Ευκλείδης ο Αλεξανδρεύς

Ε. Σταμάτη

Διάσημος μαθηματικός της αρχαιότητος. Περί του βίου του γνωρίζομεν μόνον ότι έζησε και ήκμασεν εν Αλεξάνδρεια περί το 300 π.Χ. επί βασιλείας Πτολεμαίου του Α', παρά του οποίου ετιμάτο πολύ. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι «Πτολεμαῖος, ἢρετό ποτε αὐτόν, εἴ τίς ἐστίν περί γεωμετρίαν ὁδός συντομωτέρα τῆς στοιχειώσεως» (ο Πτολεμαίος ηρώτησεν αυτόν κάποτε, εάν υπάρχη τρόπος να μάθη κανείς την γεωμετρίαν συντομώτερον παρά εάν σπουδάση την στοιχείωσιν) (Στοιχεία ελέγετο, ως γνωστόν, το βιβλίον της γεωμετρίας του Ευκλείδου). «Ὁ δέ ἀπεκρίνατο, μή εἶναι βασιλικήν ἀτραπόν ἐπί γεωμετρίαν» (ο δε Ευκλείδης απήντησεν ότι δεν υπάρχει ιδιαίτερος τρόπος δια τους βασιλείς, δια να σπουδάσουν την γεωμετρίαν).

Άραβες συγγραφείς αναφέρουν ότι ο Ευκλείδης εγεγννήθη εις την Τύρον εκ πατρός Ναυκράτου και πάππου Ζηνάρχου. Αι πληροφορίαι όμως αύται δεν θεωρούνται ακριβείς, διότι οι ίδιοι συγγραφείς αναφέρουν ότι ο Πυθαγόρας ήτο μαθητής του Σολομώντος, ότι ο Ίππαρχος ήτο Χαλδαίος και ότι οι Έλληνες μαθηματικοί είχον επιγραφήν, έξω της σχολής των, «μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω». Προφανής σύγχυσις εκ της επιγραφής της Ακαδημίας του Πλάτωνος.

Το έργον του Ευκλείδου: Ως σπουδαιότατον έργον του Ευκλείδου θεωρούνται τα «Στοιχεῖα», αποτελούμενα εκ 13 βιβλίων. Περί τούτων ο Πρόκλος γράψει τα έξης : «Εὐκλείδης, ὁ τά Στοιχεῖα συναγαγών καί πολλά μέν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλά δέ τῶν Θεαίτητου τελεωσάμενος, ἔτι δέ τά μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθεν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών» (ο Ευκλείδης, ο όποιος συνήθροισε τα Στοιχεία (της γεωμετρίας) και πολλά μεν παραχθέντα υπό του Ευδόξου συνέταξε, πολλά δε παραχθέντα υπό του Θεαίτητου απετελείωσε, προσέτι δε μερικά εκ των πρώτων (θεωρημάτων), άτινα δεν είχον αυστηράς αποδείξεις, διετύπωσεν εις αδιασείστους αποδείξεις).

Υπό τον όρον «Στοιχεῖα» ο Ευκλείδης εξέδωκε παν ό,τι παρήγαγες ή ελληνική επιστήμη εις την γεωμετρίαν και την θεωρίαν των αριθμών επί σειράν όλην αιώνων. Φαίνεται ότι προ του Ευκλείδου τοιούτον έργον είχον εκδώσει ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο Θεύδιος και άλλος τις. Τα «Στοιχεῖα» όμως του Ευκλείδου επεσκίασαν τας προηγούμενος εκδόσεις και ουδείς μεταγενέστερος του Ευκλείδου κατώρθωσε να υπερβάλη ταύτα εις πληρότητα, και τελειότητα αυστηράς και συστηματικής διατυπώσεως. Και απλώς ως εκδότης εάν θεωρηθή ο Ευκλείδης, το έργον του τούτο τον αναδεικνύει μέγαν μαθηματικόν. Ουδεμία όμως ένδειξις υπάρχει ότι εις τα «Στοιχεῖα» δεν περιλαμβάνονται πρωτότυποι εργασίαι του Ευκλείδου. Τουναντίον πιστεύεται ότι πολλά θεωρήματα των «Στοιχείων» είναι το πρώτον αποδεδειγμένα υπό του Ευκλείδου. Έκτος των 13 βιβλίων των «Στοιχείων» υπάρχουν και δύο ακόμη βιβλία, το 14ον και το 15ον, τα όποια άλλοτε εθεωρούντο του Ευκλείδου. Εκ τούτων το πρώτον έχει συνταχθή υπό του μαθηματικού Υψικλέους, ακμάσαντος περί το 150 π.Χ., και το δεύτερον εις πολύ μεταγενέστερον χρόνον (περίπου τον 6ον αιώνα μ.Χ.). Δεύτερον έργον του Ευκλεί­δου σώζεται το υπό τον τίτλον «Δεδομένα», το όποιον περιέχει εφαρμογάς και συμπληρώσεις των θεωρημάτων των «Στοιχείων». Τρίτον έργον του Ευκλείδου, μνημονευόμενον υπό του Πρόκλου, είναι το «Περί διαιρέσεων». τούτο ανευρέθη διατυπωμένον εν τη λατινική γλώσση κατά τα μέσα του 16ου αιώνος, προερχόμενον όμως ουχί εκ του ελληνικού κειμένου, αλλ' εξ αραβικής μεταφράσεως. Επί πλέον εφέρετο τούτο εις την μετάφρασιν αυτήν ως έργον του Άραβος Μωχάμμετ Μπαγναντίν. Ολίγον βραδύτερον ανευρέθη εις Παρίσιους τμήμα του έργου «Περί διαιρέσεως» εις την αραβικήν, το όποιον είναι συμπλήρωμα του εις την λατινικήν ευρεθέντος και συμφωνεί προς τα σημειούμενα υπό του Πρόκλου εις τα «Περί διαιρέσεων» βιβλίον. Εις το έργον τούτο ο Ευκλείδης πραγματεύεται τομάς γεωμετρικών σχημάτων.

Τέταρτον σπουδαίον έργον του Ευκλείδου αναφέρεται υπό του Πρόκλου το «Πορίσματα», το οποίον έχει απολεσθή. Περί των «Πορισμάτων» τούτων αναφέρει λεπτομερώς ο Πάππος. Το έργον απετελείτο εκ τριών βιβλίων. Κατά το 1860 εγένετο εν Παρισίοις υπό του μαθηματικού Σιάσλ, επί τη βάσει των υπό του Πάππου διασωθέντων σχετικώς, ανασύνθεσις των τριών βιβλίων, θεωρούμενη λίαν επιτυχής. Παρά ταύτα ο Χάϊμπεργκ εκφράζει την γνώμην ότι υπολείπεται αρκετόν έργον δια να επιτευχθή η πλήρης ανασύνθεσις του συγγράμματος τούτου του Ευκλείδου. Το έργον δεν περιέχει πορίσματα υπό την συνήθη έννοιαν, αλλά γεωμετρικά θεωρήματα και προβλήματα, εις τα όποια χρησιμοποιούνται γεωμετρικοί τόποι ως επί το πλείστον.

Πέμπτον έργον του Ευκλείδου μνημονεύεται το «Περί κωνικῶν τομῶν». Και τούτο δεν διεσώθη. Πιστεύεται όμως ότι τα τέσσαρα πρώτα βιβλία του ομωνύμου έργου του Απολλωνίου περιέχουν πολλάς προτάσεις εκ του απολεσθέντος έργου του Ευκλείδου.

Έκτον έργον (απολεσθέν) μνημονεύεται το υπό τον τίτλον «Ψευδάρια». Το έργον τούτο είχε σκοπόν ν' ασκή τους σποουδαστάς περί την ανεύρεσιν σφαλμάτων κατά τας μαθηματικάς αποδείξεις. Έβδομον τέλος μαθηματικόν έργον του Ευκλείδου (απολεσθέν) αναφέρεται το υπό τον τίτλον «Τόποι πρός ἐπιφανεία».

Έκτος των καθαρώς μαθηματικών έργων, ο Ευκλείδης έγραψεν : Αστρονομικόν έργον υπό τον τίτλον «Φαινόμενα» (απολεσθέν), «Ὀπτικά και κατοπτρικά», «Κατατομή κανόνος» και «Εἰσαγωγή ἀρμονική». Άραβες συγγραφείς αναφέ­ρουν ότι ο Ευκλείδης είχε γράψει και έργον «Μηχανικά». Τούτο επεβεδαιώθη κατά τον παρελθόντα αιώνα, εξ αποσπασμάτων ανευρεθέντων εις την αραβικήν γλώσσαν.

Τα «Στοιχεῖα» του Ευκλείδου έχουν μεταφρασθή εις όλας σχεδόν τας ευρωπαϊκάς γλώσσας. Από της εποχής της Αναγεννήσεως και εντεύθεν αναφέρονται περισσότεραι των 2000 εκδόσεων εις διαφόρους γλώσσας.

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδου.

Δια των «Στοιχείων» ίδρυσεν ο Ευκλείδης μίαν επιστημονικήν μάθησιν ήτις κατώρθωσε να κατανίκηση την πάροδον του χρόνου, όπως και η ιδρυθείσα υπό του Αριστοτέλους επιστήμη της Αναλυτικής (δηλαδή Λογικής) διατηρεί μέχρι σήμερον αμείωτον την ισχύν της, κατά τον αυτόν τρόπον και το Ευκλείδειον σύστημα παραμένει ακλόνητον. Δια τούτο και ο ιδρυτής του απειροστικού λογισμού Λάϊμπνιτς έχει λίαν ορθώς συσχετίσει τας δύο ταύτας επιστήμας γράφων εις τα «Νέα Δοκίμια» του: «Υπάρχουν αξιοσημείωτα παραδείγματα αποδείξεων έκτος των μαθηματικών και δύναται τις να είπη ότι ο Αριστοτέλης μας παρέσχε τοιαύτα παραδείγματα εις τα «Αναλυτικά Πρότερα». Πράγματι η λογική είναι εις τον αυτόν βαθμόν, όσον και η γεωμετρία, επιδεκτική αποδείξεων. Και ο αποδεικτικός τρόπος, τον όποιον εξέθεσε και εστερέωσεν ο Ευκλείδης εξετάζων τας προτάσεις του αποτελεί επέκτασιν η ειδικώτερον προώθησιν της γενικής λογικής». Εις το αυτό σύγγραμμα του ο Λάϊμπνιτς προσθέτει ότι η αποδεικτική δύναμις δεν έγκειται εις την εποπτικότητα των γεωμετρικών σχημάτων. «Η δύναμις της αποδείξεως είναι ανεξάρτητος από το σχεδιαζόμενον σχήμα, το όποιον χρησιμεύει μόνον να ευκολύνη την κατανόησιν εκείνου, το οποίον θέλομεν να είπωμεν και να σταθεροποιήση την προσοχήν. Εκείνο το όποιον καταρτίζει τον συλλογισμόν και θα ηδύνατο να τον περιέχη έστω και αν δεν υπήρχε το σχήμα, είναι αι γενικώταται προτάσεις, δηλαδή οι ορισμοι, τα αξιώματα και τα αποδεδειγμένα ήδη θεωρήματα. Δια τούτο εις σοφός γεωμέτρης, ο Σοϊμπέλιους. εξέδωκε τα σχήματα του Ευκλείδου χωρίς να σημειώνη επάνω εις αυτά τα γράμματα, τα αναφερόμενα εις εις χείρας των μαθητών σελίδες τινές εκ των «Στοιχείων». Οι διδάσκοντες τα μαθηματικά, ενώ καταπονούν τους μαθητάς με την απαγγελίαν ξενόγλωσσων ονομάτων, ουδόλως φροντίζουν να φέρουν τους τροφίμους των σχολείων εις επαφήν με την αρχαίαν μαθηματικήν σκέψιν. Δια τούτο έχει επικρατήσει η εσφαλμένη αντίληψις ότι ο λαός των αρχαίων Ελλήνων έχει να επίδειξη μόνον λογοτέχνας και ουχί μεγάλους επιστήμονας.

Το σύνολον των «Στοιχείων» του Ευκλείδου συναπαρτίζεται εκ δεκατριών βιβλίων. Εν είδει παραρτήματος προστίθεται επιπλέον το δέκατον τέταρτον βιβλίον, όπερ τυγχάνει σύγγραμμα του κατά τον δεύτερον π.Χ. αιώνα ζήσαντος μαθηματικού Υφικλέους και πραγματεύεται περί δωδεκαέδρου και εικοσαέδρου. Επίσης προσαρτάται ως δέκατον πέμπτον βιβλίον σύγγραμμα άγνωστου συγγραφέως, όστις υπήρξε μαθητής ενός εκ των Ισιδώρων, οίτινες ειργάσθησαν ως αρχιτέκτονες εις τον ναόν της Αγίας Σοφίας. Περί τούτου μαρτυρεί ο ανώνυμος συγγραφεύς γράφων «ὡς Ἰσίδωρος ὁ ἡμέτερος ὑφηγήσατο μέγας διδάσκαλος».

Το βιβλίον τούτο περιέχει σειράν προτάσεων αναφερομένων εις τα κανονικά πολύεδρα.

Το περιεχόμενον των «Στοιχείων».

Το σύνολον των δεκατριών βιβλίων, άτινα συναπαρτίζουν το σώμα των «Στοιχείων», δύναται να διαιρεθή εις 3 μεγάλα τμήματα. Το πρώτον περιλαμβάνει τα εξ πρώτα βιβλία και ασχολείται με την επίπεδον γεωμετρίαν. Το δεύτερον τμήμα περιλαμβάνον τα τέσσαρα επόμενα βιβλία (7—10). αποτελεί την αριθμητικήν θεωρίαν των «Στοιχείων». Τα υπολειπόμενα τρία βιβλία (11 —13), αποτελούν σπουδήν της γεωμετρίας του χώρου, ασχολούμενα με την στερεομετρίαν. Εις τα επί μέρους ταύτα τρία τμήματα διακρίνομεν επίσης μερικωτέρας ομάδας βιβλίων. Ούτω τα τέσσαρα πρώτα βιβλία δεν περιέχουν καμμίαν απόδειξιν στηριζομένην επί της αρχής της ομοιότητος και της αναλογίας, διότι περί αναλογίας γίνεται λόγος εις τα πέμπτον βιβλίον, περί δε ομοιότητος εις το έκτον. Εις το δεύτερον τμήμα, το όποιον αποτελεί την αριθμητικήν του Ευκλείδου, το δέκατον βιβλίον έχει ως θέμα του την περί ασύμμετρων μεγεθών θεωρίαν, ενώ τα προηγούμενα τρία (7—9). πραγματεύονται περί ρητών αριθμών. Μεγαλυτέραν ενότητα εμφανίζουν τα εις την στερεομετρίαν αναφερόμενα τρία τελευταία βιβλία (11 —13). Όπως εσημειώσαμεν, ομιλούντες περί των Ευδόξου και Θεαίτητου είναι προφανής αμφοτέρων τούτων των μαθηματικών η επίδρασις επί των «Στοιχείων». Εις το πέμπτον και έκτον βιβλίον στηρίζεται ο Ευκλείδης επί της διδασκαλίας του Ευδόξου. Το δεκατον βιβλίον το πραγματευόμενον περί ασύμμετρων μεγεθών, στηρίζεται επί των ερευνών του Θεαίτητου. Πλείσται δε προτάσεις απαντώσαι εις τα τρία τελευταία βιβλία, προέρχονται από τας έρευνας του Θεαίτητου και Ευδόξου. Το κατόρθωμα του Ευκλείδου δεν συνίσταται μόνον εις το ότι εταξιθέτησεν εις την πρέπουσαν συστηματικήν σειράν τας ανακαλυφθείσας υπό των προγενεστέρων του προτάσεις, αλλ' εν πολλοίς τας συνεπλήρωσε και τας εστερέωσε δι’ ακαταμάχητων αποδεικτικών επιχειρημάτων. Φανερά δε είναι και η επίδρασις του Πλάτωνος, ιδία επί των ορισμών. Ως προς την συστηματικήν διάρθρωσιν της επιστήμης, νοούμενης ως ενιαίου συνόλου, στηριζόμενου επί γενικωτάτων άρχων, ακολουθεί τα συμπεράσματα τα όποια έχει εκθέσει ο Αριστοτέλης εις τα «Αναλυτικά» του. Έχων πάντα ταύτα υπ' όψιν του ο Ευκλείδης, κατώρθωσε να συστηματοποιήση κατά θαυμαστόν τρόπον τας γεωμετρικός προτάσεις. Ουδέν στοιχείον χρησιμοποιείται, αν δεν είναι τελείως καθορισμένη η σημασία του. και αν δεν είναι ηγγυημένον το κύρος του υπό αξιωμάτων, αιτημάτων η προηγουμένως αποδειχθεισών προτάσεων.

Η θεμελίωσις της μαθηματικής γνώσεως.

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδου εκκινούν από γενικωτάτας αρχάς και δια της αποδεικτικής μεθόδου φθάνουν εις ειδικωτέρας μαθηματικάς και γεωμετρικός προτάσεις. Πάσα επί μέρους πρότασις τότε μόνον είναι αληθής. όταν παράγεται εκ γενικωτάτων αρχών προοδευτικώς δια σειράς αποδεδειγμένων ενδιαμέσων προτάσεων. Ολόκληρον συνεπώς το σύστημα στηρίζεται επί θεμελιωδών αρχών τας οποίας ο Ευκλείδης διακρίνει εις ορισμούς «Όρους», εις αιτήματα και εις αξιώματα «κοινάς έννοιας».

Όρους λέγων ο Ευκλείδης εννοεί εκείνο το όποιον ημείς λέγομεν ορισμούς. Εις την αρχήν του πρώτου βιβλίου έχουν αναγραφή είκοσι τρεις ορισμοί δια των οποίων καθορίζεται το σημασιολογικόν περιεχόμενον των γεωμετρικών όρων, τους οποίους θα χρησιμοποιήσωμεν προχωρούντες εις την γεωμετρικήν έρευναν. Δίδεται ο ορισμός του σημείου της γραμμής, της ευθείας, της επιφανείας, της γωνίας. Ορίζεται τι είναι σχήμα, τι είναι κύκλος, καθορίζεται τι είναι κέντρον του κύκλου, τι είναι διάμετρος, διακρίνονται τα διάφορα είδη των σχημάτων και η όλη σειρά των ορισμών τερματίζεται δια του καθορισμού, τι είναι παράλληλοι ευθείαι. Οι παρεχόμενοι ορισμοί είναι συντομώτατοι και δεν παρέχουν πληροφορίας περί του τρόπου κατά τον όποιον δύνανται να λάβουν υπόστασιν τα οριζόμενα γεωμετρικά αντικείμενα. Δεν είναι δηλαδή γενετικοί ορισμοί, αλλ' απλώς περιγραφικοί εκφράζοντες μιαν ουσιαστικήν ιδιότητα πολλάκις και κατ’ αρνητικόν τρόπον. Ούτω προκειμένου να ορισθή τι είναι σημείον, δίδεται ο ορισμός: «Σημεῖόν ἐστιν οὐ μέρος οὐδὲν», σημείον είναι εκείνο το οποίον δεν έχει μέρος. Η γραμμή ορίζεται ως «μῆκος ἀπλατὲς», μήκος το οποίον δεν έχει πλάτος, προστίθεται δε ων ίδιος ορισμός «γραμμής δε πέρατα σημεία». Αφού δε ωρίσθησαν διά του τρίτου ορισμού τα σημεία ως πέρατα γραμμής, επακολουθεί ο πολυθρύλητος ορισμός της ευθείας «εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται». Περί της ερμηνείας αυτού επικρατεί από των αρχαίων χρόνων διαφωνία. Δύναται να ερμηνευθή κατά λέξιν ων έξης: Ευθεία γραμμή είναι εκείνη ήτις κείται εξ ίσου επάνω εις τα σημεία τα κείμενα επάνω εις τον εαυτόν της. Τοιαύτην σημασίαν δίδει εις τον ορισμόν ο Ταννερύ, υποστηρίζων ότι πρόκειται περί ορισμού ο όποιος ελήφθη από την πρακτικήν χρήσιν. Όταν θέλη π.χ. ο ξυλουργός να εξακριβώση αν μία επιφάνεια είναι επίπεδος, εφαρμόζει επ' αυτής κανόνα με χρώμα ερυθρόν. Αν η επιφάνεια είναι πράγματι επίπεδος, η γραμμή την οποίαν θα αφήση ο κανών θα είναι συνεχής, αλλέως θα παρουσίαση διαφοράς. Κατά όμοιον τρόπον δυνάμεθα να υποθέσωμεν ότι μία ευθεία εδοκιμάζετο δια τεταμένου νήματος και εξηκριβούτο αν έκειτο «ἐξ ἴσου» επακριβώς δηλαδή επάνω εις τα ίχνη τα οποία άφινεν το νήμα. Αλλ' είναι αμφίβολον, αν θα εδέχοντο οι Έλληνες γεωμέτραι ένα τοιούτον εμπειρικόν τρόπον ελέγχου να τον υψώσουν εις την περιωπήν γενικωτάτου ορισμού. Έκτος τούτου η δοθείσα εξήγησις εμπεριέχει φανερόν ταυτολογίαν, διότι λέγει ότι η ευθεία κείται εξ ίσου επάνω εις τα σημεία τα οποία πάλιν έχουν ων τόπον τοποθετήσεως των αυτήν ταύτην την ευθείαν. Ανεζητήθη λοιπόν νέα ερμηνεία επί τη βάσει του ορισμού ον έδωκεν ο Αρχιμήδης, ειπών ότι η ευθεία είναι η ελαχίστη των τα αυτά πέρατα εχουσών. Θα ηδύνατο συνεπώς ο ορισμός να σημαίνη, ευθεία είναι η γραμμή η κείμενη εξ ίσου (δηλαδή ακριβώς) μεταξύ των ακραίων της σημείων. Ίσως όμως να είναι δυνατόν να δοθή και τρίτη ερμηνεία επί τη βάσει της εννοίας της διευθύνσεως. Είναι γνωστόν ότι εις την αρχαίαν ελληνικήν η επί μετά γενικής, σημαίνει την διεύθυνσιν. Ώστε θα ηδυνάμεθα να δώσωμεν την ερμηνείαν ότι ευθεία είναι η γραμμή ήτις έχει τον τόπον ον αποτελούν τα σημεία τα κειμένα επί της διευθύνσεως της, δηλαδή εις όλα της τα σημεία διατηρεί την αυτήν διεύθυνσιν. Εν τοιαύτη περιπτώσει ο ευκλείδειος ορισμός έχει υπ' όψιν του τον ορισμόν ον έχει δώσει ο Πλάτων εις τον «Παρμενίδην» του: «εὐθύ γε οὐ ἂν τὸ μέσον ἀμφοὶν τοῖς ἐσχάτοιν ἐπιπροσθὲν ᾖ». Ίσως η τελευταία ερμηνεία να είναι η ορθότερα. Πρέπει να σημειωθή ότι και εις την νέαν ελληνικήν γλώσσαν προκειμένου να δηλωθή η έννοια της ευθείας χρησιμοποιείται το επίθετον ίσος, διότι λέγομεν «προχωρεί ίσια», «το ξύλο τούτο είναι ίσο», δηλαδή δεν παρουσιάζει καμπυλότητας και παρεκκλίσεις. Μετά τον ορισμόν της ευθείας γραμμής δίδεται ο ορισμός της επιφανείας ήτις είναι κάτι το όποιον έχει μόνον μήκος και πλάτος : «Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει». Ων επίπεδος επιφάνεια ορίζεται η επιφάνεια «ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται». Ο ορισμός ούτος είναι ανάλογος προς τον της ευθείας και επιδέχεται ανάλογους ερμηνείας. Κατά λέξιν σημαίνει : «Επίπεδος επιφάνεια είναι εκείνη ήτις κείται εξ ίσου προς τας ευθείας οίτινες κείνται επ' αυτής της ιδίας». Ο Πρόκλος επεξηγών τον ορισμόν λέγει : «Καὶ γὰρ ἐκείνην ἴσην εἶναι τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν σημείων ἔλεγον καὶ ταύτην ὁμοίως δυοὶν εὐθειῶν ἐκκειμένων ἴσον κατέχειν τόπον τῷ μεταξὺ τῶν εὐθειῶν». Όπως δηλαδή έλεγον ότι η ευθεία είναι ίση με το μεταξύ των σημείων διάστημα, ομοίως και η επιφάνεια αν δοθούν έπ' αυτής δύο ευθείαι κατέχει ίσον τόπον με τα μεταξύ των δυο τούτων ευθειών διάστημα. Ο Πρόκλος αναφέρει και ων έτερον ορισμόν ότι επίπεδος επιφάνεια είναι «ἧς πᾶσι τοῖς μέρεσιν εὐθεῖα ἐφαρμόζει», εκείνη επάνω εις τα μέρη της όποιας εφαρμόζει ευθεία γραμμή, Είναι προφανές ότι ο ορισμός ούτος έχει ληφθή από την εμπειρικήν πράξιν των πρακτικών κατασκευών και δικαιώνει πως την μνημονευθείσαν αντίληψιν του Ταννερύ. Εν τέλει δε ο Πρόκλος προσθέτει, επανερχόμενος εις τον ορισμόν τον οποίον είχε δώσει ο Πλάτων προκειμένου περί του ευθέος, ότι ων επίπεδος επιφάνεια δύναται να νοηθή εκείνη «ἧς τὰ μέσα τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ», της οποίας τα μέσα κείνται εις την αυτήν διεύθυνσιν αντικρυζόμενα προς τα άκρα Γης. Μετά της αυτής ακριβείας καθορίζεται και η έννοια της γωνίας γενικώς και από απόψεως των διαφόρων ειδών της (ορθή. αμβλεία). Προχωρών εις τους ορισμούς των σχημάτων προτάσσει τον καθορισμόν της εννοίας του όρου λέγων : «Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας», όριον είναι εκείνο το οποίον εμφανίζεται ως πέρας ενός πράγματος. Σχήματα δε είναι τα περιεχόμενα υπό τοιούτων ορίων : «Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπὸ τίνος ἥ τίνων ὁρῶν περιεχόμενον». Κλασσικός είναι ο ορισμός του κύκλου : «Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, πρὸς ἢν ἀφ' ἔνας σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται». (Ο κύκλος είναι σχήμα επίπεδον περιεχόμενον υπό μιας γραμμής, προς την οποίαν όλαι αι αγόμεναι ευθείαι γραμμαί εξ ενός σημείου κειμένου εντός του κύκλου είναι ίσαι. Το δε σημείον τούτο καλείται κέντρον του κύκλου). Ο διδόμενος υπό του Ευκλείδου ορισμός ευρίσκεται εις άμεσον σχέσιν εξαρτήσεως από τον ορισμόν του στρογγυλού, όπως τον έχει δώσει ο Πλάτων εις τον «Παρμενίδην» του 137 Ε : «Στρογγύλον γέ πού ἐστι τοῦτο, οὐ ἂν τὰ ἔσχατα πανταχῇ ἀπὸ τοῦ μέσου ἴσον ἀπέχῃ». (Στρογγύλον ίσως είναι τούτο, του οποίου τα πέράτα εις όλην την έκτασιν των απέχουν εξ ίσου από το μέσον). Επίσης παρατηρείται ότι οι πλείστοι των ορισμών αποτελούνται συμφώνως προς τας υποδείξεις του Αριστοτέλους από την ένδειξη του προσεχούς γένους και της ειδοποιού διαφοράς. Η ακρίβεια και η αποφυγή πάσης περιττολογίας αποτελούν αξιοθαύμαστους ιδιότητας των ευκλείδειων ορισμών και αναδεικνύουν τούτους απαράμιλλους κατά την λιτότητα της διατυπώσεως.

Τα αιτήματα. Επακολουθούν ευθύς μετά τους ορισμούς πέντε αιτήματα, άτινα είναι τα ακόλουθα: 1ον) «Ἠτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγοιγεῖν» (Να θεωρηθή ως αιτημα ότι είναι δυνατόν να άχθη από εν (δοθέν) σημείον εις άλλο δοδεν σημείον ευθεία γραμμή). 2ον) «Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν» (Μία πεπερασμένη ευθεία (δύναται) να προεκταθη κατά διεύθυνσιν ευθείας γραμμής συνεχώς). Δια του δευτέρου τούτου αξιώματος καθίσταται δυνατή η πρόσθεσις γεωμετρικών μηκών. 3ον) «Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι». (Είναι δυνατόν να γράφεται κύκλος με οιονδήποτε κέντρον και με οιανδήποτε ακτίνα (κατά λέξην διάστημα από το κέντρον έως την περιφέρειαν). Δια του τρίτου αξιώματος ου μόνον βεβαιούται η δυνατότης υπάρξεως του κύκλου, αλλά παρέχεται η ευκολία να φέρωμεν προς οιανδήποτε κατεύθυνσιν μίαν ευθείαν ίσην προς δοθείσαν. Αν γράψωμεν δηλαδή κύκλον με την δοθείσαν ευθείαν θα έχωμεν τας ακτίνας αίτινες θα είναι ίσαι ευθείαι προς την δοθείσαν κατευθυνόμενοι προς άλλην κατεύθυνσιν. Το τέταρτον αιτημα αναφέρεται εις την ισότητα των ορθών γωνιών : «Καὶ πάσας τάς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι». (Όλαι αι ορθαί γωνίαι είναι ίσαι προς αλλήλας) . Το αίτημα τούτο ημφεσβητήθη. ως αναφέρει ο Πρόκλος, υπό των παλαιών γεωμετρών, οίτινες εθεώρησαν αυτό ως επιδεκτικόν αποδείξεως. Επακολουθεί κατόπιν το πολυθρύλητον πέμπτον αίτημα, όπερ αποτελεί το σημείον της διαχωρίσεως της ευκλείδειου γεωμετρίας από τας επινοηθείσας υπό των νεωτέρων γεωμετρών μη Ευκλειδείους γεωμετρίας. «Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονος ποιῇ, ἐκβαλλομένας τάς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες». (Εάν ευθεία συναντώσα δύο ευθείας σχηματίζη τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας μικροτέρας των δύο ορθών αι δύο ευθείαι συνεχώς προεκτεινόμεναι συμπίπτουν προς το μέρος προς το οποίον είναι αι μικρότεροι των δύο ορθών). Ήδη εις την αρχαιότητα ηγέρθησαν αμφισβητήσεις, αν η πρότασις αύτη πρέπει να καταταχθή εις τα αιτήματα η τα θεωρήματα. Ο Πρόκλος, σχολιάζων τούτο, γράφει : «Τοῦτο καὶ παντελῶς διαγράφειν χρῇ τῶν αἰτημάτων θεώρημα γάρ ἐστι, πολλὰς μὲν ἀπορίας ἐπιδεχόμενον, ἂς καὶ ὁ Πτολεμαῖος ἐν τίνι βιβλίῳ διαλύσαι προύθετο, πολλῶν δὲ εἰς ἀπόδειξιν δεόμενον καὶ ὁρῶν καί, θεωρημάτων». (Την πρότασιν αυτήν είναι ανάγκη να διαγράφωμεν εξ ολοκλήρου εκ των αιτημάτων διότι είναι θεώρημα το όποιον επιδέχεται πολλάς απορίας τας οποίας έθεσεν ως σκοπόν να λύση ο Πτολεμαίος εις κάποιον βιβλίου του, έχει δε ανάγκην, δια να αποδειχθή, πολλών ορισμών και θεωρημάτων).

Μετά τα αιτήματα προχωρεί το πρώτον Βιβλίον των Στοιχείων εις τας κοινάς εννοίας, τας όποιας ημείς ονομάζομεν αξιώματα. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί τον όρον «κοιναὶ ἔννοιαι» Δια να δείξη ότι δεν πρόκειται περί προτάσεων αίτινες προσιδιάζουν μόνον εις ένα κλάδον της μαθηματικής επιστήμης, άλλ' εις όλους τους κλάδους αυτής, περαιτέρω δε και εις άλλας επιστήμας. Αι κοιναί αύται έννοιαι (αξιώματα) είναι αι ακόλουθοι: 1ον) «Τά τῳ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα». (Ὅσα εἶναι πρὸς τρίτον τὶ ἴσα εἶναι καὶ πρὸς ἀλλῆλα ἴσα, δηλαδὴ Α = Β, Β = Γ, Γ = Α). Ο Πρόκλος αναφέρει ότι ο Απολλώνιος εθεώρησε το αξίωμα τούτο ως θεώρημα και ηθέλησε να το αποδείξη δια της ακολούθου επιχειρηματολογίας : «Ἔστω τὰ α τῷ β ἴσον, τοῦτο δὲ τῷ γ, λέγω ὅτι καὶ τὸ α τῷ γ ἴσον. Ἐπεὶ γὰρ τὸ α τῷ β ἴσον, τὸν αὐτὸν αὐτῷ κατέχει τόπον, καὶ ἐπεὶ τὸ β τῷ γ ἴσον, τὸν αὐτὸν καὶ τούτῳ κατέχει τόπον. Ἴσα ἄρα ἐστὶν.» (Έστω το α = β, το δε β = γ· λέγω ότι και το α = γ. Διότι αφού το α είναι ίσον με το β, κατέχει τον αυτόν τόπον προς αυτό, και αφού το β είναι ίσον με το γ κατέχει τον αυτόν τόπον με αυτό. Άρα είναι ίσα.) Όπως όμως παρετήρησεν ο Πρόκλος, η απόδειξις του Απολλώνιου στερείται ενάργειας και αυτάρκειας, διότι προϋποθέτει ως αμέσως εναργείς δύο προτάσεις. Πρώτον δηλαδή ότι τα κατέχοντα τον αυτόν τόπον είναι ίσα προς άλληλα και δεύτερον ότι τα κατέχοντα τον αυτόν τόπον με τρίτον τι κατέχουν τον αυτόν τόπον και ων προς άλληλα. Είναι προφανές ότι ο Απολλώνιος θέλει να αναγάγη τας λογικάς σχέσεις εις τας γεωμετρικός. Ως προς τούτο ο Απολλώνιος έχει προλάβει τας προσπάθειας των νεωτέρων εμπειριστών γνωσιολόγων, όπως ο Λάγκε και ο Κρόμαν, οίτινες ηθέλησαν να παραγάγουν τας λογικάς σχέσεις από τας σχέσεις της κατά χώρον συμπτωματικότητος. Τα επακολουθούντα τρία αξιώματα αναφέρονται εις τας ισότητας και ανισότητας. 2ον) «Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα» (Αν εις ίσα προστεθούν ίσα, όλα εξακολουθούν να είναι ίσα) . 3ον) «Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα». (Εάν από ίσα αφαιρεθούν ίσα εκείνα τα οποία απομένουν είναι ίσα). 4ον) «Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα» (Εάν εις άνισα προστεθούν ίσα, όλα εξακολουθούν να είναι άνισα) . Η πέμπτη κοινή έννοια είναι η ακόλουθος. : «Καὶ τά του αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν»(Τα διπλάσια εν σχέσει με το αυτό είναι ίσα προς άλληλα). Η δε έκτη : «Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἠμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν».(Τα ημίση του αυτού είναι και προς άλληλα ίσα). Μετά δε την εκφώνησιν των ανωτέρω σχετικών με τας σχέσεις ισότητος οίτινες προέρχονται εκ προσθέσεως, αφαιρέσεως, πολλαπλασιασμού και διαιρέσεως. φθάνει εις την εκφώνησιν του σπουδαιότατου από γεωμετρικής απόψεως αξιώματος της συμπτωματικότητος, εκφραζόμενου δια της υπ' αριθ. 7 κοινής έννοιας: «Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ’ ἀλλῆλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν». (Και όσα εφαρμόσουν το εν επάνω εις το άλλο (δηλαδή κατέχουν τον αυτόν τόπον) είναι ίσα προς άλληλα). Ως ογδόη κοινή έννοια επακολουθεί το αναλυτικόν αξίωμα: «Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ἐστιν». (Τα όλον είναι μεγαλύτερον του μέρους). Διά του αξιώματος τούτου καθίσταται δυνατή η θεώρησις των ανισοτήτων. Ως τελευταίον και ένατον αξίωμα επακολουθεί : «Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσι» (Δύο ευθείαι δεν δύνανται να περικλείσουν εν οιονδήποτε διάστημα). Άλλα το αξίωμα τούτο θεωρείται ων προστεθέν μεταγενεστέρως εις το κείμενον. Φαίνεται δε ότι ελήφθη από το τέταρτον θεώρημα του πρώτου βιβλίου, ένθα αναγράφεται : «Δύο εὐθεῖαι γωρίον. περιέξουσιν ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον».

Επί τη βάσει των όρων, των αιτημάτων και των κοινών αρχών γίνεται η προχώρησις εις την απόδειξιν των θεωρημάτων και λύσιν των προβλημάτων. Εις την αρχήν εκάστου εκ των βιβλίων προστίθενται και νέοι «όροι», οίτινες είναι απαραίτητοι δια την προχώρησιν της ερεύνης. Έκαστος δε εκ των όρων διατυπούται μόνον όταν είναι δυνατόν να κατανοηθή επί τη βάσει των προηγουμένων. Τοιουτοτρόπως το όλον σύστημα αποτελεί θαυμαστήν ενότητα άνευ ουδενός χάσματος. Δια τούτο εθεωρήθησαν τα «Στοιχεία» τού Ευκλείδου ως πρότυπα αποδεικτικής βεβαιότητος και συστηματικής ακολουθίας. Όταν ο Σπινόζα (Spinosa) λέγη ότι έγραφε την ηθικήν του «κατά γεωμετρικόν τρόπον» (μόρε γκεομετρικο, more geometrico), είχεν yπ' όψιν του τα «Στοιχεία» του Ευκλείδου. Τα περισσότερα από τα φιλοσοφικά συστήματα του ορθολογισμού έχουν λάβει ων πρότυπον τον τρόπον της συντάξεως των «Στοιχείων» του Ευκλείδου και φιλοτιμούνται να αμιλληθούν προς αυτά κατά την ακρίβειαν και την συστηματικότητα. Συνεπώς ο Ευκλείδης δεν επηρέασε μόνον την μαθηματικήν σκέψιν, αλλά και την καθόλου επιστημονικήν διανόησιν και τον φιλοσοφικόν στοχασμόν.

Η αξία των «Στοιχείων» του Ευκλείδου.

Είναι εσφαλμένη η αντίληψις ότι τα «Στοιχεία» έχουν ων σκοπόν να παρουσιάσουν εν απηρτισμένον γεωμετρικόν σύστημα. Εν τω συνόλω των αποτελούν γενικωτάτην αριθμητικήν θεωρίαν, διότι, ων ελέχθη, κατά την γενομένην ανάλυσιν του περιεχομένου των τα 7—10 βιβλία μάς δίδουν μίαν ωλοκληρωμένην μαθηματικήν θεωρίαν. Εις το δεύτερον επίσης βιβλίον μάς παρέχουν την γεωμετρικήν άλγεβραν. Το πέμπτον βιβλίον περιέχει την γενικευμένην περί αναλογιών θεωρίαν του Ευδόξου, δια της οποίας είχεν επιτευχθή η επέκτασις των αναλογιών και επί των ασύμμετρον μεγεθών. Το όλον σύγγραμμα δεν έγράφη δια να αποτελέση βιβλίον διδασκαλίας, αλλά δια να διευκολύνη την δυνατότητα της μαθηματικής θεωρίας. Δια τούτο δεν απασχολείται με τας λογιστικάς πράξεις, εις τας όποιας μεγάλην σπουδαιότητα αποδίδουν τα νεώτερα μαθηματικά. Η ελληνική μαθηματική επιστήμη προετίθετο να κατανόηση θεωρητικώς τον μαθηματικόν κόσμον και έβλεπεν εις τον δεδομένον κόσμον απομίμημα της εν τη θεωρία υφισταμένης πραγματικότητος. Ο Ευκλείδης, ων γνήσιος Πλατωνικός, προχωρεί εκ των απλούστατων «Στοιχείων», από το σημείον, την γραμμήν και τα σχήματα, δια να ανέλθη εις την θεώρησιν των πέντε κανονικών πολυέδρων, των πέντε δηλαδή κοσμικών σωμάτων, κατά το υπόδειγμα τω οποίων εδίδασκεν ο Πλάτων, ότι είχε δημιουργηθή υπό του Δημιουργού ο κόσμος. Εις το βάθος της αντιλήψεως ταύτης ενυπολανθάνει η δοξασία ότι ο δεδομένος κόσμος έχει μαθηματικήν υφήν, υπακούει εις μαθηματικάς σχέσεις, αίτινες παρ' όλον τούτο έχουν ανεξάρτητον και ιδεώδη υπόστασιν. Συμμεριζόμενοι δε την δοξασίαν ταύτην οι μεγάλοι ερευνηταί της αναγεννήσεως κοτώρθωσαν να παρουσιάσουν την επί μαθηματικών αποδείξεων στηριζομένην φυσικήν, επί της όποιας εβάσισεν η νεωτέρα τεχνική τας ανακαλύψεις της.

Αι μη Ευκλείδειοι γεωμετρίαι.

Από των αρχών τού δεκάτου ενάτου αιώνος ήρχισε να γίνεται λόγος περί της δυνατότητος υπάρξεως γεωμετρικών συστημάτων μη ευκλείδειου μορφής. Η σκέψις της νεωτέρας εποχής εν τη εκζητήσει απολύτου πρωτοτυπίας δεν ανέχεται την υποδούλωσίν της εις τας δύο ελληνικάς μαθήσεις, εκ των οποίων η μια είναι η αριστοτελική λογική, η δε έτερα η ευκλείδειος γεωμετρία. Εναντίον της αριστοτελικής λογικής ηθέλησεν η νεωτέρα σκέψις άλλοτε μεν να αντιτάξη σύστημα επαγωγικής λογικής, άλλοτε δε το σύστημα της δι’ αλγεβρικών συμβόλων εκφραζόμενης λογικής. Εναντίον της ευκλείδειου γεωμετρίας η νεωτέρα σκέψις αντέταξε τας μη ευκλείδειους γεωμετρίας. Όπως όμως και αι αντιαριστοτελικαί λογικαί θεωρίαι έλαβον την υπόστασίν των από στοιχεία ενυπάρχοντα εις το αριστοτελικόν σύστημα, κατά τον αυτόν τρόπον και αι μη ευκλείδειοι γεωμετρίαι έλαβον τας αφετηρίας των εκ δεδομένων του ευκλείδειου συστήματος. Όπως εσημειώσαμεν ανωτέρω, το σημείον εκείνο από το όποιον προσπαθούν να εύρουν διαφυγήν αι αντευκλείδειοι γεωμετρίαι είναι το πέμπτον αίτημα, το αναφερόμενον εις τας παραλλήλους. Τούτο είχεν αποτελέσει αφορμήν ανησυχιών και αναζητήσεων ήδη από της αρχαίας εποχής. Εκτός τούτου και ο ορισμός της ευθείας λόγω της σκοτεινόιητός του είχε δώσει αφορμήν εις παρόμοιας ανησυχίας και είχεν ήδη εις την αρχαιότητα ο Αρχιμήδης προτιμήσει να ορίση την ευθείαν ων την συντομωτάτην μεταξύ δύο σημείων γραμμήν. Αι εν λόγω ανησυχίαι, και ιδία η εις το αίτημα των παραλλήλων αναφερομένη, εξηκολούθησαν να ταράσσουν τους γεωμέτρας διαρκώς. Πολλοί είχον επιχειρήσει, ακολουθούντες την γνώμην του Πρόκλου, να παράσχουν απόδειξιν σχετικώς με το θεώρημα τούτο, χωρίς να το επιτύχουν. Κατά το 1733 ο μαθηματικός Σάχερι (Saccheri) ηθέλησε να το απόδειξη δια της εις άτοπον απαγωγής. Δεν κατώρθωσε μεν να παρουσίαση την επιζητουμένην απόδειξιν. Αλλά κατά τας έρευνας του κατώρθωσε να ανακάλυψη αριθμόν τίνα θεωρημάτων, άτινα σήμερον κατατάσσονται εις την υπερβολικήν γεωμετρίαν. Εις το σύστημα της γεωμετρίας ταύτης το εν λόγω αξίωμα του Ευκλείδου ουδεμίαν έχει ισχύν. Επίσης και ο Λεζάντρ (Legrndres) εταύτισε το αίτημα των παραλλήλων με την εξ αυτού απορρέουσαν πρότασιν ότι το άθροισμα των τριών γωνιών του τριγώνου ισούται με δύο ορθάς και ηθέλησε να το παραγάγη από τον ορισμόν της ευθείας. Κατά τας έρευνας του δεν ηδυνήθη να παρουσίαση την εν λόγω παραγωγήν, αλλά κατώρθωσε να αποδείξη ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν δύναται να είναι μεγαλύτερον των δύο ορθών, ουχί όμως ότι δεν είναι δυνατόν να είναι το εν λόγω άθροισμα μικρότερον των δύο ορθών. Συνεχίζων τας έρευνας του Λεζάντρ ο Λομπατσέφσκυ (Lobatschewsky) κατά το 1825 εσκέφθη ότι το αίτημα των παραλλήλων dεν έχει οργανικήν σχέσιν με τον ορισμόν της ευθείας, και ότι αν δεν το θεωρήσωμεν ως έχον ισχύν, δεν εμφανίζεται κατά την περαιτέρω ανάπτυξιν των εκ. της αφετηρίας ταύτης προκυπτουσών προτάσεων ουδεμία αντίφασις. Διατηρών λοιπόν πάντας τους ορισμούς και τα λοιπά αιτήματα του Ευκλείδου και καταργών το περί παραλλήλων αιτημα, κατεσκεύασε σύστημα γεωμετρίας, το όποιον παρουσιάζει ακρίβειαν και συνέπειαν. Είναι αυτονόητον ότι πολλαί προτάσεις της γεωμετρίας του είναι διάφοροι της ευκλειδείου. Ούτως αποδεικνύει ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερον των δύο ορθών και ότι η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος τούτου και των δύο ορθών είναι ανάλογος προς την επιφάνειαν του τριγώνου. Έτερος ερευνητης, ο Ρίμαν (Riemman), αφορμώμενος από την προυπόθεσιν ότι ουδεμία παράλληλος δύναται να άχθη δι' ενός σημείου προς άλλην ευθείαν, έφθασεν εις άλλο γεωμετρικόν σύστημα, εις το όποιον το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μεγαλύτερον των δύο ορθών. Εις εκατέραν των γεωμετρίων τούτων ο χώρος θεωρείται από διαφορετικής απόψεως, είτε ως σφαιρικός είτε ων ψευδοσφαιρικός. Ούτως έλαβον υπόστασιν αι λεγόμεναι μη ευκλείδειοι η αντευκλείδειοι γεωμετρίαι, αι υπό πολλών και μεταγεωμετρίαι καλούμεναι ων δήθεν υπερβαίνουσαι την αφελή γεωμετρικήν αντίληψιν και μετάγουσαι ημάς εις την μεταφυσικήν κατανόησιν του χώρου.

Κατόπιν της ανακαλύψεως των νέων τούτων συστημάτων ηγέρθη το ζήτημα περί της αξίας της ευκλείδειου γεωμετρίας εν συγκρίσει προς. ταύτας. Οπωσδήποτε και αν έχη τα πράγμα, η αλήθεια είναι ότι αι νέαι αύται γεωμετρίαι προϋποθέτουν την ευκλείδειον. Εδημιουργήθησαν εντός του κύκλου της ευκλειδείου από επιστήμονας οίτινες ήσαν κάτοχοι του ευκλειδείου συστήματος. Εκτός τούτου η γενική ιδέα περί της συντάξεως της επιστήμης ων ενιαίας ενότητος επί τη βάσει αξιωματικών άρχων και καθωρισμένης μεθοδικής πορείας, μένει όπως εσχεδιάσθη από τον Πλάτωνα και τον Ευκλείδην. Από απόψεως τυπολογικής λοιπόν ουδείς νεωτερισμός εισάγεται. Προβάλλεται μόνον ο ισχυρισμός ότι αι νέαι αύται γεωμετρίαι πλησιάζουν περισσότερον προς την κατασκευήν του χώρου, όπως είναι εις την πραγματικότητα. Αλλ' εν τοιαύτη περιπτώσει υποτίθεται ότι ο χώρος είναι δεδομένη εν τη πραγματικότητι οντότης, προς την οποίαν πρέπει να προσεγγίσωμεν δια των μετρήσεων μας. Αλλά τοιουτοτρόπως καταλύεται η επί αξιωματικών βάσεων οικοδόμησις του γεωμετρικού συστήματος και δεν εξηγείται πώς τα διάφορα γεωμετρικά συστήματα δύναται να αχθούν εις την κατά τα περιεχόμενον των αντιστοιχίαν. Ίσως θα ηδύνατο τις να είπη ότι η εκζήτησις νέων γεωμετριών πέραν της ευκλείδειου είναι σύμπτωμα των ανορθολογιστικών τάσεων, υπό των όποιων διακατέχεται η εποχή μας και αίτινες έχουν εμφανισθή και εις την περιοχήν της καλλιτεχνίας. Η ευκλείδειος γεωμετρία απαιτεί από τον γεωμέτρην να υψούται υπεράνω της δεδομένης εποπτείας εις οριακήν αντίληψιν των δεδομένων. Εις την φύσιν ουδέποτε δίδεται απολύτως ευθεία γραμμή, ούτε κύκλος με την ακρίβειαν την οποίαν απαιτεί ο γεωμετρικός ορισμός. Ο Πλάτων όμως και ο Ευκλείδης απαιτούν από τον γεωμέτρην να υψωθή εις την θεώρησιν της ιδεωδώς νοούμενης ευθείας και του ιδεωδώς νοουμένου κύκλου. Ουδέποτε βαδίζομεν ως άνθρωποι ζώντες και κινούμενοι επ' ευθείας, άλλ' επί των τόξων άτινα εμφανίζει η σφαιρική επιφάνεια της γης. Εν τούτοις όμως λέγομεν ότι χαράσσομεν μίαν ευθείαν. Είναι πολύ ευκολώτερον να φαντασθώμεν τας διαστάσεις του διαστήματος κατά τον τρόπον ον υποδεικνύουν αι μεταγεωμετρίαι. Από της απόψεως ταύτης αι μεταγεωμετρίαι είναι δείγμα επιστροφής εις την πρωτόγονον ανορθολογιστικήν αντίληψιν. Ο Μπρούνσβιγκ εις το βιβλίον του, το όποιον εμνημονεύσαμεν ανωτέρω, «Στάδια της μαθηματικής σκέψεως», παραθέτει λίαν αξιοπρόσεκτον απόσπασμα από σύγγραμμα του Άγγλου φιλοσόφου Ρέϊντ (Reid) (1710-1796), έχον ων έξης: «Αν o άνθρωπος είχεν έπαφεθή απλώς εις την αίσθησιν της οράσεως, επειδή δεν θα ηδύνατο εν τοιαύτη περιπτώσει να γνωρίση ειμή τον επιφανειακόν χώρον των δύο διαστάσεων, και επειδή θα εξελάμβανεν ων ευθείας εκείνο τω οποίον εις την πραγματικότητα θα ήτο τόξα ενός μεγάλου κύκλου χαραγμένου επί μιας σφαιρικής επιφανείας, της οποίας κέντρον θα ήτο ο οφθαλμός του, θα εθεώρει ως ευθύγραμμα τρίγωνα κάτι το οποίον θα ενεφάνιζε δύο γωνίας η τρείς γωνίας ορθάς η αμβλείας και θα εδημιούργει μίαν όλως διαφορετικήν γεωμετρίαν από την ιδικήν μας. Δύο εκ των γραμμών αυτών, τας οποίας θα εζελάμβανεν ως ευθείας, θα συνηντώντο π.χ. πάντως εις δύο σημεία, κατά τρόπον ώστε η έννοια δύο παραλλήλων ευθειών δια τον άνθρωπον «υιόν θα ήτο αδύνατος». Το απόσπασμα τούτο, όπερ ο ρηθείς συγγραψεύς το έγραψε χωρίς να έχη ουδεμίαν υπόνοιαν περί του δυνατού της ιδρύσεως των μεταγεωμετριών, ενισχύει τον ισχυρισμόν ότι αι μεταγεωμετρικαί τάσεις είναι κατά βάσιν· εκδήλωσις των ανορθολογιστικών τάσεων της εποχής. Ενθυμίζουν τούς δεσμώτας του πλατωνικού σπηλαίου, Οίτινες προ της απελευθερώσεως των εξαντλούν την ευφυΐαν των εις την μελέτην της σκιώδους πραγματικότητος των δύο διαστάσεων. Κατ' ανάλογον τρόπον και αι άντευκλείδειοι γεωμετρίαι πλανώνται εις την ανερεύνησιν του χώρου των απείρων (ν) διαστάσεων. Άλλα χώρος των ν διαστάσεων σημαινει χώρον πλήρους απροσδιοριστίας!

Άρθρα του Ε. Σταμάτη από το

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"