Η συμβολή του Πλάτωνος στα Μαθηματικά

Εγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ»

Αι αριθμολογικαί γνώσεις του Πλάτωνος

 Θεωρούμεν συνήθως τον Πλάτωνα ως μέγαν φιλόσοφον, όστις διεσαφήνισε το αντικείμενον και την μέθοδον της φιλοσοφικής ερεύνης και δια της δημιουργικής του εργασίας εθεμελίωσε την κοσμοθεωρίαν του ιδεαλισμού. Η λαμπρότης του Φιλοσοφικού του έργου εγένετο  αφορμή  να μη  εκτιμηθή όσον έπρεπεν η συμβολή του δια την ανάπτυξιν των επιστημών και ιδιαιτέρως των μαθηματικών. Μόλις κατά τα τελευταία έτη με την εμφάνισιν των νέων μαθηματικών θεωριών των αναφερομένων εις τα σύνολα και τας τάξεις και με την συζήτησιν των γνωσιολογικών προβλημάτων των σχετιζομένων με τας πρώτας αρχάς επί των όποιων στηρίζεται η επιστήμη των αριθμών, εδόθη η αφορμή να μελετηθούν τα πλατωνικά συγγράμματα από καθαρώς επιστημονικής απόψεως. Αι γενόμεναι μελέται έδειξαν ότι ο Πλάτων υπήρξεν όχι μόνον γνώστης της μαθηματικής επιστήμης της εποχής του, αλλά και δια των κατευθύνσεων τας οποίας έδιδεν εις τους ερευνητάς οίτινες είχον συγκενητρωθή εις την υπ' αυτού ιδρυθείσαν κατά το 386 π.Χ. ακαδημίαν συνετέλεσε να καθορισθή ο θεωρητικός χαρακτήρ της μαθηματικής επιστήμης να υπερνικηθή η οξυτάτη, κρίσις ήτις ημπόδιζε την ανάπτυξιν της κατά τρόπον ώστε να δυνηθή η ερευνά να προχώρηση προς νέας λαμπράς ανακαλύψεις. Δια του Πλάτωνος υψούται η αριθμητική έρευνα εις την επίγνωσιν της θεωρητικής της αποστολής. Αι έννοιαι του μεγάλου και του μικρού, παρατηρεί ο Πλάτων εις την «Πολιτείαν» του (524 C), όπως τας χρησιμοποιεί η πρακτική αριθμητική, «η λογιστική», είναι τελείως συγκεχυμέναι. Την ιδίαν ποσότητα η κοινή αριθμητική αντίληψις την θεωρεί συγχρόνως και μεγάλην και μικράν. Παραβάλλων π.χ. ο απλούς άνθρωπος εξ αστραγάλους προς τεσσάρας τους θεωρεί περισσοτέρους, παραβάλλων όμως αυτούς προς δώδεκα τους θεωρεί ολιγωτέρους. Όταν κάμνη προσθέσεις, προσθέτει τα ανόμοια πράγματα χωρίς να τον ενδιαφέρη η ανομοιότης και η ανισότης των. Εν αντιθέσει προς την πρακτικήν αριθμητικήν, η αποστολή της θεωρητικής είναι κατά τον Πλάτωνα να υψωθή εις την θεώρησιν της φύσεως των αριθμών δια της νοήσεως. Χρέος της είναι να φθάση εις τας «υποθέσεις», δηλαδή εις τας βάσεις και τα πρώτα θεμέλια της αριθμητικής, και κατερχόμενη μεθαδικώς απ’ αυτάς να δικαιολόγηση τας προτάσεις τας οποίας θέλει να αποδείξη. Ομοίως και ο πρακτικός γεωμέτρης, ο όποιος ασχολείται με ορατά σχήματα, αν θέλη να γίνη επιστήμων πρέπει να εννοήση ότι τα ορατά γεωμετρικά σχήματα αποτελούν γραφικάς μόνον απεικονίσεις των ιδεωδών γεωμετρικών αντικειμένωνν. Την αστροναμικήν επιστήμην δεν την ενδιαφέρει η λαμπρά ποικιλία των ουρανίων σωμάτων, αλλ' η εξακρίβωσις και η κατανόησις των αληθινών κινήσεων των επί τη βάσει της ακριβούς ταχύτητος των και του αληθινού των σχήματος (Πλάτων Πολιτ. 529 D). Οι προ του Πλάτωνος μαθηματικοί οδηγούμενοι από την έμφυτον προς την επιστημονικήν αλήθειαν ορμήν, είχον ανακαλύψει πολλάς επιστημονικάς προτάσεις. Αλλ' εκείνος όστις έφθασε πρώτος εις την σαφή επίγνωσιν της θεωρητικής φύσεως της μαθηματικής ερεύνης και διέγνωσεν ότι πρέπει να στηριχθή το οικοδόμημα των μαθηματικών επιστημών επί ασφαλούς θεμελιώσεως και να καθορισθή η  μέθοδος, είναι ο  Πλάτων.

 Ότι ο μέγας Αθηναίος φιλόσοφος ήτο πλήρως κάτοχος των μαθηματικών γνώσεων της εποχής του, προκύπτει και από την απλήν μόνον ανάγνωσιν των υπ' αυτού συγγραφέντων διαλόγων. Εις τον «Ευθύφρονα» π.χ., όστις κατατάσσεται εις τα συγγράμματα της πρώτης του περιόδου, ομιλών περί των αριθμών γενικώς, θεωρεί ως μίαν θεμελιώδη υποδιαίρεσιν των τον άρτιον, τον όποιον ονομάζει και ισοσκελή, κατ’ αναλογίαν του ομωνύμου είδους των τριγώνων, προφανώς επειδή δύναται να διαιρεθή εις δύο ίσα μέρη. Άρτιος είναι «ὅς ἄν μὴ σκαληνός ἧ ἀλλ' ἰσοσκελής» (εκείνος ο οποίος δεν υποδιαιρείται εις δύο άνισα τμήματα αλλ' εις δύο ίσα) «Εύθύφρ.» II. Εις τους «Νόμους» 895Ε δίδει όχι μόνον χαρακτηρισμόν περί αρτίου αριθμού, αλλά και ακριβή ορισμόν λέγων ότι είναι «ἀριθμός διαιροῦμενος είς δύο ἴσα μέρη». Εις τον «Παρμενίδην» (144 Α) μας παρουσιάζει τελείαν διαίρεσιν των αριθμών εις είδη άτινα προκύπτουν εκ του πολλαπλασιασμού αρτίων και περιττών. «Ἄρτια τε ἄρα ἀρτιάκις ἄν εἴη καὶ περιττά περιττάκις και άρτια περιττάκις καὶ περιττά ἀρτιάκις» (δηλαδή πας αριθμός θα είναι γινόμενον αρτίων επί αρτίους ή περιττών επί περιττούς ή αναλόγως της τάξεως των παραγόντων του) αρτίων επί περιττούς ή περιττών επί αρτίους). Την αυτήν υποδιαίρεσιν ευρίσκομεν και εις το έβδομον βιβλίον των «Στοιχείων» του Ευκλείδου Ορισμ. 8—11). Έχει εμβαθύνει προσέτι εις το πρόβλημα της διαιρετότητος και της αναλύσεως των αριθμών εις παράγοντας. Εις τους «Νόμους» (σελ. 738) καθορίζει τον αριθμόν του πληθυσμού της πόλεως εις 5040, όστις ισούται με το γινόμενον των επτά πρώτων αριθμών : (1X2X3X4X5X6X7 = 5040). Ο αριθμός των πολιτών των απαρτιζόντων την ευνομουμένην πόλιν, λέγει ο Πλάτων, πρέπει να είναι τοιούτος ώστε να είναι επιδεκτικός πολλών διαιρέσεων δια να ευκολύνη τους άρχοντας κατά τας διανομάς. Ως προς τον ρηθέντα αριθμόν 5040 λέγει ο Πλάτων «μιᾶς δεουσῶν ἐξήκοντα δύνατ' ἄν τέμνεσθαι τομῶν ξυνεχεῖς δὲ ἀπό μιᾶς μὲχρι δέκα» (είναι επιδεκτικός 59 διαιρέσεων μη αφινουσών υπόλοιπον, και διαιρείται από όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 10). Επί τη βάσει της αναλύσεως των παραγόντων διαιρεί τούς αριθμούς εν τω «Θεαιτήτω» (147 Ε) εις τετραγώνους και εις προμήκεις. Τετράγωνοι είναι οι αριθμοί οι παραγόμενοι εκ του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού επί τον εαυτόν του 4X4=16, προμήκης δε ονομάζεται ο παραγόμενος εκ του πολλαπλασιασμού δύο αριθμών ανίσων προς αλλήλους 6X4 = 24. Οι τετράγωνοι γεωμετρικώς συμβολίζονται με τετράγωνα, οι δε προμήκεις με  ορθογώνια.

Και η έννοια των αριθμητικών σειρών τυγχάνει γνωστή εις τον Πλάτωνα. Εις τον «Τίμαιον» (35 α κ.ε.) περιγράφεται ο τρόπος της αναμίξεως δια της οποίας ο Δημιουργός εκ του τούτου, και του ετέρου και τίνος τρίτου είδους ουσίας διεμόρφωσε την ψυχήν του κόσμου. Μετά την ανάμιξιν διήρεσε το όλον μίγμα εις επτά μέρη επί τη βάσει δύο γεωμετρικών προόδων. Εκ τούτων η μία έχει λόγον 2 (1,2,4,8) η δε έτερα 3 (1,3,9,27). Ο Δημιουργός εκ των δύο τούτων γεωμετρικών προόδων κατήρτισε μίαν ενιαίαν σειράν (1 2, 3, 4, 9, 8, 27). Ο Θέων ο Σμυρναίος κατατάσσει τους εν λόγω αριθμούς εις την λεγομενην δευτέραν «Τετρακτύν» κατά  το ακόλουθον σχήμα 1.

Η πρώτη τετρακτύς είναι η κατά πρόσθεσιν εκ των τεσσάρων πρώτων κατά σειράν αριθμών απαρτιζομένη (1 + 2 + 3 + 4=10) και λέγεται «κατ' επισύνθεσιν». Η υπό του Πλάτωνος χρησιμοποιούμενη εν τω «Τιμαίω» λέγεται «κατά πολλαπλασιασμόν» (1 Χ 2 = 2, 2X2 = 4, 4X2 = 8, 1 Χ 3 = 3, 3 Χ 3 = 9, 9 Χ 3 κ 27).

Σχήμα 1

Η τετρακτύς αύτη εθεωρήθη υπό των παλαιών, ως αναφέρει Θέων ο Σμυρναίος, ως, περιέχουσα όλας τας αρμόνικας σχέσεις εκ των οποίων συναπαρτίζεται η αρμονία του σύμπαντος: «τοὺς μουσικούς καὶ γεωμετρικοὺς καὶ ἀριθμητικούς λόγους περιέχουσα, ἐξ ὧν καὶ ἡ τοῦ παντός ἁρμονία συνέστη» (περιέχει τας μουσικάς γεωμετρικάς και αριθμητικάς αναλογίας, εκ των οποίων έλαβε την υπόστασίν της η αρμονία του παντός). Πράγματι οι παρεχόμενοι δια ταύτης αριθμοί εκφράζουν μουσικάς, γεωμετρικάς και αριθμητικάς σχέσεις. Η σειρά 1, 2, 4, 8 αντιπροσωπεύει από μουσικής απόψεως τας σχέσεις της δια πασών, η δε σειρά 1, 3, 9, 27 τας σχέσεις της πέμπτης. Από γεωμετρικής απόψεως η μονάς συμβολίζει την αρχήν και το σημείον, το 2 και 3 συμβολίζουν την πλευράν διότι είναι ασύνθετοι και πρώτοι, δυνάμενοι να μετρηθούν δια της μονάδος. Οι τρίτοι όροι 4 και 9 παριστούν τετράγωνα, το 2 και 3 δηλαδή υψωμένα εις την δευτέραν δύναμιν, Οι δε τέταρτοι οροί 8 και 27 παριστούν κύβους, διότι είναι ο 2 και 3 υψωμένοι εις την τρίτην δύναμιν.

Ενδεικτικός δια την ευκολίαν μετά της όποιας ηδύνατο να κινήται εντός του πλαισίου των αριθμητικών γνώσεων της εποχής του ο Πλάτων μας παρέχει το πολυθρύλητον τρίτον κεφάλαιον του ογδόου βιβλίου της «Πολιτείας» του. Εις τούτο ομιλών ο Αθηναίος σοφός περί της ακμής και παρακμής των πολιτειών λέγει ότι το σύμπαν κινείται κατά κυκλικάς περιόδους, των οποίων η χρονική διάρκεια είναι καθωριομένη. Υπάρχει αριθμητικός καθορισμός όστις καθορίζει την περίοδον της γεννήσεως των ανθρωπίνων όντων, άλλος δε καθορίζει την περίοδον της γεννήσεως των θείων όντων. «Ἔστι δὲ θείῳ μὲν γεννητῷ περίοδος, ἥν ἀριθμός περιλαμβάνει τέλειος» (Υπάρχει δια την γέννησιν του υπό των θεών δημιουργούμενου όντος χρονική περίοδος την οποίαν καθορίζει τέλειος αριθμός). Ακολουθεί δε περιγραφή των δύο αριθμών δια μαθηματικών εκφράσεων, εις τας οποίας περιλαμβάνονται αι εκφράσεις «αυξήσεις δυνάμενοι και δυναστευόμεναι» (πολλαπλασιασμοί ριζών και τετραγώνων) «αποστάσεις», «όροι» «πυθμένες» (δηλ. οι ελάχιστοι όροι οι εκφράζοντες ένα γεωμετρικόν λόγον π.χ. πυθμήν του διπλασίου είναι το 2:1). Συμφώνως προς τας ενδείξεις τας όποιας μας παρέχει ο Πλάτων ο αριθμός του ανθρωπίνου γεννητού είναι (3.3.3) + (4.4,4) + (5.5.5), δηλ. 27 + 64+125 = 216, ο δε αριθμός του θείου γεννητού (3X4X5) εις την τετάρτην = 3600, εις το τετράγωνον = 12960000. Ο αριθμός 216 ελέγετο και ψυχογονικός κύβος διότι ισούται με τον αριθμόν των ημερών 7 μηνών, οι όποιοι αποτελούν τον ελάχιστον όρον κυοφορίας. Κατ' αναλογίαν λοιπόν δυνάμεθα να συμπεράνωμεν ότι ο 12960000 αντιπροσωπεύει τον αριθμόν των ημερών 36 χιλιάδων ετών, τα οποία φαίνεται ότι ο Πλάτων εθεώρει ως συναποτελούντα μιαν μεγάλην κυκλικήν κοσμικήν περίοδον, τον «μὲγαν ἐνιαυτόν».

Αι γεωμετρικάι γνώσεις του Πλάτωνος

Τα πλατωνικά συγγράμματα εμφανίζουν προσέτι τον συγγραφέα των εμπειρότατον και περί την γεωμετρίαν. Εις τον «Μένωνα» 75 και 76 γίνεται λόγος περί των εννοιών του «πέρατος», του «εσχάτου», του «στερεού» και του «επιπέδου». Δίδεται δε και ακριβολαγικός ορισμός του σχήματος των στερεών σωμάτων : «Στερεοῦ πέρας σχῆμα εἶναι», (Σχήμα είναι το όριον του στερεού). Εις τον «Παρμενίδην» (137 Ε) μάς δίδει τον ορισμόν του στρογγυλού : «Στρογγύλον γὲ πού ἐστι τοῦτο, οὗ ἄν τὰ ἔσχατα πανταχῆ ἀπὸ τοῦ μἐσου ἴσον ἀπέχη» (στρογγύλον είναι εκείνο τον όποιου πάντα τα έσχατα σημεία απέχουν εξ ίσου από του μέσου). Εις το αυτό χωρίον υπάρχει και ορισμός της ευθείας: «Ευθύ γε, οὗ ἄν τὸ μέσον ἀμφοῖν τοῖν ἐσχάτοιν ἐπίπροσθεν ἦ» (ευθεία γραμμή είναι εκείνη της οποίας το μέσον καλύπτει (σκεπάζει την θέαν) και των δύο της άκρων) . Είναι φανερόν ότι ο Πλάτων εχρησιμοποίει δια τον ορισμόν της ευθείας την έννοιαν της διευθύνσεως όπως μάς την δίδει η οπτική ακτίς. Τούτο συνάγεται και εκ των εις Ευκλείδην σχολίων του Πρόκλου, εις τα όποια αναγράφεται : «Ὁ δὲ Πλάτων ἀφορίζεται τὴν εὐθεῖαν γραμμήν ἧς τὰ μέσα τοῖς ἄκροις ἐππτροσθεῖ.... ὅθεν δὴ καὶ οἱ ἀστρολογικοί φασι τότε τὸν ἥλιον ἐκλείπειν, ὅταν ἐπὶ μιας εὐθείας γένηται αὐτός τε καὶ ἡ σελήνη καὶ τὸ ὄμμα τὸ ἡμἐτερον». (Ο δε Πλάτων ορίζει την ευθείαν γραμμήν ως εκείνης της οποίας τα μεσαία τμήματα αποκρύπτουν τα ακραία.... Δια τούτο λοιπόν και οι αστρονόμοι λέγουν ότι τότε συμβαίνει έκλειψις ηλίου, όταν έλθουν εις την αυτήν ευθείαν αυτός και η σελήνη και ο οφθαλμός μας).  Ίσως δε ο πλατωνικός ούτος περί της ευθείας ορισμός να εχρησίμευσεν ως βάσις δια να ορισθή εις τα στοιχεία του Ευκλείδου η ευθεία ως «γραμμή ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται».

Και ως προς το σημείον το οποίον εθεωρείτο υπό των γεωμετρών ως το έσχατον στοιχείον, το προκύπτον εκ της αναλύσεως των μεγεθών, ο Πλάτων διετύπωσεν αντιλήψεις λίαν αξιοσημείωτους. Ο Αριστοτέλης εις τα «Μετά τα φυσικά» (992 α 20) αναφέρει ότι ο Πλάτων κατεπολέμει την έννοιαν του, σημείου, θεωρών ταύτην ως δογματικόν πλάσμα των γεωμετρών: «Διεμάχετο ὁ Πλάτων ὡς ὄντι γεωμετρικῷ δόγματι». Αντί να χρησιμοποιή τον όρον σημείον η στιγμή προετίμα την ένδειξιν αρχήν γραμμής και εδέχετο ως αφετηρίαν τας ατόμους γραμμάς : «Ἁλλ' ἐκάλει ἀρχήν γραμμῆς, τοῦτο δὲ πολλάκις ἐτίθει τὰς ἀτόμους γραμμάς». Όπως λίαν ορθώς παρετήρησεν ο Τάϊλορ, δια της πολεμικής του ταύτης ο Αθηναίος σοφός απόκρουε την αντίληψιν ότι το σημείον είναι το ελάχιστον μέρος της εκτάσεως και αντιτίθετο εις τον ταυτισμόν του με την μονάδα. Εφρόνει ότι το σημείον, παρ' όλον ότι δεν έχει μέγεθος, είναι όμως αρχή του μεγέθους. Δεν δύναται να ταυτισθή με το 1, αλλ' ευρίσκεται προ αυτού εκεί όπου τα νεώτερα μαθηματικά θέτουν ως αρχήν της σειράς των αριθμών το μηδέν (0). Αι γράμμαι ελαμβάνοντο υπό του Πλάτωνος ως «ἅτομοι», ανεπίδεκτοι εξαντλητικής διαιρέσεως, προφανώς διότι εθεωρούντο ως κάτι το συνεχές (κοντίνοουμ), το όποιον δύναται να διαιρήται διαρκώς  χωρίς να αφίνη υπόλοιπον.

Υποδειγματικήν διερεύνησιν και λύσιν θεωρητικού γεωμετρικού προβλήματος, το οποίον μάς διαφωτίζει περί της εργασίας ήτις εγίνετο εις την Ακαδημίαν, μας παρέχει ο Πλάτων εις τον «Μένωνα» 82 κ.ε. Πρόκειται περί της γεωμετρικής κατασκευής τετραγώνου, το οποίον να είναι διπλάσιον κατά το εμβαδόν εν συγκρίσει προς το δοθέν τετράγωνον. Μας δίδεται δηλαδή το τετράγωνον ΑΒΔΓ (σχήμα 2), του οποίου η πλευρά έχει μήκος δύο ποδών και ζητείται ποίον μήκος θα πρέπει να έχη η πλευρά τετραγώνου όπερ είναι διπλάσιον του ΑΒΔΓ.

Ο Πλάτων παρουσιάζει τον Σωκράτη επιλύοντα το πρόβλημα δι' ερωτήσεων, τας όποιας απευθύνει προς παρατυχόντα δούλον. Ερωτώμενος ο δούλος ποίον πρέπει να είναι τα μήκος της πλευράς διπλασίου κατ' εμβαδόν τετραγώνου, απαντά ότι τούτο θα είναι διπλάσιον, ήτοι 4 πόδες. Ο Σωκράτης δια νέας ερωτήσεως τον κάμνει να εννοήση ότι τετράγωνον με πλευράν 4 ποδών θα έχη ουχί διπλάσιον εμβαδόν, άλλα τετραπλάσιον διότι 4Χ4 = 16. Άρα η πλευρά του ζητουμενου τετραγώνου θα είναι μεγαλύτερα των 2 ποδών, μικρότερα όμως των 4.

Σχήμα 2

Αν είναι μήκους 3 ποδών τότε το εμβαδόν δεν θα είναι διπλάσιον, διότι θα ανέρχεται εις 9 πόδας. Γίνεται συνεπώς φανερόν ότι το πρόβλημα δεν δύναται να λυθή δια της αριθμητικής και ο δούλος, καθοδηγούμενος υπό του Σωκράτους, προβαίνει εις γεωμετρικήν λύσιν. Τοποθετεί κατ' επέκτασιν του τετραγώνου ΑΒΓΔ ετέρα τρία, το ΒΕΖΔ, το ΖΔΘΗ και το ΔΘΙΓ, άτινα μετά του δοθέντος αποτελούν το τετράγωνον ΑΕΗΙ, τα οποίον προφανώς είναι τετραπλάσιον του αρχικώς ληφθέντος. Δυνάμεθα ήδη φέροντες τας διαγώνιους ΓΒ, ΒΖ, ΖΘ και ΘΓ να διαιρέσωμεν εις δύο ίσα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα έκαστον των τεσσάρων τετραγώνων. Είναι φανερόν ότι το σχηματισθέν δια των διαγωνίων τετράγωνον ΓΒΖΘ επειδή είναι το ήμισυ του τετραπλασίου ΑΕΗΙ θα είναι εν συγκρίσει με το αρχικώς δοθέν ΑΒΓΔ διπλάσιον. Τοιουτοτρόπως ελύθη το πρόβλημα και ευρέθη ότι η πλευρά του ζητουμενου τετραγώνου θα είναι η ΓΒ. Ταύτην δυνάμεθα να καθορίσωμεν και αριθμητικώς. Εκ του Πυθαγορείου θεωρήματος γνωρίζομεν ότι (ΑΒ).(ΑΒ) + (ΑΓ).(ΑΓ) = (ΓΒ).(ΓΒ). Αντικαθιστώντες το ΑΒ και ΑΓ δια των αριθμητικών των τιμών λαμβάνομεν την ισότητα 2.2 + 2.2 = (ΒΓ).(ΒΓ), ήτοι (ΒΓ). (ΒΓ) = 8, εξάγοντες την τετραγωνικών ρίζαν ευρίσκομεν ότι η πλευράς του ζητουμενου τετραγώνου θα ισούται με την τετραγωνικήν ρίζαν του 8, ΒΓ = τετραγωνική ρίζα του 8. Την πλευράν ταύτην προσθέτει ο Πλάτων την  εκάλουν οι Σοφισταί διάμετρον. Εκ της παρασχεθείσης λεπτομερούς αναπαραγωγής της αποδεικτικής διαδικασίας πείθεται  ο  επιπλέον δύσπιστος ερευνητής ότι εις την Πλατωνικών Ακαδημίαν οι γεωμετραι ειργάζοντο με απόλυτον επιστημονικότητα και επίγνωσιν της μεθοδολογικής πορείας.

Αλλ' ο κλάδος της Γεωμετρίας ο όποιος πολλά χρεωστεί εις τον Πλάτωνα, είναι η στερεομετρία. Οι Πυθαγόρειοι μέχρι της εποχής του Πλάτωνος διήρουν τα μαθηματικά εις τεσσάρας κλάδους, την αριθμητικήν, την γεωμετρίαν την αστρονομίαν και την μουσικήν. Πρώτος ο Αθηναίος σοφός συνέλαβε την ιδέαν ότι θα έπρεπε μεταξύ της γεωμετρίας, ήτις μελετά τας επιφανείας των στερεών σωμάτων, και της αστρονομίας, ήτις έχει ως αντικείμενον της σπουδής της τα ουράνια σώματα, να παρεντεθή νέα μάθησις, ήτις θα μελετήση και την τρίτην διάστασιν των σωμάτων. Εις το έβδομον βιβλίον της «Πολιτείας» του (528 κ.ε.) διαπιστώνει την αντίληψίν του αύτην και εκφράζει την ελπίδα ότι εντός ολίγου θα παρουσιάσουν αι εις τα στερεά αναφερόμεναι σπουδαί, μεγάλας ανακαλύψεις. Είναι πιθανόν ότι η περίφημος εικών περί των δεσμωτών του σπηλαίου. με την οποίαν αρχίζει το έβδομον βιβλίου της «Πολιτείας», αποτελεί και επίκρισιν των γεωμετρών εκείνων οι όποιοι είχον την ιδέαν ότι αντικείμενον της σπουδής της μαθήσεως ταύτης έπρεπε να είναι αι δύο μόνον διαστάσεις. Η μαθηματική μεγαλοφυία του Αθηναίου σοφού αντελήφθη την κατεύθυνσιν προς την οποίαν πρέπει να στραφούν αι γεωμετρικαί έρευναι. Εγένετο ούτω ο Πλάτων εις εκ των πρώτων θεμελιωτών της στερεομετρίας. Δια τούτο η σπουδή των κανονικών πολυέδρων, συνεδέθη με το όνομά του. Τα πέντε κανονικά πολύεδρα, τα όποια χρησιμοποιεί ο Πλάτων δια να εξήγηση την συγκρότησιν του υλικού σύμπαντος, εκλήθησαν υπό των παλαιών και πλατωνικά σώματα. Εις την «Πολιτείαν» του προαναγγέλλονται μόνον αι στερεομετρικαί ανακαλύψεις. Φαίνεται ότι ο Πλάτων θα εγνώρισε τας εργασίας του Θεαίτητου τας αναφερομένας εις την σπουδήν των στερεών. Οπωσδήποτε εις τον Πλάτωνα ανήκει η τιμή ότι εισηγήθη συγκρότησιν εκ των συναφών σπουδών νέου επιστημονικού κλάδου. Δια τον προτεινόμενον κλάδον ο Πλάτων δεν είχε χρησιμοποιήσει ειδικήν ονομασίαν. Εις την «Πολιτείαν» δια να δηλώση το αντικείμενον της στερεομετρίας μεταχειρίζεται την έκφρασιν «τὸ περὶ τὴν τῶν κύβων αὔξησιν καὶ τοῦ βάθους μετέχον» (μελέτη της διαστάσεως του κύβου και παντός έχοντος βάθος). Εις τους «Νόμους» (817Ε) την θεωρεί ως ιδιαίτερον τμήμα της γεωμετρίας ασχολούμενον με την μετρησιν των σωμάτων. Η όλη γεωμετρία είναι επιστήμη «μετρητική μήκους καί ἐπιπέδου καὶ βάθους» (επιστήμη μετρούσα γραμμάς, επιφανείας και σώματα). Ο όρος στερεομετρία χρησιμοποιείται κατά πρώτον εις την υπό του Φιλίππου του Οπουντίου γραφείσαν «Ἐπινομίδα», ήτις προσηρτήθη εις τους «Νόμους» του Πλάτωνος. Εκεί (990D) αναγράφεται «τέχνη, ἥν δὴ στερεομετρίας ἐκάλεσαν οἱ προστυχεῖς αὐτῇ γεγονότες» (εις τέχνην, την οποίαν, ως γνωστόν, ωνόμασαν στερεομετρίαν οι ασχοληθέντες με αυτήν). Επίσης ο όρος στερεομετρία χρησιμοποιείται υπό του Αριστοτέλους εις τα « Αναλυτικά ύστερα» (78 β, 38) «οἷον τὰ όπτικά πρὸς γεωμετρίαν καὶ τὰ μηχανικά πρὸς στερεομετρίαν» (οποίαν σχέσιν έχει η οπτική προς την γεωμετρίαν, την αυτήν σχέσιν έχει η μηχανική προς την στερεομετρίαν δηλαδή η οπτική είναι υποτεταγμένη εις την γεωμετρίαν και η μηχανική εις την στερεομετρίαν).

Η περί αναλογιών θεωρία

Την προσοχήν του Πλάτωνος προσείλκυσε το πρόβλημα των αναλογιών, το όποιον, κατά το πρώτον ήμισυ του 4ου αιώνος απετέλει τα κεντρικώτατον θέμα της μαθηματικής ερεύνης. Όπως είδομεν εις τα προηγούμενα, δια της ανακαλύψεως των ασύμμετρων μεγεθών είχε προκύψει δυσχέρεια κατά την εφαρμογήν των αναλογιών εις τα μεγέθη. Η περαιτέρω εξέλιξις των μαθηματικών θα ανεκόπτετο, αν δεν καθίστατο δυνατόν να υπερνικηθούν αι αναφανείσαι δυσκολίαι. Ο Πλάτων είχεν αντιληφθή την σοβαρότητα του ζητήματος και μεταξύ των εν τη Ακαδημία αναζητήσεων το μνημονευθέν πρόβλημα μαζί με την ανάπτυξιν της στερεομετρίας είχε γίνει αντικείμενον επισταμένων και πολυχρονίων μελετών. Αι εν τη Ακαδημία έρευναι δεν απέβησαν άκαρποι, διότι, ο μέγας μαθηματικός Εύδοξος κατώρθωσε να υπερνίκηση τας ως προς την εφαρμογήν των αναλογιών επί των μεγεθών δυσχέρειας. Ο Πλάτων παρηκολούθει τας έρευνας και ήτο εις θέσιν να εκφέρη κρίσεις και να προαισθάνεται ενορατικώς προς ποίαν κατεύθυνσιν έπρεπε να προχωρήσουν αι έρευναι. Δυστυχώς τα διαλογικά του συγγράμματα δεν μας δίδουν πλήρως τα στοιχεία δια να αναπαραστήσωμεν την όλην περί αναλογιών διδασκαλίαν του, όπως την εδίδασκεν ο ίδιος εις την Ακαδημίαν, και εις την ενότητα υπό την οποίαν την παρουσίασε δια της «Περί αγαθού» τελευταίας του διαλέξεως. Υπάρχουν όμως αρκεταί ενδείξεις αι οποίαι μαρτυρούν ότι ο Πλάτων είχεν εγκύψει βαθύτατα εις την περί αναλογιών θεωρίαν. Περί τούτου δυνάμεθα να βεβαιωθώμεν αναγινώσκοντες το μέρος εκείνο του «Τιμαίου» εις το οποίον εξιστορείται πώς ο Δημιουργός επί τη βάσει των αναλογιών διήρθρωσεν εις αρμονικήν   ενότητα   την   ψυχήν   του   κόσμου.

Εξεθέσαμεν ανωτέρω ότι εις τον «Τιμαίον» (35 α κ.ε.) εξιστορείται πως ο Δημιουργός διήρεσε το όλον μίγμα, εκ του οποίου   απετελέσθη η ψυχή του κόσμου, επί τη βάσει δυο γεωμετρικών προόδων, των οποίων οι όροι συναποτελούν την σειράν 1, 2, 3, 4, 9. 8, 27, διατεταγμένην εις τετρακτύν κατά το σχήμα το οποίον απεικονίσθη εις τα προηγούμενα. Ο Πλάτων προχωρεί έπειτα εις τον καθορισμόν των υφισταμένων μεταξύ των αριθμών της τετρακτύος διαστημάτων. Χρησιμοποιών τας δύο εκ των κατά την εποχήν του γνωστών αναλογιών, ήτοι την αριθμητικήν (δηλαδή αναλογίαν του τύπου 2, 3, 4) και την αρμονικήν (δηλαδή αναλογίαν του τύπου 3, 4, 6) . Ο καθορισμός των διαστημάτων γίνεται επί τη βάσει των εκ της ακουστικής γνωστών σχέσεων. Χρησιμοποιών δηλαδή τας περί μουσικών διαστημάτων γνώσεις της εποχής του, ευρίσκει ότι μεταξύ των επτά αριθμών της σειράς υπάρχουν ο διαστήματα και δώδεκα λόγοι : (1 : 2—2 : 1, 2 : 3—3 : 2, 3 : 4—4 : 3, 4 : 9—9 : 4, 9 : 8—8 : 9, 8 : 27—27 : 8). Προβαίνει δε κατόπιν εις την συμπλήρωσιν των διαστημάτων δια της αριθμητικής και της αρμονικής αναλογίας, εκφράζων εν τέλει τας αριθμητικάς των σχέσεις «τους λόγους» των δι' ακεραίων αριθμών. Χρησιμοποιούνται κατά τους γινόμενους υπολογισμούς αι γνωσταί εις την τότε μουσικήν αριθμητικαί σχέσεις, ο πολλαπλάσιος λόγος, ο ημιόλιος. ο επίτριτος και ο επόγδοος. Εις τον πολλαπλάσιον ο μεγαλύτερος όρος είναι ακριβές πολλαπλάσιον του μικρότερου 2 : 2 = 2(1 : 2) . Ο ημιόλιος λόγος εμφανίζει γενικώς τον τύπον 1 + 1 : 2, ήτοι ο δεύτερος όρος περιέχει τον πρώτον και επί πλέον εν δεύτερον του πρώτου 3:2=1+1:2. Ο επίτριτρς εμφανίζει γενικώς τον τύπον 1 + 1 : 3, ήτοι ο δεύτερος όρος περιέχει τον πρώτον και επί πλέον εν τρίτον αυτού 4 : 3 = 1 + 1 : 3. Ο δε επόγδοος εμφανίζει τον τύπον 9 : 8=1 + 1 : 8, ήτοι περιέχει τον πρώτον και επί πλέον το εν όγδοον αυτού. Δια της συμπληρώσεως των διαστημάτων επί τη βάσει των ανωτέρω αναλογιών και λόγων προκύπτουν 36 όροι διατεταγμένοι εις 7 σειράς, εκ των οποίων εκάστη αποδίδει ωρισμένον αριθμόν τόνων, λειμμάτων και απότομων. Εις το μουσικόν σύστημα το οποίον ακολουθεί ο Πλάτων, δεν υπάρχουν ημιτόνια, αλλά ο τόνος διαιρείται εις εν μεγαλύτερον τμήμα, όπερ καλείται αποτομή, και εις εν μικρότερον όπερ μένει αφαιρουμένου του μεγαλυτέρου και δια τούτο καλείται λείμμα. Η σειρά των όρων οίτινες προκύπτουν εκ των εν τω «Τιμαίω» υπολογισμών είναι μικροτέρα από την σειράν ην εμφανίζει η δια πασών ην εχρησιμοποίουν οι Έλληνες, και η οποία συνίστατο εκ δύο τετραχόρδων περιεχόντων τεσσάρας τόνους συμβολιζομένους από τους αριθμούς 6, 8, 9, 12, εις την γλώσσαν δε της νεωτέρας μουσικής δια μι, λα, σι, μι δευτέρα. Ο Πλάτων παρουσιάζων την σειράν ταύτην των διαστημάτων, δεικνύει ότι η εν τω σύμπαντι υπάρχουσα αρμονία είναι ασυγκρίτως ποικιλωτέρα από την παραγομένην από τα μουσικά όργανα τα όποια χειρίζονται οι άνθρωποι. Η ανθρωπινή μουσική χρησιμοποιεί τον διπλάσιον λόγον της δια πασών 2:1, ενώ η παγκόσμιος αρμονία εκφράζεται δια διαστημάτων άτινα  φθάνουν   μέχρι   του αριθμού   17.

Είναι φανερόν ότι ο Αθηναίος σοφός παρατάσσων την μακράν σειράν των αναλογικών σχέσεων εις τον «Τιμαίον» του, ήθελε να δείξη ότι τα εγκόσμια οντά ευρίσκονται προς άλληλα εις εναρμονίους σχέσεις οίτινες δεν είναι τυχαίαι, αλλά ακολουθούν τους νόμους της αριθμητικής και της αρμονικής αναλογίας. Παλαιότερον η έρευνα εχαρακτήριζε τους εις τον «Τιμαίον» περιεχόμενους αριθμητικούς υπολογισμούς ως αριθμητικά παιγνίδια. Συν τω χρόνω όμως απεδείχθη ότι πρόκειται περί εφαρμογής της θεωρίας των αναλογικών σχέσεων. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί του Πλάτωνος συγκρινόμενοι με τους αντιστοίχους υπολογισμούς της νεωτέρας Φυσικής, φαίνονται πρωτόγονοι. Εις το βάθος όμως αυτών υποκρύπτεται η αντίληψις ότι τα εν τω κόσμω φαινόμενα είναι επιδεκτικά μαθηματικών καθορισμών. Τίθεται ούτω από της εποχής εκείνης το θεμέλιον επί του οποίου εστηρίχθη η χρησιμοποιούσα τον μαθηματικόν λογισμόν Φυσική των νεωτέρων χρόνων. Κατανοούμεν κατόπιν τούτου διατί ο «Τίμαιος» υπήρξε κατά την Αναγέννησιν το προσφιλέστερον ανάγνωσμα εις τους κύκλους των μεγάλων ερευνητών, οίτινες εδημιούργησαν  την  νεωτέραν  φυσικήν.

Η σπουδή των ασύμμετρων μεγεθών.

Εκ της μελέτης των αναλογιών ορμώμενος ο Πλάτων φαίνεται ότι εποχώρησε και εις το πρόβλημα της χρυσής τομής, δια του οποίου ζητείσαι η διαίρεσις μιας ευθείας εις μέσον και άκρον λόγον. Πρέπει δηλαδή η τομή της να γίνη κατά τοιούτον τρόπον, ώστε το μεγαλύτερον μέρος της να είναι η μέση ανάλογος μεταξύ του όλου της και του μικρότερου της μέρους. Όπως λέγει ο Πρόκλος εις τα σχόλια του εις Ευκλείδην (σελ. 67), το πρόβλημα της χρυσής τομής, τεθέν κατ' αρχάς υπό του Πλάτωνος, εμελετήθη ευρύτερον από τον Εύδοξον. «Εὔδοξος δὲ ὁ Κνίδιος.... καὶ τὰ περὶ τὴν τομὴν ἀρχὴν λαβόντα παρὰ τοῦ Πλάτωνος εἰς πλῆθος προήγαγεν καὶ ταῖς ἀναλύσεσιν ἐπ' αὐτῶν χρησάμενος». Αι περί τα τοιαύτα δε προβλήματα ενασχολήσεις του Αθηναίου σοφού ωδήγουν τούτον και εις την μελέτην των ασύμμετρων   μεγεθών.

Εις τα πλατωνικά συγγράμματα γίνεται πολλάκις μνεία περί των ασύμμετρων. Εις τον «Ιππίαν τον μείζονα» (3036), όστις έχει γραφή εις την πρώτην περίοδον της συγγραφικής δράσεως του Πλάτωνος, απαντάται μνεία περί αρρήτων «ἤ οὐδέν κωλύει, ὥσπερ ἀρτἰων ὄντων τινῶν ἀμφοτέρων τάχα μὲν  ἐκάτερα,  περιττὰ εἶναι,  τάχα  δ'  ἄρτια,  καὶ  αὖ  ἀρρἰτων ἐκατέρων ὄντων τάχα μὲν ρητὰ τὰ συναμφότερα εἶναι, τάχα δ' ἄρρητα» (η δεν εμποδίζει να συμβαίνη κάτι παρόμοιον εις εκείνο τα οποίον συμβαίνει εις την περίπτωσιν, κατά την οποίαν και οι δύο μεν αριθμοί αποτελούν άρτιον, ενώ ο καθένας των είναι περιττός, και πάλιν ενώ το καθένα εκ των συνενουμένων στοιχείων είναι ασύμμετρον, το εξ αυτών αποτελούμενον δύναται να είναι ή ασύμμετρον ή σύμμετρον). Η παρατήρησις αύτη είναι προφανές ότι σχετίζεται με την διαίρεσιν της ευθείας εις άκρον και μέσον λόγον. Ο Ευκλείδης (XIII, 6) αποδεικνύει ότι εκατέρα εκ των διά της διαιρέσεως ταύτης προκυπτουσών «αποτομών», είναι ασύμμετρος. Η περί ασύμμετρων θεωρία υπήρξεν εν εκ των θεμάτων, δια τα όποια ενδιεφέρετο ζωηρών ο Πλάτων. Ου μόνον εις την «Πολιτείαν» (534 θ) ομιλεί περί «αλόγων γραμμών», άλλα και εις τον «Θεαίτητο» (147 Ε κ.ε.) μας παρέχει πληροψορίας πολύ διαφωτιστικάς δια την ανάπτυξιν των εις τα ασύμμετρα μεγέθη αναφερομένων μελετών της εποχής του. Εκ τούτων συνάγεται ότι εν τη Ακαδημία δια των μελετών του Θεαίτητου είχον φθάσει εις σημαντικά συμπεράσματα. Ο Θεαίτητος είχε διαστείλει τας τετραγωνικάς ρίζας, αίτινες είναι σύμμετροι, από τας ασύμμετρους, ονομάζων τας μεν πρώτας «μήκη» τας δε δευτέρας «δυνάμεις». Απέδιδε δε τόσον μεγάλην σημασία εις τα σχετικά προβλήματα ο Πλάτων, ώστε εις τους «Νόμους» του, τους οποίους έγραψε κατά την γεροντικήν του ηλικίαν, συνιστά να χρησιμοποιηθώ η περί ασύμμετρων θεωρία δια την μόρφωσιν των νέων εις τα σχολεία. Μετά λύπης του παρατηρεί ότι πάντες οι Έλληνες, σχετικώς με τας μετρήσεις του μήκους, του πλάτους και του βάθους, έχουν την αντίληψιν ότι είναι πάντοτε δυναταί επί τη βάσει αλλήλων «μῆκος τε καὶ πλᾶτος πρὸς βάθος, ἤ πλᾶτος καὶ μῆκος πρὸς ἄλληλα, ἄρ' οὔ διανοούμεθα περὶ ταῦτα οὕτως Ἕλληνες πάντες ὡς δυνατά ἐστι μετρεῖσθαι πρὸς ἄλληλα ἁμῶς γέ πως;» (Άραγε σχετικώς με την σχέσιν του μήκους και του πλάτους προς το βάθος ή με την αμοιβαίαν σχέσιν του πλάτους προς το μήκος, δεν έχομεν την αντίληψιν οι Έλληνες, ότι είναι δυνατόν να μετρηθούν κατά τινά τρόπον το εν εν σχέσει με το άλλο;)

Εις το χωρίον τούτο επικρίνει ο Πλάτων τους συγχρόνους του, διότι δεν είχον γνώσιν ότι υπάρχουν ασύμμετρα μεγέθη. Δεν εγνώριζον π.χ. ότι η διαγώνιος είναι ασύμμετρος με την πλευράν, ότι εις είδη τινά τριγώνων δεν υπάρχει σύμμετρος σχέσις μεταξύ πλευρών και εμβαδού και ότι υπάρχουν σώματα στερεά, εις τα όποια αι αριθμητικάι σχέσεις μεταξύ επιφανειών και όγκων δεν δύνανται να εκφρασθούν δια συμμέτρων μεγεθών. Επίσης θεωρεί ως έλλειψιν παιδεύσεως το ότι αγνοούν οι σύγχρονοι του «τὰ τῶν μετρητῶν τε καὶ ἀμέτρων πρὸς ἄλληλα ἧτινι φύσει γέγονεν» (πως ανεπτύχθη η θεωρία, η αναφερομένη εις τα μεγέθη, άτινα είναι σύμμετρα προς άλληλα και εις τα μεγέθη, άτινα δεν είναι σύμμετρα προς άλληλα (820 C). Προσθέτει δε «Ταῦτα τοίνυν, φημὶ τοὺς νέους δεῖν μανθάνειν» (ισχυρίζομαι ότι πρέπει οι νέοι να αποκτούν την μάθησιν αυτών). Έχοντες υπ' όψιν την ενδελεχή μελέτην του προβλήματος των ασύμμετρων, δυνάμεθα να δεχθώμεν την υπό τίνων ερευνητών προταθείσαν αντίληψιν ότι από τας μελετάς αυτάς ανήχθη ο Αθηναίος σοφός εις την περί αορίστου δυάδος αριθμολογικήν και οντολογικήν  θεωρίαν. Είναι πολύ πιθανόν ότι λέγων αόριστον δυάδα και ταυτίζων αυτήν με το «μέγα και το μικρόν», θα είχεν υπ' όφιν του κάτι παρόμοιον προς τας «τομάς», περί των οποίων γίνεται λόγος εις τας ανωτέρας αριθμολογικάς θεωρίας της εποχής μας. Και η σύγχρονος μας αριθμολογική θεωρία δέχεται ότι δεν είναι δυνατόν να εύρωμεν εν ρητόν κλάσμα, το τετράγωνον του όποιου να είναι ακριβώς ο αριθμός 2. Δυνάμεθα όμως να διαιρέσωμεν όλα τα ρητά κλάσματα εις δύο τάξεις: εις την τάξιν των κλασμάτων, των οποίων το τετράγωνον είναι μικρότερον του 2, και εις την τάξιν των κλασμάτων, των οποίων το τετράγωνον είναι μεγαλύτερον του 2. Ούτω η τομή μας περιβάλλεται εκατέρωθεν υπό του μικρού αφ' ενός (κλάσματα, ων το τετράγωνον είναι μικρότερον του 2) και του μεγάλου αφ' έτερου (κλάσματα, ων το τετράγωνον είναι  μεγαλύτερον του 2).

Η δημιουργική ασχολία του Πλάτωνος με τα μαθηματικά.

Ο Πλάτων εν τη Ακαδημία ησχολείτο να θέτη προβλήματα προς λύσιν εις τους συνεργάτας του. Ο ίδιος δεν διεκδικεί δια τον εαυτόν του την δόξαν να ανακάλυψη νέας μαθηματικάς αληθείας. Κατά την γνώμην του άπασαι αι μαθηματικαί αλήθειαι συγκρινόμενοι προς την οντολογικήν αλήθειαν την οποίαν αποκαλύπτει η καθαρά φιλοσοφία, η υπ' αυτού καλούμενη διαλεκτική, είναι δευτέρας τάξεως. Έχουν μέσα εις τον εαυτόν των κάτι το υποθετικόν. Αφορμώνται λέγει ο Πλάτων και οι γεωμετραι και αι περί την μαθηματικήν ασχολούμενοι από «υπόθεσεις», ήτοι από τας θεμελιώδεις εννοίας δι' ων καθορίζεται τι είναι αριθμός, τι είναι σημείον, γραμμή κλπ. χωρίς να δύνανται να δώσουν λόγον περί της ορθότητος των εννοιών τούτων επί των όποιων στηρίζεται το όλον οικοδόμημα της επιστήμης των: «Ὑποθέμενοι τὸ τε περιττὸν καὶ τὸ ἄρτιον καὶ τὰ σχήματα τῶν γωνιῶν τριτά εἴδη. Ταῦτα μὲν ὡς εἰδότες ποιησάμενοι ὑποθέσεις αὐτὰ, οὐδένα λόγον οὔτε αὐτοῖς οὔτε ἄλλοις ἀξιοῦσι περί τοῦτων διδόναι ὡς παντί φανερῶν». (Αφού λάβουν ως βάσιν την έννοιαν του αρτίου και περιττού και των σχημάτων και των τριών ειδών των γωνιών, λαμβάναντες όλα αυτά ως γνωστά και θέτοντες ταύτα ως θεμέλια φρονούν    ότι δεν αξίζει τον κόπον να δώσουν λογαριασμόν ούτε εις τον εαυτόν των ούτε εις τους άλλους επειδή τα θεωρούν ως φανερά εις όλους) . «Πολιτ.» 510 C. Η αντίληψις του αύτη μας εξηγεί διατί δεν ησχολήθη ο ίδιος με τον πλουτισμόν της μαθηματικής επιστήμης δια νέων προτάσεων. Δια μιαν τοιαύτην εργασίαν πάντως πρέπει να δεχθώμεν ότι είχεν επαρκή ικανότητα. Τούτο αποδεικνύεται εκ του γεγονότος ότι η παράδοσις ομιλεί και περί μαθηματικών ανακαλύψεων γενομένων υπό του Πλάτωνος. Ο Ηρών αναφέρει ότι ο Πλάτων συνεπλήρωσε την λύσιν της αορίστου εξισώσεως χ.χ+ψ.ψ. =ω.ω. Παρουσίασεν ως πραγματοποιούντα την λύσιν ταύτην τον τύπον (ν·ν—1) · (ν·ν—1) + (2ν·2ν) = (ν·ν+1 ) · (ν·ν+1 ), δια των οποίων επιτυγχάνεται η εύρεσις δύο τετραγώνων αριθμών των οποίων το άθροισμα αποτελεί αριθμόν τετράγωνον. Πολυθρύλητον ζήτημα αποτελεί η επ' ονόματι του Πλάτωνος φερομένη λύσις του Δηλίου προβλήματος την οποίαν μάς διέσωσεν ο σχολιαστής του Αρχιμήδους Ευτόκιος εις τα «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» σχόλια του. Η εκτιθέμενη υπό του Ευτοκίου λύσις δεν επιτυγχάνεται δια του διαβήτου και κανόνος άλλα χρειάζεται μηχανική κατασκευή ήτις θα χρησιμοποίηση και περιστροφήν και μετατόπισιν. Αν δοθή (σχήμα 3) η ορθή γωνία ΑΒΓ ης η ΑΒ είναι διπλασία της ΒΓ και προεκταθή η ΒΓ προς το Ε και η ΑΒ προς το Δ, αν κατορθωθή δια μηχανικής συσκευής να σχηματισθούν εις Ε και Δ ορθαί γωνίαι ΑΕΔ και ΕΔΓ τότε η ΒΔ είναι Η πλευρά του ζητουμενου κύβου. Διότι εκ των ορθογωνίων τριγώνων ΑΕΔ και ΕΔΓ προκύπτει ότι ΑΒ : ΒΕ  = ΒΕ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΓ. Αν τώρα συμβολίσωμεν την ΑΒ δια του β, την ΒΓ δια του α, την ΒΕ δια ψ και την ΒΔ δια χ θα εχωμεν β : ψ = ψ : χ = χ : α.

Σχήμα 3

Όπως είδομεν εις τα προηγούμενα εκ της εξισώσεως ταύτης προκύπτει ότι χ = α επί κυβικήν ρίζαν του 2. Άρα η ΒΔ είναι η ζητούμενη πλευρά. Ο Ευτόκιος παραθέτει και εικόνα της συσκευής δια της όποιας είναι δυνατόν να κατασκευασθούν αι περί το Ε και Δ ορθαί γωνίαι . Σχετικώς με την λύσιν ταύτην εδημιούργει εις τους ιστορικούς της αρχαίας επιστήμης μέγα ζήτημα. Εις την προς τον βασιλέα Πτολεμαίον επιστολήν του Ερατοσθένους δεν αναφέρεται ότι ανήκει εις τον Πλάτωνα η αναφερθείσα λύσις. Τουναντίον ο Πλούταρχος αφηγείται εις τον βίον Μαρκέλλου ότι ο Πλάτων απέκρουε τας υπό του Αρχύτου και του Μεναίχμου επινοηθείσας δια μηχανικών μέσων λύσεις του προβλήματος. Επίσης Θέων ο Σμυρναίος όστις αντλεί από τον υπό του Ερατοσθένους γραφέντα διάλογον υπό τον τίτλον «Πλατωνικός» αναφέρει μεν την εις τους Δηλίους δοθείσαν υπό του Απόλλωνος προσταγήν, χωρίς να λέγη ότι ο Πλάτων παρουσίασε σχετικήν λύσιν. Επειδή όμως ο Ευτόκιος φαίνεται να είχεν υπ' όψιν τον «Πλατωνικόν» του Ερατοσθένους, δυνάμεθα να εικάσωμεν ότι εις αυτόν θα υπήρχεν η είδησις η σχετική με την λύσιν του Πλάτωνος.

Δεν είναι απίθανον ο Πλάτων να είχε καθορίσει μόνον τας θεωρητικάς προϋποθέσεις υφ' ας θα ήτο δυνατόν να λυθή το πρόβλημα επί τη βάσει των σχέσεων των πλευρών ορθογωνίων τριγώνων, ως εξετέθη ανωτέρω. Φυσικόν δε ήτο οι εν τη Ακαδημία εργαζόμενοι μαθηματικοί να προσπαθήσουν να εύρουν δια μηχανικών μέσων την λύσιν του προβλήματος. Το κύριον ενδιαφέρον του Πλάτωνος συνεκεντρούτο εις την διασαφήνσιν της μεθόδου την οποίαν ωνόμαζεν «ἐξ ὑποθέσεως σκοπεῖσθαι», και την οποίαν ο ίδιος ομολογεί ότι είχε παραλάβει εκ των γεωμετρών. Εις τον «Μένωνα» (86 Ε) μας παρέχει συγκεκριμένον παράδειγμα του τρόπου κατά τον όποιον χρησιμοποιείται η μέθοδος αύτη εις την γεωμετρίαν: «Λέγω δὲ τὸ ἐξ ὑποθέσεως ὧδε, ὥσπερ οἱ γεωμὲτραι πολλάκις σκοποῦνται, ἐπειδᾶν τις ἔρηται αὐτοῦς, οἷον περὶ χωρίου, εὶ οἷον τε ἐς τόνδε τὸν κύκλον τόδε τὸ χωρίον τρίγωνον ἐνταθῆναι, εἴποι ἄν τις ὅτι, οὔτω οἶδα εἰ ἔστιν τοὺτο τοιοῦτον, ἀλλ' ὅσπερ μὲν τινα ὑπόθεσιν προὔργου οἶμαι ἐχειν πρὸς τὸ πρᾶγμα τοιάνδε' εἰ μὲν ὲστι τοῦτο τὸ χωρίον τοιοῦτον οἶον παρὰ τὴν δοθεῖσαν αὐτοῦ γραμμήν παρατείναντα ἐλλείπειν τοιούτω χωρίῳ οἶον ἄν αὐτὸ τὰ παρατεταμένον ἧ, ἄλλο τι συμβαίνειν μοι δοκεῖ, καὶ ἄλλο αὖ, εἰ ἀδύνατον ἐστιν ταῦτα παθεῖν. Ὑποθέμενος οὖν θέλω εἰπεῖν σοι τὸ συμβαίνον περί τῆς ἐντάσεως αὐτοῦ εἰς τὸν κύκλον, εἴτε ἀδύνατον εἴτε μὴ» (Εννοώ δε την εξέτασιν επί τη βάσει υποθέσεως κατά τον ακόλουθον τρόπον. Την εννοώ όπως ακριβώς την χρησιμοποιούν κατά την έρευναν των οι γεωμέτραι, όταν κανείς τους ερωτήση π.χ. περί επιφανείας τινάς, εάν είναι δυνατός εξ αυτόν εδώ τον δεδομένον κύκλον, να εγγραφή αύτη εδώ η δεδομένη επιφάνεια, θα απεκρίνετο εις γεωμέτρης ότι δεν γνωρίζω εάν η δεδομένη επιφάνεια είναι επιδεκτική μιας τοιαύτης εγγραφής. Νομίζω όμως ότι έχω μίαν αποτελεσματικήν υπόθεσιν εν σχέσει προς την λύσιν του προβλήματος, την ακόλουθον: Εάν η δοθείσα επιφάνεια είναι τοιαύτη, ώστε να είναι  δυνατόν να  κατασκευασθή επί  της δοθείσης γραμμής της παραλληλόγραμμον κατά τρόπον ώστε να εμφανίζεται έλλειψις κατ' επιφάνειαν ίσην προς το κατασκευασθεί σχήμα, θα πρόκυψη εν άλλο αποτέλεσμα, και εν άλλο πάλιν αποτέλεσμα θα πρόκυψη αν δεν είναι δυνατόν να γίνη αύτη η κατασκευή. Εκκινών λοιπόν από υποθέσεις έχω την δύναμιν να σου είπω τι συμβαίνει σχετικώς με την εγγραφήν της δοθείσης επιφανείας εις τον κύκλον, εάν είναι δυνατή η όχι). Εις το χωρίον τούτο τίθεται το πρόβλημα εγγραφής εις κύκλον ωρισμένης διαμέτρου τριγώνου, του όποιου μία πλευρά τυγχάνει καθωρισμένη. Το πρόβλημα μετατρέπεται εις την κατασκευήν ωρισμένου παραλληλογράμμου του οποίου το εμβαδόν πρέπει να εκπληρή ωρισμένας συνθήκας. Πολλοί ερευνηταί φρονούν ότι πρόκειται περί επιλύσεως της εξισώσεως του τετάρτου βαθμού χ∙χ ∙ (2αχ - χ∙χ) = β∙β∙β∙β. Η λύσις του προβλήματος εξαρτάται εκ της διαπιστώσεως των όρων υπό τους όποιους είναι δυνατή. Η αντίληψις αύτη μας άγει εις την αναλυτικήν μέθοδον, ήτις αποδίδεται υπό της παραδόσεως εις τον Πλάτωνα. Ο Πρόκλος εις τα σχόλια του εις τον Ευκλείδην μας διαβεβαιεί περί τούτου γράφων: «Μέθοδοι δ' ὅμως παραδίδονται καλλίστη μἔν ἡ διἀ τῆς ἀναλύσεως ἐπ' ἀρχήν ὀμολογουμὲνην ἀνάγουσα τὸ ζητούμενον, ἡν καὶ ὁ Πλάτων, ὡς φασίν, Λεωδάμαντι παραδέδωκεν, ἀφ,ἧς καὶ ἐκεῖνος πολλῶν κατά γεωμετρίαν εὑρετής ἱστόρηται γενέσθαι» (Εκ των παραδεδομένων μεθόδων η καλλίστη είναι η αναλυτική, η όποια ανέρχεται από την αποδεικτέαν πρότασιν εις μιαν παραδεδεγμένην ήδη αρχήν. Αυτήν, όπως λέγει η παράδοσις, την εδίδαξεν ο Πλάτων εις τον Λεωδάμαντα, ταύτην δε χρησιμοποιών και εκείνος (δηλαδή ο Λεωδάμας) επραγματοποίησε πολλάς γεωμετρικός ανακαλύψεις). Εις τον Πλάτωνα ανήκει η τιμή ότι διέγνωσε την παιδαγωγικήν αξίαν της μαθηματικής μεθόδου και της εν γένει ενασχολήσεως με τα μαθηματικά. Εθεώρει ταύτα ως γενικόν προπαιδευτικόν μάθημα, όπερ ασκεί την σκέψιν και την καθιστά ικανήν να επιλαμβάνεται της εξετάσεως παντοειδών προβλημάτων. Δια πρώτην φοράν διαγιγνώσκεται ότι η ασχολία με τα μαθηματικά προάγει την ειδεολογικήν μόρφωσιν, οξύνει δηλαδή το πνεύμα και το καθιστά ικανόν να επιλύη δύσκολα προβλήματα  οιασδήποτε φύσεως. Δια τούτο εις το πρόθυρον της Ακαδηιμίας είχε γραφή το ρητόν: «Μηδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω».

Εις παλαιοτέραν εποχήν κατά την οποίαν δεν είχον εισέτι προαχθή αι πλατωνικαί μελέται ήτο λίαν διαδεδομένη η αντίληψις ότι ο Πλάτων κατ' αρχάς ησχολείτο με λογικά προβλήματα ορισμού εννοιών, ακολουθών το παράδειγμα του διδασκάλου του Σωκράτους. Επιστεύετο δε ότι με τα μαθηματικά ησχολήθη μετέπειτα όταν ταξιδεύσας εις την Αίγυπτον και την Κάτω Ιταλίαν ήλθεν εις επικοινωνίαν με τους Πυθαγορείους. Αλλ' η προσεκτική εξέτασις των διαλόγων της νεανικής του εποχής απέδειξεν ότι η κλίσις και η ασχολία του Αθηναίου σοφού περί την επιστήμην των αριθμών χρονολογείται από της νεανικής του εποχής. Όπως εξεθέσαμεν ανωτέρω εις τον «Ίππίαν τον μείζονα», όστις εγράφη προ του πρώτου ταξιδιού του, γίνεται λόγος περί ασυμμέτρων μεγεθών. Επίσης εις τον «Πρωταγόραν» φαίνεται ζωηρώς ο νεαρός εισέτι συγγραφεύς του ενδιαφερόμενος δια τα μαθηματικά. Η χρησιμοποίσις της δι' υποθέσεων διερευνήσεως φιλοσοφικών προβλημάτων εμφανίζεται και εις τον διάλογον της νεανικής του εποχής «Χαρμίδην» ένθα απαντώνται οι όροι «υπόθεσις» και «συμβαίνον» (δηλαδή αποτέλεσμα). Πλατ. Χαρμ. 160 D. 163 Α, 164 C, 175 Β). Αι Αθήναι ήδη από του μέσου του 5ου αιώνος είχον καταστή κέντρον πνευματικόν εις το οποίον εκαλλιεργούντο αι μαθηματικαί επιστήμαι. Αι ειδήσεις αι οποίαι φέρουν τον Πλάτωνα ως μυηθέντα τα μαθηματικά υπό των Πυθαγορείων επλάσθησαν κατά την μεταγενεστέραν εποχήν και ετέθησαν εις κυκλοφορίαν  κυρίως  υπό  των  Πυθαγορείων.

Συνοψίζοντες τα ανωτέρω καταλήγομεν εις το συμπέρασμα ότι ο Πλάτων πρέπει να καταταχθή εις τους κυριωτέρους θεμελιωτάς της μαθηματικής επιστήμης. Προσέφερε μεγάλας υπηρεσίας εις ταύτην ουχί δι' ιδίων μαθηματικών ανακαλύψεων, άλλα δια της διασαφηνίσεως της μεθόδου και δια του καθορισμού των νέων κατευθύνσεων προς τας οποίας έδει να προχώρηση η μαθηματική έρευνα. Ήτο τελείως κάτοχος των μαθηματικών γνώσεων της εποχής του και ηδύνατο να παρουσιάζη και ιδικάς του ανακαλύψεις. Δεν κατέγινεν όμως εις τούτο διότι κατέτασσε την μαθηματικήν εις τας μαθήσεις εκείνας αι οποίαι δεν δύνανται να δώσουν λόγον περί της θεμελιώσεως των. Το ενδιαφέρον του ήτο εστραμμεένον εις το ευρύτερον πρόβλημα της θεμελιώσεως της ανθρωπινής γνώσεως εν, τω συνόλω της. Υψηλότερον της μαθηματικής επιστήμης έθετε την Φιλοσοφίαν των αριθμών.