Η βίβλος των μαθηματικών

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 π.Χ., η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές. Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος, ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής. Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλε­ξάνδρεια, λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 π.Χ. άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επαν­δρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης, που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα.

Ο Ευκλείδης, από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντα του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκα­τρία βιβλία ή μέρη, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιω­ματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώ­τος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματι­κών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρ­ξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων*. Τα Στοιχεία. του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυ­πωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θε­μελίωσης των μαθηματικών.

Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα-κλειδιά που χρησιμοποιού­νται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης· είναι τα θεωρή­ματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα· τα γράμ­ματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτά­σεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα.

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες. Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου π.Χ. αιώνα. Η επό­μενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο. Όπως μαθαίνουμε, η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη. Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων. Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη, ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διά­θεση του, ειδικά αν, όπως πιστεύουν, σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα.

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου. Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του, αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την ο­ποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν σε λογική σειρά οι προτάσεις, ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων. Ούτε είναι υποτιμητικό το. γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη· δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθο­δο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια.

Δε σώζεται κανένα αντίγραφο των Στοιχείων από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη. Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο. Στα 1808, όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιο­θήκες στο Παρίσι, ο Φ. Πέιραρντ (F. Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδο­ση προγενέστερη από του Θεωνά. Η μελέτη όμως αυτής της παλιό­τερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά.

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελλη­νικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεί στα λατινικά χρη­σιμοποιώντας μια απ' αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις. Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo, 1114-1187) και, 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ, ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus). Η πρώ­τη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482' η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους. Αυτό το πολύ σπά­νιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική λατινική μετά­φραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572. Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ' αυτές και η εργα­σία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις.

Ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός Αντριέν - Μαρί Λεζάντρ (Adrien - Marie Legendre, 1752-1833), γνωστός στην ιστορία των μαθηματι­κών κυρίως από τις εργασίες του πάνω στη θεωρία αριθμών, τις ελλειπτικές συναρτήσεις, τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων και τα ολοκληρώματα, ενδιαφερόταν επίσης για παιδαγωγικά ζητήματα. Στο πολύ γνωστό έργο του Elements de geometric [Στοιχεία γεω­μετρίας] προσπάθησε να πετύχει μια παιδαγωγική βελτίωση των Στοιχείων του Ευκλείδη, κάνοντας μια αναδιάταξη και απλοποίηση των προτάσεων του Ευκλείδη σε μεγάλη έκταση. Η εργασία αυτή έγινε ευνοϊκά δεκτή στην Αμερική και αποτέλεσε στη χώρα αυτή το πρότυπο για τα γεωμετρικά βιβλία. Πραγματικά, η πρώτη αγγλική μετάφραση της γεωμετρίας του Λεζάντρ έγινε στα 1819 από τον Τζων Φαράρ (John Farrar) του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ. Τρία χρόνια αργότερα μια άλλη αγγλική μετάφραση έγινε από το διάσημο φιλόλογο Τομάς Καρλάιλ (Thomas Carlyle) ο οποίος σ' ένα πρώιμο στάδιο της ζωής του ήταν καθηγητής μαθηματικών. Η μετά­φραση του Καρλάιλ, που αργότερα αναθεωρήθηκε από άλλους, έκανε 33 εκδόσεις στην Αμερική. Μέχρι πολύ πρόσφατα, τα περισσότερα βιβλία γεωμετρίας της μέσης εκπαίδευσης στην Αμερική ήταν δια­μορφωμένα σύμφωνα με την αναθεώρηση του Λεζάντρ.

Στην έκδοση του Θεωνά, τα Στοιχεία περιλαμβάνουν δεκατρία βιβλία ή μέρη και περιέχουν συνολικά 465 προτάσεις. Αντίθετα με την εντύπωση που επικρατεί, ένα μεγάλο μέρος του υλικού αφορά όχι τη γεωμετρία αλλά τη στοιχειώδη θεωρία αριθμών και την ελληνική άλγεβρα.

Το Βιβλίο Ι αρχίζει με τους απαραίτητους αρχικούς ορισμούς και τις επεξηγήσεις, τα αιτήματα και τα αξιώματα*. Αν και σήμερα οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τις λέξεις «αξίωμα» και «αίτημα» σαν συνώνυμα, οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν κάποια διάκριση που υιοθέτησε και ο Ευκλείδης' σύμφωνα μ' αυτή, αξίωμα φαίνεται πως είναι μια αρχική υπόθεση που, είναι κοινή σε όλα τα πεδία μελέτης, ενώ το αίτημα είναι μια αρχική υπόθεση ειδικά για το συγκεκριμένο αντικείμενο μελέτης. Ανάμεσα στις προτάσεις του Βιβλίου Ι βρί­σκονται τα γνωστά θεωρήματα για την ισότητα τριγώνων, τις παράλ­ληλες ευθείες και τα ευθύγραμμα σχήματα. Οι προτάσεις 47 και 48, οι δύο τελευταίες προτάσεις του βιβλίου, περιέχουν το πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφο του, και μας θυμίζουν μια ιστορία που λέγεται για τον Άγγλο φιλόσοφο Τομάς Χομπς (Thomas Hobbes, 1588-1679). Μια μέρα που άνοιξε τα Στοιχεία του Ευκλείδη και έπεσε κατά τύχη πάνω στο θεώρημα του Πυθαγόρα, ο Χομπς ανα­φώνησε: «Μα το Θεό, αυτό είναι αδύνατο!» και προχώρησε στην ανάγνωση των αποδείξεων του Βιβλίου Ι με αντίστροφη σειρά. Όταν όμως έφτασε στα αξιώματα και τα αιτήματα, τότε πραγμα­τικά πείστηκε.

Το Βιβλίο II, ένα μικρό βιβλίο με 14 μόνο προτάσεις, ασχολεί­ται κυρίως με τη γεωμετρική άλγεβρα της σχολής των πυθαγορεί­ων. Έχουμε ήδη αναφέρει στη Διάλεξη 4 ότι οι προτάσεις 12 και 13 αυτού του βιβλίου είναι ουσιαστικά η γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, που σήμερα είναι γνωστή ως νόμος των συνημίτονων.

Το Βιβλίο III, με 39 προτάσεις, περιέχει τα γνωστά θεωρήμα­τα σχετικά με κύκλους, χορδές, τέμνουσες, εφαπτόμενες και μετρή­σεις γωνιών, θεωρήματα που βρίσκουμε στα σύγχρονα βιβλία γεω­μετρίας της μέσης εκπαίδευσης. Το Βιβλίο IV, με 16 μόνο προτά­σεις, ασχολείται με την κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ορισμέ­νων κανονικών πολυγώνων, την εγγραφή τους σε δεδομένο κύκλο και την περιγραφή τους γύρω από δεδομένο κύκλο.

Το Βιβλίο V, όπως αναφέραμε στην προηγούμενη διάλεξη, παρουσιάζει με άψογο τρόπο τη θεωρία της αναλογίας του Εύδοξου. Το βιβλίο αυτό θεωρείται ένα από τα αριστουργήματα της μαθημα­τικής βιβλιογραφίας. Αν θυμόμαστε την προηγούμενη διάλεξη, η ανάγνωση αυτού του βιβλίου θεράπευσε τον Μπολτζάνο από την κατάπτωση από την οποία υπέφερε ενώ βρισκόταν σε διακοπές στην Πράγα. Το Βιβλίο VI, ένα από τα πιο πλούσια βιβλία των Στοιχεί-ων, εφαρμόζει τη θεωρία του Εύδοξου στη μελέτη όμοιων σχη­μάτων.

Τα Βιβλία VII, VIII και IX, που περιέχουν συνολικά 102 προτά­σεις, ασχολούνται με τη στοιχειώδη θεωρία αριθμών. Το Βιβλίο VII αρχίζει με τη διαδικασία που σήμερα είναι γνωστή ως αλγόριθμος του Ευκλείδη, με την οποία βρίσκουμε το μέγιστο κοινό ακέραιο διαιρέτη δύο ή περισσότερων ακεραίων. Στο ίδιο βιβλίο υπάρχει επίσης μια παρουσίαση της αρχαίας θεωρίας των αναλογιών των πυθαγορείων. Το Βιβλίο VIII αναφέρεται κυρίως σε συνεχείς αναλο­γίες και στις σχετικές με αυτές γεωμετρικές προόδους. Αν έχουμε τη συνεχή αναλογία α:β = β:γ = γ:δ, τότε οι αριθμοί α, β, γ, δ απο­τελούν γεωμετρική πρόοδο. Στο Βιβλίο IX υπάρχουν πολλά σημα­ντικά θεωρήματα της θεωρίας αριθμών. Η Πρόταση IX 14 είναι ισοδύναμη με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, που λέει ότι κάθε ακέραιος μεγαλύτερος από το 1 μπορεί να εκφραστεί ως γινό­μενο πρώτων αριθμών με έναν και ουσιαστικά μόνο έναν τρόπο. Στην Πρόταση IX 20 βρίσκουμε μια μοναδικά κομψή απόδειξη για το γεγονός ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Η Πρόταση IX 35 παρέχει μια γεωμετρική παραγωγή του τύπου που δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου, και η τελευταία πρόταση του βιβλίου, η IX 36, αποδεικνύει ένα σημαντι­κό τύπο που δίνει άρτιους τέλειους αριθμούς.

Το Βιβλίο Χ, ένα δύσκολο στην ανάγνωση βιβλίο, ασχολείται με άρρητους, δηλαδή με ευθύγραμμα τμήματα που είναι ασύμμετρα ως προς κάποιο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. Τα άλλα τρία βιβλία, τα XI, XII και XIII αναφέρονται στη στερεομετρία και καλύπτουν ένα μεγάλο μέρος της ύλης, με εξαίρεση τη σφαίρα, που συνήθως υπάρχει στα σύγχρονα βιβλία του σχολείου. Στην επόμενη διάλεξη θα δούμε ότι η βασική ύλη πάνω στη σφαίρα δόθηκε λίγο αργότερα από τον Αρχιμήδη.

Η ύλη που υπάρχει σήμερα στα σχολικά βιβλία γεωμετρίας του επιπέδου και του χώρου είναι σε μεγάλο βαθμό αυτή που βρίσκουμε στα βιβλία Ι, III, IV, VI, XI και XII του Ευκλείδη. Η ύλη των σύγ­χρονων σχολικών βιβλίων που αναφέρεται στη μέτρηση του κύκλου και της σφαίρας και η ύλη της στερεομετρίας που αναφέρεται στα σφαιρικά τρίγωνα έχουν μεταγενέστερη προέλευση και δεν περιέχο­νται στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Εκτός από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, υπάρχουν κι άλλες εργα­σίες της ελληνικής αρχαιότητας που έχουν φτάσει ως εμάς. Τέτοιες είναι οι θαυμάσιες εργασίες του Αρχιμήδη, τα Κωνικά του Απολ­λώνιου, η Μεγίστη Σύνταξη ή Αλμαγέστη [Almagest] του Πτολε­μαίου, τα Μετρικά του Ήρωνα, τα Αριθμητικά [Στοιχείωσις] του Διοφάντου, τα Σφαιρικά του Μενέλαου, η Μαθηματική Συναγωγή του Πάππου και άλλες, που σε μια πιο εκτεταμένη σειρά διαλέξεων όλες ή πολλές απ' αυτές θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Σ' αυτή την περιορισμένη σει­ρά διαλέξεων θα αναφερθούμε σε λίγες μόνο απ' αυτές τις σημαντικές εργασίες. Όσο μικρή κι αν είναι όμως μια επιλογή μεγάλων στιγμών των μαθηματικών, τα Στοιχεία του Ευκλείδη πρέπει απα­ραίτητα να βρίσκονται μέσα σ' αυτή.

Κλείνουμε τώρα αυτή τη διάλεξη καταγράφοντας τα αξιώματα και τα αιτήματα του Ευκλείδη, τα οποία όμως θα δούμε σε επόμε­νες διαλέξεις είχαν σημαντικές συνέπειες.

Τα αιτήματα

1.  Από κάθε δύο σημεία μπορούμε να φέρουμε ευθεία γραμμή.

2.   Ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα.

3.   Με  οποιοδήποτε σημείο ως κέντρο και με οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να γραφεί κύκλος.

4.   Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

5. Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνο το μέρος ό­που σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.

Τα αξιώματα ή οι κοινές έννοιες

1.  Πράγματα που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα.

2.  Αν ίσα προστεθούν με ίσα, τότε το άθροισμα θα είναι ίσα.

3.  Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα υπόλοιπα θα είναι ίσα.

4.  Πράγματα που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι ίσα μεταξύ τους.

5.  Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους.

Παρατηρήστε ότι τα τρία πρώτα αιτήματα περιορίζουν τις κατασκευές σε εκείνες που μπορούν να γίνουν με διαβήτη και αβαθμολόγητο κανόνα. Για το λόγο αυτόν τα δύο αυτά εργαλεία λέγο­νται συχνά ευκλείδεια εργαλεία και οι κατασκευές που γίνονται με αυτά λέγονται ευκλείδειες κατασκευές. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιού­σε τις κατασκευές ως θεωρήματα ύπαρξης, για να αποδείξει δηλαδή την πραγματική ύπαρξη ορισμένων οντοτήτων. Έτσι μπορεί κανείς να ορίσει τη διχοτόμο μιας δεδομένης γωνίας ως μια γραμμή του επιπέδου της γωνίας η οποία περνά από την κορυφή της γωνίας και τη διαιρεί σε δύο ίσες γωνίες. Ο ορισμός όμως δεν εγγυάται την ύπαρξη αυτού που ορίζεται — αυτό απαιτεί απόδειξη. Για να απο­δείξουμε ότι μια γωνία έχει πραγματικά διχοτόμο, πρέπει να απο­δείξουμε ότι μπορούμε να την κατασκευάσουμε. Τα θεωρήματα ύπαρξης είναι πολύ σημαντικά στα μαθηματικά και η πραγματική κατασκευή μιας οντότητας είναι ο πιο ικανοποιητικός τρόπος από­δειξης της ύπαρξης της. Μπορεί κανείς να ορίσει έναν τετραγωνικό κύκλο ως ένα σχήμα που είναι ταυτόχρονα τετράγωνο και κύκλος, αλλά δεν μπορεί ποτέ να αποδείξει την ύπαρξη του" η κλάση των τετραγωνικών κύκλων δεν έχει μέλη. Στα μαθηματικά είναι καλό να ξέρουμε πως το σύνολο των στοιχείων που ικανοποιούν κάποιον ορισμό δεν είναι το κενό σύνολο.

Το γεγονός ότι υπάρχουν κατασκευές που γίνονται και με εργα­λεία άλλα από τα ευκλείδεια έχει προσδώσει ζωντάνια σ' αυτό το μέτωπο της γεωμετρίας. Επίσης οι άκαρπες προσπάθειες να πραγ­ματοποιηθούν κατασκευές που σήμερα γνωρίζουμε πως δεν μπορούν να γίνουν με αυτά τα εργαλεία οδήγησε στην ανακάλυψη ενός μεγά­λου και ενδιαφέροντος μέρους της γεωμετρίας.

Αργότερα θα δούμε ότι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη οδή­γησε το 19ο αιώνα σε αποτελέσματα τεράστιας σημασίας για την ανάπτυξη των μαθηματικών. Ο Κ. Κέισερ (Cassius J. Keyser) έχει χαρακτηρίσει το αίτημα αυτό ως «την πιο φημισμένη μεμονωμένη πρόταση στην ιστορία της επιστήμης».

Ασκήσεις

8.1 (α) Ο καθηγητής της γεωμετρίας παρουσιάζει στην τάξη του το μάθημα των παραλληλογράμμων. Αφού ορίσει το παραλληλόγραμμο, ποια σχετικά θεωρήματα περίπου να παρουσιάσει ως «στοιχεία» του θέματος;

(β) Ο καθηγητής της γεωμετρίας προετοιμάζοντας το μάθημα των όμοιων σχημάτων αφιερώνει ένα ή δύο μαθήματα, στη θεωρία των αναλογιών. Ποια θεωρήματα πρέπει να διαλέξει ως «στοιχεία» του θέματος και με ποια σειρά να τα παρου­σιάσει;

8.2 Σαν παράδειγμα μη γεωμετρικού θέματος που υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη, ας πάρουμε τον ευκλείδεια αλγόριθμο που δίνει το μέγιστο κοινό ακέραιο διαιρέτη (μ.κ.δ.) δυο θετικών ακε­ραίων.  Ο αλγόριθμος βρίσκεται στην αρχή του Βιβλίου VII του Ευκλείδη, αν και ήταν χωρίς αμφιβολία γνωστός και πριν από την εποχή του Ευκλείδη. Η διατύπωση του με τη μορφή ενός κανόνα είναι η ακόλουθη: Διαίρεσε το μεγαλύτερο από τους δυο θετικούς ακεραίους με το μικρότερο. Μετά διαίρεσε το διαιρέτη με το υπό­λοιπο. Συνέχισε αυτή τη διαδικασία, να διαιρείς τον τελευταίο διαι­ρέτη με το τελευταίο υπόλοιπο, μέχρι η διαίρεση να είναι τέλεια. Ο τελευταίος διαιρέτης είναι ο ζητούμενος μ.κ.δ. των δύο αρχικών θετικών ακεραίων.

(α) Βρείτε με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη το μ.κ.δ.  των 1827,

2523 και 3248.

(β) Αν κ είναι ο μ.κ.δ. των θετικών ακεραίων α και β αποδείξτε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι μ και ν (όχι απαραίτητα θετικοί) ώστε μα + νβ = κ.

(γ) Υπολογίστε το μ, ν και κ για τους ακεραίους 5913 και 7592.

(δ) Αποδείξτε ότι οι α και β είναι πρώτοι προς αλλήλους, αν και μόνο αν υπάρχουν ακέραιοι μ και ν, ώστε μα + νβ = 1.

8.3  Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής λέει ότι για κάθε θετικό ακέραιο α, υπάρχουν μοναδικοί, μη αρνητικοί, ακέραιοι α₁, α₂, α₃,..., από τους οποίους ένα πεπερασμένο μόνο πλήθος είναι διαφο­ρετικοί από μηδέν, τέτοιοι ώστε:

 όπου 2, 3, 5,... είναι οι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί, αυτό υποδείχνει έναν χρήσιμο συμβολισμό. Θα γράφουμε

α = (αι, α2,..., αν),

 όπου α_ν είναι ο τελευταίος μη μηδενικός εκθέτης.   Έτσι έχουμε

12= (2, 1), 14 = (1, Ο, Ο, 1), 27 = (Ο, 3) και360 = (3, 2, 1).

Αποδείξτε τα πιο κάτω θεωρήματα:

(α)   αβ = (α₁+β₁, α₂+β₂,...).

(β) Ο β είναι διαιρέτης του α, αν και μόνο αν, για κάθε i β_i μικρότερος ή ίσος  α_i.

(γ) Το πλήθος των διαιρετών του α είναι (α1+1)... (α2 + 1)... (αν+1).

(δ) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας αριθμός α τέλειο τετράγωνο είναι το πλήθος των διαιρετών του α να είναι πε­ριττό.

(ε) Έστω ότι ο γ_i είναι ίσος με το μικρότερο των α_i και β_i αν αν α_i διάφορο του β_i και ίσος με α_i  ή β_i αν α_i  = β_i. Τότε ο γ = (γ₁, γ₂,···) είναι ο μ.κ.δ. των α και β.

8.4  Ο Ευκλείδης ορίζει τον κύκλο ως «το επίπεδο σχήμα που περιέχεται σε μια γραμμή τέτοια, ώστε όλες οι ευθείες γραμμές που την τέμνουν και περνούν από ένα ειδικό σημείο από αυτά που βρίσκονται μέσα στο σχήμα, είναι ίσες». Σε τι διαφέρει αυτός ο ορι­σμός από το σύγχρονο ορισμό του κύκλου.

8.5  Πρέπει να καταλάβουμε επακριβώς το στόχο του τρίτου αιτήματος του Ευκλείδη. Αυτό λέει ότι, όταν δίνονται δυο σημεία Α και Β, μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα. ΑΒ. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι οι διαβήτες του Ευκλείδη διαφέ­ρουν από τους δικούς μας, αφού με τους δικούς μας διαβήτες μπο­ρούμε να σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο κάποιο σημείο Α και ακτίνα κάποιο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Με άλλα λόγια, μπορούμε να μεταφέρουμε την απόσταση ΒΓ στο κέντρο Α, χρησιμοποιώντας το διαβήτη σαν μετρητή, ενώ για τους ευκλείδιους διαβήτες πρέπει να υποθέσουμε ότι κλείνουν μόλις ένα από τα πόδια τους σηκωθεί από το χαρτί.

Ο σπουδαστής που διαβάζει τα Στοιχεία του Ευκλείδη για πρώτη φορά θα εκπλαγεί ίσως από τις πρώτες προτάσεις του βι­βλίου Ι. Οι πρώτες τρεις προτάσεις είναι τα πιο κάτω κατασκευα­στικά προβλήματα:

Ι₁. Να κατασκευαστεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο πάνω σε δεδομέ­νο ευθύγραμμο τμήμα.

Ι₂. Από δεδομένο σημείο να σχεδιαστεί ευθύγραμμο τμήμα ίσο με ένα δεδομένο.

Ι₃. Αν δοθούν δυο άνισα ευθύγραμμα τμήματα, να αφαιρεθεί το μικρότερο από το μεγαλύτερο.

Αυτές οι τρεις κατασκευές είναι πολύ εύκολο να γίνουν με κανό­να και με σύγχρονους διαβήτες, απαιτούν όμως κάποια ευστροφία για να γίνουν με κανόνα και με ευκλείδειο διαβήτη,

(α) Κάντε τις πιο πάνω κατασκευές με τα. ευκλείδεια εργαλεία,

(β) Δείζτε ότι η πρόταση Ι₂ δείχνει ότι ο κανόνας και ο ευκλείδειος διαβήτης είναι ισοδύναμος με τον κανόνα και τον σύγχρονο διαβήτη.

8.6 Στο Βιβλίο II των Στοιχείων, μια σειρά αλγεβρικές ταυτό­τητες αποδεικνύονται με γεωμετρικό τρόπο. Αποδείξτε με γεωμε­τρικό τρόπο τις παρακάτω ταυτότητες, αν α, β, γ και δ είναι θετι­κές ποσότητες.

(α) (α+β)² = α²+2αβ+β²

(β) α²-β² = (α+β) (α-β), α>β

(γ) (α+β)² = (α-β)² + 4αβ, α>β

(δ) α(β+γ) = αβ+αγ

(ε) (α+β) (γ +δ) = αγ + βγ + αδ + βδ

8.7 (α)  Έστω ρ₁ και ρ₂ οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης χ²-αχ+β²=0

όπου α και β θετικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι ρ ₁+ ρ ₂ = α,  ρ₁ρ₂ = β² και ότι οι ρ₁ και ρ₂ είναι θετικοί αν β < α/2.

(β) Για να λύσουμε την εξίσωση του (α) γεωμετρικά και για πραγ­ματικές ρίζες, πρέπει να βρούμε ευθύγραμμα τμήματα ρ₁ και ρ₂ από δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα α και β. Δηλαδή πρέπει να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο, το οποίο να είναι ισοδύναμο με δεδομένο τετράγωνο και στο οποίο το άθροισμα της βάσης και

Σχήμα 1

Σχήμα 2

του ύφους του να είναι ίσο με δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. Βρείτε μια κατάλληλη κατασκευή σύμφωνα με το σχήμα 1 και αποδείξτε γεωμετρικά ότι για να υπάρχουν πραγματικές ρίζες πρέπει β μικρότερο ή ίσο α/2.

(γ) Έστω ρ₁ και ρ₂ οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

χ²-αχ-β² = 0

όπου χ και β θετικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι ρ₁ + ρ₂ = α και ρ₁ρ₂ = -β² , ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και ότι η αριθμητικά μεγαλύτερη είναι θετική, ενώ η άλλη είναι αρνητική.

(δ) Για να λύσουμε γεωμετρικά τη δευτεροβάθμια εξίσωση του (γ), πρέπει να βρούμε ευθύγραμμα τμήματα ρ₁και ρ₂ από δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα α και β. Δηλαδή πρέπει να κατασκευά­σουμε ένα ορθογώνιο το οποίο να είναι ισοδύναμο με δεδομένο τετράγωνο και του οποίου η διαφορά της βάσης και του ύφους να είναι ίση με δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. Βρείτε μια κατάλ­ληλη κατασκευή σύμφωνα με το σχήμα 2.

(ε) Δώστε κατάλληλες κατασκευές για τη γεωμετρική και για πραγ­ματικές ρίζες λύση των εζισώσεων x² +αχ+β² = 0 και χ² +αχ –β² = 0, όπου α και β θετικοί αριθμοί.

(στ) Δεδομένου ενός μοναδιαίου ευθύγραμμου τμήματος, λύστε γεω­μετρικά τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις

χ²-7χ+10 = 0

χ²-4χ-21 = 0.

(ζ) Με κανόνα και διαβήτη χωρίστε ένα ευθύγραμμο τμήμα α σε δύο μέρη έτσι ώστε η διαφορά των τετραγώνων τους να ισούται με το γινόμενο τους.

(η) Δείξτε ότι στο (ζ), το μεγαλύτερο από τα δύο τμήματα είναι ο μέσος ανάλογος μεταξύ του μικρότερου και ολόκληρου του τμή­ματος. (Το ευθύγραμμο τμήμα λέμε ότι χωρίστηκε σε μέσο και άκρο λόγο, ή σε χρυσό λόγο).

Λύσεις

8.2 

(γ) -7·(7592) + 9·(5913) = 73.

(δ) Οι α και β είναι πρώτοι προς αλλήλους αν και μόνο αν ο μ.κ.δ. =1.

8.3 

(γ) Γιατί κάθε β, της ερώτησης (β) μπορεί να πάρει (α₁ + 1) τιμές

(δ) Ο α είναι τέλειο τετράγωνο αν και μόνο αν κάθε α_i είναι άρτιος. Κάθε α_i είναι άρτιος αν και μόνο αν το γινόμενο στο ερώτημα (γ) είναι περιττό.

8.4  Για τον Ευκλείδη, κύκλος ήταν ένας κυκλικός δίσκος.

8.5  Για την κατασκευή I₂:  Έστω Α το δεδομένο σημείο και ΒΓ το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. Κατασκευάστε, σύμ­φωνα με την Ι₁, ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΔ. Σχεδιάστε έναν κύκλο Β(Γ) και έστω ότι το ΔΒ προεκτεινόμενο τέμνει αυτό τον κύκλο στο Η. Σχεδιάστε τώρα τον κύκλο Δ(Η) που τέμνει, την προεκτεινόμενη ΔΑ στο Α. Το ΑΑ είναι το ζητούμενο τμήμα.

Σχήμα 3,4

Σχήμα 5,6

8.6

(α) Βλ. σχήμα 3

(β) Βλ. σχήμα 4

(γ) Βλ. σχήμα 5

(δ) Βλ. σχήμα 6

8.7 (α)   Έχουμε (χ- ρ₁)·(χ - ρ₂) = χ² - αχ + β²

Σχετική Βιβλιογραφία

1. Heath T.L., The Thirteen Books of Euclid's Elements, 2η έκδ., 3 τομ. New York: Cambridge University Press, 1926. Επανέκδοση από Dover, 1956.

---

*  Ο Χίλμπερτ (David Hubert) ισχυρίστηκε κάποτε ότι η αξία μιας εργα­σίας μπορεί να εκτιμηθεί από το πλήθος των προηγουμένων εργασιών που εκτόπισε. 

*  Ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί αντίστοιχα τους όρους «αιτήματα» και «κοινές έννοιες» (Σ.τ.μ.).