Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΥΔΟΞΟΥ-ΑΡΧΙΜΗΔΗ

link
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΥΔΟΞΟΥ-ΑΡΧΙΜΗΔΗ

Το ξεπέρασμα της κρίσης των αρρήτων και η συμβολή του Ευδόξου

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών και των ασύμμετρων με­γεθών δημιούργησε τεράστιο θόρυβο στις τάξεις των πυθαγορείων. Πρώτα απ' όλα φαινόταν να πλήττει θανατηφόρα την πυθαγόρεια φιλοσοφία που υποστήριζε ότι όλα εξαρτώνται από τους ακέραιους αριθμούς. Πώς είναι δυνατόν ένας άρρητος αριθμός όπως ο  √2 να εξαρτάται από τους ακέραιους αριθμούς, όταν δεν μπορεί να γραφτεί ως λόγος δυο τέτοιων αριθμών; Έπειτα, φαινόταν αντίθετο με την κοινή λογική, που υποδείχνει ότι κάθε μέγεθος μπορεί να εκφραστεί με κάποιο ρητό αριθμό. Το γεωμετρικό αντίστοιχο ήταν εξίσου εντυπωσιακό, γιατί, πάλι σε αντίθεση με τη διαίσθηση, διαπιστώ­θηκε ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα που δεν έχουν κοινή μονά­δα μέτρησης. Όλη η πυθαγόρεια θεωρία της αναλογίας και των όμοιων σχημάτων ήταν χτισμένη πάνω στη φαινομενικά προφανή υπόθεση ότι δύο οποιαδήποτε ευθύγραμμα τμήματα είναι σύμμετρα, δηλαδή έχουν κάποια κοινή μονάδα μέτρησης. Ένα μεγάλο μέρος της γεωμετρίας που οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι είχαν κατοχυρώ­σει έπρεπε ξαφνικά να απορριφθεί σαν άχρηστο, αφού οι αποδείξεις ήταν λαθεμένες. Προαγγελλόταν μια μεγάλη κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών. Ήταν τόσο μεγάλο το «λογικό σκάνδαλο» ώστε, σύμφωνα με τις φήμες, έγιναν για ένα διάστημα προσπάθειες να κρατηθεί μυστικό το γεγονός. Ένας θρύλος λέει ότι ο πυθαγόρειος Ίππασος από το Μεταπόντιο εξαφανίστηκε στη θάλασσα εξαιτίας της ασέβειας του να φανερώσει το μυστικό στους ξένους, ή (σύμφω­να με μια άλλη εκδοχή) εξορίστηκε από την κοινότητα των πυθαγο­ρείων και στήθηκε ένα μνήμα του σαν να είχε πεθάνει.

Ας δούμε τώρα μέσα από ένα παράδειγμα με ποιον τρόπο οι αρχαίοι πυθαγόρειοι πίστευαν ότι είχαν αποδείξει μια βασική πρό­ταση σχετικά με τα εμβαδά τριγώνων.

ΘΕΩΡΗΜΑ: Τα εμβαδά δύο τριγώνων που έχουν το ίδιο ύφος έχουν τον ίδιo λόγο που έχουν και οι βάσεις τους.

The homocentric spheres of eudoxus

J.L.E DREYER  "A HISTORY OF ASTRONOMY FROM THALES TO KEPLER"

THE examination of the astronomical doctrines of Plato has shown us that philosophers in the first half of the fourth century before the Christian era possessed some knowledge of the motions of the planets. No doubt astronomical instruments, even of the crudest kind, cannot be said to have existed, except the gnomon for following the course of the sun; but all the same the complicated movements of the planets through the constellations must have been traced for many years previously. That the moon, though its motion is not subject to very conspicuous irregularities, does not pursue the same path among the stars from month to month and from year to year must also have been perfectly well known, since Helikon, a disciple of Eudoxus, was able to foretell the solar eclipse of the 12th May, 361, for which he was rewarded by Dionysius II of Syracuse with a present of a talent^[1]. But the clearest proof of the not inconsiderable amount of knowledge of the movements of the heavenly bodies, which was available at the time of Plato, is supplied by the important astronomical system of his younger contemporary, Eudoxus of Knidus, which is the first attempt to account for the more conspicuous irregularities of those movements.

Eudoxus was born at Knidus, in Asia Minor, about the year 408 B.C., and died in his fifty-third year, about 355^[2].At the age of twenty-three he went to Athens and attended Plato's lectures for some months, but not content with the knowledge he could attain in Greece, Eudoxus afterwards proceeded to Egypt, furnished with letters of recommendation from the Spartan King Agesilaus to Nectanebis, King of Egypt. He stayed at least a year in Egypt, possibly much longer (about 378 B.C.), and received instruction from a priest of Heliopolis. According to Seneca^[3] it was there that he acquired his knowledge of the planetary motions, but although this is not unlikely to have been the case, we have no reason to believe that Eudoxus brought his mathematical theory of these motions home from Egypt, in which country, as far as we know, geometry had made very little progress^[4]. Diogenes of Laerte, who does not say a word about the scientific work of Eudoxus, does not omit to mention that the Egyptian Apis licked his garment, after which the priests prophesied that he would be short-lived but very illustrious. If this prophecy was really uttered it was a true one, as Eudoxus stands in the foremost rank of Greek mathematicians. Most, if not the whole, of the fifth book of Euclid is due to him, as well as the so-called method of exhaustion, by means of which the Greeks were able to solve many problems of mensuration without infinitesimals. We are told by Plutarch^[5] that Plato, on being consulted about the celebrated Delian problem of the duplication of a cube, said that only two men were capable of solving this problem, Eudoxus and Helikon; and if the story is apocryphal, it shows at any rate the high renown of Eudoxus as a mathematician. In the history of astronomy he is also known as the first proposer of a solar cycle of four years, three of 365 and one of 366 days, which was three hundred years later introduced by Julius Caesar. He was therefore fully capable of grappling successfully with the intricate problem of planetary motion, which Plato (according to Simplicius) is said to have suggested to him for solution^[6], and his labours produced a most ingenious cosmical system which represented the principal phenomena in the heavens as far as they were known in his time.

Εύδοξος ο Κνίδιος

 Εγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ»

Εις των διασήμων μαθηματικών της αρχαιότητος και όλων των αιώνων. Εφάμιλλος του Αρχιμήδους. Εγεννήθη εις την πόλιν Κνίδον της Μ. Ασίας (έναντι της νήσου Κω) περί το 408 π.Χ. εκ πατρός Αισχίνου και απέθανεν αυτόθι περί το 355 εις ηλικίαν 53 ετών. Έφηβος ων εφοίτησεν εις την σχολήν του διασήμου μαθηματικού Αρχύτου εν Τάραντι της Μεγάλης Ελλάδος, άγνωστον όμως επί πόσον χρόνον. Εις ηλικίαν 23 ετών εφοίτησεν 2 μήνας εις την Ακαδημίαν του Πλάτωνος. Φαίνεται ότι τα έξοδα των σπουδών του κατέβαλλεν ο συμπολίτης του ιατρός Θεομήδων. Κατά την δίμηνον σπουδήν εν Αθήναις διέμενε, δια λόγους οικονομίας, εν Πειραιεί. Ανήρχετο προς Αθήνας και κατήρχετο εις Πειραιά καθημερινώς πεζή.