταν σαφής σύγχυση διαφρων επιπέδων πραγματικότητας να πούμε πώς υπάρχουν έξι πράγματα, τα πέντε ψηφίδια και ο αριθμός 5. Η πραγματική σχέση ανάμεσα στα πράγματα και στους αριθμούς έγκειται σε μια διερεύνηση του αριθμού σαν βάση της φυσικής ύλης.

 Αριθμός και κόσμος

Η πυθαγόρεια σύλληψη του αριθμού βασιζόταν, βέβαια, στη γεωμετρική παράσταση του αριθμού. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να συνδεθεί ο αριθμός με την έννοια του χώρου και της έκτασης, γιατί η αριθμητική μονάδα είναι εδώ κάτι πού δεν διακρίνεται από το γεωμετρικό σημείο. Οι μονάδες - σημεία θεωρούνται οντότητες με μέγεθος, χωρικά έκτατες. Και επειδή οι μονάδες και τα σημεία δεν υπόκεινται σε διαίρεση, θεωρούνται σαν έσχατα στοιχειακά υλικά των πραγμάτων, αυτά πού θα ονομαστούν αργότερα από τον Λεύκιππο και τον Δημόκριτο άτομα. Όταν, λοιπόν, γίνεται λόγος εδώ για τους αριθμούς σαν συστατικά στοιχεία του κόσμου, θα πρέπει να εννοούμε ότι τα επιμέρους πράγματα δεν είναι παρά συνδυασμοί και συνθέσεις μονάδων - σημείων - ατόμων. Δυσκολία υπάρχει στην περίπτωση ειδικών αριθμών πού έχουν ιδιάζουσες σημασίες. Το 1 π.χ. αντιπροσωπεύει τη νοημοσύνη, γιατί αυτή είναι πάντοτε ακίνητη, ενώ η σκέψη αντιπροσωπεύεται από το 2, μια και ταλαντεύεται συνεχώς. Η δικαιοσύνη αντιπροσωπεύεται οπό τους αριθμούς πού είναι ισάκις ίσοι, το 4 και το 9, γιατί αυτοί προκύπτουν οπό τον πολλαπλασιασμό του πρώτου άρτιου (2) και του πρώτου περιττού (3) με τον εαυτό τους. Ο γάμος παριστάνεται με το 5 πού ενώνει τον πρώτο άρτιο με τον πρώτο περιττό (2+3). Το 2+3 είναι ο αρσενικός αριθμός του γάμου ενώ το 2x3 είναι ο θηλυκός. Ο αριθμός 7 αντιπροσωπεύει τον καιρό, το χρόνο δηλαδή των επτά ημερών^[10]. Η δυσχέρεια, σε τέτοιες περιπτώσεις, έγκειται στη σύγχυση του συγκεκριμένου με το αφηρημένο. Αυτή, όμως, η σύγχυση συνειδητοποιήθηκε και θεωρήθηκε σαν λογικό σφάλμα μόνον από τον Πλάτωνα και ύστερα, η τουλάχιστον οπό τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη, πού διέκριναν καθαρά το συγκεκριμένο οπό το αφηρημένο. Για τους Πυθαγόρειους, όμως, όπως και για όλους τους προσωκρατικούς, αυτή η διάκριση δεν γινόταν ποτέ και ό,τι εμείς θεωρούμε αφηρημένο, αυτοί το παρίσταναν με μέγεθος και με χωρικούς προσδιορισμούς. Έτσι ο θεός του Ξενοφάνη, το όν του Παρμενίδη, η Φιλότης και το Νείκος του Εμπεδοκλή, ο νους του Αναξαγόρα παριστάνονται σαν έκτατες οντότητες. Πρώτος ο Πλάτων βρέθηκε σε θέση να σκεφτεί συνειδητά πώς οποιοδήποτε πράγμα θα ήταν δυνατό να υπάρχει και διαφορετικά, εκτός οπό χωρικά, και σ’ αυτό ακολουθήθηκε οπό τον Αριστοτέλη^[11].

Αλλά η σχέση αριθμού και κόσμου καθιερώνεται εδώ μέσα οπό την ίδια τη διαδικασία της γένεσης τους. Έχουμε κιόλας επισημάνει τη βασική πυθαγόρεια ιδέα πώς η μονάδα, το ένα, δεν είναι ένας αριθμός αλλά η αρχή του αριθμού. Η πρωταρχική μονάδα δεν αντιπροσωπεύει άπλα τη βάση μιας «αριθμογονίας», αλλά είναι ταυτόχρονα και μια παράξενη κοσμογονική αρχή. Υπόκειται εδώ μια βιολογική αντίληψη του κόσμου: ο κόσμος είναι ένας οργανισμός πού ζει και αναπνέει, έχοντας σαν πηγή του ένα σπόρο πού αναπτύχθηκε ως τη σημερινή πλήρη του μορφή^[12]. Η αρσενική αρχή του πέρατος εμφυτεύει στο μέσο του περιβάλλοντος άπειρου τον σπόρο πού θα αναπτυχθεί σιγά-σιγά για να δώσει τελικά το ορατό σύμπαν. Πρόκειται για την πρωταρχική μονάδα. Αυτή συλλαμβάνεται να λειτουργεί με τις αναλογίες προς ένα έμβρυο λογικό πρότυπο. «Ίσως δεν θα είχε νόημα να ρωτήσουμε πώς ήρθε σε ύπαρξη αυτή η πρωταρχική μονάδα, όπως δεν θα είχε νόημα το ερώτημα πώς δικαιολογείται η γένεση του ησιόδειου Χάους η του αναξιμάνδρειου απείρου. Εκείνο πού έχει εδώ σημασία δεν είναι πώς ήρθε σε ύπαρξη η πρωταρχική μονάδα^[13], αλλά πώς ήρθε σε ύπαρξη ο κόσμος. Ο πρωταρχικός σπόρος δεν «αποκρίνεται» εδώ, όπως στον Αναξίμανδρο, οπό μια κοσμογονική μήτρα (το άπειρο), αλλ’ αυτός γίνεται γόνιμος και αναπτύσσεται με την επενέργεια των δύο αρχών, του πέρατος και του απείρου. Η πρωταρχική μονάδα συνδυάζει τόσο τη λειτουργία του πέρατος, της αρσενικής αρχής, όσο και του απείρου, της θηλυκής αρχής. Έτσι ακριβώς δικαιολογείται στον πίνακα των αντιθέτων το ζευγάρι άρρεν – θήλυ. Η πρώτη, λοιπόν, μονάδα, αν και αντιπροσωπεύει αρχικά το πέρας, δεν λειτουργεί σαν κοσμογονική αρχή παρά στη σχέση της με το άπειρο πού την περιβάλλει. Η σχέση αυτή συνίσταται σε μια συνεχή εισπνοή κενού οπό μέρους της πρώτης αυτής μονάδας, πού άρχισε σιγά-σιγά να αναπτύσσεται σαν ένα ζωντανό έμβρυο. Αποτέλεσμα της πρώτης αυτής βαθμιαίας ανάπτυξης είναι μια απότομη μεταβολή: η μονάδα διαρρηγνύεται σε δύο. Η διάσπαση αυτή σημαίνει πώς το κενό πού απορρόφησε η μονάδα λειτούργησε δραστικά και πέτυχε όχι μόνο να την διαρρήξει αλλά και να κρατήσει χωριστά τις δύο μονάδες πού προέκυψαν απ’ αυτή. Οι δύο όμως μονάδες έχουν κι αυτές επίσης μέγεθος και δεν διακρίνονται από τα δύο γεωμετρικά σημεία. Επομένως δεν γεννήθηκε απλά ο αριθμός 2 παρά και η γραμμή. Αυτή η πορεία συνεχίζεται και δίνει το ορατό σύμπαν όπως μας είναι γνωστό. Η πρώτη δηλαδή μονάδα προχωρεί με τον ίδιο τρόπο στον αριθμό 3 και στους άλλους αριθμούς. Οι πρώτοι Πυθαγόρειοι είχαν διδάξει ότι, όπως το 2 ισούται με τη γραμμή, έτσι και το 3 ισούται με το τρίγωνο, το απλούστερο επίπεδο σχήμα, και το 4 με το τετράεδρο, το απλούστερο ευθύγραμμο στερεό σχήμα κ.λπ. ^[14].

Τόσο τα σημεία όσο και οι γραμμές, τα επίπεδα και, φυσικά, τα στερεά δεν προϋποτίθενται εδώ σαν αφηρημένες κατασκευές, αλλά θεωρούνται ξεχωριστές φυσικές οντότητες (φύσεις), μια πίστη πού έπαιζε ζωτικό ρόλο στην πυθαγόρεια κοσμογονία. Τα αριθμητικά μεγέθη συγχέονται εδώ με τα γεωμετρικά δομημένα πράγματα και έτσι δεν είναι παράξενο πώς η πορεία από το 1 στο 4 δεν σημαίνει απλά πώς η μονάδα έδωσε τους τρεις επόμενους αριθμούς παρά και τις τρεις διαστάσεις, το μήκος (με τη γραμμή), το ύψος  (με το τρίγωνο) και το πλάτος (με το τετράεδρο). Έτσι το δέκα είναι το τέλειο σχήμα, γιατί αποτελεί το τετραδιάστατο όλων των φυσικών πραγμάτων. Η σύγχυση, λοιπόν, πού δεν συνειδητοποιείται, της αριθμητικής μονάδας και του γεωμετρικού σημείου, εξηγεί γιατί η πρώτη μονάδα προχώρησε στη δημιουργία τόσο των επόμενων τριών αριθμών όσο και των τριών διαστάσεων. Η γένεση των αριθμητικών σειρών δεν διακρίνεται από τα γεγονότα της κοσμογονίας.
Μ' αυτό, λοιπόν, το νόημα εξισώνονται τα πράγματα με τους αριθμούς: η πρώτη μονάδα αναπτύσσεται σε αριθμητικές σειρές και μαζί σε διαδοχικές κοσμογονικές φάσεις πού εξηγούν πώς έφτασε το φυσικό σύμπαν στη σημερινή κατάσταση διαμόρφωσης του. Η συγκεκριμενοποίηση όμως της ύλης προϋποθέτει μια διαφοροποίηση ποιοτήτων. Οπωσδήποτε, ασκεί εδώ λειτουργικό ρόλο η δυαδική σχέση πέρας - άπειρον. Τα πράγματα καθορίζονται ποιοτικά από τις ποικίλες αναλογίες των δύο αυτών αρχών πού περιέχουν. Τα φυσικά σώματα έχουν βάρος ανάλογο με την έκταση του κενού πού περιέχεται μέσα σ' αυτά: τα σώματα είναι ελαφρά όταν περιέχουν υψηλή αναλογία κενού και βαριά όταν η αναλογία του κενού είναι μικρή^[15].

Αρμονία των σφαιρών

Κοινό χαρακτηριστικό στα μαθηματικά και τη μουσική είναι η αρμονία^[16]. Καθώς είδαμε, η επιστημονική έρευνα τόσο των μαθηματικών όσο και της μουσικής θεμελιώθηκε ταυτόχρονα από τους μαθητές του Πυθαγόρα. Αυτοί είχαν διδάξει πώς ολόκληρο το φυσικό σύμπαν είναι αρμονία των αριθμών και μαζί αρχιτεκτονικός ρυθμός και μουσική αρμονία. Η διαίρεση του μήκους μιας παλλόμενης χορδής με τη βοήθεια του μετακινούμενου διαιρέτη κατά την αναλογία 2:1, 3:2,4:3 κ.ο.κ. δημιουργεί αντίστοιχα διαστήματα ογδόης, πέμπτης, τετάρτης, κ.ο.κ. Έτσι η διαίρεση και η κατάτμηση όχι μόνο δεν είναι δυσάρεστη, αλλά προκαλεί αντίθετα ευχαρίστηση, γιατί το σύνολο των ήχων είναι παράγωγο μιας βασικής συχνότητας. Ό αριθμός π.χ. 604 = 12.960.000 θεωρούνταν γαμήλιος αριθμός γιατί έχει τους περισσότερους διαιρέτες από κάθε άλλον γνωστό αριθμό. Επειδή ακριβώς ο αριθμός προκύπτει από τη διαμάχη αντιθέτων, η μουσική και τα μαθηματικά συνδέονται με την αρμονία, πού συνενώνει τα αντίθετα. Η σύγκριση ανάμεσα στην αριθμητική τάξη και στη μουσική κλίμακα μπορεί να γίνεται με μεγάλη επιστημονική απόδοση, γιατί οδηγεί σε πολυσύνθετους σχηματισμούς τόσο σειρών από αριθμούς όσο και σειρών από νότες. Στη μουσική κλίμακα όπως και στην αριθμητική σειρά η διαίρεση επιτρέπεται να γίνεται με την αρμονία: αρμονίες και κλάσματα αριθμών βαίνουν αντίστοιχα.

Αριθμοί, βέβαια, και νότες δεν έχουν μόνα τους καμιά αξία, γιατί ο ρόλος τους είναι να λειτουργούν σαν σήματα πού επικαλούνται την ερμηνεία τους. Δεν πρόκειται για λέξεις μιας άλλης τάξης ούτε η μουσική και τα μαθηματικά είναι μια άλλη γλώσσα. Εκείνο πού έχει σημασία είναι ότι η μουσική και τα μαθηματικά είναι συστήματα σημείων πού έχουν γραμματική, συντακτικό η λογική. Η γοητεία τους έγκειται στις άπειρες δυνατότητες ερμηνειών, πράγμα πού εξηγεί γιατί η μουσική και τα μαθηματικά δεν υπόκεινται αναγκαστικά στη φθορά. Συνιστούν πραγματικά ιδεώδεις κόσμους στους οποίους ζούμε και μπορούμε να κατανοήσουμε μ' αυτούς καλύτερα τον πραγματικό κόσμο. Δημιουργώντας μουσική η μαθηματικά, πλάθουμε έναν ιδανικό κόσμο πού κυβερνούμε και απολαμβάνουμε. Ο ιδεώδης όμως αυτός κόσμος δεν δημιουργείται παρά με τις αναλογίες του πραγματικοί) κόσμου και έτσι βρισκόμαστε κάτω οπό τον έλεγχο της συγκεκριμένης αντιθετικής η ασύμμετρης πραγματικότητας. Οι αριθμοί είναι μερικές φορές αντιφατικοί και οι νότες παράφωνες. Αυτό είναι ένα κίνητρο να δημιουργηθούν επιπλέον μαθηματικά και επιπλέον μουσική, για να αποφεύγεται η αντίφαση και η διαφωνία, γιατί το ανθρώπινο πνεύμα θεωρεί συνήθως την αντίφαση και παραφωνία σαν εκκρεμότητα πού επικαλείται την άρση της^[17].
Με τέτοιες παρατηρήσεις θα μπορούσαμε ίσως να φανταστούμε μερικά σημεία επαφής των μαθηματικών και της μουσικής, όπως αυτά ερευνήθηκαν οπό τους πρώτους Πυθαγόρειους και να δικαιολογήσουμε την περίφημη θεωρία της αρμονίας των σφαιρών πού αποδίδεται στον Πυθαγόρα και στους πρώτους Πυθαγόρειους. Αυτή η θεωρία ξεκίνησε σαφώς οπό την παλιά πυθαγόρεια ανακάλυψη ότι τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας αντιστοιχούν σε, και εκφράζονται με αριθμητικές αναλογίες. Αυτή η άποψη αναπτύχθηκε πιο πέρα προς την κατεύθυνση της κοσμολογίας, με σκοπό να φανεί ότι οι ιδιότητες, τα μέρη και η όλη διάταξη του σύμπαντος εκφράζονται με τις ιδιότητες των αριθμών και της μουσικής κλίμακας. Δυστυχώς οι μαρτυρίες μας δεν μας επιτρέπουν να ανασυγκροτήσουμε το πυθαγόρειο σχήμα στο όποιο είχαν συγκεντρωθεί και είχαν συνταιριαστεί όλες οι ιδιότητες των αριθμών και των κλιμάκων για να αποδοθεί η «αρμονία των σφαιρών», η αρχιτεκτονική, μαθηματική και μουσική τάξη των ουράνιων σωμάτων, η μουσική γεωμέτρηση του σύμπαντος.

____________________________________________________________________

Ο Πλάτων παρουσίασε το 10 σαν αριθμό του γάμου. Ο αριθμός 10 παρουσιάστηκε παρόμοια στη σκηνή του γάμου με τη γνωστή παραβολή των 10 παρθένων.

1. Πβ. τη διεξοδική έκθεση του Hutten, 126 κ.ε.

2. Πβ. Schttlander, 31 κ.ε.
3. Πβ. Hutten, 128.
4. Πβ. Jaeger, Paideia, Ι, 224-25.
5. Μεταφυσ.,Α5,9851)22κ.έ.

6. Πβ. Hutten, 137.
7. Άριστ., Φυσ., Γ 4.203 3 10 κ.έ.  Ό γνώμων σημαίνει ένα σχήμα πού παραμένει από ένα τετράγωνο όταν ένα μικρότερο τετράγωνο αποκοπεί απ' αυτό, ή με μια ευρύ­τερη έννοια, ο γνώμων αντιπροσωπεύει κάθε αριθμό πού, όταν προστεθεί σ' ένα σχηματικό αριθμό, δίνει τον επόμενο αριθμό του ίδιου σχήματος (Κοδδ, 542-45. Βλ. και Burkert, 31).
8. Βλ. κείμενα και τη σχετική συζήτηση, Kirk-Raven, 243 κ.ε.

9. Kirk-Raven,243.

10. Hutten, 130.
11. Kirk - Raven, 250.

12. Πβ.Cnfrd, Plat and Parmenides,, 19.
13, Το ερώτημα αυτό προϋποτίθεται σημαντικό στα σχόλια των Kirk_Raven, 252-253, όπου διατυπώνεται η παρατήρηση, σύμφωνα με τη θέση του Αριστοτέλη, ότι οιΠυθαγόρειοι «παρέλειψαν να εξηγήσουν αύτη τη μυστηριώδη αρχή της κοσμογο­νίας». 
14. Πβ. Hutten, 130.

15. Kirk-Raven, 253 κ.έ.

16. Για μια ιστορία της ιδέας της κοσμικής αρμονίας, βλ. Schavernch, 23 κ.ε.
17. Πβ Hutten, 183 κ.ε.