Εύδοξος ο Κνίδιος

 Εγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ»

Εις των διασήμων μαθηματικών της αρχαιότητος και όλων των αιώνων. Εφάμιλλος του Αρχιμήδους. Εγεννήθη εις την πόλιν Κνίδον της Μ. Ασίας (έναντι της νήσου Κω) περί το 408 π.Χ. εκ πατρός Αισχίνου και απέθανεν αυτόθι περί το 355 εις ηλικίαν 53 ετών. Έφηβος ων εφοίτησεν εις την σχολήν του διασήμου μαθηματικού Αρχύτου εν Τάραντι της Μεγάλης Ελλάδος, άγνωστον όμως επί πόσον χρόνον. Εις ηλικίαν 23 ετών εφοίτησεν 2 μήνας εις την Ακαδημίαν του Πλάτωνος. Φαίνεται ότι τα έξοδα των σπουδών του κατέβαλλεν ο συμπολίτης του ιατρός Θεομήδων. Κατά την δίμηνον σπουδήν εν Αθήναις διέμενε, δια λόγους οικονομίας, εν Πειραιεί. Ανήρχετο προς Αθήνας και κατήρχετο εις Πειραιά καθημερινώς πεζή.

Εξ Αθηνών επέστρεψεν εις Κνίδον οπόθεν δι' εξόδων των φίλων του και συστατικής επιστολής του βασιλέως Αγησιλάου προς τον βασιλέα της Αιγύπτου Νεκτανεβώ, μετέβη εις Αίγυπτον, ένθα παρέμεινε 16 μήνας δι' αστρονομικάς μελέτας. Επί της εποχής του αυτοκράτορος Αυγούστου εδεικνύετο εις περιηγητάς εν Αιγύπτω μεταξύ των πόλεων Ηλιούπολις και Κερκέσουρα το μέρος όπου έκειντο τα ερείπια του αστεροσκοπείου, ένθα ο Εύδοξος έκαμε τας αστρονομικάς του παρατηρήσεις.

Μετά την εξ Αιγύπτου αναχώρησιν αναφαίνεται εις την Κύζικον εις τα βόρεια παράλια της Μ. Ασίας, επί της Προποντίδος ως διευθυντής σχολής. Υποτίθεται ότι εξ Αιγύπτου θα επέστρεφε πρώτον εις Κνίδον αλλά τούτου δεν υπάρχει βεβαίωσίς τις. Μετά τίνα έτη παραμονής εις Κύζικον μετώκησεν εις Αθήνας μετά των μαθητών του και ίδρυσεν αυτόθι σχολήν. Μετά του Πλάτωνος διετήρει αγαθάς. πάντοτε σχέσεις, επείσθη δε υπ' αυτού να διδάξη εις την Ακαδημίαν, όπως και έπραξε, διαλύσας την σχολήν του. Ή πληροφορία του γεωγράφου Στράβωνος ότι διέμεινε μετά του Πλάτωνος 13 έτη εν Αιγύπτω θεωρείται υπό της συγχρόνου κριτικής ως μύθος. Αφού έμεινεν εν Αθήναις αρκετά έτη, επέστρεψεν εις την Κνίδον όπου δια δημοψηφίσματος εγένετο νομοθέτης της πόλεως. Μεταξύ των διασήμων μαθητών του εν Αθήναις μνημονεύονται οι μαθηματικοί αδελφοί Μέναιχμος και Δεινόστρατος, ο Αθηναίος ο Κυζικηνός, ο Ελικών ο Κυζικηνός και ο Πολέμαρχος.

Ο Εύδοξος ήτο διάσημος μαθηματικός, αστρονόμος, μετεωρολόγος, γεωγράφος, ιατρός, ρήτωρ, νομοθέτης, φιλόσοφος. Εκ των έργων του ουδέν διεσώθη. Μνημονεύονται δε τα έξης:

1) «Ἀστρολογούμενα και γεωμετρούμενα»

2) «Ὀκτωετηρίς»

3) «Γῆς περίοδος»

4) «Περί ταχῶν»

5) «Φαινόμενα καί ἒνοπτρον»

6) «Κυνῶν διάλογος»

7) «Τοῖς ἰδίοις πολίταις νόμοι».

Από των πρώτων χρόνων του μεσαίωνος μέχρι του τέλους περίπου του 19ου αιώνος, ο Εύδοξος ήτο σχεδόν άγνωστος εις την διεθνή επιστήμην. Προ 80 περίπου  ετών η κριτική κατώρθωσε να τοποθέτηση τον Εύδοξον εις την αρμόζουσαν εις αυτόν θέσιν,  ιδίως κατόπιν εργασίας του Ιταλού αστρονόμου Σκιαπαρέλλι και της σπουδής χωρίων του Αρχιμήδους, του Πρόκλου και άλλων συγγραφέων. Πλήρη εικόνα του δαιμονίου τούτου πνεύματος δεν κατέστη δυνατόν να έχωμεν. Κυριαρχεί όμως των συγχρόνων ανωτέρων μαθηματικών  το περίφημον αξίωμα της συνεχείας του Ευδόξου, μνημονευόμενον υπό του Αρχιμήδους. Τούτο αποτελεί την βάσιν του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, ως πρώτος εφήρμοσε τούτον ο Εύδοξος, επεξέτεινεν ο Αρχιμήδης σπουδαίως και ανεθεμελίωσαν ο Νεύτων και ο Λάϊμπνιτς. Υποτίθεται ότι την έννοιαν του αξιώματος του Ευδόξου είχον συλλάβει πρώτος ο Αναξαγόρας και κατόπιν ο Ιπποκράτης ο Χίος κατά την προσπάθειάν των προς τετραγωνισμόν του κύκλου.

Το έργον του Ευδόξου.

Το πέμπτον βιβλίον των «Στοιχείων» του Ευκλείδου, μέρος του έκτου, και τα πρώτα πέντε θεωρήματα του δεκάτου τρίτου βιβλίου, στο εις τα οποία αναπτύσσεται μία γενική θεωρία αναλογιών, συμμέτρων και ασυμμέτρων μεγεθών θεωρούνται ως πρωτότυποι εργασίαι του Ευδόξου. Το πέμπτον βιβλίον των Στοιχείων του Ευκλείδου, δηλαδή το βιβλίον εκείνο, πού θαυμάζεται ίσως περισσότερον από όλα τα αλλά της ενδόξου αυτής συγγραφής, διότι υπό μορφήν μιας γενικής θεωρίας των αναλογιών, θεμελιώνει εις την πραγματικότητα μίαν γενικήν θεωρίαν των μεγεθών, συμμέτρων και ασύμμετρων.

Ο Αρχιμήδης μνημονεύει ρητώς ότι πρώτος ο Εύδοξος απέδειζεν ότι ή πυραμίς είναι το τρίτον πρίσματος, έχοντος την αυτήν  βάσιν και το αυτό ύψος προς ταύτην, και ο κώνος το τρίτον κυλίνδρου έχοντος την αυτήν βάσιν και το αυτό ύψος προς τούτον.

Η σήμερον λεγομένη εις τα μαθηματικά εξαντλητική μέθοδος είναι η μέθοδος του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, η οποία ως ανεφέρθη ανωτέρω, εφηρμόσθη το πρώτον υπό του Ευδόξου και πληρέστερον κατόπιν υπό του Αρχιμήδους.

Εις τον Εύδοξον  πρέπει να αποδώσωμεν την δόξαν ότι είχεν ήδη διατυπώσει και εφαρμόσει μίαν γενικωτάτην αρχήν ισοδύναμον προς το περίφημον αξίωμα του Αρχιμήδους: «δοθέντων δύο ομοειδών μεγεθών υπάρχει πάντοτε πολλαπλάσιον του μικρότερου υπερβαίνον το μεγαλύτερον», το οποίον είναι βασικόν αξίωμα  του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.

Εις τον Εύδοξον φαίνεται ότι ανήκει επίσης η ανακάλυψις, ίσως, δε και ή απόδειξις, των κομψών ιδιοτήτων της διαιρέσεως ενός ευθυγράμμου τμήματος εις μέσον και άκρον λόγον, με τας οποίας ήρχιζεν το τελευταίον βιβλίον της ιδίας συγγραφής.

Ετελειοποίησε την ανάλυσιν και την σύνθεσιν εν τη γεωμετρία και έλυσε το δήλιον πρόβλημα «το κλασσικόν πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου» δια καμπύλων γραμμών, ως μνημονεύει ο Ευτόκιος. Η λύσις δυστυχώς δεν διεσώθη. Ο Ερατοσθένης τον αποκαλεί θεοειδή.

Κατά την διδασκαλίαν της αστρονομίας μετεχειρίζετο σφαίραν, διόπτραν και αράχνην. Περί της αράχνης λέγεται ότι ήτο αύτη χάρτης της ουρανίου σφαίρας η αστρονομικόν όργανον ή ηλιακόν ωρολόγιον.

Ο Ιταλός αστρονόμος Σκιατταρέλλι (1875 περίπου) ανασυνέστησε την θεωρίαν του Ευδόξου περί της τροχιάς των πλανητών δια των ομοκέντρων σφαιρών, και την περίφημον καμπύλην του Ευδόξου, την ερμημεύουσαν ταύτας, την ιπποπέδην. Την θεωρίαν του των ομοκέντρων σφαιρών προς ερμηνείαν της φαινομένης τροχιάς των πλανητών είχε διατυπώσει εις το έργον του υπό τον τίτλον «Περί ταχών», το οποί­ον δεν εσώθη.

Περί το 1650 μ.Χ. ο Ιταλός αστρονόμος Κασσίνι διετύπωσε τας διαφόρους μορφάς της ιπποπέδης προς ερ­μηνείαν της τροχιάς των πλανητών, ως εφεύρεσίν του! Εις τίνα παλαιότερα ξένα βιβλία διαφορικής γεωμετρίας μνημονεύεται η ιπποπέδη ως καμπύλη του Κασσίνι.  Εις δε τα σύγχρονα βιβλία αναλυτικής και διαφορικής γεωμετρίας, ξένα και ελληνικά, σπουδάζεται αύτη ως επίπεδος καμπύλη υπό το όνομα «λημνίσκος».           

Η σημερινή κριτική παραδέχεται την κίνησιν των ομοκέντρων σφαιρών του Ευδόξου ως τέλειον γεωμετρικόν σύστημα, άξιον θαυμασμού. Η ερμηνεία όμως της τροχιάς των πλανητών έχει σήμερον λάβει άλλην μορφήν επί τη βάσει της θεωρίας του Νεύτωνος. Το σύστημα του Ευδόξου έλυε  σχεδόν πλήρως τας φαινομένας κινήσεις των πλανητών, παρέμεινε δε περίφημος η φράσις του «διασώσαι τα φαινόμενα».

Χαρτογράφησε τους αστερισμούς του Ισημερινού και των Τροπικών κύκλων, και ονομάτισε τους σχηματισμούς τους (Ίππαρχος).

Απέδειξεν τη σφαιρικότητα της γης, και εμέτρησεν δια πρώτην φορά την περίμετρό της.

Εμέτρησεν τας περιόδους των πέντε πλανητών, δίδοντας τας τιμάς: Άρης 2 έτη (πραγμ. 1,88), Δίας 12 έτη (11,86) και Κρόνος 30 έτη (29,46).

Ο Εύδοξος είναι ο ιδρυτής της θεωρητικής αστρονομίας και ουρανίου μηχανικής. Επί του έργου του δε οικοδόμησε βραδύτερον ο περίφημος Σάμιος αστρονόμος Αρίσταρχος.

 

Αι ανακαλύψεις του Ευδόξου.

Επέκτασις της θεωρίας των αναλογιών:

Δεν είναι υπερβολή αν λεχθή ότι ο εκ Κνίδου μέγας μαθηματικός και αστρονόμος Εύδοξος (408—353 προ Χρίστου) υπήρξεν ο δημιουργήσας εκ νέου την ελληνικήν μαθηματικήν επιστήμην. Όπως είδομεν εις τα προηγούμενα κεντρικήν θέσιν εις τα αρχαία μαθηματικά είχεν ουχί η έννοια του αριθμού, αλλά η έννοια της αναλογίας. Αναλογία είναι κατά τους παλαιούς η ισότης των λόγων το ότι Α : Β = α : β. Εις τα νεώτερα μαθηματικά υπάρχει προτίμησις προς την κλασματικήν παράστασιν και δια τούτο εκφράζομεν τας αναλογίας κατά τον τύπον Α : Β = μ : ν. Εις τα αρχαία μαθηματικά της κλασσικής εποχής δεν συνηθίζεται ή κλασματική παράστασις, αλλά προτιμάται ή έκφρασις των σχέσεων δια του πολλαπλασιασμού Α ν = Β μ. Η αρχαία διανόησις αρνείται να εκλάβη το κλάσμα ως πηλίκον δύο ακεραίων και μένει πιστή εις την άποψιν ότι πρόκειται ουχί περί διαιρέσεως αλλά περί σχέσεως αριθμών και μεγεθών από της απόψεως της συγκρίσεως των. Δια τούτο απαιτείται δια να αποτελεσθή αναλογία ή ύπαρξις τουλάχιστον τριών όρων Α, Β, Γ. Κατά τον Αριστοτέλη, αποτελούν αναλογικήν ενότητα μόνον «ὃσα ἔχει ὡς ἄλλο πρός ἄλλο» ( αναλογικήν ενότητα αποτελούν τα αντικείμενα τα ευρισκόμενα προς άλληλα εις την σχέσιν εις την οποίαν ευρίσκεται εν αντικείμενον προς  εν άλλο αντικείμενον).

Οι Πυθαγόρειοι είχον εργασθή δια  να ανακαλύψουν τας γενικωτάτας μορφάς υπό τας οποίας εμφανίζονται αι αναλογίαι και είχον φθάσει εις το συμπέρασμα ότι υπάρχουν τρία είδη αυτών, ή αριθμητική, η γεωμετρική και η αρμονική. Τα πράγματα επειδή είναι, κατά την πυθαγορικήν αντίληψιν, αριθμοί, πρέπει να ευρίσκονται μεταξύ των εις σχέσεις δυναμένας να εκφρασθούν δια των αναλογιών. Πραγματικώς μέχρι τινός επήρκουν αι αναλογίαι προς έκφρασιν των μαθηματικών σχέσεων εις την περιοχήν της αριθμητικής, της μουσικής και της γεωμετρίας Αλλ' ευθύς ως ανεκαλύφθη ότι υπάρχουν ασύμμετρα μεγέθη, απεδείχθη ότι εις τα μεγέθη τουλάχιστον δεν δυνάμεθα να προχωρήσωμεν χρησιμοποιούντες τας αναλογίας. Μεταξύ των συμμέτρων και ασύμμετρων μεγεθών δεν υπήρχε κοινόν μέτρον, επί του οποίου να ιδρυθή κοινή σχέσις, «κοινός λόγος». Ήτο λοιπόν καταδικασμένη η μαθηματική έρευνα να σταματήση. Το ιδεώδες της ιδρύσεως μιας γενικής αριθμητικής μαθήσεως, ικανής να έκφραση δι' αριθμητικών μέσων τας σχέσεις όλων των όντων καθίστατο αδύνατον να πραγματοποιηθή. Η διαπίστωσις του γεγονότος αυτού εδημιούργησεν απογοήτευσιν και δεινήν κρίσιν εις την περιοχήν της μαθηματικής επιστήμης. Πολλοί εκ των σοφιστών ήσαν έτοιμοι να κηρύξουν τα μαθηματικά ψευδοεπιστήμην και ο Πρωταγόρας επετίθετο κατά των μαθηματικών σπουδών (Πλ. Πρωταγ. 318 Ε), λέγων ότι αύται διαφθείρουν τον νουν των νέων : «λωβῶνται τούς νέους».

Η νεαρά επιστήμη των αριθμών είχε περιπέσει εις κρίσιμον σημείον και ηπειλείτο άπαξ δια παντός να σταματήση η ανάπτυξίς της. Εις το σημείον τούτο παρεμβαίνουν αι εν τη Πλατωνική Ακαδημία έρευναι του Ευδόξου. Δια τούτων ανεκαινίσθη η περί των αναλογιών θεωρία και υπερενικήθησαν αι εκ της ανακαλύψεως των ασύμμετρων μεγεθών προκύψασαι δυσκολίαι. Ο Εύδοξος ανέπτυξε γενικωτάτην θεωρίαν περί αναλογιών, δυναμένην να εφαρμοσθή και επί των ασυμμέτρων μεγεθών. Δυστυχώς δεν περιεσώθη το έργον του. Απετέλεσεν όμως την βάσιν δια την σειράν των προτάσεων, αι οποίαι περιέχονται εις το 5ον και 6ον βιβλίον των «Στοιχείων» του Ευκλείδου και αναφέρονται γενικώς εις τας αναλογίας. Ότι τα βιβλία ταύτα έχουν ως βάσιν ίων τας υπό του Ευδόξου γενομένας εργασίας μαρτυρείται υπό των εις τον Ευκλείδην σχολίων, εις τα οποία αναγράφεται :

«Τοῦτο τό βιβλίον Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου τοῦ μαθηματικοῦ τοῦ κατά τούς Πλάτωνος χρόνους γεγονότος εἶναι λέγεται, ἐπιγέγραπται δ' ὃμως Εὐκλείδου, ἀλλ' οὐ κατά τινα ψευδῆ ἐπιγραφήν εὑρέσεως μέν γάρ ἓνεκα ἄλλου τινός οὐδέν κωλύει εἶναι, τῆς μέντοι κατά στοιχείων αὐτῶν συντάξεως χάριν καί τῆς πρός ἄλλα τῶν οὓτω ταχθέντων ἀκολουθίας ὡμολόγηται παρά πᾶσιν Εὐκλείδου εἶναι. Σκοπός δε τούτου τοῦ βιβλίου περί τῶν καθόλου μεγεθών ἐστί, ἐν ἄλλοις διδάσκοντος περί τινός μεγέθους τοῦ Εὐκλείδου. Ἐπεί γάρ τοῦ μεγέθους τρία εἲδη εἰσίν, γραμμή, ἐπιφάνεια, στερεόν καί περί ἀναλογιῶν κοινόν γάρ ἐστί τοῦτο γεωμετρίας καί ἀριθμητικῆς καί ἁπλώς πάσης μαθηματικῆς» (Στοιγ. Εύκλ. εκδ. Χάϊμπεργκ. τομ. 5ος σελ. 282)

(Τούτο το βιβλίον — δηλαδή το 5ον — κατά την παράδοσιν είναι έργον του Ευδόξου του Κνιδίου, του μαθηματικού, όστις έζησε κατά τους χρόνους του Πλά­τωνος. Η επιγραφή όμως το αποδίδει εις τον Ευκλείδη και δεν πρόκειται περί ψευδούς τιτλοφορήσεως. Από της απόψεως ποίος έκαμε τας (εν αυτώ περιεχομένας) ανακαλύψεις, τίποτε δεν εμποδίζει να είναι έργον κάποιου άλλου. Από της απόψεως όμως της συστηματικής του διαρθρώσεως και της εντάξεως του εις τας προτάσεις τας κατά τον τρόπον τούτον με ακολουθίαν καταταχθείσας, όλοι αναγνωρίζουν ότι είναι έργον του Ευκλείδου. Σκοπός δε τούτου του βιβλίου είναι η εις τα μεγέθη αναφερομένη γενική διδασκαλία, κατ' αντιδιαστολήν προς την διδασκαλίαν την οποίαν κάμνει ο Ευκλείδης έχων υπ' όψιν του ειδικωτέρων κατηγοριών μεγέθη. Διότι, αφού τρία υπάρχουν είδη του μεγέθους (και είναι ταύτα η γραμμή, η επιφάνεια και το στερεόν), το ίδιον πρέπει να ισχύη και περί των αναλογιών. Διότι το μέρος τούτο (της περί αναλογιών θεωρίας) αφορά από κοινού και την γεωμετρίαν και την αριθμητικήν και γενικώς όλην την μαθηματικήν επιστήμην).

Η νεωτέρα έρευνα έπειτα από επισταμένας αναζητήσεις κατώρθωσε να εξακρίβωση κατά ποίον τρόπον επέτυχεν ο Εύδοξος την γενίκευσιν της περί αναλογιών θεωρίας. Την βάσιν δια να κατανοήσωμεν την αφετηρίαν της γενικεύσεως μας την δίδει ο πέμπτος ορισμός του 5ου βιβλίου του Ευκλείδου, ο όποιος ασφαλώς προέρχεται εκ του Ευδόξου και έχει ως εξής :

 «Ἐν τῶ αὐτῶ λόγω μεγέθη λέγεται εἶναι πρώτον πρός δεύτερον καί τρίτον πρός τέταρτον, ὃταν τά τοῦ πρώτου καί τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καί τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθ' ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμόν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχη ή ἅμα ἴσα ἦ ἤ ἅμα ἐλλείπη ληφθέντα κατάλληλα»

 (Εις τον αυτόν λόγον λέγονται ότι είναι μεγέθη τινά, το πρώτον προς το δεύτερον και το τρίτον προς το τέταρτον, όταν τα εξ ίσου πολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου εν συγκρίσει προς τα εξ ίσου πολλαπλάσια του δευτέρου και του τετάρτου, το καθένα εκ των δύο ξεχωριστά συγκρινομένον προς το άλλο, εις οιονδήποτε πολλαπλασιασμόν, παρουσιάζουν λαμβανόμενα κατά την αρμόζουσαν εις αυτά τάξιν, ή συγχρόνως υπεροχήν, ή συγχρόνως ισότητα η συγχρόνως έλλειψιν) .

 Δια να καταστήσωμεν περισσότερον προσιτήν εις την νεωτέραν   αντίληψιν  την   ορολογίαν   της   προτάσεως   ταύτης,   λέγομεν ότι πρόκειται περί των γινομένων άτινα δίδουν οι όροι Α, Β, Γ, Δ πολλαπλασιαζόμενοι επί τους αριθμούς μ και ν κατά την ακόλουθον τάξιν : μ Α, ν Β, μ Γ και ν Δ. Ο πρώτος και ο τρίτος πολλαπλασιάζονται εξ ίσου, διότι πολλαπλασιαστής των είναι το μ, το αυτό δε συμβαίνει και με τον δεύτερον και τέταρτον, οίτινες πολλαπλασιάζονται επί το ν. Όταν πληρούται ή συνθήκη ότι συγχρόνως το μ Α και ν Β όπως και το μ Γ και ν Δ, ανεξαρτήτως του βαθμού του πολλαπλασιασμού, παρουσιάζουν σχέσιν ισότητος ή ανισότητος (υπεροχής η ελλείψεως), τότε λέγομεν ότι ευρίσκονται εις τον αυτόν λόγον τα τέσσαρα δοθέντα μεγέθη, ήτοι Α:Β = Γ:Δ. Ώστε η απαραίτητος προυπόθεσις δια να δυνηθούν να αποτελέσουν αναλογίαν οι τέσσαρες ούτοι όροι είναι ότι : μ Α είναι μεγαλύτερου, ίσον η μικρότερον του ν Β, και μ Γ μεγαλύτερον, ίσον η μικρότερων του ν Δ. Αξίζει να αναφέρωμεν ενταύθα πώς χαρακτηρίζει ο Άγγλος Ιστορικός της μαθηματικής επιστήμης Heath την σοβαρότητα της ανακαλύψεως ταύτης του Ευδόξου. Αναγνωρίζει ότι εις τον ορισμόν τούτον οι 23 αιώνες οι όποιοι έχουν διαρρεύσει μετά την ανακάλυψιν του δεν προσέθεσαν ούτε μίαν κεραίαν, και ότι ο μέγας Γερμανός μαθηματικός Weierstrass, ο τελειοιποιήσας κατά τον 19ον αιώνα τας μεθόδους της ανωτέρας αναλύσεως τον επανέλαβε κατά λέξιν εις τον ορισμόν του περί ίσων αριθμών. Ομολογεί προσέτι ο Χήθ ότι η αντίληψις του Ευδόξου συμπίπτει με την περί ασσυμέτρων θεω­ρίαν όπως την ανέπτυξε κατά τον παρελθόντα αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Dedekind. Είναι φανερόν ότι η περί αναλογιών θεωρία αποτελεί εύρυνσιν της παλαιοτέρας, διότι εξέρχεται του λογισμού των ισοτήτων και επιλαμβάνεται της σπουδής των ανισοτήτων, ισχυριζόμενη ότι και δια της με­λέτης αυτών δύνανται να διαπιστωθή ότι δύο μεγέθη έχουν τον αυτόν λόγον. Είναι φανερόν ότι περιλαμβάνει και τα ασύμμετρα μεγέθη, διότι πάν ασύμμετρον μέγεθος εν συγκρίσει προς σύμμετρον ευρίσκεται εις σχέσιν ανισότητος, πλεονασμού δηλαδή ή ελλείψεως. Συγχρόνως  μεταρρυθμίζεται και η έννοια του λόγου και καθίσταται δυνατόν να διατυπωθή ο υπ' αριθ. 4. ορισμός του πέμπτου βιβλίου των «Στοιχείων» του Ευκλείδου :

«λόγον ἔχειν πρός άλληλα μεγέθη λέγεται, ἅ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν»

(λέγομεν ότι έχουν λόγον προς άλληλα δύο μεγέθη, όταν κατόπιν πολλαπλασιασμού παρουσιάση το εν εν συγκρίσει προς το άλλο υπεροχήν) . Εκτείνεται κατά τον τρόπου αυτόν η έννοια του λόγου πέραν των συμμέτρων αριθμών, διότι εις τον προηγούμενον ορισμόν 3 δίδεται νέος ορισμός του λόγου :

 «Λόγος ἐστί δύο μεγεθῶν ὁμογενών ἡ κατά πηλικότητα ποιά σχέσις» 

(Λόγος είναι μία σχέσις οποιαδήποτε  δύο ομογενών μεγεθών από της απόψεως του μεγέθους των).

Διασαφηνίζοντες την εν τω ορισμώ λέξιν πηλικότης σημιειώνομεν ότι, όπως έχει παρατηρήσει ο Γερμανός Τέπλιτζ, εις τον «Μένωνα» του Πλάτωνος το επίθετον πήλίκος χρησιμοποιείται εις ένδειξιν και συμμέτρων και ασύμμετρων μεγεθών, ενώ το πόσος αναφέρεται μόνον εις σύμμετρα μεγέθη (Πλάτ. «Μεν.» 83 D). Συνεπώς εκ του ορισμού τούτου πρσκύπτει ότι δύναται να επεκταθή η θεωρία των αναλογιών εις ασύμμετρα μεγέθη. Εις τον πέμπτον ορισμόν, όπως είδομεν, καθορίζεται ή συνθήκη υπό την οποίαν δυο οιαδήποτε μεγέθη δύνανται να έχουν τον αυτόν λόγον. Τα μεγέθη τα εχόντα τον αυτόν λόγον καλούνται συμφώνως προς τον έκτον ορισμόν αναλογικά :

 «τά δέ τόν αὐτόν ἔχοντα λόγον μεγέθη ἀνάλογον καλεῖται»

(τα μεγέθη τα οποία έχουν τον αυτόν λόγον ονομάζονται ανάλογον) .

Πρόκειται περί όρου τον οποίον χρησιμοποιεί κατόπιν ευρύτατα ο Αριστοτέλης.

Η εύρυνσις της θεωρίας των αναλογιών και η δια ταύτης καταδάμασις της εκ των ασύμμετρων προελθούσης κρίσεως έσχε και άμεσα επί της φιλοσοφίας της εποχής εκείνης αποτελέσματα. Η Θεωρία, ην ανέπτυξεν ο Πλάτων, περί της αορίστου δυάδος η του μεγάλου και μικρού, εφάπτεται με την θεώρησιν των ανισοτήτων, την οποίαν συνηντήσαμεν παρά τω Ευδόξω. Η αυτή σχέσις αναφέρεται και υπό του Αριστοτέλους, εκφραζομένη δια του όρου υπερέχον και υπερεχόμενον

«το δ'  ὑπερέχον πρός τό ὑπερεχόμενον ὃλώς ἀόριστον κατ' ἀριθμόν ὁ γάρ ἀριθμός σύμμετρος, κατά μή σύμμετρον δέ ἀριθμόν λέγεται, τό δέ ὑπερέχον πρός τό ὑπερεχόμενον τοσοῦτόν τέ ἐστι καί ἒτι τοῦτο δ' ἀόριστον ὁπότερον γάρ ἔτυχέν ἐστίν, ἤ ἴσον ἤ οὐκ ἴσον».

(Το υπερέχον όμως εν σχέσει προς το υπερεχόμενον είναι από αριθμητικής απόψεως ολοκληρωτικώς ακαθόριστον· διότι ο αριθμός είναι σύμμετρος η εκφώνησις όμως της σχέσεως του υπερέχοντος προς το  υπερεχόμενον προϋποθέτει αριθμόν μη σύμμετρον. Διότι το υπερέχον αν συγκριθή με το υπερεχόμενον, είναι όσον είναι το υπερεχόμενον και κάτι παραπάνω αυτό όμως το κάτι παραπάνω· μένει ακαθόριστον διότι είναι ό,τι τύχη· όπως δύναται να είναι ίσον, δύναται να είναι και άνισον προς το αρχικόν μέτρον) (Αριστ. Μ.τ,φ. 1021 α 4).

Εις το χωρίον τούτο διαλάμπει η μαθηματική προορατική μεγαλοφυΐα του Αριστοτέλους, όστις διακρίνει ότι δια των ανακαλύψεων του Ευδόξου, όχι μόνον επεκτείνεται ή θεωρία των αναλογιών, αλλά και ανοίγεται δρόμος δια την ανακάλυψιν των μη συμμέτρων αριθμών. Είναι αληθές ότι το αρχικόν θέμα, επί του οποίου ειργάσθη δια την επέκτασιν της θεωρίας των αναλογιών ο Εύδοξος, ήσαν τα γεωμετρικά μεγέθη. Αλλ' η θετική επιστήμη εύρεν εις την καθίδρυσιν των γεωμετρικών τούτων σχέσεων, επαρκή βάσιν δια τον απαρτισμόν μιας, όπως είπεν ο Νεύτων, παγκοσμίου αριθμητικής, επειδή «πάν ό,τι έχει προς την μονάδα οίαν σχέσιν έχει μία ευθεία γραμμή προς μίαν άλλην ευθείαν, ονομάζεται αριθμός». (Βλέπε «Τα στάδια της μαθηματικής φιλοσοφίας» Λ. Μπρούνσβιγκ σελ. 509). Επίσης και ο διδάσκαλος του Νεύτωνος Ισάκ Μπάρροου (1630-1677). ασχοληθείς επιμόνως εις την μελέτην των ορισμών του Ευδόξου, εξεφράσθη σχετικώς με τον ορισμόν της ισότητος των λόγων, λέγων ότι «εις όλον το έργον των Στοιχείων του Ευκλείδου δεν υπάρχει τι το λεπτότερον επινοηθέν, το στερεώτερον εδραιούμενον ή το επμελέστερον εκτιθέμενον από την θεωρίαν των αναλογιών» (Βλέπε «Η κρίσις των αρχών της Μαθηματικής Επιστήμης» Χάσσε και Στόλτς, μετάφρασις Φ. Βασιλείου και Χρ. Καπνουκάγια σελ. 58).

Εξερχομένη όπως είπομεν του πλαισίου της γενικής μαθηματικής επιστήμης ή θεωρία των αναλογιών, απετέλεσε και γενικωτέραν μορφήν μεθοδικής πορείας, χρησιμοποιηθείσαν προς μελέτην και λύσιν παντοίων φιλοσοφικών προβλημάτων. Ο μαθητής και διάδοχος του Πλάτωνος εν τη Ακαδημία Σπεύσιππος εχρησιμοποίει ταύτην ευρύτατα εις το σύγγραμμα του «Ὅμοια». Επίσης και ο Αριστοτέλης νομιμοποιεί συχνότατα την αναλογίαν προς λύσιν παντοίων προβλημάτων, μεταχειριζόμενος τον παρά τω ευκλειδείω ορισμώ απαντώντα όρον «το ανάλογον». Η υπό του Ευδόξου μεταρρύθμισις της εννοίας των αναλογιών αποτελεί μέγιστον επιστημονικόν κατόρθωμα. Πάντες αναγνωρίζουν σήμερον ότι αι περί του μαθηματικού συνεχούς θεωρίαι του Ευδόξου συμπίπτουν κατ' ουσίαν με τας θεωρίας, τας οποίας ενεφάνισε κατά τον προηγούμενο αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Ντέντεκιντ. Ο Εύδοξος δέχεται, ως φαίνεται εξ αποδείξεων θεωρημάτων περιληφθέντων εις το 12ον βιβλίον των «Στοιχείων» του Ευκλείδου και ιδία εκ της 12ης προτάσεως του 6ου βιβλίου, την ακόλουθου σπουδαιοτάτην αρχήν:

Δοθέντων τριών μεγεθών Α Β Γ, εκ των οποίων το Α και Β είναι ομογενή. υπάρχει εν τέταρτον ομογενές προς το Γ μέγεθος Δ, κατά τρόπον ώστε Α : Β = Γ : Δ. Το αξίωμα τούτο της τετάρτης αναλόγου, ήτις υπάρχει και εις την περίπτωσιν, κατά την οποίαν δεν δύναται να κατασκευασθή δια του κανόνος και του διαβήτου, αποκαθιστά την κατά συνέχειαν συσχέτισιν οιωνδήποτε μεγεθών, είτε συμμέτρων, είτε ασυμμέτρων. Είναι φανερόν ότι η μεταξύ των αρχαίων και νεωτέρων μαθηματικών διαφορά έγκειται εις το ακόλουθον σημείον. Ο Εύδοξος υπερνίκησε τας δυσκολίας ευρύνων την έννοιαν των αναλογιών, ενώ οι νεώτεροι, δια να αντιμετωπίσουν τας αυτάς δυσκολίας, μετερρύθμισαν την έννοιαν του αριθμού, δεχθέντες την ύπαρξιν ασύμμετρων αριθμών. Οι παλαιοί Έλληνες δεν προεχώρησαν εις την παραδοχήν των ασυμμέτρων αριθμών, όχι διότι δεν θα ηδύναντο να τους επινοήσουν, άλλα διότι ήθελον να μείνουν πιστοί εις την οντολογικήν περί των αριθμών αντίληψιν. Αι υπό του Γερμανού ιστορικοφιλοσόφου Σπέγγλερ αναπτυχθείσαι εις το κατά το 1922 εκδοθέν βιβλίον του «Η καταστροφή της Εσπερίας» θεωρίαι, συμφώνως προς τας οποίας οι παλαιοί Έλληνες δεν επενόησαν τους ασυμμέτρους αριθμούς επειδή εφοβούντο να προχωρήσουν εις την εξιχνίασιν του απείρου και διότι έκλινον εις την περατοκρατίαν, ηλέγχθησαν υπό της επιστημονικής κριτικής ως τελείως εσφαλμέναι. Λίαν ορθώς οι Γερμανοί μαθηματικοί Χάσσε και Σόλτς (βλέπε ανωτέρω μνημονευθέν βιβλίον των σελ. 3) εχαρακτήρισαν τας αντιλήψεις του Σπέγγλερ ως «ψευδοφιλοσοφίαν της Ιστορίας του πνεύματος της Δύσεως». Διότι λίαν ορθώς παρετηρήθη ότι αν οι αρχαίοι Έλληνες ησθάνοντο τρόμον προ του α­πείρου. δεν θα ήτο δυνατόν να δεχθούν και τους ακεραίους αριθμούς, των οποίων η σειρά είναι άπειρος. Ο Σπέγγλερ διατείνεται ότι απέφυγον οι Έλληνες τους ασυμμέτρους αριθμούς, διότι ούτοι δεν επιδέχονται μίαν ακριβή εποπτικώς γεωμετρικήν παράστασιν. Ως παράδειγμα δε τοιούτου αριθμού μη επιδεχομένου γεωμετρικήν παράστασιν, φέρει τον αριθμόν π, δι' ου συμβολίζεται ο λόγος της περιφερείας προς την διάμετρον. Αλλ' οι μνημονευθέντες ανωτέρω Γερμανοί μαθηματικοί αντιπαρετήρησαν ότι ο Ευκλείδης κατασκευάζει γεωμετρικώς μέγαν αριθμόν ασύμμετρων, όλας τας τετραγωνικάς ρίζας των φυσικών αριθμών, οι οποίοι δεν ανήκουν εις την τάξιν των τετραγώνων αριθμών. Δεν δύναται να κατασκευάση μόνον τους υπερβατικούς αριθμούς, εις τους οποίους ανήκει και ο π. Ο Σπέγγλερ συγχέει τους ασυμμέτρους και υπερβατικούς αριθμούς, προκειμένου δε περί του απειροστικού λογισμού, χρησιμοποιεί τας πεπαλαιωμένος αντιλήψεις του 17ου και 18ου αιώνος. Η θεμελιώδης διαφορά την οποίαν ηθέλησε να απόδειξη ως υπάρχουσαν μεταξύ της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής και της νεωτέρας, απεδείχθη μαζί και με αλλάς αντιλήψεις του αυθαίρετον και αστήρικτον μυθολόγημα. Και ή νεωτέρα μαθηματική επιστήμη στηρίζεται, όπως ομολογούν ο Χάσσε και ο Σόλτς, επί των βάσεων τας οποίας έθεσαν οι Έλληνες.

Η λεγομένη μέθοδος της εξαντλήσεως:

Και εις την ανακαίνισιν της μαθηματικής μεθοδολογίας συνέβαλε τα μέγιστα ο Εύδοξος. Το όνομα του φέρεται ακόμη συνδεδεμένον με την επινόησιν της λεγομένης μεθόδου της «εξαντλήσεως». Πρέπει να σημειωθή ότι ο όρος «εξάντλησις» (Έξχαουστιόν, Exhaustion) δεν είναι ελληνικός, αλλ' ετέθη εις, χρήσιν υπό του μαθηματικού Γρηγορίου Βιτσέντιο δια του συγγράμματός του «Έργον γεωμετρικόν», εκδοθέντος κατά το 1647. Την πρώτην αφετηρίαν δια να δημιουργηθή ο ορός ούτος παρέσχε χωρίον εκ των εις τα «Φυσικά» του Αριστοτέλους σχολίων του Σιμπλικίου, εις το οποίον εκτίθενται αι προς τετραγωνισμόν του κύκλου πρσπάθειαι του Αντιφώντος. Ο Αντιφών ενέγραφεν εντός κύκλου πολύγωνον, του οποίοι επολλαπλασίαζε συνεχώς τας πλευράς. Εις το σχετικόν χωρίον του Σιμπλικίου, το οποίον παρεθέσαμεν εις τα προηγούμενα, η έκφρασις «δαπανωμένου τοῦ ἐπιπέδου» (δηλ. αφού εξαντληθή το επίπεδον), έδωκε λαβήν να νομισθή ότι έχομεν την εφαρμογήν μεθόδου, ήτις δια της ολοκληρωτικής εξαντλήσεως της κυκλικής επιφανείας, θα φθάση εις την τιμήν του έσχατου αυτής ορίου. Αλλ' η ιδέα περί του εφικτού μιας τοιαύτης εξαντλήσεως ήτο όλως ξένη προς τους Έλληνας γεωμέτρας, οίτινες είχον διδαχθή υπό των παραδόξων του Ζήνωνος ότι η διχοτομία των μεγεθών προχωρεί επ' άπειρον, χωρίς να υπάρχη φόβος ότι θα εξαντληθή το υπό διαίρεσιν μέγεθος. Κατά την ουσίαν της η υπό του Ευδόξου χρησιμοποιηθείσα μέθοδος, ην κατόπιν εφήρμοσε και ο Αρχιμήδης, στηρίζεται ουχί επί της αρχής ότι δυνάμεθα δια της διαιρέσεως να φθάσωμεν εις κάτι το απείρως μικρόν. Το αξίωμα επί του οποίου στηρίζεται είναι ότι δια διαδοχικής διαιρέσεως δυνάμεθα να φθάσωμεν εις μέγεθος όσον θέλομεν μικρόν. Ακριβολογικήν διατύπωσιν της αρχής ταύτης μας δίδει ή πρώτη πρότασις του δεκάτου βιβλίου των «Στοιχείων» του Ευκλείδου, ήτις έχει ως εξής :

«Δὺο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐάν ἀπό τοῦ μείζονος ἀφαιρεθή μείζον ἤ τό ἣμισυ καί τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἤ τό ἣμισυ καί τοῦτο ἀεί γίγνηται, λεφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἒσται ἒλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους»

(Όταν μας δοθούν δύο άνισα μεγέθη, εάν από το μεγαλύτερον αφαιρεθή μεγαλύτερον τμήμα από το ήμισυ, και από εκείνο το όποιον θα μείνη αφαιρεθή μεγαλύτερον τμήμα από το ήμισυ, και τούτο εξακολουθή διαρκώς, θα μείνη εν μέγεθος, το όποιον θα είναι μικρότερον του δοθέντος μικροτέρου μεγέθους).

Η ευκλείδειος αύτη πρότασις αποδεικνύεται επί τη βάσει του ανωτέρω παρατεθέντος 4ου ορισμού του πέμπτου βιβλίου του Ευκλείδου:

 «Λόγων ἔχειν πρός ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἅ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν».

Δια των προτάσεων τούτων είναι φανερόν ότι δημιουργείται νέα μεθοδική πορεία. Χρησιμοποιούντες σειράν ανισοτήτων φθινουσών και συγκλινουσών προς εν όριον, δυνάμεθα να φθάσωμεν με μίαν προσέγγισιν εξαρτωμένην εκ της αρεσκείας μας εις την ζητουμένην οριακήν ποσότητα. Δια της προοδευτικής αφαιρέσεως κατά λόγον υπερβαίνοντα το ήμισυ δυνάμεθα, δοθέντων δυο μεγεθών, να προχωρήσωμεν κατωτέρω της διαφοράς των με όσην θέλομεν προσέγγισιν. Κατά συνέπειαν ο πολλαπλασιασμός και ή διαίρεσις δύνανται να προχωρούν όσον θέλομεν και να παρουσιάζουν τους υφισταμένους και μεταξύ των ασυμμέτρων μεγεθών λόγους. Η προχώρησις προς μέγεθος πάντοτε μικρότερον αποτελεί μίαν εκ των αρχών επί των οποίων εστήριξεν ο Λάϊμπνιτς τον απειροστικού λογισμού. Εις εν αξιοσημείωτον κείμενον, αναφερόμενου εις τας αρχάς επί των οποίων εστήριξε τον λογισμών τούτον ο μέγας Γερμανός φιλόσοφος και μαθηματικός, κάμνει μνείαν του πέμπτου ορισμού του πέμπτου βιβλίου του Ευκλείδου, όστις, όπως είπομεν, προέρχεται εκ του Ευδόξου. Ευρίσκει προσέτι την ευκαιρίαν να αναφέρη ότι συμφωνεί και με τας γνώμας του Αρχιμήδους «Έχω την ίδέαν» γράφει ο Λάϊμπνιτς (βλέπε III τόμον έργων του εκδόσεως  Dutens(Ντούτενς) σελ.238) ότι πράγματα τινά είναι ίσα προς άλλα, όχι μόνον όταν ή διαφορά των είναι απολύτως μηδέν, αλλ' επίσης όταν ή διαφορά των είναι ασυγκρίτως μικρά. Καίτοι δε δεν δυνάμεθα να είπωμεν ότι είναι απολύτως μηδενική, όμως δεν υπάρχει ποσότης δυναμένη να συγκριθή με τας ποσότητας των οποίων είναι διαφορά. Τοιουτοτρόπως όταν προσθέτωμεν εν σημείον μιας γραμμής εις μίαν άλλην γραμμήν, ή μίαν γραμμήν εις μίαν επιφάνειαν, δεν αυξάνομεν την ποσότητα των. Το αυτό συμβαίνει και όταν προσθέτωμεν εις μίαν γραμμήν μίαν. άλλην γραμμήν ασυγκρίτως μικρότερον. Δεν υπάρχει κατασκευή, ήτις θα ηδύναντο να κατάδειξη μίαν τοιαύτην αύξησιν. Μόνον ομογενείς ποσότητες δύνανται να παραβληθούν προς αλλήλας και συμφωνώ με τον όρον, τον οποίον θέτει ο Ευκλείδης (V όρ. 5), εάν δηλαδή η μία πολλαπλασιαζόμενη με οιονδήποτε πεπερασμένον αριθμόν, δύναται να υπερέχη από την άλλην. Και τα μεγέθη, τα οποία διαφέρουν κατά μίαν ποσότητα αυτού του είδους (δηλ. ασυγκρίτως μικράν), τα ορίζω ως ίσα, όπως έκαμνεν ο Αρχιμήδης και όλοι οι μετ' αυτόν. Είναι το ίδιον ωσάν να είπωμεν ότι η διαφορά είναι μικρότερα πάσης δοθείσης διαφοράς. Και το πράγμα δύναται να αποδειχθή δια της αρχιμηδείου διαδικασίας της αποδείξεως δια της εις άτοπον απαγωγής». Εκ της παραθέσεως του χωρίου τούτου του Λάϊμπνιτς καταφαίνεται αναντιρρήτως ότι η ίδρυσις του απειροστικού λογισμού εστηρίχθη επί των αρχών, τας οποίας εισηγήθη πρώτος ο Εύδοξος και ενέκριναν κατόπιν ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης. Συμφώνως προς τα ανωτέρω, ούτε ο Εύδοξος, ούτε οι μετ' αυτόν επίστευον ότι κοιτά την αποδεικτικήν διαδικασίαν την οποίαν εχρησιμοποίουν επρόκειτο περί εξαντλήσεως του δοθέντος προς λογισμόν μεγέθους. Οι Έλληνες εγνώριζον ότι το όριον προς το οποίον τείνουν οι οροί μιας συγκλινούσης σειράς μένει ανέφικτον ως προς όλους τους ορούς της σειράς. Το νεύρον της αποδείξεως συνίστατο εις την τεθείσαν αρχήν ότι μεταξύ δύο οιωνδήποτε μεγεθών Α, Β υφίσταται πάντοτε μία μόνον εκ των τριών σχέσεων, Α είναι ίσον η μικρότερον η μεγαλύτερον εν συγκρίσει προς το Β, Α μικρότερον, ίσον η μεγαλύτερον του Β. Αν λοιπόν δειχθή ότι αποκλείονται αι δύο σχέσεις της ανισότητος (μικρότερον, μεγαλύτερον), προκύπτει ότι μεταξύ Α και Β υπάρχει σχέσις ισότητος.

Εκ  των  ανωτέρω  εκτεθέντων  καταφαίνεται   ότι  ο   Εύδοξος αποτελεί μαθηματικήν μεγαλοφυΐαν, δυναμένην να υποστή σύγκρισιν με οιονδήποτε από τους νεωτέρους μαθηματικούς. Η θεωρία του περί υπάρξεως μη ακεραίων λόγων παραλληλίζεται υπό πολλών συγχρόνων μαθηματικών προς την περί τομών θεωρίαν του Ντέντεκιντ, δια της οποίας ούτος ηθέλησε να σταθεροποίηση το αξίωμα της συνεχείας. Διότι η θεωρία περί τομών γενομένων εντός του συστήματος των ρητών  αριθμών και διαιρουσών τούτους εις δυο τάξεις, εκατέρα των οποίων δεν έχει να επιδείξη ούτε ένα μέγιστον, ούτε ένα ελάχιστον όρον, αναχωρεί, κατά το νόημα της, εκ των καθοριζομένων υπό του Ευδόξου συσχετίσεων κατά υπερέχον, ίσον και υπερεχόμενον.

Έκτος του θεμελιωτικού έργου του ο Εύδοξος έχει να επίδειξη και αλλάς ανακαλύψεις, αναφερόμενος εις την σπουδήν του κώνου και της πυραμίδας. Ο Αρχιμήδης εις το έργον του «Περί τῶν μηχανικῶν θεωρημάτων πρός Ἐρατοσθένην ἔφοδος» αναφέρει ότι πρώτος ο Εύδοξος απέδειζεν ότι «τρίτον μέρος ὁ μέν κῶνος τοῦ κυλίνδρου, ἡ δέ πυραμίς τοῦ πρίσματος τῶν βάσιν ἐχόντων τήν αὐτήν καί ὓψος ἴσον». Κατά τον Πρόκλον (Σχόλια εις Εύκλ. 67, 2) ο Εύδοξος προσέθεσε τρεις εισέτι αναλογίας εις τας ήδη γνωστάς, ησχολήθη με το πρόβλημα της τομής, παρορμηθείς προς τούτο υπό του Πλάτωνος:

«Εὒδοξος δέ ὁ Κνίδιος... ἑταῖρος δέ τῶν περί Πλάτωνα γενόμενος, πρῶτον τῶν καθόλου καλουμένων θεωρημάτων το πλήθος ηὒξησε καί ταις τρισίν ἀναλογίαις ἄλλάς τρεῖς προστέθηκε καί τά περί τήν τομήν αρχήν λαβόντα παρά Πλάτωνος εἰς πλῆθος προήγαγε καί ταῖς ἀναλύσεσιν ἐπ' αυτῶν χρησάμενος»

(Εύδοξος δε ο Κνίδιος, γενόμενος φίλος των (επιστημόνων των περιστοιχιζόντων τον Πλάτωνα, πρώτον των εν γένει ονομαζόμενων θεωρημάτων το πλήθος ηύξησε και εις τας τρείς αναλογίας προσέθεσεν αλλάς τρείς και τας μελέτας τας αναφερομένας εις την τομήν, αίτινες ήρχισαν να εξετάζωνται κατά πρωτοβουλίαν του Πλάτωνος, τας επηύξησε, χρησιμοποιήσας σχετικώς με αυτάς την αναλυτικήν μέθοδον». Ο Εύδοξος φαίνεται ότι είχε γράψει βιβλίον επιγραφόμενον «Περί τομῆς», ευρίσκετο δε εις επιστημονικήν επαφήν και με τον Θεαίτητον, διότι τα περί τομής προβλήματα προϋποθέτουν την σπουδήν περί των Ασυμμέτρων. Κατά μαρτυρίαν του Ευτοκίου, ησχολήθη και με το δήλιον πρόβλημα, προσπαθήσας να λύση τούτο δια καμπυλών γραμμών. Δυστυχώς ο Ευτόκιος παρέλειψε να κάμη λόγον περί της λύσεως ταύτης, πολύ πιθανώς διότι δεν την κατενόησε. Περιορίζεται απλώς να αναφέρη :

«Τοῦ Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου παρητησάμεθα γραφήν, ἐπειδή φησίν μεν ἐν προοιμίοις διά καμπύλων γραμμῶν αὐτήν εὐρηκέναι, ἐν δέ τῇ ἀποδείζει πρός τό (γραπτέον τῶ) μή κεχρῆσθαι καμπύλαις γραμμαῖς, ἀλλά καί διηρημένην ἀναλογίαν εὑρών ὡς συνέχει χρῆται»

(Την κατασκευήν του Ευδόξου του Κνιδίου την παρελείψαμεν, διότι λέγει εις το προοίμιον ότι επέτυχε την λύσιν δια καμπύλων γραμμών, εις δε την απόδειξιν του όχι μόνον δεν έχει χρησιμοποιήσει καμπύλος γραμμάς, αλλ' αφού ευρήκεν αναλογίαν μη συνεχή την χρησιμοποιεί ως συνεχή).

Ο μέγας ιστορικός της μαθηματικής επιστήμης Ταννερύ κατώρθωσε να αναπαραστήση την λύσιν του Κνιδίου σοφού. Έκτος των ανωτέρω εμελέτησεν ο Εύδοξος και είδος τι σπειροειδούς γραμμής, ην εκάλεσεν ιπποπέδην.

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"