Η αρχαία Ελλάδα - Dirk J Stuik

Dirk J Stuik. Σύντομη ιστορία των μαθηματικών.

 

Κεφάλαιο 1

Σε όλα τα ανατολικά μαθηματικά, δεν βρίσκουμε πουθενά νά έχει γίνει απόπειρα νά δοθεί αυτό πού ονομάζουμε απόδειξη. Δεν προβάλλανε καμιά επιχειρηματολογία, παρά μόνο δίνανε εντολές εφαρμογής ορισμένων κανόνων: «Κάμε έτσι, κάμε αυτό». Αγνοούμε με ποιόν τρόπο έβρισκαν τα θεωρήματα. Για παράδειγμα, πως φτάσανε οι Βαβυλώνιοι στο θεώρημα του Πυθαγόρα; Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες για νά εξηγηθεί ο τρόπος με τον οποίο οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι πορίζονταν τα εξαγόμενα τους. Όλες όμως οι ερμηνείες πού έχουν δοθεί είναι υποθετικής φύσης. Ολόκληρος ο ανατολικός τρόπος σκέψης φαίνεται εξαρχής παράξενος και διόλου ικανοποιητικός γι' αυτούς πού έχουν εκπαιδευτεί με την αυστηρά δομημένη συλλογιστική του Ευκλείδη. Αλλ' αυτό το παραξένεμα δεν διαρκεί, όταν συνειδητοποιήσουμε πώς τα περισσότερα μαθηματικά πού διδάσκονται για τους τωρινούς μηχανικούς και τεχνικούς είναι ακόμα του είδους «κάμε έτσι, κάμε αυτό», δίχως να καταβάλλεται μεγάλη προσπάθεια για αυστηρή απόδειξη. Σε πολλά σχολεία μέσης εκπαίδευσης, η άλγεβρα διδάσκεται μάλλον σαν ένα σύνολο κανόνων παρά ως μια απαγωγική επιστήμη. Τα ανατολικά μαθηματικά δεν κατάφεραν ποτέ, όπως φαίνεται, να χειραφετηθούν από τη χιλιόχρονη επίδραση των προβλημάτων τεχνολογίας και διοίκησης, για τα όποια είχαν επινοηθεί.

Κατά τη διάρκεια των τελευταίων αιώνων της δεύτερης π. Χ. χιλιετίας, έγιναν στην περιοχή της μεσογειακής λεκάνης οικονομικές και πολιτικές αλλαγές τεράστιες. Μέσα σε μιαν ατμόσφαιρα ταραγμένη από πολέμους και μετακινήσεις πληθυσμών, συντελέστηκε το πέρασμα από την εποχή του Χαλκού στη σύγχρονη εποχή, την εποχή του Σιδήρου. Ελάχιστες λεπτομέρειες είναι γνωστές για την περίοδο αυτών των μεγάλων αναστατώσεων. Προς το τέλος της, ίσως γύρω στο 900 π. Χ., οι Χετταίοι καθώς και η μινωική αυτοκρατορία είχαν εξαφανιστεί, η δύναμη της Αιγύπτου και της Βαβυλωνίας είχε σημαντικά περιοριστεί, και νέοι λαοί εμφανίστηκαν στο ιστορικό προσκήνιο. Οι πιο εξέχοντες ήσαν οι Εβραίοι, οι Ασσύριοι, οι Φοίνικες και οι Έλληνες. Η αντικατάσταση του χαλκού από τον σίδηρο προξένησε μεταβολές, πού δεν περιορίστηκαν μονάχα στις μεθόδους διεξαγωγής του πολέμου. Τα εργαλεία παραγωγής έγιναν φτηνότερα, με αποτέλεσμα ν' αυξηθεί το κοινωνικό πλεόνασμα, να τονωθεί το εμπόριο και να δοθεί έτσι στον απλό λαό η δυνατότητα μιας ευρύτερης συμμετοχής σε ζητήματα οικονομίας και πιο ενεργής ανάμειξης στο δημόσιο βίο. Το γεγονός αυτό αντικατοπτρίστηκε σε δυο μεγάλες καινοτομίες: την αντικατάσταση της άβολης γραφής της αρχαίας Ανατολής με το ευκολομάθητο αλφάβητο και την εισαγωγή νομισματικού χρήματος, πού με τη σειρά του συνέβαλε στην άνθηση του εμπορίου. Είχε φτάσει ο καιρός όπου και η πνευματική καλλιέργεια δεν μπορούσε πια να παραμένει προνόμιο αποκλειστικό μιας ιθύνουσας τάξης στην Ανατολή.

Οι δραστηριότητες πού ανάπτυξαν οι «επιδρομείς από τη θάλασσα» — όπως χαρακτηρίζονται σε αιγυπτιακά κείμενα μερικοί από τους λαούς πού μετανάστευαν εκείνα τα χρόνια — συνοδεύτηκαν αρχικά από μεγάλες πολιτιστικές απώλειες. Ο μινωικός πολιτισμός εξαφανίστηκε. Η αιγυπτιακή τέχνη παράκμασε. Αιώνες πέρασαν με στάσιμες τη βαβυλωνιακή και την αιγυπτιακή επιστήμη. Μαθηματικό κείμενο εκείνης της μεταβατικής περιόδου δεν έχει διασωθεί. Όταν σταθερές σχέσεις αποκαταστάθηκαν και πάλι, η αρχαία Ανατολή αναστηλώθηκε, σύμφωνα κυρίως με τις παραδοσιακές της κατευθύνσεις. Το σκηνικό ήταν, όμως, έτοιμο για την εμφάνιση ενός πολιτισμού εντελώς νέου τύπου: του πολιτισμού της αρχαίας Ελλάδας.
Οι πόλεις πού χτίστηκαν στα μικρασιατικά παράλια και στην ηπειρωτική Ελλάδα δεν ήσαν πια διοικητικά κέντρα ενός κοινωνικού σχηματισμού πού το οικονομικό του σύστημα στηριζόταν στις αρδεύσεις. Ήσαν εμπορικές πόλεις, όπου οι παλιοί τοπικοί γαιοκτήμονες είχανε ν' αντιπαλέψουν, σε μια χαμένη μάχη, με μιαν ανεξάρτητη και πολιτικά συνειδητοποιημένη τάξη εμπόρων. Κατά τη διάρκεια του 7ου και του 6ου αιώνα π. Χ., αυτή η τάξη εμπόρων επικράτησε και έπρεπε να δώσει τις δικές της μάχες ενάντια στους μικρέμπορους και στους τεχνίτες, δηλαδή τον Δήμο. Αποτέλεσμα ήταν να δημιουργηθεί η ελληνική Πόλις, η αυτοδιοικούμενη πόλη - κράτος. Επρόκειτο για ένα νέο κοινωνικό φαινόμενο, ολότελα διαφορετικό των παλαιότερων πόλεων - κρατών των Σουμέριων και των άλλων ανατολικών λαών. Οι σημαντικότερες ελληνικές πόλεις - κράτη αναπτύχθηκαν στην Ιωνία, στη δυτική ακτή της Μικράς Ασίας. Το αυξανόμενο εμπόριο τους τις σύνδεσε με τα παράλια όλης της Μεσογείου, με τη Μεσοποταμία, την Αίγυπτο, τη Σκυθία, και με μακρινότερες ακόμα χώρες. Για πολύ καιρό, ηγετική θέση κατείχε η Μίλητος, αλλά και πολλές πόλεις, σε άλλα παράλια, απόχτησαν πλούτο και δύναμη. Στην ηπειρωτική Ελλάδα αναπτύχθηκε πρώτα η Κόρινθος και ύστερα η Αθήνα. Στις Ιταλικές ακτές δέσποζαν η Κρότων και ο Τάραντας και, στη Σικελία, οι Συρακούσες.
Αυτή η νέα κοινωνική διάρθρωση δημιούργησε έναν νέο τύπο ανθρώπου. Ο συναλλασσόμενος έμπορος δεν είχε ποτέ άλλοτε τόσο μεγάλη ανεξαρτησία. Ήξερε όμως ότι αυτή την ανεξαρτησία την όφειλε σε διαρκή και σκληρή πάλη. Δεν του ήταν δυνατό να υιοθετήσει τη στατική αντίληψη της Ανατολής. Ζούσε σε μια περίοδο γεωγραφικών ανακαλύψεων, πού μπορούν να συγκριθούν μόνο με εκείνες της Δυτικής Ευρώπης του 16ου αιώνα. Δεν αναγνώριζε απόλυτο μονάρχη η εξουσία περιβλημένη δήθεν με κάποια ασάλευτη θεότητα. Επιπλέον, ο πλούτος καθώς και η εργασία των δούλων του παρείχαν τη δυνατότητα ν' απολαβαίνει κάποιες ανέσεις. Έτσι, μπορούσε να φιλοσοφεί γύρω από τον δικό του κόσμο. Η απουσία οποιασδήποτε σταθερά εδραιωμένης θρησκείας οδήγησε πολλούς κατοίκους αυτών των παράκτιων πόλεων στον μυστικισμό. Ο ίδιος λόγος, όμως, έφερε κι αντίθετο αποτέλεσμα, την ανάπτυξη του ορθολογισμού και της επιστημονικής θεώρησης.

Κεφάλαιο 2

Τα σύγχρονα μαθηματικά γεννήθηκαν μέσα στην ατμόσφαιρα του ιωνικού ορθολογισμού, τα μαθηματικά πού δεν θέτανε μόνο το ερώτημα «πώς;» της ανατολής, αλλά και το σύγχρονο επιστημονικό ερώτημα «γιατί;». Σύμφωνα με την παράδοση, πατέρας των ελληνικών μαθηματικών είναι ο έμπορος Θαλής ο Μιλήσιος. Θεωρείται ότι είχε επισκεφτεί τη Βαβυλώνα και την Αίγυπτο κατά το πρώτο μισό του 6ου π. Χ. αιώνα. Ίσως όλ' αυτά να είναι μονάχα μύθοι. Αλλ' ακόμα κι αν έτσι είναι, στο πρόσωπο του αντανακλάται κάτι το εντελώς πραγματικό: οι συνθήκες κάτω τις όποιες μπήκαν τα θεμέλια όχι μόνο των σύγχρονων μαθηματικών, αλλά και της σύγχρονης επιστήμης και φιλοσοφίας.

Οι πρώιμες ελληνικές μαθηματικές ενασχολήσεις είχαν για κύριο στόχο την ερμηνεία, σύμφωνα μ' ένα ορθολογικό σχήμα, της θέσης του ανθρώπου στον κόσμο. Έπρεπε να βρεθεί μια τάξη μέσα στο χάος. Να ταχτοποιηθούν οι Ιδέες σε λογικές διαδοχές. Να αναγνωριστούν θεμελιακές αρχές. Τα μαθηματικά, η ορθολογικότερη απ' όλες τις επιστήμες, προσφέρονταν στην ευόδωση αυτής της προσπάθειας. Οι Έλληνες έμποροι με τα ταξίδια τους και τις συναλλαγές είχαν, αναμφίβολα, γνωρίσει τα ανατολικά μαθηματικά. Δεν άργησαν να καταλάβουν ότι οι ανατολικοί λαοί είχαν αφήσει απραγματοποίητο το πιο μεγάλο βήμα προς τον ορθολογισμό. Γιατί το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες γωνίες; Γιατί ένα τρίγωνο, πού έχει ίδια βάση και ίδιο ύψος μ' ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, έχει εμβαδά ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου; Τα ερωτήματα αυτά αναφύονταν φυσιολογικά για ανθρώπους πού αντιμετώπιζαν ανάλογα την κοσμολογία, τη βιολογία και τη φυσική.

Είναι ατυχία ότι δεν υπάρχουν πρωτογενείς πηγές, πού να παρέχουν μια εικόνα της πρώτης ανάπτυξης των ελληνικών μαθηματικών. Οι κώδικες πού έχουν διασωθεί ανάγονται στους χριστιανικούς και Ισλαμικούς χρόνους. Υστερότερα, αυτοί οι κώδικες συμπληρώθηκαν με μερικές πληροφορίες, πού ανευρέθηκαν σε αιγυπτιακούς πάπυρους προγενέστερης εποχής. Ωστόσο, με τη βοήθεια των κλασικών φιλολόγων κατορθώθηκε η αποκατάσταση των απολεσθέντων κειμένων, ως ακόμα και αυτών πού ανάγονται στον 4ο αιώνα π. Χ. και λίγο πιο πριν. Έτσι διαθέτουμε σήμερα αξιόπιστες εκδόσεις του Ευκλείδη, του Αρχιμήδη, του Απολλώνιου και άλλων μεγάλων μαθηματικών της αρχαιότητας. Αυτά τα κείμενα αντιπροσωπεύουν, όμως, μια ήδη με πληρότητα αναπτυγμένη μαθηματική επιστήμη. Είναι δύσκολο να διακριθεί η ιστορική της εξέλιξη, έστω και με τη βοήθεια μεταγενέστερων σχολίων. Σχετικά με την εποχή πού διαμορφώθηκαν τα ελληνικά μαθηματικά, οι πληροφορίες μας βασίζονται αποκλειστικά σε περιορισμένα αποσπάσματα, πού μας έχουν μεταδοθεί μεταγενέστερους συγγραφείς, καθώς και σε σκόρπιες παρατηρήσεις πού συναντάμε σε έργα φιλοσόφων και άλλων συγγραφέων, πού δεν ήσαν καθαυτό μαθηματικοί. Μια κριτική των αρχαίων μαθηματικών κειμένων, έντονα ιδιοφυής, πού επιτελέστηκε με υπομονή, κατόρθωσε να διαφωτίσει πολλά σκοτεινά σημεία αυτήν την πρώιμη Ιστορία. Χάρη σ' αυτό το έργο [πού το οφείλουμε σε ερευνητές όπως οι Ταννερύ (Paul Τannery), Χήθ (T.L. Heath), Τσόυτεν (Η.G. Zeuthen), Φράνκ (Ε. Frank) κ.ά.] είμαστε σε θέση να παρουσιάσουμε μια κάπως συνεκτική, αν και αρκετά υποθετική, εικόνα των ελληνικών μαθηματικών στην περίοδο της διαμόρφωσης τους.

Κεφάλαιο 3

Τον 6ο π. Χ. αιώνα, αναδύθηκε τα ερείπια της ασσυριακής αυτοκρατορίας μια νέα και απέραντη ανατολική δύναμη: η Περσία των Aχαιμενιδών. Κατάχτησε τις πόλεις της Μικράς Ασίας, αλλά η ηπειρωτική Ελλάδα δεν υποτάχτηκε. Η κοινωνική της διάρθρωση είχε ήδη εγκαθιδρυθεί σε στερεές βάσεις. Η περσική εισβολή αποκρούστηκε στις Ιστορικές μάχες του Μαραθώνα, της Σαλαμίνας και των Πλαταιών. Το κύριο αποτέλεσμα της ελληνικής νίκης ήταν η ανάπτυξη και η ηγεμονία της Αθήνας. Στην εποχή του Περικλή, στο δεύτερο μισό του 5ου αιώνα, τα δημοκρατικά στοιχεία της Αθήνας ολοένα αύξαιναν την επιρροή τους. Αυτά αποτέλεσαν και την κινητήρια δύναμη πίσω την οικονομική και στρατιωτική εξάπλωση. Γύρω στο 430 π. Χ., είχαν ήδη πετύχει να κάμουν την Αθήνα κεφαλή της ελληνικής υπερδύναμης. Σύγχρονα, όμως, την είχαν καταστήσει και κέντρο ενός νέου και εντυπωσιακού πολιτισμού: του Χρυσού Αιώνα της Ελλάδας.

Στο πλαίσιο των κοινωνικών και πολιτικών αγώνων, φιλόσοφοι και διδάσκαλοι παρουσίαζαν τις θεωρίες τους και, μαζί μ' αυτές, τα νέα μαθηματικά. Γιο πρώτη φορά στην ιστορία, μια ομάδα ανθρώπων με κριτικό μυαλό, οι «σοφιστές», λιγότερο εμποδισμένοι την παράδοση παρά οποιαδήποτε προηγούμενη ομάδα μορφωμένων ατόμων, προσέγγισαν προβλήματα μαθηματικής φύσης με την κυρίαρχη προσπάθεια να κατανοηθούν οι έννοιες, ανεξάρτητα το αν παρουσιάζουν πρακτική χρησιμότητα. Αυτή ή πνευματική στάση οδήγησε τους σοφιστές στον στοχασμό πάνω στις αρχές της ίδιας της σκέψης. Θα ήταν, λοιπόν, πολύ διδακτικό να παρακολουθήσουμε τα επιχειρήματα τους. Δυστυχώς, σώζεται ένα μονάχα ολοκληρωμένο μαθηματικό απόσπασμα κείμενο εκείνης της περιόδου. Έχει γραφτεί τον Ίωνα φιλόσοφο Ιπποκράτη τον Χίο και αντιπροσωπεύει υψηλό βαθμό τελειότητας στη μαθηματική συλλογιστική. Πραγματεύεται με αρκετή τοπική αυστηρότητα ένα περίεργο ζήτημα, διόλου πραχτικό, θεωρητικά όμως αξιόλογο. Πρόκειται για τους λεγόμενους μηνίσκους — τις σελήνες η ημισέληνες πού σχηματίζονται δύο κυκλικά τόξα.

Το ζήτημα — να βρεθούν ορισμένα χωρία, πού περικλείνονται δύο κυκλικά τόξα, έτσι ώστε το εμβαδό αυτών των χωρίων ν' αποτελεί ρητή έκφραση των διαμέτρων των κύκλων — έχει άμεση συνάφεια με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, κεντρικό πρόβλημα στα ελληνικά μαθηματικά. Η ανάλυση πού γίνεται τον Ιπποκράτη σ' αυτό το πρόβλημα^[1] πείθει πώς οι μαθηματικοί του Χρυσού Αιώνα της Ελλάδας διάθεταν ένα διαμορφωμένο σύστημα επίπεδης γεωμετρίας και είχαν απόλυτα ενστερνιστεί την αρχή της λογικής απαγωγής τη μια πρόταση στην άλλη. Είχε κιόλας γίνει ένα ξεκίνημα προς την αξιωματική μέθοδο. Το μαρτυράει ο τίτλος Στοιχεία του βιβλίου πού, όπως υποτίθεται, είχε γραφτεί τον Ιπποκράτη. Όλες οι ελληνικές μαθηματικές πραγματείες — συμπεριλαμβάνονται κι αυτές του Ευκλείδη — πού βασίζονται στην αξιωματική μέθοδο, έτσι επιγράφονται. Ο Ιπποκράτης εργάστηκε ερευνητικά πάνω στα εμβαδά των επίπεδων σχημάτων πού περικλείνονται ευθύγραμμα τμήματα είτε κυκλικά τόξα. Γνώριζε πώς τα εμβαδά δύο κυκλικών τμημάτων είναι μεταξύ τους όπως τα τετράγωνα των χορδών τους. Το πυθαγόρειο θεώρημα του ήταν επίσης γνωστό, καθώς και οι αντίστοιχες ανισότητες πού αναφέρονται σε όχι ορθογώνια τρίγωνα. Η όλη πραγμάτευση εντάσσεται στην ευκλείδεια, όπως θα μπορούσε να χαρακτηριστεί, παράδοση. Στην πραγματικότητα, είναι προγενέστερη την εποχή του Ευκλείδη κατά έναν αιώνα και περισσότερο.

Το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου είναι ένα τα «τρία περίφημα μαθηματικά προβλήματα της αρχαιότητας», πού άρχισαν εκείνη την περίοδο να γίνονται αντικείμενο μελέτης. Τα προβλήματα αυτά ήσαν τα ακόλουθα:
 

1. Η τριχοτόμηση της γωνίας, δηλαδή το πρόβλημα του χωρισμού μιας δοσμένης γωνίας σε τρία ίσα μέρη.
2. Ο διπλασιασμός του κύβου, δηλαδή η εύρεση της πλευράς ενός κύβου με όγκο διπλάσιο τον όγκο ενός δοσμένου κύβου(το αποκαλούμενο Δήλιο Πρόβλημα).
3. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η εύρεση τετραγώνου, πού το εμβαδό του να είναι ίσο με το εμβαδό δοσμένου κύκλου.
    

Η σημασία αυτών των προβλημάτων έγκειται στο γεγονός ότι δεν υπάρχει γεωμετρική λύση τους, πού να πραγματώνεται με την κατασκευή πεπερασμένου αριθμού από ευθείες γραμμές και κύκλους. Με τέτοια μέσα, μόνο προσεγγιστική λύση μπορεί να βρεθεί. Έτσι, τα προβλήματα αυτά δημιούργησαν ένα κίνητρο για τη διείσδυση σε νέα πεδία των μαθηματικών. Τα δύο πρώτα προβλήματα μπορούν ν' αναχθούν στην αναζήτηση δύο ευθύγραμμων τμημάτων χ και y, ώστε να είναι a:x = x:y = y:b, όπου τα a και b είναι δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα. Συχνά οι αντίστοιχες έρευνες των Ελλήνων μαθηματικών στρέφονταν προς αυτή την κατεύθυνση. Πρόκειται για επέκταση του προβλήματος της εύρεσης ενός χ, για το όποιο a : χ = χ : b όπου, δηλαδή, το χ να είναι ο γεωμετρικός μέσος των a και b. Ο προσδιορισμός όμως δύο γεωμετρικών μέσων, στη διπλή αναλογία πού αναφέραμε, δεν είναι δυνατό να κατορθωθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη. Αλλά η σχετική έρευνα οδήγησε στο ν' ανακαλυφτούν οι κωνικές τομές, ορισμένες κυβικές και τεταρτοβάθμιες καμπύλες, καθώς και μια υπερβατική καμπύλη, η τετραγωνίζουσα. Η ανεκδοτολογική μορφή, με την οποία έχουν μεταδοθεί κατά καιρούς αυτά τα προβλήματα (δελφικοί χρησμοί, κτλ.), δεν πρέπει να επισκιάζει τη θεμελιακή τους σπουδαιότητα. Δεν είναι σπάνιο φαινόμενο να παρουσιάζεται ένα βασικό πρόβλημα με τη μορφή ανεκδότου η αινίγματος, όπως το μήλο του Νεύτωνα, η υπόσχεση πού αθέτησε ο Καρντάνο η τα βαρέλια του Κέπλερ. Παλαιότεροι αλλά και σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν επισημάνει τη σύνδεση πού υπάρχει μεταξύ αυτών των αρχαίων ελληνικών προβλημάτων και της σύγχρονης θεωρίας των εξισώσεων, σχετικά με θέματα πού αναφέρονται σε ρητές αναλύσεις, σε αλγεβρικούς αριθμούς, και στη θεωρία των ομάδων.^[2]

Κεφάλαιο 4

Παράλληλα με την ομάδα των σοφιστών, πού ως ένα βαθμό ήσαν συνδεμένοι με το δημοκρατικό κίνημα, υπήρχε μια άλλη ομάδα φιλοσόφων, με μαθηματικά ενδιαφέροντα, η οποία σχετιζόταν με τις αριστοκρατικές μερίδες. Τους ονόμαζαν πυθαγόρειους, τον — μάλλον μυθικό — ιδρυτή της σχολής τους, τον Πυθαγόρα. Θεωρείται ότι στο πρόσωπο του συγκλίνανε οι Ιδιότητες του μυστικιστή, του επιστήμονα και του αριστοκρατικού πολιτικού. Σε αντίθεση με τους περισσότερους σοφιστές, πού τόνιζαν την πραγματικότητα της μεταβολής — Ιδιαίτερα τους ατομιστές, οπαδούς του Λεύκιππου και του Δημόκριτου — οι πυθαγόρειοι εμμένανε στην έρευνα των, κατ' αυτούς, αμετάβλητων στοιχείων στη φύση και στην κοινωνία. Αναζητώντας τους αιώνιους νόμους του σύμπαντος, ασχολήθηκαν με τη γεωμετρία, την αριθμητική, την αστρονομία και τη μουσική (το τετραόδιο). Ο πιο ονομαστός ηγέτης τους ήταν ο Αρχύτας ο Ταραντίνος, πού έζησε γύρω στο 400 π. Χ. Αν παραδεχτούμε την άποψη του Φράνκ, το μεγαλύτερο μέρος τον πυθαγόρειο κλάδο των μαθηματικών δημιουργήθηκε στη σχολή του Αρχύτα. Η αριθμητική των πυθαγορείων είχε φτάσει στο ύψος θεωρητικής επιστήμης. Ελάχιστα κοινά σημεία είχε με τη σύγχρονη της υπολογιστική τεχνική των Βαβυλωνίων. Είχαν διακριθεί διάφορα είδη αριθμών: περιττοί, άρτιοι, άρτιες φορές άρτιοι, περιττές φορές περιττοί, πρώτοι και σύνθετοι, τέλειοι, φίλοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, πεντάγωνοι, κτλ. Να μερικά τα πιο ενδιαφέροντα αποτελέσματα πού αφορούν στους «τρίγωνους αριθμούς» και αντιπροσωπεύουν ένα συσχετισμό γεωμετρίας και αριθμητικής:

Η σύγχρονη έκφραση «τετράγωνο αριθμού» προέρχεται τις πυθαγόρειες θεωρήσεις για «τετράγωνους αριθμούς»:

Τα ίδια τα σχεδιάσματα ανάγονται σε πολύ παλαιότερη εποχή, εφόσον μερικά απ' αυτά βρέθηκαν σε νεολιθικά αγγεία. Οι πυθαγόρειοι εξέτασαν τις ιδιότητες τους, εμπλέκοντας στις έρευνες τους τον μυστικισμό. Τοποθετούσαν τους αριθμούς στο κέντρο μιας φιλοσοφίας του σύμπαντος, η οποία πάσχιζε να αναγάγει όλες τις σχέσεις σε σχέσεις αριθμών. («Το καθετί είναι αριθμός»). Το σημείο ήταν «μονάδα θέσης».^[3] Ιδιαίτερη σημασία είχαν οι λόγοι αριθμών. Η ισότητα των λόγων αποτελούσε αναλογία. Έκαναν διάκριση ανάμεσα στην αριθμητική, στη γεωμετρική και στην αρμονική αναλογία, που τις ερμήνευαν φιλοσοφικά και κοινωνικά. Οι αναλογίες αυτές οδηγούν αντίστοιχα σε:

Οι πυθαγόρειοι γνώριζαν διάφορες ιδιότητες των κανονικών πολυγώνων και των κανονικών στερεών. Είχανε δείξει με ποιώ τρόπο μπορεί να καλυφθεί το επίπεδο με κανονικά σχήματα, τρίγωνα, τετράγωνα η εξάγωνα επίσης ο χώρος με κύβους. Αργότερα, ο Αριστοτέλης νόμισε πώς ο χώρος μπορεί να γεμίσει και με κανονικά τετράεδρο. Αυτό όμως δεν είναι σωστό.^[4] Είναι πιθανό να γνώριζαν επίσης οι πυθαγόρειοι το κανονικό οκτάεδρο και το κανονικό δωδεκάεδρο το τελευταίο, επειδή ο πυρίτης, πού άπαντα στην Ιταλία, κρυσταλλώνεται σε δωδεκάεδρα. Έχουν επίσης ανευρεθεί τέτοια σχήματα σε διακοσμητικά αντικείμενα, καθώς και σε μαγικά σύμβολα της εποχής των Ετρούσκων. Ήσαν γνωστά και στους κελτικούς λαούς της κεντρικής Ευρώπης τις αρχές της εποχής του σιδήρου, γύρω στα 900 π. Χ. (ο πυρίτης είναι ένα μετάλλευμα του σιδήρου).^[5]

Όσο για το θεώρημα του Πυθαγόρα, οι πυθαγόρειοι διατείνονταν πώς η ανακάλυψη του οφειλόταν στον δάσκαλο τους, πού υποτίθεται ότι είχε θυσιάσει στους θεούς εκατό βόδια σε ένδειξη ευγνωμοσύνης. Έχουμε ήδη δει ότι το θεώρημα ήταν γνωστό στη Βαβυλώνα του Χαμμουραμπί. Δεν αποκλείεται, όμως, η πρώτη γενική απόδειξη να έχει γίνει, πραγματικά, την πυθαγόρεια σχολή.

Η πιο σημαντική ανακάλυψη πού αποδίδεται στους πυθαγόρειους ήταν η ανακάλυψη των «άρρητων (ασύμμετρων)». Αυτό έγινε με την απόδειξη της ύπαρξης ευθύγραμμων τμημάτων πού δεν έχουν κοινό μέτρο. Ίσως το κίνητρο γι' αυτή την ανακάλυψη να ήταν το ενδιαφέρον τους για τον γεωμετρικό μέσο (α : β = β : γ), πού ήταν και σύμβολο της αριστοκρατίας. Το ερώτημα για το ποιος είναι ο γεωμετρικός μέσος των δύο Ιερών συμβόλων 1 και 2 οδηγεί στη μελέτη του λόγου της πλευράς και της διαγωνίου του τετραγώνου. Βρήκανε ότι ο λόγος αυτός δεν είναι δυνατό να εκφραστεί με «αριθμούς», δηλαδή με τους αριθμούς πού τώρα τους αποκαλούμε ρητούς (ακέραιοι και κλάσματα). Αυτοί μονάχα οι αριθμοί ήσαν παραδεχτοί. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη,^[6] η συλλογιστική πορεία για την εξαγωγή αυτού του συμπεράσματος των πυθαγορείων ήταν η έξης:

Ας υποθέσουμε ότι ο λόγος είναι p : q. Μπορούμε να δεχτούμε ότι τα p και q είναι πρώτα μεταξύ τους. Επειδή θα είχαμε p² = 2q², το p², άρα και το p, θα ήσαν άρτια. Το q, λοιπόν, θα έπρεπε να ήταν περιττό. Αλλ' αν p = 2r, τότε q² = 2r². Συνεπώς το q θα ήταν επίσης άρτιο. Η αντίφαση αυτή δεν αντιμετωπίστηκε, όπως στην Ανατολή η στην Ευρώπη της αναγέννησης, με μια επέκταση της εννοίας του αριθμού, αλλά με την απόρριψη της θεωρίας των αριθμών για τέτοιες περιπτώσεις και την αναζήτηση μιας σύνθεσης στα πλαίσια της γεωμετρίας.

Αυτή η ανακάλυψη, πού ανάτρεψε την άνετη αρμονία ανάμεσα στην αριθμητική και στη γεωμετρία, έγινε, μάλλον, στις τελευταίες δεκαετίες του 5ου αιώνα π. Χ. Προξένησε μεγαλύτερη αίσθηση και αυτήν πού είχε δημιουργήσει η περιπλοκή, η οποία είχε ανακύψει τα επιχειρήματα τα σχετικά με την πραγματικότητα της μεταβολής επιχειρήματα πού απασχολούν τους φιλόσοφους τότε ίσαμε τώρα. Έχουν αποδοθεί στον Ζήνωνα τον Ελεάτη (γύρω στο 450 π. Χ.), μαθητή του συντηρητικού φιλόσοφου Παρμενίδη, πού δίδασκε ότι το απόλυτο αν μπορεί να αναγνωριστεί μόνο με τη λογική και ότι μεταβολή δεν υπάρχει, αλλά είναι φαινομενική. Το θέμα της μεταβολής απόχτησε μαθηματικό νόημα, όταν χρειάστηκε να μελετηθούν ατέρμονες διαδικασίες σε ζητήματα όπως ο προσδιορισμός του όγκου της πυραμίδας. Τα παράδοξα του Ζήνωνα ήρθαν σε σύγκρουση με μερικές παλαιές και διαισθητικές αντιλήψεις σχετικά με το άπειρα μικρό και το άπειρα μεγάλο. Πίστευαν πάντα πώς το άθροισα απειράριθμων ποσοτήτων μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε — ακόμα κι αν κάθε ποσότητα είναι εξαιρετικά μικρή —
— και πώς το άθροισμα πεπερασμένου η άπειρου αριθμού ποσοτήτων με μηδενική διάσταση είναι μηδέν (

 ). 

Η κριτική του Ζήνωνα αμφισβήτησε την ορθότητα αυτών των πεποιθήσεων και τα τέσσερα παράδοξα του δημιούργησαν μιαν αναταραχή, πού ο αντίχτυπός της μπορεί και σήμερα να παρατηρηθεί. Τα παράδοξα του Ζήνωνα έφτασαν ως εμάς τον Αριστοτέλη και είναι γνωστά με τις ονομασίες Αχιλλέας, Βέλος, Διχοτομία και Στάδιο. Έχουν διατυπωθεί έτσι ώστε να τονίζουν τις αντιφάσεις πού περικλείνουν οι έννοιες της κίνησης και του χρόνου. Καμιά ικανοποιητική απόπειρα δεν έχει γίνει για την άρση αυτών των αντιφάσεων.

Η ουσία της συλλογιστικής θα καταφανεί τον Αχιλλέα και τη Διχοτομία, πού θα τα διατυπώσουμε με δικά μας λόγια:

Αχιλλέας. Ο Αχιλλέας και μια χελώνα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση πάνω σε μια ευθεία γραμμή. Ο Αχιλλέας είναι πολύ πιο γρήγορος από τη χελώνα, αλλά για να τη φτάσει πρέπει πρώτα να περάσει το σημείο P, το όποιο ξεκίνησε η χελώνα. Όταν βρεθεί στο P, η χελώνα θα έχει προχωρήσει ως το σημείο P,. Ο Αχιλλέας δεν μπορεί να φτάσει τη χελώνα προτού περάσει το Ρ₁ αλλά τότε η χελώνα θα έχει προχωρήσει ως ίνα νέο σημείο Ρ₂. 'Όταν ο Αχιλλέας βρεθεί στο Ρ₂, η χελώνα θα έχει προχωρήσει ως ένα πιο πέρα σημείο Ρ₃ κ.ο.κ. Έτσι, ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα.

Διχοτομία. Έστω ότι θέλω να πάω το Α στο Β περπατώντας πάνω σε μια γραμμή πού τα συνδέει. Για να φτάσω στο Β, πρέπει πρώτα να διασχίσω το μισό της απόστασης ΑΒ, το ΑΒ₁. Γιο να φτάσω στο Β₁, πρέπει να φτάσω πρώτα στο Β₂, μέσο του ΑΒ,. Αυτό συνεχίζεται ατέρμονα. Άρα η κίνηση δεν μπορεί ούτε καν να αρχίσει.

Οι συλλογισμοί του Ζήνωνα έδειξαν ότι είναι δυνατό να διασπαστεί ένα πεπερασμένο τμήμα σε απειράριθμα μικρά τμήματα, όπου το καθένα να έχει πεπερασμένο μήκος. Έδειξαν ακόμα την ύπαρξη δυσχερειών προκειμένου να δοθεί μια ερμηνεία για το τι σημαίνει: μια γραμμή «αποτελείται» σημεία. Είναι πολύ πιθανό ούτε ο ίδιος ο Ζήνωνας να είχε συνείδηση για τις μαθηματικές επιπτώσεις των συλλογισμών του. Προβλήματα πού οδηγούν σ' αυτά τα παράδοξα έχουν συχνά εμφανιστεί σε φιλοσοφικές και θεολογικές συζητήσεις. Αναγνωρίζονται και στις αντιγνωμίες σχετικά με το «δυνητικό» και «ενεστωτικό» άπειρο. Ο Ταννερύ, πάντως, πίστευε ότι η επιχειρηματολογία του Ζήνωνα στρεφόταν ιδιαίτερα ενάντια στην πυθαγόρεια αντίληψη πώς ο χώρος είναι άθροισμα σημείων («το σημείο είναι μονάδα θέσης»).^[7] Όποια κι αν είναι η αλήθεια, η συλλογιστική του Ζήνωνα επηρέασε οπωσδήποτε για πολλές γενιές τη μαθηματική σκέψη. Τα παράδοξα του μπορούν να συγκριθούν με εκείνα πού παρουσιάστηκαν το 1734 τον επίσκοπο Μπέρκλεϋ (Berkeley), όταν έδειξε σε τι παραλογισμούς μπορεί να οδηγήσει η ανεπαρκής διατύπωση των αρχών του Λογισμού, χωρίς όμως να προσφέρει μια καλύτερη θεμελίωση.
Αφότου ανακαλύφτηκαν οι άρρητοι, οι συλλογισμοί του Ζήνωνα άρχισαν να προβληματίζουν τους μαθηματικούς ακόμα περισσότερο. Ήταν δυνατό να είναι τα μαθηματικά επιστήμη με αναμφισβήτητη ακρίβεια; Ο Ταννερύ^[8] υποστήριξε ότι μπορούμε να μιλάμε για «αληθινό λογικό σκάνδαλο», για μια «κρίση» στα ελληνικά μαθηματικά. Η κρίση αυτή, αν πρόκειται για κάτι τέτοιο, δημιουργήθηκε κατά την τελευταία περίοδο του πελοποννησιακού πολέμου, πού τελείωσε με την πτώση της Αθήνας (404 π. Χ.). Μπορούμε λοιπόν να επισημάνουμε ένα σύνδεσμο ανάμεσα στην κρίση των μαθηματικών και σ' εκείνη του κοινωνικού συστήματος, μια και η πτώση της Αθήνας σήμαινε την καταδίκη μιας δουλοκτητικής δημοκρατίας με ιμπεριαλιστικά χαρακτηριστικά και άνοιγε μια νέα περίοδο αριστοκρατικής κυριαρχίας. Η κρίση αυτή βρήκε τη λύση της μέσα στο πνεύμα της νέας περιόδου.

Κεφάλαιο 5

Τυπικό χαρακτηριστικό της νέας αυτής περιόδου στην ελληνική Ιστορία ήταν ότι ορισμένες μερίδες των κυρίαρχων τάξεων αύξαιναν τα πλούτη τους, ενώ παράλληλα αύξαινε στον ίδιο βαθμό ή εξαθλίωση και ανασφάλεια των φτωχών. Οι κυρίαρχες τάξεις βάσιζαν ολοένα περισσότερο την υλική τους ύπαρξη πάνω στη δουλεία. Αυτό, τη μια μεριά, τους πρόσφερε τη δυνατότητα να καλλιεργούν με άνεση τις τέχνες και τις επιστήμες και,  την άλλη, τους δημιουργούσε ολοένα και μεγαλύτερη αποστροφή προς κάθε χειρωνακτική εργασία. Ο αργόσχολος αριστοκράτης περιφρονούσε την εργασία των δούλων και των τεχνιτών και αναζητούσε την ανακούφιση τις έγνοιες στη μελέτη της φιλοσοφίας και της προσωπικής ηθικής. Αυτό φαίνεται καθαρά στα έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Τη σαφέστερη έκφραση των ιδανικών της δουλοκτητικής δημοκρατίας τη βρίσκουμε στην Πολιτεία του Πλάτωνα (γράφτηκε, ίσως, γύρω στο 360 π. Χ.). Οι «φύλακες» της Πολιτείας του Πλάτωνα έπρεπε να μελετούν το τετραόδιο — πού το αποτελούσαν ή αριθμητική, ή γεωμετρία, ή αστρονομία και ή μουσική — για να κατανοούν τους νόμους του σύμπαντος. Μια τέτοια πνευματική ατμόσφαιρα προσφερόταν (τουλάχιστο κατά την πρώτη της περίοδο) στην ενασχόληση με τα θεμέλια των μαθηματικών και στη διαμόρφωση εικοτολογικής κοσμογονίας. Τρεις τουλάχιστο μεγάλοι μαθηματικοί εκείνης της περιόδου συνδέονταν με την Ακαδημία του Πλάτωνα: ο Αρχύτας, ο Θεαίτητος (Έζησε ως το 369 π. Χ.) και ο Εύδοξος (408 περίπου - 355 π .Χ.). Στον Θεαίτητο αποδόθηκε ή θεωρία των άρρητων, όπως παρουσιάζεται στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Το όνομα του Εύδοξου συνδέθηκε με τη θεωρία των λόγων, πού ανάπτυξε ο Ευκλείδης στο πέμπτο βιβλίο του, καθώς και με την αποκαλούμενη «μέθοδο της εξάντλησης», ή οποία οδήγησε σε ακριβείς υπολογισμούς εμβαδών και όγκων. Αυτά σημαίνουν πώς στον Εύδοξο οφείλεται το ξεπέρασμα της «κρίσης» στα ελληνικά μαθηματικά. Οι αυστηρές διατυπώσεις του παίξανε, επίσης, καθοριστικό ρόλο στην πορεία της ελληνικής αξιωματικής μεθόδου και, σε μεγάλο βαθμό, των ελληνικών μαθηματικών σαν σύνολο.

Η θεωρία των λόγων του Ευδόξου ήταν απαλλαγμένη τη θεωρία των πυθαγορείων, πού εφαρμοζόταν μόνο στα σύμμετρα μεγέθη. Επρόκειτο για μια καθαρά γεωμετρική θεωρία, δοσμένη σε αυστηρά αξιωματική μορφή, πού καθιστούσε περιττή κάθε αναφορά σε σύμμετρα και ασύμμετρα μεγέθη.

Τυπικό δείγμα αποτελεί ο Ορισμός 5 του βιβλίου Ε' των Στοιχείων του Ευκλείδη:

Λέμε για μεγέθη ότι έχουν τον ίδιο λόγο, το πρώτο προς το δεύτερο και το τρίτο προς το τέταρτο, όταν όποιο ισοπολλαπλάσιο κι αν πάρουμε του πρώτου και του τρίτου και όποιο επίσης ισοπολλαπλάσιο κι αν πάρουμε του δεύτερου και του τέταρτου, το πρώτο τα νέα μεγέθη είναι μεγαλύτερο, του, η μικρότερο το δεύτερο, μόνο αν το ίδιο συμβαίνει, αντίστοιχα, με τα άλλα δύο μεγέθη^[9] . 

Αυτό σημαίνει, με τους δικούς μας συμβολισμούς, πώς α : β = γ : δ αν ma > ηβ συνεπάγεται mγ > ηδ, ma = η β συνεπάγεται mγ = ηδ και ma < ηβ συνεπάγεται mγ < ηδ, όπου m και η είναι ακέραιοι. Για την εγκυρότητα ενός τέτοιου ορισμού δόθηκε για πρώτη φορά διαβεβαίωση με την απόφανση πού αποκαλούμε αξίωμα του Αρχιμήδη. Στα Στοιχεία του Ευκλείδη ο ορισμός, πού προηγούμενα αναφέραμε, έχει τεθεί ύστερα αυτό το αξίωμα, πού ο Ευκλείδης παρουσιάζει ως Ορισμό 4:

Για μεγέθη συγκρίσιμα μεταξύ τους δεχόμαστε ότι το καθένα απ' αυτά μπορεί, πολλαπλασιαζόμενο, να υπερβεί το άλλο.^[10]

Θα ήταν σωστότερο να ονομαζόταν αυτός ο ορισμός αξίωμα του Ευδόξου. Η τωρινή θεωρία των ασύμμετρων αριθμών, πού αναπτύχθηκε τους Ντέντεκιντ (Dedekind) και Βάιερστρας (Weierstrass), ακολουθεί σχεδόν κατά βήμα τον τρόπο σκέψης του Ευδόξου. Με το να κάνει όμως χρήση σύγχρονων αριθμητικών μεθόδων, άνοιξε πολύ ευρύτερες προοπτικές.

Η «μέθοδος της εξάντλησης» [ο όρος «εξαντλώ» εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε κείμενο του Σαίν - Βενσάν (Gregoire de Saint -Vincent), 1647] ήταν η απάντηση της πλατωνικής σχολής στον Ζήνωνα. Απόφυγε τις παγίδες των απειροστικών, απλώς παρακάμπτοντας τα. Τα προβλήματα πού μπορούσαν να οδηγήσουν σε απειροστά παίρνανε άλλη κατεύθυνση. Μετασχηματίζονταν σε προβλήματα πού αντιμετωπίζονται μόνο με την τυπική λογική. Για παράδειγμα, προκειμένου ν' αποδείξουν ότι ο όγκος V ενός τετραέδρου είναι ίσος με το τρίτο του όγκου P ενός πρίσματος με ίδια βάση και ίδιο ύψος, απόδειχναν ότι οδηγούν σε αντίφαση και οι δύο υποθέσεις V > 1/3 P και V <1/3 P. Γι' αυτόν τον σκοπό είχαν εισαγάγει ένα αξίωμα ισοδύναμο με το αξίωμα του Αρχιμήδη (η του Ευδόξου). Ό Αρχιμήδης το είχε διατυπώσει ωσεξής: Από δύο οποιαδήποτε άνισα συγκρίσιμα μεγέθη, «το μεγαλύτερο υπερβαίνει το μικρότερο κατά μέγεθος, το όποιο, προστιθέμενο στον εαυτό του, μπορεί να υπερβεί κάθε προκαθορισμένο μέγεθος συγκρίσιμο μ' αυτά».^[11] Η έκφραση «προστιθέμενο στον εαυτό του» έχει εδώ το νόημα ότι η ίδια ενέργεια μπορεί να επαναληφθεί οσεσδήποτε φορές. Σκιαγραφούμε τώρα τη συλλογιστική πορεία αναφορικά με την περίπτωση τετραέδρου και πρίσματος. Ας είναι V = Α, όπου Α > 1/3 P. Για ν' αποδειχτεί ότι αυτή η υπόθεση οδηγεί σε αντίφαση, ακολουθήθηκε η έξης διαδικασία: Εγκλείστηκε η πυραμίδα σε ένα συγκρότημα αποτελούμενο n πρίσματα, τοποθετημένα κλιμακωτά το Ένα πάνω στο άλλο, με ύψος h/n, όπου h το ύψος της πυραμίδας, και αποδείχτηκε ότι, παίρνοντας το n κατάλληλα μεγάλο, ο όγκος του συγκροτήματος μπορεί να καταστεί < Α. Είναι όμως προφανώς > V. Άρα η υπόθεση V = Α οδηγεί σε λαθεμένο εξαγόμενο. Με όμοιο τρόπο, εγγράφοντας στο τετράεδρο ένα παρόμοιο συγκρότημα, αποδείχνεται ότι και η υπόθεση V < 4 P πρέπει ν' απορριφθεί. Ό Ευκλείδης έχει αποδείξει με την ίδια μεθοδολογία διάφορες προτάσεις, όπως το θεώρημα ότι δύο κύκλοι έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο με τα τετράγωνα των διαμέτρων τους.

Αυτή η έμμεση μέθοδος ήταν η καθιερωμένη, τόσο στην αρχαία Ελλάδα όσο και υστερότερα, στην Αναγέννηση, για την αυστηρή απόδειξη προτάσεων πού αναφέρονται σε υπολογισμούς εμβαδών ή όγκων. Είναι απόλυτα ορθή και εύκολα μεταγράφεται σε απόδειξη σύμφωνη με τις απαιτήσεις της σύγχρονης ανάλυσης. Έχει όμως το μεγάλο μειονέκτημα ότι, για ν' αποδειχτεί ένα αποτέλεσμα, πρέπει αυτό να είναι τα πριν γνωστό. Γιαυτό οι μαθηματικοί το αναζητούσαν πρώτα με άλλη μέθοδο, περισσότερο δοκιμαστική και λιγότερο αυστηρή.

Υπάρχουν σαφείς ενδείξεις ότι, πραγματικά, ήταν σε χρήση μια τέτοια ευρετική μέθοδος. Διαθέτουμε μια επιστολή του Αρχιμήδη προς τον Ερατοσθένη (χρονολογείται στο 250 π. Χ. περίπου), πού ανακαλύφτηκε μόλις το 1906, στην οποία ο Αρχιμήδης περιγράφει έναν τρόπο για την εξαγωγή αποτελεσμάτων, όχι αυστηρό, μα γόνιμο. Η επιστολή αυτή είναι γνωστή με την ονομασία «Μέθοδος». Ορισμένοι, όπως ο Λούρια (S. Luria), έχουν εκφράσει την άποψη ότι η «Μέθοδος» αντανακλάει τρόπους μαθηματικής συλλογιστικής, τους οποίους πρέσβευε μια σχολή ανταγωνιστική της σχολής του Ευδόξου και η οποία δρούσε στην ίδια χρονική περίοδο, την περίοδο της «κρίσης». Αυτή η σχολή θα πρέπει να συνδεθεί με το όνομα του Δημόκριτου, του θεμελιωτή της ατομικής θεωρίας. Σύμφωνα με την εκτίμηση του Λούρια, στη σχολή του Δημόκριτου είχε εισαχθεί η έννοια του «γεωμετρικού ατόμου». Θεωρούσαν ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα, όπως και κάθε επιφάνεια και κάθε στερεό σώμα, σχηματιζόταν ένα μεγάλο — πεπερασμένο όμως — πλήθος αδιαίρετα «άτομα». Για τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος, έπρεπε να βρεθεί το άθροισμα των όγκων πού είχαν τα άτομα, τα όποια συνίστατο το σώμα. Η θεωρία αυτή  μοιάζει, ίσως, παράλογη. Δεν είναι όμως και τόσο, αν λάβουμε υπόψη ότι πολλοί μαθηματικοί, πριν την εποχή του Νεύτωνα (Newton), όπως ο Κέπλερ (Kepler), διαπνέονταν τις ίδιες, ουσιαστικά, αντιλήψεις. Δέχονταν ότι η περιφέρεια κύκλου αποτελείται έναν πολύ μεγάλο αριθμό εξαιρετικά μικρών ευθύγραμμων τμημάτων. Δεν υπάρχει καμιά Ισχυρή ένδειξη ότι αναπτύχθηκε ποτέ κατά την αρχαιότητα αυστηρή αποδειχτική μέθοδος στηριγμένη σ' αυτή την «ατομική θεωρία». Οι σύγχρονες όμως αντιλήψεις για τα όρια επιτρέπουν την οικοδόμησή της κατά τρόπο εξίσου αυστηρό, όσο και η «μέθοδος της εξάντλησης». Ακόμα και σήμερα κάνουμε αρκετά συχνή χρήση αυτής της αντίληψης για τα «άτομα», όταν αντιμετωπίζουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα στη θεωρία ελαστικότητας, στη φυσική η στη χημεία στην αυστηρή θεωρία των «ορίων», τη φυλάμε τότε μόνο για τον επαγγελματία μαθηματικό.^[12]

Η «ατομική μέθοδος» είχε το πλεονέκτημα, σε σύγκριση με τη «μέθοδο της εξάντλησης», ότι διευκόλυνε την εύρεση νέων αποτελεσμάτων. Η αρχαιότητα είχε έτσι τη δυνατότητα επιλογής μεταξύ μιας μεθόδου αυστηρής, αλλά σχετικά στείρας, και μιας άλλης, χαλαρά θεμελιωμένης, αλλά πολύ γονιμότερης. Αξίζει να μνημονευτεί ότι σε όλα τα κλασικά κείμενα έχει χρησιμοποιηθεί μοναχά η αυστηρή μέθοδος. Μπορεί, επίσης, να οφείλεται η πραχτική αύτη στην αντανάκλαση, μέσα στο βασίλειο της μαθηματικής φιλοσοφίας, της νίκης του πλατωνικού ιδεαλισμού πάνω στον υλισμό του Δημόκριτου.

Κεφάλαιο 6

Το 334 π. Χ., άρχισε η κατάχτηση της Περσίας από τον Μεγάλο Αλέξανδρο. Το 323 — έτος του θανάτου του στη Βαβυλώνα — όλη η Μέση Ανατολή είχε ήδη πέσει στα χέρια των Ελλήνων. Τις καταχτήσεις του Αλέξανδρου τις διαμοιράστηκαν οι στρατηγοί του. Τελικά, προκύψαν τρεις αυτοκρατορίες: η Αίγυπτος των Πτολεμαίων, η Μεσοποταμία και η Συρία των Σελευκιδών και η Μακεδονία του Αντίγονου και των διαδόχων ακόμα και η κοιλάδα του Ινδού είχε Έλληνες ηγεμόνες. Είχε αρχίσει η Ελληνιστική Περίοδος.
Άμεση συνέπεια της εκστρατείας του Αλέξανδρου ήταν η επιτάχυνση της προώθησης του ελληνικού πολιτισμού σε μεγάλα τμήματα του ανατολικού κόσμου. Η Αίγυπτος και η Μεσοποταμία, καθώς και ένα τμήμα της Ινδίας, εξελληνίστηκαν. Οι Έλληνες πλημμύρισαν τη Μέση Ανατολή, σαν έμποροι, γιατροί, τυχοδιώχτες, ταξιδιώτες και μισθοφόροι. Οι πόλεις — πολλές απ' αυτές νεοϊδρυόμενες και αναγνωρίσιμες από τις ελληνιστικές ονομασίες τους — βρίσκονταν κάτω από ελληνικό στρατιωτικό και διοικητικό έλεγχο και ο πληθυσμός τους ήταν ανάμικτος από Έλληνες και Ανατολικούς. Ο ελληνισμός όμως ήταν, ουσιαστικά, πολιτισμός των πόλεων. Στην ύπαιθρο δεν είχε εισαχθεί, και οι ντόπιοι συνέχιζαν να ζουν σύμφωνα με τις παραδόσεις τους. Στις πόλεις, ο αρχαίος ανατολικός πολιτισμός συναντήθηκε με τον νεοφερμένο ελληνικό και, ως ένα βαθμό, αναμίχθηκε μ' αυτόν, αν και πάντοτε παράμενε ένας βαθύς διαχωρισμός ανάμεσα στους δύο κόσμους. Οι ηγεμόνες της ελληνιστικής περιόδου ενίσχυσαν τις ελληνικές τέχνες, τα γράμματα και τις επιστήμες, παρόλο πού είχαν υιοθετήσει ανατολικούς τρόπους συμπεριφοράς και είχαν ν' αντιμετωπίζουν ανατολικά διοικητικά προβλήματα.

Τα ελληνικά μαθηματικά, μεταφυτεμένα σε νέο περιβάλλον, διατήρησαν πολλά από τα παραδοσιακά χαρακτηριστικά τους, αλλά δέχτηκαν και επίδραση από τα προβλήματα της Ανατολής τα σχετικά με τη διοίκηση και την αστρονομία. Αυτή η στενή επαφή της ελληνικής επιστήμης με την Ανατολή υπήρξε εξαιρετικά γόνιμη, Ιδιαίτερα κατά τους πρώτους αιώνες. Βασικά, όλο το αληθινά παραγωγικό έργο πού αποκαλούμε «ελληνικά μαθηματικά» είχε παταχτεί μέσα στο σύντομο χρονικό διάστημα πού εκτείνεται από το 350 ως το 200 π. Χ., από τον Εύδοξο ως τον ακόμα και τα επιτεύγματα του Ευδόξου μας έγιναν γνωστά μόνο μέσα από τα συγγράμματα του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη. Είναι επίσης αξιοσημείωτο ότι η πιο μεγάλη άνθηση των ελληνιστικών μαθηματικών σημειώθηκε στην Αίγυπτο των Πτολεμαίων και όχι στη Μεσοποταμία, παρά το γεγονός ότι στη Βαβυλωνία τα ντόπια μαθηματικά βρίσκονταν σε πιο προχωρημένο στάδιο.

Αιτία αυτής της ανάπτυξης μπορεί να είναι το γεγονός ότι η Αίγυπτος κατείχε τότε κεντρική θέση στον μεσογειακό κόσμο. Η νέα πρωτεύουσα, η Αλεξάνδρεια, χτίστηκε στα παράλια και εξελίχτηκε σε πνευματικό και οικονομικό κέντρο του ελληνιστικού κόσμου. Η Βαβυλώνα διατηρήθηκε για ένα διάστημα μόνο σαν απομακρυσμένο κέντρο στους δρόμους των καραβανιών και, τελικά, εξαφανίστηκε. Σε αντικατάσταση της διαφάνηκε η Κτησιφώντα - Σελεύκεια, η νέα πρωτεύουσα των Σελευκιδών. Από όσα γνωρίζουμε, δεν έχουν υπάρξει Έλληνες μαθηματικοί, πού το όνομα τους να έχει συνδεθεί με τη Βαβυλώνα. Η Αντιόχεια και η Πέργαμος, πόλεις κι αυτές του κράτους των Σελευκιδών, αλλά πλησιέστερες προς τη Μεσόγειο, είχαν σημαντικές ελληνικές σχολές. Η ανάπτυξη πάντως της ντόπιας βαβυλωνιακής αστρονομίας και των μαθηματικών έφτασε στο αποκορύφωμα της κατά την εποχή της κυριαρχίας των Σελευκιδών. Η ελληνική αστρονομία δέχτηκε έτσι μια ώθηση, πού τη σημασία της μόλις τώρα αρχίζουμε να κατανοούμε καλύτερα. 'Υπήρχαν κι άλλα κέντρα μαθηματικής σπουδής, εκτός από την Αλεξάνδρεια, όπως η Αθήνα και οι Συρακούσες. Η Αθήνα περιορίστηκε σε εκπαιδευτικό κέντρο, ενώ οι Συρακούσες δώσανε στην ανθρωπότητα τον Αρχιμήδη, τον πιο μεγάλο αρχαίο Έλληνα μαθηματικό.

Κεφάλαιο 7

Εκείνη την περίοδο, εμφανίστηκε ο επαγγελματίας επιστήμονας, δηλαδή, ο άνθρωπος πού αφιέρωνε τη ζωή του στην απόχτηση γνώσεων και πού η ενασχόληση του αυτή του απόφερε χρηματικό αντάλλαγμα. Μερικοί από τους πιο εξέχοντες επιστήμονες αυτής της κατηγορίας ζήσανε στην Αλεξάνδρεια, όπου οι Πτολεμαίοι είχαν δημιουργήσει ένα μεγάλο κέντρο σπουδών, προσαρτημένο στο Μουσείο με τη φημισμένη Βιβλιοθήκη του. Εκεί διαφυλάχτηκε και αναπτύχθηκε η ελληνική κληρονομιά στις επιστήμες και στη φιλολογία. Η επιτυχία αυτού του εγχειρήματος ήταν αξιόλογη. Από τους πρώτους επιστήμονες πού συνδέθηκαν με την Αλεξάνδρεια ήταν ο Ευκλείδης, πού συγκαταλέγεται στους μαθηματικούς με την πιο μεγάλη επίδραση στη μαθηματική επιστήμη.

Για τη ζωή του Ευκλείδη δεν γνωρίζουμε τίποτα με βεβαιότητα. Πιθανώς άκμασε κατά την εποχή του πρώτου Πτολεμαίου (306—283 π. Χ.), στον όποιο, όπως λέγεται, είπε κάποτε ότι «για τη γεωμετρία δεν υπάρχει βασιλική οδός». Τα πιο φημισμένα και πιο προχωρημένα κείμενα του είναι τα δεκατρία βιβλία των Στοιχείων. Του αποδίδονται όμως και πολλά άλλα κείμενα μικρότερης αξίας. Σ' αυτά υπάγονται και τα Δεδομένα, πού, ως προς το περιεχόμενο, θα λέγαμε σήμερα ότι συνίστανται από εφαρμογές της άλγεβρας στη γεωμετρία η όλη όμως παρουσίαση γίνεται σε αυστηρά γεωμετρική γλώσσα. Δεν ξέρουμε ποσά απ' αυτά τα κείμενα ανήκουν στον ίδιο τον Ευκλείδη και ποσά είναι απανθίσματα. Ωστόσο, σε πολλά σημεία τους φανερώνεται μια εκπληκτική διεισδυτικότητα.

Είναι τα πρώτα κείμενα πού διασώθηκαν από την ελληνική αρχαιότητα, τα οποία αναφέρονται αποκλειστικά στα μαθηματικά.
Στην ιστορία του δυτικού κόσμου, δεν έχει παρουσιαστεί βιβλίο με μεγαλύτερη κυκλοφορία από αυτή των Στοιχείων, ούτε και βιβλίο πού να έχει περισσότερο μελετηθεί. Μόνος παραλληλισμός μπορεί να γίνει με τη Βίβλο. Πάνω από χίλιες έκδοσης των Στοιχείων έχουν εμφανιστεί, ύστερα από την εφεύρεση της τυπογραφίας. Αλλά και πριν από την εποχή εκείνη, κυκλοφορούσαν, χειρόγραφα αντίγραφα και ένα μεγάλο μέρος της διδασκαλίας της γεωμετρίας βασιζόταν σ' αυτά. Από τα δεκατρία βιβλία των Στοιχείων, τα οχτώ η εννιά τροφοδοτούν και σήμερα το πιο μεγάλο μέρος της σχολικής μας γεωμετρίας. Αρκετές μάλιστα φορές, προτάσεις και αποδείξεις έχουν περάσει στα σχολικά μας βιβλία κατά λέξη. Η ευκλείδεια παράδοση ρίχνει ακόμα το βάρος της και πάνω στη στοιχειώδη μας εκπαίδευση. Τα βιβλία του Ευκλείδη ασκούσαν πάντοτε στον επαγγελματία μαθηματικό μιαν ακατάβλητη γοητεία (Έστω κι αν οι μαθητές συχνά στενάζανε). Η λογική δομή τους έχει επηρεάσει τον επιστημονικό τρόπο σκέψης περισσότερο, ίσως, από οποιοδήποτε άλλο κείμενο στον κόσμο.

Η πραγμάτευση πού γίνεται από τον Ευκλείδη βασίζεται σε μια αυστηρά λογική απαγωγή θεωρημάτων από ένα σύνολο ορισμών, αιτημάτων και αξιωμάτων. Τα τέσσερα πρώτα βιβλία ασχολούνται με την επίπεδη γεωμετρία, χωρίς όμως να γίνεται αναφορά στη θεωρία των λόγων. Ξεκινώντας από τις πιο στοιχειώδεις ιδιότητες γραμμών και γωνιών, φτάνουν στην ισότητα (με επίθεση) τριγώνων, στην ισότητα εμβαδών, στο θεώρημα του Πυθαγόρα (Βιβλίο Α', πρόταση 47), στην κατασκευή τετραγώνου ίσου (σε εμβαδό) με δοσμένο ορθογώνιο, στη χρυσή τομή, στον κύκλο και στα κανονικά πολύγωνα. Σ' αυτό το τμήμα των Στοιχείων, το θεώρημα του Πυθαγόρα και η χρυσή τομή εισάγονται ως ιδιότητες εμβαδών. Το πέμπτο βιβλίο παρουσιάζει τη θεωρία των λόγων του Ευδόξου στην καθαρά γεωμετρική μορφή της. Στο έκτο βιβλίο εφαρμόζεται η θεωρία αυτή για τη σπουδή της ομοιότητας των επίπεδων σχημάτων και γίνεται μια επανάκαμψη στο θεώρημα του Πυθαγόρα και στη χρυσή τομή (Βιβλίο  ,Προτάσεις 31, 30). Εδώ όλα αυτά τα θέματα αντιμετωπίζονται με τη θεωρία των λόγων. Αυτή η τόσο μεγάλη καθυστέρηση, προκειμένου να εισαχθεί η έννοια της ομοιότητας, έρχεται σε χτυπητή αντίθεση με τη μεθοδολογία του Ευκλείδη κατά την ανάπτυξη — στα προηγούμενα βιβλία του — της επίπεδης γεωμετρίας. Θα πρέπει να οφείλεται στην έμφαση πού θα επιθυμούσε ο Ευκλείδης να δοθεί στην καινοτόμο θεωρία του Ευδοξου για τα ασύμμετρα μεγέθη. Η γεωμετρική διερεύνηση έχει συνοψιστεί στο δέκατο βιβλίο, πού συχνά θεωρείται ως το πιο δύσκολο. Περιέχει μια γεωμετρική ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους, δηλαδή, των οντοτήτων πού αποκαλούμε σήμερα αριθμούς της μορφής.

Τα τρία τελευταία βιβλία των Στοιχείων ασχολούνται με τη στερεομετρίας. Ξε­κινάνε από τις στερεές γωνίες, προχωρούν στους όγκους παραλληλεπιπέδων, πρισμάτων, πυραμίδων, φτάνουν στη σφαίρα και, τελικά, σ' αυτό πού, όπως φαίνεται, ο Ευκλείδης θεωρούσε κορύφωμα του έργου του: στη μελέτη των πέντε κανονικών («πλατωνικών») στερεών και στην απόδειξη ότι μόνο πέντε τέτοια σώματα υπάρχουν.

Τα βιβλία Ζ' — Θ' είναι αφιερωμένα στην αριθμοθεωρία· όχι στην υπολογιστική τεχνική, αλλά σε πυθαγόρεια θέματα, όπως είναι η διαιρετότητα των ακεραίων, η άθροιση γεωμετρικής σάρας και κάποιες Ιδιότητες των πρώτων αριθμών. Εκεί έχει συμπεριληφθεί και ο «Ευκλείδειος Αλγόριθμος» για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δοσμένων αριθμών και το «θεώρημα του Ευκλείδη» για την ύπαρξη απειράριθμων πρώτων αριθμών (Βιβλίο Θ', Ποτ. 20). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης το θεώρημα (Βιβλίο , Ποτ. 27) ότι, από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδο. Είναι το πρώτο πρόβλημα προσδιορισμού μεγίστου πού έχει φτάσει σ' εμάς. Το πέμπτο αίτημα, στο βιβλίο Α' (η διάκριση μεταξύ αξιώματος και αιτήματος δεν είναι σαφής στον Ευκλείδη), είναι ισοδύναμο με την απόφανση πού συνηθίζουμε να ονομάζουμε «αξίωμα παραλληλίας», σύμφωνα με την οποία από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε μία και μόνο μία ευθεία παράλληλη με δοσμένη. Οι προσπάθειες για την αναγωγή αυτού του αξιώματος σε θεώρημα οδήγησαν κατά τον 19ο αιώνα, από μια μεριά, στην απόλυτη εκτίμηση της φρόνησης του Ευκλείδη να το εκλάβει ως αξίωμα και, από μιαν άλλη, στην ανακάλυψη άλλων γεωμετρών· τις λέμε γεωμετρίας όχι ευκλείδειες. Με όμοιο τρόπο, η απόρριψη του αξιώματος του Αρχιμήδη οδήγησε σε όχι αρχιμήδειες γεωμετρίας.

Η αλγεβρική συλλογιστική στον Ευκλείδη έχει περιβληθεί μορφή γεωμετρική. Η έκφραση νοείται ως πλευρά τετραγώνου με εμβαδο Α. Το γινόμενο αν, ως εμβαδο ορθογωνίου με πλεχτές α και β. Οι γραμμικές και οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις επιλύνονται με γεωμετρικές κατασκευές, κάνοντας χρήση αυτού πού λέμε «επίθεση σχημάτων». Αυτή η αντιμετώπιση οφείλεται, πρωταρχικά, στη θεωρία των λόγων του Ευδοξου, ο οποίος συνειδητά απόρριπτε την προσάρτηση αριθμών στα ευθύγραμμα τμήματα. Έτσι, η πραγμάτευση των ασύμμετρων γινόταν με καθαρά γεωμετρικό τρόπο. Η αριθμητική περιοριζόταν μόνο σε «αριθμούς» (ακέραιους) και στους λόγους τους.

Τι ακριβώς επιζητούσε ο Ευκλείδης γράφοντας τα Στοιχεία; Υπάρχουν ισχυροί λόγοι για να δεχτούμε πώς απόβλεπε να συγκεντρώσει σε ίνα κείμενο τρεις μεγάλες ανακαλύψεις από το πρόσφατο παρελθόν: τη θεωρία των λόγων του Ευδοξου, τη θεωρία των άρρητων του Θεαίτητου και τη θεωρία των πέντε κανονικών στε­ρεών, πού κατείχε εξέχουσα θέση στην κοσμολογία του Πλάτωνα. Αυτές οι τρεις θεωρίες αποτελούσαν τυπικά ελληνικά επιτεύγματα.

Κεφάλαιο 8

Ο πιο μεγάλος μαθηματικός της ελληνιστικής περιόδου — και όλης της αρχαιότητας — ήταν ο Αρχιμήδης (287—212 π. Χ.). Έζησε στις Συρακούσες και ήταν σύμβουλος του βασιλιά Ιέρωνα. Πρόκειται για μια από τις λίγες επιστημονικές προσωπικότητες της αρχαιότητας πού είναι για μας περισσότερο από ένα απλό όνομα έχουν διασωθεί πολλά στοιχεία για τη ζωή και το άτομό του. Γνωρίζουμε πώς σκοτώθηκε κατά την κατάληψη των Συρακουσών από τους Ρωμαίους, αφού όμως πρώτα ενίσχυσε με τις τεχνικές του εφευρέσεις την άμυνα των υπερασπιστών της πόλης. Το ενδιαφέρον του για πραχτικές εφαρμογές φαίνεται ίσως παράξενο, αν συγκριθεί με την αποστροφή πού νιώθανε για τα πραχτικά ζητήματα οι σύγχρονοι του της πλατωνικής σχολής. Μια ερμηνεία δίνει ο Πλούταρχος στο πολύ γνωστό απόσπασμα από τον Μάρκελλο (XVII, 4):
 

...παρόλο ότι από αυτές τις εφευρέσεις είχε αποχτήσει φήμη και δόξα, πάνω από ανθρώπινες, δεν θέλησε ν' αφήσει σύγγραμμα, στο όποιο να πραγματεύεται τέτοιου είδους θέματα. Την ενασχόληση με έργα μηχανικά και τεχνικά τη θεωρούσε αγενή και βάρβαρη, γιατί την προκαλούσε η ανάγκη και το κέρδος. Όλη του η φιλοδοξία στρεφόταν στο ν' αποδώσει εκεί όπου το ωραίο, καθώς και το πνευματικό βάθος, δεν αναμιγνύονται με τις ανάγκες της καθημερινής ζωής.

Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα μαθηματικά ανήκουν στον τομέα πού αποκαλούμε σήμερα «ολοκληρωτικό λογισμό» ασχολείται με θεωρήματα για τα εμβαδά επίπεδων σχημάτων και τους όγκους στερεών σωμάτων. Στο βιβλίο του Αρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις παρέχονται προσεγγίσεις για το μήκος της περιφέρειας του κύκλου. Τις βρίσκει εγγράφοντας και περιγράφοντας στον κύκλο κανονικά πολύγωνα. Φτάνοντας διαδοχικά σε πολύγωνα 96 πλευρών καταλήγει στο ότι (με τον δικό μας συμβολισμό):
 

Το αποτέλεσμα αυτό εκφράζεται συνήθως λέγοντας ότι το π είναι περίπου ίσο με 3 1/7. Στο βιβλίο Περί σφαίρας και κυλίνδρου, βρίσκει ο Αρχιμήδης με τι ισούται το εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας (το εκφράζει λέγοντας ότι η επιφάνεια της σφαίρας είναι τετραπλάσια από την επιφάνεια ενός μέγιστου κύκλου της) και, επίσης, πόσος είναι ο όγκος της σφαίρας (αποδείχνοντας ότι ο όγκος της είναι ίσος με τα 2/3 του όγκου του περιγραμμένου στη σφαίρα κυλίνδρου). Στο βιβλίο του Αρχιμήδη πού θα πρέπει να είχε τίτλο Τετραγωνισμός τας ορθογωνίου κώνου τομάς, δίνεται η έκφραση του εμβαδού ενός παραβολικού τμήματος (είναι ίσο με τα 4/3 του εμβαδού τριγώνου, το όποιο είναι εγγραμμένο στο τμήμα, έχει την ίδια βάση μ’ αυτό και η κορυφή του βρίσκεται στο σημείο επαφής της παραβολής με την εφαπτομένη την παράλληλη με τη βάση του τμήματος). Στο βιβλίο Περί ελίκων συναντάμε την «Έλικα του Αρχιμήδη» και διάφορους υπολογισμούς εμβαδών. Στο βιβλίο Περί κωνοειδέων και σφαιφοειδέων, δίνονται οι όγκοι μερικών επιφανειών δεύτερου βαθμού, πού προκύπτουν από περιστροφή. Το όνομα του Αρχιμήδη έχει επίσης συνδεθεί με το θεώρημα του πού αναφέρεται στην απώλεια βάρους των σωμάτων όταν βυθιστούν σε υγρό. Το θεώρημα αυτό βρίσκεται στο βιβλίο του περί οχουμένων, το όποιο αποτελεί μια πραγματεία πάνω στην υδροστατική.

Όλα αυτά τα έργα του Αρχιμήδη διαπνέονται από μια εκπληκτική πρωτοτυπία σκέψης, συνδυασμένη με αυστηρότητα στις αποδείξεις και μεγάλη ικανότητα στην τεχνική των υπολογισμών. Τυπικό δείγμα αυτής της αυστηρότητας είναι το «αξίωμα του Αρχιμήδη», για το όποιο ήδη έχουμε μιλήσει, καθώς και οι αποδείξεις των αποτελεσμάτων της ολοκλήρωσης του, στις όποιες εφάρμοζε με συνέπεια τη μέθοδο της εξάντλησης. Έχουμε προηγούμενα αναφέρει πώς, στην πραγματικότητα, έφτανε ο Αρχιμήδης σ' αυτά τα αποτελέσματα. Η μέθοδος του ήταν κατά το μεγαλύτερο μέρος της ευρετική («εκτιμώντας» τα απειροστά). Ύστερα όμως, όταν δημοσίευε τα εξαγόμενα του, δεν ξέφευγε από τις ακριβείς απαιτήσεις της αυστηρότητας. Σχετικά με την επίδοση στους υπολογισμούς, ο Αρχιμήδης διαφοροποιείται από τους περισσότερους παραγωγικούς Έλληνες μαθηματικούς. Αυτό πρόσδωσε στο έργο του, παρ' όλα τα τυπικά ελληνικά χαρακτηριστικά του, μιαν απόχρωση Ανατολής. Αυτή η απόχρωση αποκαλύπτεται στο «Βοϊκόν Πρόβλημα». Είναι ένα πολύπλοκο πρόβλημα της απροσδιόριστης ανάλυσης, το όποιο μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα πού οδηγεί σε εξίσωση τύπου «Πέλ (Pell)»:
 

t² - 4729494 u² = 1 .

Οι λύσεις της εξίσωσης αποτελούνται από πολύ μεγάλους αριθμούς.
Πρόκειται για μία μόνο από τις πολλές ενδείξεις ότι η πλατωνική παράδοση ουδέποτε κυριάρχησε απόλυτα πάνω στα ελληνιστικά μαθηματικά. Το ίδιο ισχύει και για την ελληνιστική αστρονομία.

Κεφάλαιο 9

Με τον τρίτο μεγάλο μαθηματικό της ελληνιστικής περιόδου, τον Απολλώνιο τον Περγαίο (247 περίπου — 205 π. Χ.) βρισκόμαστε και πάλι ολοκληρωτικά στην ελληνική γεωμετρική παράδοση. Ο Απολλώνιος δίδαξε, όπως φαίνεται, στην Αλεξάνδρεια και στην Πέργαμο. Έγραψε μια πραγματεία οχτώ βιβλίων με τίτλο Κώνου τομαί, από τα όποια έχουν διασωθεί τα εφτά (τα τρία, μόνο σε αραβική μετάφραση). Πρόκειται για πραγματεία πάνω στην έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή. Οι καμπύλες αυτές εισάγονται ως τομές κυκλικού κώνου και λέγονται κωνικές. Η μελέτη του Απολλώνιου είναι τόσο εμπεριστατωμένη, ώστε εισδύει ως και στην εξέταση των ενελιγμένων των κωνικών. Οι σημερινές ονομασίες των κωνικών είναι ακριβώς αυτές πού τους είχε δώσει ο Απολλώνιος. Πηγάσανε από ορισμένες ιδιότητες πού έχουν τα εμβαδά αυτών των καμπύλων. Με τον δικό μας συμβολισμό, μπορούμε να τις εκφράσουμε με τις ακόλουθες εξισώσεις (η ομογένεια απορρέει από το ότι τα p και d αντιπροσωπεύουν ευθύγραμμα τμήματα)

(το + για την υπερβολή, το — για την έλλειψη). Οι ονομασίες παραβολή, έλλειψη και υπερβολή αντιστοιχούσαν στις έννοιες «επίθεση», «επίθεση κατά έλλειψη», «επίθεση κατά υπεροχή». Στον Απολλώνιο δεν ήταν γνωστή η μέθοδος των συντεταγμένων, γιατί δεν είχε στη διάθεση του αλγεβρικό λογισμό (πιθανώς τον απόρριπτε συνειδητά, κάτω από την επίδραση της σχολής του Ευδόξου). Ωστόσο, πολλά αποτελέσματα του μπορούν αμέσως να μεταγραφτούν στη γλώσσα των συντεταγμένων, ακόμα και η ιδιότητα της ενελιγμένης πού αντικαθρεφτίζεται στην καρτεσιανή εξίσωση.^[14] Το ίδιο μπορεί να λεχτεί και για άλλα βιβλία του Απολλώνιου — δεν έχουν διασωθεί ολόκληρα — τα όποια περιέχουν «αλγεβρική» γεωμετρία σε μορφή γεωμετρική και, κατά συνέπεια, ομογενή. Σ' αυτά περιέχεται και το Περί επαφών πρόβλημα του Απολλώνιου. Το πρόβλημα αυτό άφορα στην κατασκευή των κύκλων πού εφάπτονται με τρεις δοσμένους κύκλους οι κύκλοι μπορούν ν' αντικατασταθούν από ευθείες η σημεία. Στον Απολλώνιο συναντάμε, για πρώτη φορά, ρητά διατυπωμένη την απαίτηση ότι οι γεωμετρικές κατασκευές πρέπει να εκτελούνται με μόνα όργανα τον κανόνα και τον διαβήτη. Ο περιορισμός αυτός δεν αντιπροσωπεύει, επομένως, μια τόσο γενική ελληνική απαίτηση, όπως καμιά φορά πιστεύεται.

Κεφάλαιο 10

Τα μαθηματικά, σ' όλη τη διάρκεια της ιστορίας τους, ίσαμε τη σύγχρονη εποχή, δεν διαχωρίστηκαν από την αστρονομία. Οι ανάγκες της άρδευσης και της γεωργίας γενικά — και ως ένα βαθμό της ναυσιπλοΐας — φέρανε την αστρονομία στην πρώτη θέση της ανατολικής και της ελληνιστικής επιστήμης και η πορεία της αστρονομίας προσδιόρισε, σε όχι μικρότερο βαθμό, την πορεία των μαθηματικών. Το υπολογιστικό και συχνά το εννοιολογικό περιεχόμενο των μαθηματικών επηρεαζόταν έντονα από την αστρονομία, και η πρόοδος της αστρονομίας εξαρτιόταν εξίσου από τις δυνατότητες πού πρόσφερε η διαθέσιμη μαθηματική βιβλιογραφία. Η δομή του πλανητικού συστήματος είναι τέτοια, ώστε με απλές σχετικά μαθηματικές μεθόδους να προκύπτουν προχωρημένα αποτελέσματα. Αλλά ταυτόχρονα είναι αρκετά πολύπλοκη, ώστε ν' αποτελεί κίνητρο για βελτίωση αυτών των μεθόδων και, συνακόλουθα, των ίδιων των αστρονομικών θεωριών. Πριν από την ελληνιστική περίοδο, είχαν πραγματοποιηθεί στην Ανατολή, και ειδικότερα στη Μεσοποταμία των τελευταίων ασσυριακών και περσικών περιόδων, αξιόλογες πρόοδοι στην υπολογιστική αστρονομία. Οι παρατηρήσεις, πού εκτελούνταν συστηματικά και εξακολουθητικά για πολλά χρόνια, είχαν ως επιστέγασμα την αξιοσημείωτη κατανόηση πολλών αστρονομικών φαινομένων. Η κίνηση της σελήνης ήταν για τον μαθηματικό ένα από τα πιο προκλητικά αστρονομικά προβλήματα, τόσο κατά την αρχαιότητα όσο και κατά τον 18ο αιώνα, και οι Βαβυλώνιοι (Χαλδαίοι) αστρονόμοι είχαν αφιερώσει πολλές προσπάθειες στη μελέτη της. Από τη συνάντηση, κατά τη σελευκίδεια περίοδο, της ελληνικής επιστήμης με τη βαβυλωνιακή, μεγάλες πρόοδοι συντελέστηκαν, τόσο θεωρητικές όσο και στην τεχνική των υπολογισμών. Αλλά η βαβυλωνιακή επιστήμη συνεχίστηκε στα πλαίσια της αρχαίας παράδοσης των ημερολογιακών υπολογισμών, ενώ η ελληνική πέτυχε μερικούς από τους πιο σημαντικούς θεωρητικούς θριάμβους της.

Η πιο παλαιά, καθόσον γνωρίζουμε, ελληνική συμβολή στη θεωρητική αστρονομία ήταν η πλανητική θεωρία, πού οφείλεται στον Εύδοξο και, υστερότερα, ενέπνευσε τον Ευκλείδη. Επρόκειτο για μιαν απόπειρα να εξηγηθεί η κίνηση των πλανητών (γύρω από τη γη). Η συλλογιστική βασιζόταν στην υπόθεση της υπερεπίθεσης τεσσάρων ομόκεντρων σφαιρών, όπου η καθεμιά είχε δικό της άξονα περιστροφής με τα άκρα του σταθερά προσαρμοσμένα στη σφαίρα πού τις περιέκλεινε. Δεν δινόταν απλώς το χρονικό των ουράνιων φαινομένων, αλλά καταβαλλόταν προσπάθεια να βρεθεί γι' αυτά μια ερμηνεία. Η θεωρία του Ευδόξου, παρ' όλη την απλουστευτική μορφή της, εγκλείει την κεντρική ιδέα όλων των πλανητικών θεωριών πού υποστηρίχτηκαν, ως και κατά τον 17ο αιώνα. Τις ανωμαλίες πού παρουσιάζουν οι φαινόμενες τροχιές της σελήνης και των πλανητών ο Εύδοξος τις ερμήνευε με την επαλληλία κυκλικών κινήσεων. Ακόμα και η υπολογιστική πλευρά της θεωρίας βρίσκεται στο υπόβαθρο των δικών μας σύγχρονων δυναμικών θεωριών, όταν χρησιμοποιούμε σειρές Φουριέ.

Τον Εύδοξο ακολούθησε ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (γύρω στο 280 π. Χ.), ο «Κοπέρνικος της αρχαιότητας», ο όποιος, σύμφωνα με τον Αρχιμήδη, διατύπωσε την υπόθεση ότι το κέντρο της πλανητικής κίνησης είναι ο ήλιος και όχι η γη. Η υπόθεση αυτή βρήκε λιγοστούς υποστηριχτές στην αρχαιότητα, παρόλο πού η άποψη ότι η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της είχε γίνει πλατιά αποδεχτή. Το ότι η ηλιοκεντρική υπόθεση είχε μικρή απήχηση οφειλόταν, κύρια, στην αυθεντία του Ίππαρχου τον θεωρούσαν, γενικά, σαν τον πιο μεγάλο αστρονόμο της αρχαιότητας.

Ο Ίππαρχος, από τη Νίκαια της Βιθυνίας, έκανε αστρονομικές παρατηρήσεις κατά τα χρόνια 161—126 π. Χ. Ελάχιστα από το έργο του έχουν φτάσει άμεσα ως εμάς. Κύρια πηγή πληροφόρησης για τα επιτεύγματα του είναι τα κείμενα του Πτολεμαίου, πού είναι μεταγενέστερος του Ίππαρχου κατά τρεις αιώνες. Ένα ευρύ τμήμα του μεγάλου έργου Αλμαγέστη του Πτολεμαίου μπορεί να προσραφτεί, ως προς το περιεχόμενο, στον Ίππαρχο, όπως λ. χ. η χρήση έκκεντρων κύκλων και επίκυκλων για την εξήγηση της κίνησης του ήλιου, της σελήνης και των πλανητών, καθώς και η ανακάλυψη της μετάπτωσης των ισημεριών. Στον Ίππαρχο αποδίδεται επίσης μια μέθοδος για τον προσδιορισμό, με αστρονομικά μέσα, του γεωγραφικού πλάτους και του γεωγραφικού μήκους. Δεν κατόρθωσε όμως ποτέ η αρχαιότητα να συγκροτήσει μια επιστημονική οργάνωση ικανή να χαρτογραφήσει μεγάλη έκταση. (Οι επιστήμονες ήσαν τότε πολύ αραιά διασκορπισμένοι σε τόπο και σε χρόνο.) Το έργο του Ίππαρχου είχε στενή συνάφεια με τα επιτεύγματα της βαβυλωνιακής αστρονομίας, η οποία εκείνη την περίοδο είχε φτάσει σε μεγάλη ακμή. Μέσα σ' αυτό το έργο βρίσκεται ο πιο σημαντικός επιστημονικός καρπός πού πρόκυψε κατά την ελληνιστική περίοδο από την επαφή Ελλάδας — Ανατολής^.[15]

Κεφάλαιο 11

Τρίτη και τελευταία περίοδος της αρχαίας κοινωνίας είναι ή περίοδος της ρωμαϊκής κυριαρχίας. ΟΙ Συρακούσες υποτάχτηκαν στη Ρώμη το 212, η Καρχηδόνα το 146, η Ελλάδα το 146, η Μεσοποταμία το 64 και η Αίγυπτος ατό 30 π. Χ. Ολόκληρη η ρωμαιοκρατούμενη Ανατολή, μαζί και η Ελλάδα, είχαν περιέλθει σε καθεστώς αποικίας, πού την κυβερνούσαν Ρωμαίοι διοικητές. Ο έλεγχος αυτός, όμως, δεν έθιγε την οικονομική δομή των ανατολικών χωρών, για όσο καιρό αυτές καταβάλλανε ανελλιπώς τους βαρείς φόρους και τις άλλες εισφορές. Η ρωμαϊκή αυτοκρατορία χωρίστηκε φυσιολογικά σε δύο τμήματα. Σε ένα δυτικό, στο όποιο η γεωργία ήταν στατική και γινόταν με μαζική χρησιμοποίηση δούλων, και σε ένα ανατολικό με εντατική γεωργία, όπου οι δούλοι δεν χρησιμοποιούνταν ποτέ σε γεωργικές δουλειές, παρά μόνο σε οικιακές εργασίες και δημόσια έργα. Παρόλο πού μερικές πόλεις είχαν πάρει μεγάλη ανάπτυξη και ατό εμπόριο τους αγκάλιαζε ολόκληρο τον γνωστό δυτικό κόσμο, η συνολική οικονομική δομή της ρωμαϊκής αυτοκρατορίας εξακολουθούσε να βασίζεται στη γεωργία. Η εξάπλωση μιας οικονομίας δουλοκτητικής σε μια τέτοια κοινωνία στάθηκε μοιραία για κάθε πρωτότυπη επιστημονική εργασία. Οι ιδιοκτήτες δούλων, σαν τάξη, σπάνια ενδιαφέρονταν για τεχνικές ανακαλύψεις, επειδή οι δούλοι μπορούσαν να κάνουν κάθε δουλειά φτηνά και επειδή φοβόταν να δώσουν στα χέρια δούλων εργαλεία, πού θα μπορούσαν να οξύνουν τη νοημοσύνη τους. Πολλά μέλη της άρχουσας τάξης περιδιάβαζαν στις τέχνες και στις επιστήμες. Αυτό, όμως, δεν γινόταν σε βάθος παρά, μάλλον, στη μετριότητα και δεν οδηγούσε στην παραγωγική σκέψη. Όταν με την πτώση του δουλεμπορίου παράκμασε και η ρωμαϊκή οικονομία, λίγοι ήσαν αυτοί πού μπορούσαν να καλλιεργήσουν έστω και τη μέτρια επιστήμη των προηγούμενων αιώνων.

Για όσο διάστημα η ρωμαϊκή αυτοκρατορία παρουσίαζε κάποια σταθερότητα, στο ανατολικό της τμήμα η επιστήμη συνέχιζε να ακμάζει, ως ένα ιδιόρρυθμο κράμα ελληνιστικών και ανατολικών στοιχείων. Παρόλο πού η πρωτοτυπία και οι παρορμήσεις βαθμιαία εξαφανίστηκαν, η διάρκεια για πολλούς αιώνες της ρωμαϊκής ειρήνης επέτρεψε την αδιατάρακτη απασχόληση σε θεωρητικά ζητήματα, στα πλαίσια της παράδοσης. Με τη ρωμαϊκή ειρήνη συνυπήρχε για πολλούς αιώνες και η σινική ειρήνη. Το ευρασιατικό συγκρότημα ποτέ δεν γνώρισε σε όλη την Ιστορία του τέτοια περίοδο αδιάκοπης ειρήνης, όπως με τους Αντωνίνους στη Ρώμη και τους Χάν στην Κίνα. Αυτό διευκόλυνε περισσότερο από οποτεδήποτε άλλοτε τη διάδοση των γνώσεων από τη Ρώμη και την Αθήνα, στη Μεσοποταμία, στην Κίνα και στην Ινδία. Η ελληνιστική επιστήμη συνέχιζε να ρέει προς ατό Ιράν και την Ινδία και, με τη σειρά της, επηρεάστηκε από την επιστήμη αυτών των χωρών. Μερικές λάμψεις της βαβυλωνιακής αστρονομίας και των ελληνικών μαθηματικών φτάσανε στην Ιταλία, στην Ισπανία και στη Γαλατία. Ένα παράδειγμα είναι η εξάπλωση στη ρωμαϊκή αυτοκρατορία της εξηνταδικής υποδιαίρεσης της γωνίας και της ώρας. Ο Βολύπκε (F. Woepcke) Έχει διατυπώσει (1863) τη θεωρία ότι η εξάπλωση σε όλη την Ευρώπη των αριθμητικών συμβόλων πού ονομάζονται ινδοαραβικά οφείλεται στις νεοπυθαγόρειες επιρροές στην ύστερη ρωμαϊκή αυτοκρατορία. Αυτή η εξάπλωση, εκείνη την εποχή, μπορεί να είναι αληθινή η όχι. Αν πάντως πρόκειται για γεγονός πού ανάγεται σε τόσο παλιά εποχή, τότε πιο πιθανό είναι να οφείλεται στις επιδράσεις του εμπορίου παρά της φιλοσοφίας.

Η Αλεξάνδρεια εξακολουθούσε να παραμένει ατό κέντρο των αρχαίων μαθηματικών. Οι πρωτότυπες εργασίες συνεχίζονταν, αv και ο αφανισμός και ο σχολιασμός γίνονταν, ολοένα περισσότερο, η δεσπόζουσα μορφή επιστήμης. Πολλά συμπεράσματα των μαθηματικών και αστρονόμων της αρχαίας εποχής μας μεταδόθηκαν διαμέσου των έργων αυτών των ανθολόγων. Είναι αρκετές φορές πολύ δύσκολο να διακριθεί τι μετέγραψαν και τι ανακάλυψαν οι ίδιοι. Στην προσπάθεια να κατανοηθεί η βαθμιαία παρακμή των ελληνικών μαθηματικών, πρέπει να ληφθεί υπόψη η τεχνική τους πλευρά. Ο γεωμετρικός τρόπος έκφρασης, με την επίμονη απόρριψη του αλγεβρικού συμβολισμού, ήταν στερημένος ευλυγισίας και καθιστούσε σχεδόν αδύνατη κάθε πρόοδο πέρα από τις κωνικές τομές.

Η άλγεβρα και οι υπολογισμοί είχαν αφεθεί στους περιφρονημένους Ανατολικούς, πού η παράδοση τους είχε καλυφθεί από ένα επίστρωμα ελληνικού πολιτισμού. Είναι λάθος, ωστόσο, να πιστεύει κανείς ότι τα μαθηματικά της Αλεξάνδρειας ήσαν καθαυτό «ελληνικά», με ατό παραδοσιακό ευκλείδειο - πλατωνικό νόημα. Παράλληλα με τις αφηρημένες γεωμετρικές αποδείξεις, καλλιεργούσαν στην Αλεξάνδρεια την υπολογιστική αριθμητική, καθώς και μιαν άλγεβρα αίγυπτο - βαβυλωνιακού είδους. Για να πειστούμε, δεν έχουμε παρά να φέρουμε στο νου μας τον Πτολεμαίο, τον Ήρωνα και τον Διόφαντο. Ο μοναδικός δεσμός ανάμεσα στις πολλές φυλές και σχολές ήταν η κοινή χρήση της ελληνικής γλώσσας.

Κεφάλαιο 12

Ένας από τους πρώτους αλεξανδρινούς μαθηματικούς της ρωμαϊκής περιόδου ήταν ο Νικόμαχος ο Γερασηνός (γύρω στο 100 μ. Χ.), του οποίου η Αριθμητική Εισαγωγή είναι η πληρέστερη έκθε­ση, πού έχει διασωθεί, για την πυθαγόρεια αριθμητική. Τα θέματα ενός μεγάλου τμήματος του βιβλίου είναι ίδια μ' εκείνα πού έχει συμπεριλάβει ο Ευκλείδης στα αριθμητικά βιβλία των Στοιχείων του. Ο Ευκλείδης παρίστανε τους αριθμούς με ευθύγραμμα τμήμα­τα, ενώ ο Νικόμαχος χρησιμοποιούσε αριθμητικό συμβολισμό και, όταν αναφερόταν σε ακαθόριστους αριθμούς, τότε εκφραζόταν στην τρέχουσα γλώσσα. Η πραγματεία του Νικόμαχου για τους πολύγω­νους και τους πυραμιδικούς αριθμούς άσκησε επίδραση στη με­σαιωνική αριθμητική. Έγινε γνωστή στη Δύση ιδιαίτερα από τον Βοήθιο (Boethius).

Ένα από τα πιο μεγάλα συγγράμματα, πού ανάγεται στη δεύτε­ρη αλεξανδρινή περίοδο, είναι η (Μεγάλη) Μαθηματική Σύνταξη του Πτολεμαίου. Είναι περισσότερο γνωστή με τον εξαραβισμένο τίτλο Αλμαγέστη (γύρω στο 150 μ. Χ.). Η Αλμαγέστη ήταν έργο αστρονομικό, αποτελούμενο από πολλά βιβλία, υπέρτατης δεξιοτε­χνίας και πρωτοτυπίας. Μπορεί, όμως, πολλές Ιδέες πού εκεί ανα­πτύσσονται να έχουν προέρθει από τον Ίππαρχο η από τον Κιντιννού και άλλους Βαβυλώνιους αστρονόμους. Το έργο αυτό περιλαβαίνει επίσης μια τριγωνομετρία και περιέχει έναν πίνακα για τις χορδές κύκλου, οι όποιες αντιστοιχούν σε γωνίες πού αυξαίνουν διαδοχικά κατά μισή μοίρα. Δηλαδή, ο πίνακας παρέχει ατό ανάλογο ενός πίνακα ημίτονων, γιατί σύμφωνα με τον τύπο είναι: χορδή α = 2R ημ α/2. 01 τιμές πού δίνει ο Πτολεμαίος αντιστοιχούν σε R = 60. Για τη χορδή της 1° έχει βρει την τιμή:

Στην Αλμαγέστη συναντάμε και τα ανάλογα των τύπων για ατό ημίτονο και ατό συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών, καθώς επίσης μιαν απαρχή σφαιρικής* τριγωνομετρίας. Η διατύπωση των θεωρημάτων ήταν γεωμετρική. Ο τωρινός τριγωνομετρικός συμβολισμός χρονολογείται από πολύ μεταγενέστερη εποχή. Έχει εισαχθεί από τον Όυλερ (Euler) τον 18ο αιώνα. Στην Αλμαγέστη βρίσκεται επίσης ατό «θεώρημα του Πτολεμαίου» για ένα τετράπλευρο εγγραμμένο σε κύκλο. Στο βιβλίο της Αλμαγέστη πού επιγράφεται Άπλωσις επιφανείας υπάρχει και μια μελέτη για τη στερεογραφική προβολή, και σ' εκείνο με τίτλο Γεωγραφική Υφήγησις προσδιορίζεται η θέση των τόπων της γης από τα γεωγραφικά τους πλάτη και μήκη. Ώστε, αναφορικά με τη σφαίρα, υπάρχουν αρχαία παραδείγματα συντεταγμένων. Η στερεογραφική προβολή αποτελεί την υποδομή για την κατασκευή του αστρολάβου. Αυτό ατό όργανο ατό χρησιμοποιούσαν για να προσδιορίζουν, πάνω στη γη, τις τοποθεσίες. Ήταν ήδη γνωστό στην αρχαιότητα και γινόταν πλατιά χρήση του ίσαμε την εποχή πού αντικαταστάθηκε από τον οκτάντα και αργότερα, στον 18ο αιώνα, από τον εξάντα.^[16]

Λίγο προγενέστερος από τον Πτολεμαίο ήταν ο Μενέλαος (γύρω στο 100 μ. Χ.). Τα Σφαιρικά του περιείχαν μια γεωμετρία της σφαίρας και γινόταν ιδιαίτερη εξέταση των σφαιρικών τριγώνων. Αυτό ατό θέμα δεν είχε μελετηθεί από τον Ευκλείδη. Εδώ βρίσκουμε και την επέκταση στη σφαίρα του «θεωρήματος του Μενελάου» για ατό τρίγωνο. Η πραγματεία του Μενελάου ήταν αποκλειστικά γεωμετρική και σύμφωνη με τη γνήσια ευκλείδεια παράδοση, σ' αντίθεση με την αστρονομία του Πτολεμαίου, πού σ' ένα μεγάλο τμήμα της γίνονταν υπολογισμοί με εξηνταδικά κλάσματα.
Στην ίδια ίσως περίοδο με τον Μενέλαο ανήκει και ο Ήρωνας. Εκείνο πάντως πού γνωρίζουμε για τα έτη στα όποια άκμασε ο Ήρωνας είναι ότι είχε περιγράψει με ακρίβεια μια έκλειψη της σελήνης του 62 μ. Χ.^[17] Ο Ήρωνας ήταν εγκυκλοπαιδικός συγγραφέας, πού είχε γράψει για θέματα γεωμετρικά, υπολογιστικά και μηχανικά. Τα γραφτά του φανερώνουν ένα παράξενο κράμα από Ελλάδα και Ανατολή. Στα Μετρικά βρίσκουμε τον «τύπο του Ήρωνα» για ατό εμβαδό ενός τριγώνου

δοσμένο σε καθαρά γεωμετρική μορφή. Η ίδια η πρόταση 6χει αποδοθεί και στον Αρχιμήδη. Επίσης στα Μετρικά βρίσκουμε υπολογισμούς με τοπικά αιγυπτιακά εναδικά κλάσματα. Για παράδειγμα, μια προσέγγιση του  δίνεται ίση με

Ο τύπος του Ήρωνα για τον όγκο της κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας μπορεί εύκολα ν' αναχθεί σ' εκείνον πού προκύπτει από τον αρχαίο πάπυρο της Μόσχας. Αντίθετα, για την εύρεση των όγκων των πέντε κανονικών πολυέδρων, η όλη εργασία του είναι προσαρμοσμένη στο πνεύμα του Ευκλείδη.

Κεφάλαιο 13

Η ανατολική χροιά είναι ακόμα εντονότερη στα Αριθμητικά του Διόφαντου (γύρω στο 250 μ. Χ.). Έχουν διασωθεί έξι μόνο από τα αρχικά βιβλία ^[18] ο συνολικός αριθμός τους είναι θέμα εικασίας. Ο επιδέξιος χειρισμός των απροσδιόριστων εξισώσεων φανερώνει ότι η αρχαία άλγεβρα της Βαβυλώνας, η ίσως της Ινδίας, όχι μόνο επέζησε κάτω από ατό επίστρωμα του ελληνικού πολιτισμού, αλλά μάλιστα βελτιώθηκε, χάρη στη συμβολή ορισμένων Ικανών ανθρώπων. Πώς και πότε έγινε αυτό, δεν ατό ξέρουμε. Όπως ακριβώς αγνοούμε ποιος ήταν η Διόφαντος — μπορεί να ήταν ένας εξελληνισμένος Βαβυλώνιος. Το βιβλίο του αποτελεί μια από τις πιο γοητευτικές πραγματείες πού έχουν διασωθεί από την ελληνορωμαϊκή αρχαιότητα.

Η συλλογή προβλημάτων του Διόφαντου παρουσίαζα πλατιά ποικιλία και οι λύσεις τους είναι συχνά εξαιρετικά Ιδιοφυείς. Η «Διοφαντική Ανάλυση» συνίσταται στην εύρεση απαντήσεων για απροσδιόριστες εξισώσεις, όπως:

Αχ² + Βχ + C = y²
Αχ³ + Βχ² + Cx + D = y² ,

καθώς και για συστήματα από τέτοιες εξισώσεις. Τυπικό γνώρισμα του Διόφαντου ήταν ότι τον ενδιέφεραν μόνο οι θετικές ρητές λύσεις τις όχι ρητές λύσεις τις ονόμαζε «αδύνατες». Διάλεγε προσεχτικά τους συντελεστές των εξισώσεων, ώστε οι χειρισμοί πού έκανε να τον οδηγούν στη θετική ρητή λύση πού αναζητούσε. Ανάμεσα στις εξισώσεις του, βρίσκουμε και τις:

χ² - 26y² = 1
  χ² - 30y² = 1 ,

Ανήκουν στο είδος αυτών πού είναι γνωστές με την ονομασία «εξισώσεις του Πέη». Στο έργο του Διόφαντος βρίσκονται και διάφορες προτάσεις της αριθμοθεωρία, όπως ατό θεώρημα (III, 19) ότι, αν δύο ακέραιοι έχουν την ιδιότητα να εκφράζονται ως αθροίσματα δύο τετραγώνων, τότε ιό γινόμενο τους μπορεί κι αυτό ν' αναλυθεί σε δύο τετράγωνα και μάλιστα με δύο τρόπους. Υπάρχουν επίσης θεωρήματα για την ανάλυση ενός αριθμού σε άθροισμα τριών και τεσσάρων τετραγώνων.

Την πρώτη συστηματική χρησιμοποίηση αλγεβρικών συμβόλων τη συναντάμε στον Διόφαντο. Είχε ένα εδικό σημάδι για να παριστάνει τον άγνωστο, άλλο για το πλην και άλλο για τους αντίστροφους. Αυτά τα σημάδια έχουν μάλλον τον χαρακτήρα συντομογραφίας παρά αλγεβρικών συμβόλων με τη σύγχρονη έννοια (συνιστούν τη λεγόμενη «ρητορική» άλγεβρα). Επίσης χρησιμοποιούσε ξεχωριστά σημάδια για τις δυνάμεις του άγνωστου.[19] Δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι εδώ δεν έχουμε να κάνουμε μόνο με αριθμητικά ζητήματα ενός συγκεκριμένου αλγεβρικού είδους, όπως στη Βαβυλώνα. Βρισκόμαστε μπροστά σ' ίνα καλά αναπτυγμένο αλγεβρικό συμβολισμό, πού σε μεγάλο βαθμό υποβοηθούσε τη λύση προβλημάτων. Επιπλέον, τα προβλήματα αυτά ήσαν περισσότερο πολύπλοκα από εκείνα πού ως τότε είχε κατορθωθεί ν’  αντιμετωπιστούν.

Κεφάλαιο 14

Η τελευταία μεγάλη αλεξανδρινή μαθηματική πραγματεία έχει γραφτεί από τον Πάππο (αρχές 4ου αιώνα). Η Συναγωγή του ήταν ένα είδος εγχειριδίου για τη σπουδή της ελληνικής γεωμετρίας. Περιείχε και ιστορικά σχόλια, καθώς και βελτιώσεις και παραλλαγές ήδη γνωστών θεωρημάτων και αποδείξεων. Προοριζόταν για να διαβάζεται μάλλον παράλληλα με τις πρωτότυπες εργασίες παρά ανεξάρτητα. Πολλά αποτελέσματα αρχαίων συγγραφέων μας έγιναν γνωστά μόνο με τη μορφή με την οποία τα παρουσίασε ο Πάππος όπως, για παράδειγμα, τα προβλήματα τα σχετικά με τον τετραγωνισμό του κύκλου, τον διπλασιασμό του κύβου και την τριχοτόμηση της γωνίας. Ενδιαφέρον κεφάλαιο είναι αυτό πού αναφέρεται στα iσοπεριμετρικά σχήματα. Εκεί έχει αποδειχτεί και ότι ο κύκλος έχει μεγαλύτερο εμβαδό από το οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, πού η περίμετρος του είναι ίση με την περιφέρεια του κύκλου. Επίσης εκεί συναντάμε και την παρατήρηση ότι οι κυψέλες μιας κερήθρας Ικανοποιούν ορισμένες Ιδιότητες ελάχιστου - μέγιστου.^[20] Τα ημικανονικά στερεά του Αρχιμήδη έγιναν κι αυτά γνωστά σ' εμάς διαμέσου του Πάππου. Η Συναγωγή, όπως και τα αριθμητικά του Διόφαντου, είναι ένα βιβλίο - πρόκληση: τα προβλήματα πού περιέχει έχουν εμπνεύσει, σε μεταγενέστερες εποχές, πολυάριθμες έρευνες.

Η αλεξανδρινή σχολή σιγά σιγά έσβηνε. Η παρακμή της συμπορεύτηκε μ' αυτήν της αρχαίας κοινωνίας. Παράμεινε προπύργιο της ειδωλολατρίας και εναντιωνόταν στην πρόοδο του χριστιανισμού. Γιαυτό, πολλοί μαθηματικοί της αλεξανδρινής σχολής έχουν αφήσει τα ίχνη τους και στην Ιστορία της αρχαίας φιλοσοφίας. Ο Πρόκλος (410—485), του οποίου το Υπόμνημα εις το πρώτον των Ευκλείδου Στοιχείων αποτελεί μια από τις κύριες πηγές για την ιστορία των ελληνικών μαθηματικών, ήταν επικεφαλής μιας νεοπλατωνικής σχολής στην Αθήνα. Εκπρόσωπος της ίδιας σχολής στην Αλεξάνδρεια ήταν η Υπατία, πού είχε γράψει σχόλια για τους κλασικούς μαθηματικούς. Τη δολοφόνησαν το 415 οι οπαδοί του Άγιου Κυρίλλου. Απ' αυτό το γεγονός ο Κίνγκσλεϋ (Charles Kingsley) εμπνεύστηκε ένα μυθιστόρημα του.^[21] Αυτές οι φιλοσοφικές σχολές με τους σχολιαστές τους παρουσίαζαν, μες στους αιώνες, ανόδους και πτώσεις. Ό αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε την ακαδημία της Αθήνας (529), με το δικαιολογητικό ότι ήταν «ειδωλολατρική». Την ίδια όμως εποχή, λειτουργούσαν ανεμπόδιστα διάφορες σχολές σε άλλους τόπους, όπως στην Κωνσταντινούπολη και στην Τζουντισαπούρ έχουν ανευρεθεί στην Κωνσταντινούπολη πολλές παλαιές ανθολογίες αρχαιοελληνικών έργων. Επίσης, διάφοροι σχολιαστές συνέχιζαν να γράφουν στην ελληνική γλώσσα και να διαιωνίζουν την ανάμνηση της ελληνικής επιστήμης και φιλοσοφίας. Η Αλεξάνδρεια κυριεύτηκε το 630 από τους Άραβες. Από τότε, αντικαταστάθηκε στην Αίγυπτο το ανώτερο στρώμα του ελληνικού πολιτισμού με ένα ανώτερο στρώμα αραβικού πολιτισμού. Δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι οι Άραβες κατάστρεψαν την περίφημη αλεξανδρινή Βιβλιοθήκη, αφού είναι αμφίβολο αν εκείνο τον καιρό εξακολουθούσε να υπάρχει η βιβλιοθήκη αυτή. Είναι γεγονός ότι οι αραβικές καταχτήσεις δεν άλλαξαν βασικά τον χαρακτήρα των μαθηματικών σπουδών στην Αίγυπτο. Μπορεί να υπήρξε στην αρχή κάποια οπισθοδρόμηση, αλλά όταν ξανακούμε για Αιγυπτίους μαθηματικούς, αυτοί ακολουθούν ακόμα την αρχαία ελληνοανατολική παράδοση (π. χ. ο Άλλαζαν).

Κεφάλαιο 15

Τελειώνουμε αυτό το κεφάλαιο με μερικές παρατηρήσεις πάνω στην ελληνική αριθμητική και στη λογιστική. Οι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν διάκριση ανάμεσα στα «αριθμητικά» η επιστήμη των αριθμών και στη «λογιστική» η πρακτική των υπολογισμών. Ό όρος αριθμός σήμαινε μόνο τον φυσικό αριθμό, μια «ποσότητα συγκείμενη από μονάδες» (Ευκλείδη Βιβλίο Ζ', Όρ. 2. από το νόημα πού έδιναν στον ορισμό αυτόν, το «ένα» δεν λογαριαζόταν για αριθμός). Η δική μας έννοια του πραγματικού αριθμού τους ήταν άγνωστη. Επομένως, το ευθύγραμμο τμήμα δεν είχε πάντοτε μήκος. Το αντίστοιχο της δικής μας εργασίας με πραγματικούς αριθμούς γινόταν με γεωμετρικούς συλλογισμούς. Για να εκφράσει ο Ευκλείδης την πρόταση ότι το εμβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό της βάσης επί το ύψος, διατύπωνε το γεωμετρικό της αντίστοιχο: το τρίγωνο είναι το μισό του παραλληλογράμμου, πού έχει την ίδια βάση και βρίσκεται μεταξύ των ιδίων παράλληλων ευθειών (Ευκλείδη Α', 41). Το θεώρημα του Πυθαγόρα έκφράζε μια σχέση ανάμεσα στα εμβαδά τριών τετραγώνων, και όχι ανάμεσα στα μήκη τριών πλευρών. Στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχει και μια θεωρία δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Διατυπώνεται όμως με ορολογία αναφερόμενη σ' αυτό πού λέμε επίθεση σχημάτων. Οι ρίζες των εξισώσεων ήσαν ευθύγραμμα τμήματα, πού προέκυπταν από την εκτέλεση ορισμένων κατασκευών, πού υποδείχνονταν. Γιαυτό, οι μόνες παραδεχτές ρίζες ήσαν οι θετικές. Στα στοιχεία, όμως, ένα ευθύγραμμο τμήμα δεν είχε αναγκαστικά μιαν αντίστοιχη αριθμητική τιμή. Αυτή η αντιμετώπιση γραμμών και αριθμών δεν είναι δυνατό παρά να ήταν εσκεμμένη. Αντανακλούσε την υπερίσχυση του πλατωνικού Ιδεαλισμού σ' εκείνα τα τμήματα της ελληνικής άρχουσας τάξης πού ενδιαφέρονταν για τα μαθηματικά. Στις ανατολικές αντιλήψεις της ίδιας εποχής, δεν εμφανίζεται κανένας περιορισμός της έννοιας του αριθμού κατά τον συσχετισμό της άλγεβρας με τη γεωμετρία. Έχουμε κάθε λόγο να πιστεύουμε ότι το θεώρημα του Πυθαγόρα ήταν για τους Βαβυλώνιους μια αριθμητική σχέση ανάμεσα στα μήκη των πλευρών του τριγώνου και ότι οι Ίωνες μαθηματικοί μ' αυτό το είδος των μαθηματικών είχαν εξοικειωθεί.

Τα καθαυτό υπολογιστικά μαθηματικά, γνωστά σαν «λογιστική», παραμείναν πολύ ζωντανά σε όλες τις περιόδους της αρχαίας ελληνικής Ιστορίας. Ο Ευκλείδης τα απόρριπτε, ενώ ο Αρχιμήδης και ο Ήρωνας τα χρησιμοποιούσαν με άνεση και δίχως ενδοιασμούς. Τα μαθηματικά αυτά βασίζονταν, στην πραγματικότητα, σ' ένα σύστημα αρίθμησης πού κατά περιόδους άλλαζε. Η παλαιότερη ελληνική μέθοδος αρίθμησης βασιζόταν σε μια προσθετική δεκαδική αρχή, πού προσομοιάζει με εκείνη των Αιγυπτίων και των Ρωμαίων. Κατά την αλεξανδρινή εποχή, η ίσως νωρίτερα, εμφανίστηκε μια μέθοδος γραφής των αριθμών πού διατηρήθηκε για δεκαπέντε αιώνες. Αυτήν είχαν ενστερνιστεί οι επιστήμονες, αυτήν και οι έμποροι και οι διοικητικές αρχές. Χρησιμοποιούνταν τα διαδοχικά γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου για να εκφραστούν πρώτα οι αριθμοί πού εμείς συμβολίζουμε με 1, 2,..., 9, έπειτα οι δεκάδες από το 10 ως το 90, και τέλος οι εκατοντάδες από το 100 ως το 900 (α = 1, β = 2, κτλ.). Τρία επιπλέον αρχαϊκά γράμματα επισυνάφθηκαν στα 24 γράμματα του ελληνικοί αλφαβήτου για ν' αποχτηθούν τα αναγκαία 27 σύμβολα. Με αυτό το σύστημα, κάθε αριθμός μικρότερος από το 1000 μπορούσε να γραφτεί με τρία το πολύ σύμβολα π. χ. το 14 γραφόταν, ιδ, επειδή ι = 10 και δ = 4. Με μιαν απλή επέκταση του συστήματος, κατόρθωναν να εκφράζουν και αριθμούς μεγαλύτερους από το 1000. Στα χειρόγραφα — πού διασώθηκαν — του Αρχιμήδη, του Ήρωνα και όλων των άλλων κλασικών συγγραφέων, αυτό το σύστημα έχει χρησιμοποιηθεί. Υπάρχουν αρχαιολογικές αποδείξεις για το ότι διδασκόταν στις σχολές.
Επρόκειτο για ένα δεκαδικό σύστημα, πού δεν ήταν όμως σύστημα θέσης, γιατί το ιέ και το δι σήμαιναν τον ίδιο αριθμό, τον 14. Η απουσία της αρχής της θέσης, όπου η τιμή κάθε αριθμητικού συμβόλου εξαρτιέται από τη θέση του, καθώς και η χρήση όχι λιγότερων συμβόλων από 27, έχει θεωρηθεί συχνά ως απόδειξη της κατωτερότητας του συστήματος. Υπάρχουν όμως και ενδείξεις ότι το σύστημα αυτό είχε ορισμένα πλεονεκτήματα. ΟΙ αρχαίοι μαθηματικοί το χρησιμοποιούσαν με άνεση. Οι Έλληνες έμποροι το είχαν αποδεχτεί και εκτελούσαν μ' αυτό τις αρκετά πολύπλοκες συναλλαγές τους. Έδειξε, ακόμα, μεγάλη αντοχή στον χρόνο — στη βυζαντινή αυτοκρατορία διατηρήθηκε ως την πτώση της, το 1453. Κάποια εξάσκηση με το σύστημα αυτό μπορεί, πραγματικά, να μας πείσει ότι είναι δυνατό να εκτελούμε τις τέσσερις στοιχειώδεις πράξεις αρκετά εύκολα, αν προηγούμενα γίνουμε κάτοχοι της σημασίας των συμβόλων. Εξίσου απλός είναι και ο κλασματικός λογισμός με τους Ιδιαίτερους συμβολισμούς των αρχαίων Ελλήνων. Σ' αυτό το σημείο υπάρχει όμως μια ασυνέπεια, εξαιτίας της έλλειψης ενός ομοιόμορφου συστήματος. Χρησιμοποιούσαν αιγυπτιακά εναδικά κλάσματα, βαβυλωνιακά εξηνταδικά κλάσματα, αλλά και κλάσματα με συμβολισμό συγγενικό με τον δικό μας. Με δεκαδικά κλάσματα δεν είχαν εργαστεί ποτέ. Αυτά εμφανίζονται πολύ αργότερα, κατά την ευρωπαϊκή Αναγέννηση. Πρόκειται για μεγάλη πρόοδο, η οποία επιτεύχθηκε αφότου η τεχνική των υπολογισμών αναπτύχθηκε σε σημείο πολύ πιο προχωρημένο απ' αυτό πού ήταν δυνατό να φτάσει κατά την αρχαιότητα. Παρόλ' αυτά, σε πολλά σχολικά εγχειρίδια δεν είχαν εισαχθεί τα δεκαδικά κλάσματα πριν από τον 18ο, ακόμα και τον 19ο αιώνα.

Έχει υποστηριχτεί ότι αυτό το αλφαβητικό αριθμητικό σύστημα ήταν επιζήμιο για την ανάπτυξη της ελληνικής άλγεβρας, εφόσον η χρήση γραμμάτων για την απόδοση καθορισμένων αριθμών στεκόταν εμπόδιο στη χρήση των γραμμάτων για τον συμβολισμό των αριθμών, γενικά, όπως γίνεται στη δική μας άλγεβρα. Μια τέτοια τυποκρατική ερμηνεία της απουσίας ελληνικής άλγεβρας πρέπει ν' απορριφθεί, ακόμα κι αν αποδίδουμε μεγάλη αξία στον κατάλληλο συμβολισμό. Αν οι κλασικοί συγγραφείς είχαν ενδιαφερθεί για την άλγεβρα, θα είχαν δημιουργήσει τον κατάλληλο συμβολισμό, όπως ένα ξεκίνημα προς αυτόν έγινε από τον Διόφαντο. Το πρόβλημα της ελληνικής άλγεβρας θα μπορούσε να διασαφηνιστεί μόνο με μια ενδελεχή μελέτη των συνδέσεων των Ελλήνων μαθηματικών με τη βαβυλωνιακή άλγεβρα, μέσα στο πλαίσιο των συνολικών σχέσεων Ελλάδας και ανατολής.

________________________________________
Παραπομπές

1. Μια σύγχρονη ανάλυση έχει γίνει τον Ε. Landau, «Uber quadrirbare Kreisbogenzweiecke», Berichte Berliner Math. Ges., Vol. 2 (1903), pp. 1—6. 'Επίσης: Τ. Dantzig,. The Bequest of the Greeks (New York, 1955), Ch. 10.
2. Βλέπε λ.χ., F. Klein, VortrSge ϋber aus gewαhlte Fragen der Elementargeometrie (Leipzig, 1895) και F. Enriques, Fragen der Elementarmathematik (Leipzig, 1907), Vol. II.
3. Σχετικά με την αριθμητική των πυθαγορείων, βλέπε B.L. van def Waerden, Math. Annalen, Vol. 120 (1948), pp. 127-53, 676-700.
4. DJ. Struik, Nieuw Arch. v. Wiskunde, Vol. 15 (1925), pp. 121-37.
5. F. Lindemann, Sitzungsberichte bayr.Akad. tViss., Munchen, Vol. 26 (1897), pp. 625-758. Επίσης, ό.π. (1934), pp. 265-75
6. Ο Αριστοτέλης στα Αναλυτικά Πρότερα (Ι, 23), κάνει μόνο μια νύξη σχετική μ' αυτή την απόδειξη, προκειμένου να δώσει ένα παράδειγμα για την απαγωγή ατό άτοπο. Για την απόδειξη, βλέπε T.L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements (ανατύπωση Dover, 1956), Vol. Ill, p. 2.
7. P. Tannery, La geometrie grecque (Paris, 1887), pp. 217—61. Μια άλλη άποψη υποστηρίζεται τον B.L. van der Waerden στα Math. Annalen, Vol. 117 (1940), pp. 141-61.
8. P. Tannery, ό.π., p. 98. Εδώ ο Tannery ασχολείται μόνο με την οπισθοχώρηση της αρχαίας θεωρίας των αναλογιών. Υποστηρίζει πώς αυτό οφείλεται στην ανακάλυψη της ύπαρξης ασύμμετρων ευθύγραμμων τμημάτων.
9. T.L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements (Cambridge, 1912), Vol. 2, p. 114. (Ανατύπωση Dover, 1956.)
10. ό.π., p. 114.
11. Archimedes, On the Sphere and Cylinder, Book I, Assumption 5. Βλέπε T.L. Heath, The Works of Archimedes (Cambridge, 1897),'p. 4. (Ανατύπωση Dover, 1953.)
12. «Σχετικά με τα πρώτα διαφορικά, είχε γίνει παραδεχτό ότι ένα μικρό τμήμα καμπύλης, πού περιβάλλει ένα σημεία, μπορεί να θεωρηθεί σαν ευθύγραμμο, και ένα μικρό τμήμα επιφάνειας σαν επίπεδο. Όμοια, ότι μπορεί να θεωρηθεί πώς για μικρό χρονικό διάστημα η ταχύτητα της κίνησης ενός μορίου είναι σταθερή και η οποιαδήποτε φυσική διαδικασία παρέχει σταθερά αποτελέσματα. [Η. V. Phillip's, Differential Equations (New York, 1922), p. 7.)
13. 3,1409 < π < 3,1429. Ό αριθμητικός μέσος αυτών των δύο αριθμών, μεταξύ των οποίων περιλαβαίνεται δ π, δίνει την τιμή π = 3,1419. Ή σωστή τιμή είναι 3,14159... .
14. «Ή θέση μου είναι, λοιπόν, ότι ή ουσία της αναλυτικής γεωμετρίας είναι η μελέτη των τόπων διαμέσου των εξισώσεων τους και ότι αυτό ήταν γνωστό στους Έλληνες και εκεί στηρίχτηκε η μελέτη τους πάνω στις κωνικές τομές.» Βλέπε, Κούλιτζ (J.L. Coolidge Α History of Geometrical Methods (Oxford, 1940), p. 119. Πρόσεξε, ωστόσο, και τις παρατηρήσεις μας αναφορικά με τον Καρτέσιο.
15. Ο. Neugebauer, Exact Science in Antiquity, Univ. of Pennsylvania Bicentennial Conf., Studies in Civilization (Philadelphia, 1941), pp. 22-31, και από τον ίδιο συγγραφέα, The Exact Sciences in Antiquity (Princeton, 1952, 2η έκδοση, 1957).
16. Η. Michel, Traite de Vastrolabe (Paris, 1947). Επίσης, Ο. Neugebauer, «The Early History of the Astrolabe», his, Vol. 40 (1949), pp. 240-56.
17. O. Neugebauer, «Uber eine Methode zur Distanzbestimmung Alexandria - Rom bei Heron», Hist.fil. Medd. Danske Vid. Sets., Vol. 26, No 2 (1938), 28 pp
18. Το 1970 ανευρέθηκαν και αλλά τέσσερα. Βλ. Ε. Σ. Σταμάτη, ελληνικά Μαθηματικά (Αθήνα, 1979), σελ. 13ft-137. (Σ.Μ.)
19. Ό Πάπυρος 620, πού τον απόχτησε το Πανεπιστήμιο το Μίσιγκαν το 1921, περιέχει μερικά προβλήματα ελληνικής άλγεβρας, πού τοποθετούνται χρονικά σε περίοδο προγενέστερη απ' αυτή του Διόφαντου, στις αρχές ίσως του 2ου αιώνα μ. Χ. Μερικά από τα σύμβολα, πού συναντιούνται στον Διόφαντο, βρίσκονται και σ' αυτό το χειρόγραφο. Βλέπε F.E. Robbins, Classical Philology, Vol. 24 (1929), pp. 321-29 και Κ. Vogel, ό.π., Vol. 25 (1930), pp. 373-75.
20. Μια ενδελεχής μελέτη αυτού του προβλήματος βρίσκεται στο βιβλίο του Τόμψον (D' Arcy W. Thompson), Growth and Form, 2η Εκδοση (Cambridge, 1942).
21. C. Kings ley, Hepatic (1853). Ο Μάουτνερ (F. Mauthner) έγραψε κι αυτός ένα μυθιστόρημα, στα γερμανικά, με τίτλο Hepatic (1892).



________________________________________
Βιβλιογραφία

Για τους Έλληνες κλασικούς συγγραφείς κυκλοφορούν εξαιρετικά κείμενα. Τα περισσότερα από αυτά είναι διαθέσιμα και σε αγγλικές μεταφράσεις. Η καλύτερη πρόσβαση στο έργο των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών προσφέρεται στα ακόλουθα βιβλία:

Heath, Τ. L. Α. History of Greek Mathematics. 2 vols, Cambridge, 1912.
—. A Manual of Greek Mathematics. Oxford, 1931. 'Ανατύπωση Dover, 1963.
—. The Thirteen Books of Euclid's Elements. 3 vols., Cambridge, 1908. Ανατύπωση Dover, 1956.
Ver Eecke, P. Oeuvres completes d'Archimede. Bruxelles, 1921.
—. Pappus d'Alexandrie. La Collection mathematique. Paris - Bruges, 1933.
—. Proclus de Lycie. Les commentaires sur le premier livre des elements d'Euclide. Bruges, 1948.
Dijksterhuis, EJ. Archimedes. Kοenhavn, 1956.
Loria, G. Le Scienze esatte nell' antica Grecia, 2η Εκδοση, Milano, 1914.
Allman, G.J. Greek Geometry from Thales to Euclid. Dublin, 1889.
Gow, J. A Short History of Greek Mathematics. Cambridge, 1884.
Reidemeister, K. Die Arithmetik der Griechen. Hamburg Math. Seminar Einzel-schriften 26, 1939.
—. Das exakte Denken der Griechen. Hamburg, 1959.
Cohen, M.R., and Drabkin, I.E. A Source Book in Greek Science. London, 1948.
Heath, T.L. Mathematics in Aristotle. Oxford, 1949.
Van der Waerden, B.L. Ontwakende Wetenschap. Groningen, 1950. Αγγλική μετάφραση, Science Awakening, Oxford, 1961. (Πραγματεύεται τα αίγυπτιακά, βαβυλωνιακά και ελληνικά μαθηματικά.)
Becker, Ο. Das mathematische Denken der Antike. Gottingen, 1957.
Hauser, G. Geometrie der Griechen von Thales bis Euclid. Luzern, 1955.
Blaschke, W. Griechische und anschauliche Geometrie. Mu'nchen, 1953.
Dantzig, T. The Bequest of the Greeks. New York, 1955.
Wussing, Η. Mathematik in der Antike. Leipzig, 1965.(Τα βιβλία των KoJibMaB και Wussing πραγματεύονται επίσης τα αίγυπτιακά και βαβυλωνιακά μαθηματικά.)
Steele, A.D.«Uber die Roile von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik.» Quellen und Studien, A2 (1932), pp. 61-89.
Στό επόμενο βιβλίο αντιπαραθέτονται κείμενα στα ελληνικά, λατινικά και αγγλικά..
Thomas, I. Selections Illustrating the History of Greek Mathematics. Cambridge, Mass.- London, 1939.
Επιπλέον κριτικές κείμενου βρίσκονται σε:
Tannery, P. Pour l'histoire de la science hellene, 2η Εκδοση, Paris, 1930.
— Memoires scientiflques. Vols. 1—4, Toulouse Paris. 1912—20.
Vogt, H. «Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und anderen
Quellen des 4ten Jahrhunderts.» Bibliotheca mathematica, Vol. 3, No. 10 (1909-
10), pp. 97-105.
Sachs, E. Die fUnf Platonischen Kdrper. Berlin, 1917.
Hdlen. S. «Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreen,» Abh.
Deutsch. Akad. Wiss., Κ I. f. Math. u. Physik u. Techn., No. 6 (1958). Frank. E. Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle, 1923.
Apostle, Η. Ο. Aristotle's Philosophy of Mathematics. Chicago, 1952.
Luria, S. «Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten.» Quellen und Studien, Β 2
(1932), pp. 106-85.
Lorenzen, P. Die Entstekung der exakten Wissenschaften. Berlin, 1960.
Μια πετυχημένη κριτική επισκόπηση των διάφορων υποθέσεων αναφορικά με τα ελληνικά μαθηματικά βρίσκεται σε:
Dijkslerhuis, Ε. De elementen van Euclides. 2 vols., Groningen, 1930 (στα ολλανδικά).
Σχετικά με τα παράδοξα του Ζήνωνα, βλέπε:
Van der Waerden, B.L. «Zenon und die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik.» Math. Annal., Vol. 117 (1940), pp. 141-61.
Cajori, F. «The History of Zeno's Arguments on Motion.» Amer. Math. Monthly,
Vol. 22 (1915), 8 άρθρα. Βλ. επίσης, Isis, Vol. 3 (1920-21), pp. 7-20.
Γιά τή σχέση τής ελληνικής καί ανατολικής αστρονομίας, βλέπε:
Neugebauer, Ο. «The History of Ancient Astronomy. Problems and Methods.» J. Near Eastern Studies, Vol. 4 (1945), pp. 1-38.
Υπάρχουν καί νεοελληνικές μεταφράσεις πολλών μαθηματικών Εργων τών αρχαίων Ελλήνων άπό τόν Ε.Σ. Σταμάτη. (Σ.Μ.)