Διὀφαντου Αριθμητικα - Ευάγγελου Σταματη

Link Google Drive
https://drive.google.com/file/d/0B_ERIDGlK7lMWWFhdFQtU3JwRlU/view?usp=sharing

Κλαυδίου Πτολεμαίου Τετράβιβλος

Κλαυδίου Πτολεμαίου Τετράβιβλος

ΒΙΒΛΙΟΝ Α

Προοίμιον

Τῶν τὸ δι' ἀστρονομίας προγνωστικὸν τέλος παρασκευαζόντων, ὦ Σύρε, δύο τῶν μεγίστων καὶ κυριωτάτων ὑπαρχόντων, ἑνὸς μὲν τοῦ πρώτου καὶ τάξει καὶ δυνάμει, καθ' ὃ τοὺς γινομένους ἑκάστοτε σχηματισμοὺς τῶν κινήσεων ἡλίου τε καὶ σελήνης καὶ ἀστέρων πρὸς ἀλλήλους τε καὶ τὴν γῆν καταλαμβανόμεθα, δευτέρου δέ, καθ' ὃ διὰ τῆς φυσικῆς τῶν σχηματισμῶν αὐτῶν ἰδιοτροπίας τὰς ἀποτελουμένας μεταβολὰς τῶν ἐμπεριεχομένων ἐπισκεπτόμεθα, τὸ μὲν πρῶτον ἰδίαν ἔχον καὶ δι' ἑαυτὴν αἱρετὴν θεωρίαν, κἂν μὴ τὸ ἐκ τῆς ἐπιζεύξεως τοῦ δευτέρου τέλος συμπεραίνηται, κατ' ἰδίαν σύνταξιν ὡς μάλιστα ἐνῆν ἀποδεικτικῶς σοι περιώδευται.

περὶ δὲ τοῦ δευτέρου καὶ μὴ ὡσαύτως αὐτοτελοῦς ἡμεῖς ἐν τῷ παρόντι ποιησόμεθα λόγον κατὰ τὸν ἁρμόζοντα φιλοσοφίᾳ τρόπον καὶ ὡς ἄν τις φιλαλήθει μάλιστα χρώμενος σκοπῷ μήτε τὴν κατάληψιν αὐτοῦ παραβάλλοι τῇ τοῦ πρώτου καὶ ἀεὶ ὡσαύτως ἔχοντος βεβαιότητι, τὸ ἐν πολλοῖς ἀσθενὲς καὶ δυσείκαστον τῆς ὑλικῆς ποιότητος μὴ προσποιούμενος, μήτε πρὸς τὴν κατὰ τὸ ἐνδεχόμενον ἐπίσκεψιν ἀποκνοίη, τῶν γε πλείστων καὶ ὁλοσχερεστέρων συμπτωμάτων ἐναργῶς οὕτως τὴν ἀπὸ τοῦ περιέχοντος αἰτίαν ἐμφανιζόντων.

ἐπεὶ δὲ πᾶν μὲν τὸ δυσέφικτον παρὰ τοῖς πολλοῖς εὐδιάβλητον ἔχει φύσιν, ἐπὶ δὲ τῶν προκειμένων δύο καταλήψεων αἱ μὲν τῆς προτέρας διαβολαὶ τυφλῶν ἂν εἶεν παντελῶς, αἱ δὲ τῆς δευτέρας εὐπροφασίστους ἔχουσι τὰς ἀφορμὰς (ἢ γὰρ τὸ ἐπ' ἐνίων δυσθεώρητον ἀκαταληψίας τελείας δόξαν παρέσχεν ἢ τὸ τῶν γνωσθέντων δυσφύλακτον καὶ τὸ τέλος ὡς ἄχρηστον διέσυρε), πειρασόμεθα διὰ βραχέων πρὸ τῆς κατὰ μέρος ὑφηγήσεως τὸ μέτρον ἑκατέρου τοῦ τε δυνατοῦ καὶ τοῦ χρησίμου τῆς τοιαύτης προγνώσεως ἐπισκέψασθαι, καὶ πρῶτον τοῦ δυνατοῦ.

Ὅτι καταληπτὴ ἡ δι' ἀστρονομίας γνῶσις καὶ μέχρι τίνος.

Ὅτι μὲν τοίνυν διαδίδοται καὶ διικνεῖταί τις δύναμις ἀπὸ τῆς αἰθερώδους καὶ ἀϊδίου φύσεως ἐπὶ πᾶσαν τὴν περίγειον καὶ δι' ὅλων μεταβλήτην, τῶν ὑπὸ τὴν σελήνην πρώτων στοιχείων πυρὸς καὶ ἀέρος περιεχομένων μὲν καὶ τρεπομένων ὑπὸ τῶν κατὰ τὸν αἰθέρα κινήσεων, περιεχόντων δὲ καὶ συντρεπόντων τὰ λοιπὰ πάντα, γῆν καὶ ὕδωρ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς φυτὰ καὶ ζῷα, πᾶσιν ἂν ἐναργέστατον καὶ δι' ὀλίγων φανείη. ὅ τε γὰρ ἥλιος διατίθησί πως ἀεὶ μετὰ τοῦ περιέχοντος πάντα τὰ περὶ τὴν γῆν, οὐ μόνον διὰ τῶν κατὰ τὰς ἐτησίους ὥρας μεταβολῶν πρὸς γονὰς ζῴων καὶ φυτῶν καρποφορίας καὶ ῥύσεις ὑδάτων καὶ σωμάτων μετατροπάς, ἀλλὰ καὶ διὰ τῶν καθ' ἑκάστην ἡμέραν περιόδων θερμαίνων τε καὶ ὑγραίνων καὶ ξηραίνων καὶ ψύχων τεταγμένως τε καὶ ἀκολούθως τοῖς πρὸς τὸν κατὰ κορυφὴν ἡμῶν γινομένοις ὁμοιοτρόποις σχηματισμοῖς.

ἥ τε σελήνη πλείστην ὡς περιγειοτάτη διαδίδωσιν ἡμῖν ἐπὶ τὴν γῆν τὴν ἀπόρροιαν, συμπαθούντων αὐτῇ καὶ συντρεπομένων τῶν πλείστων καὶ ἀψύχων καὶ ἐμψύχων καὶ ποταμῶν μὲν συναυξόντων καὶ συμμειούντων τοῖς φωσὶν αὐτῆς τὰ ῥεύματα, θαλασσῶν δὲ συντρεπουσῶν ταῖς ἀνατολαῖς καὶ ταῖς δύσεσι τὰς ἰδίας ὁρμάς, φυτῶν δὲ καὶ ζῴων ἢ ὅλων ἢ κατά τινα μέρη συμπληρουμένων τε αὐτῇ καὶ συμμειουμένων. αἵ τε τῶν ἀστέρων τῶν τε ἀπλανῶν καὶ τῶν πλανωμένων πάροδοι πλείστας ποιοῦσιν ἐπισημασίας τοῦ περιέχοντος καυματώδεις καὶ πνευματώδεις καὶ νιφετώδεις, ὑφ' ὧν καὶ τὰ ἐπὶ τῆς γῆς οἰκείως διατίθεται. ἤδη δὲ καὶ οἱ πρὸς ἀλλήλους αὐτῶν συσχηματισμοί, συνερχομένων πως καὶ συγκιρναμένων τῶν διαδόσεων, πλείστας καὶ ποικίλας μεταβολὰς ἀπεργάζονται, κατακρατούσης μὲν τῆς τοῦ ἡλίου δυνάμεως πρὸς τὸ καθόλου τῆς ποιότητος τεταγμένης, συνεργούντων δὲ ἢ ἀποσυνεργούντων κατά τι τῶν λοιπῶν, καὶ τῆς μὲν σελήνης ἐκφανέστερον καὶ συνεχέστερον ὡς ἐν ταῖς συνόδοις καὶ διχοτόμοις καὶ πανσελήνοις, τῶν δὲ ἀστέρων περιοδικώτερον καὶ ἀσημότερον, ὡς ἐν ταῖς φάσεσι καὶ κρύψεσι καὶ προσνεύσεσιν.

ὅτι δὲ τούτων οὕτως θεωρουμένων οὐ μόνον τὰ ἤδη συγκραθέντα διατίθεσθαί πως ὑπὸ τῆς τούτων κινήσεως ἀναγκαῖον, ἀλλὰ καὶ τῶν σπερμάτων τὰς ἀρχὰς καὶ τὰς πληροφορήσεις διαπλάττεσθαι καὶ διαμορφοῦσθαι πρὸς τὴν οἰκείαν τοῦ τότε περιέχοντος ποιότητα, πᾶσιν ἂν δόξειεν ἀκόλουθον εἶναι. οἱ γοῦν παρατηρητικώτεροι τῶν γεωργῶν καὶ τῶν νομέων ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς ὀχείας καὶ τὰς τῶν σπερμάτων καταθέσεις συμβαινόντων πνευμάτων στοχάζονται τῆς ποιότητος τῶν ἀποβησομένωνἦ καὶ ὅλως τὰ μὲν ὁλοσχερέστερα καὶ διὰ τῶν ἐπιφανεστέρων συσχηματισμῶν ἡλίου καὶ σελήνης καὶ ἀστέρων ἐπισημαινόμενα καὶ παρὰ τοῖς μὴ φυσικῶς, μόνον δὲ παρατηρητικῶς σκεπτομένοις ὡς ἐπίπαν προγινωσκόμενα θεωροῦμεν, τὰ μὲν ἐκ μείζονός τε δυνάμεως καὶ ἁπλουστέρας τάξεως καὶ παρὰ τοῖς πάνυ ἰδιώταις, μᾶλλον δὲ καὶ παρ' ἐνίοις τῶν ἀλόγων ζῴων, ὡς τῶν ὡρῶν καὶ τῶν πνευμάτων τὰς ἐτησίους διαφοράς (τούτων γὰρ ὡς ἐπίπαν ὁ ἥλιος αἴτιος), τὰ δὲ ἧττον οὕτως ἔχοντα παρὰ τοῖς ἤδη κατὰ τὸ ἀναγκαῖον ταῖς παρατηρήσεσιν ἐνειθισμένοις, ὡς τοῖς ναυτιλλομένοις τὰς κατὰ μέρος τῶν χειμώνων καὶ τῶν πνευμάτων ἐπισημασίας ὅσαι γίνονται κατὰ τὸ περιοδικώτερον ὑπὸ τῶν τῆς σελήνης ἢ καὶ τῶν ἀπλανῶν ἀστέρων πρὸς τὸν ἥλιον συσχηματισμῶν.

Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΠΛΟΥΤΟΣ ΤΟΥ ΚΛΑΥΔΙΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΚΑΙ Ο ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΚΟΣΜΟΣ

Παρασκευάς Δ. Σαββαΐδης, Καθηγητής Α.Π.Θ.

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Εργαστήριο Γεωδαισίας

Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος, ως κορυφαίος χαρτογράφος της αρχαιότητας, φέρεται να συνέγραψε το έργο Γεωγραφική Υφήγησις, στο περιεχόμενο του οποίου συγκέντρωσε τη διαθέσιμη μαθηματική γεωγραφική γνώση της εποχής.  Στο έργο αυτό ο γνωστός κόσμος της αρχαιότητας περιγράφεται σε οκτώ βιβλία: Το πρώτο βιβλίο αποτελεί την τεκμηρίωση των χαρτογραφικών μεθόδων του συγγραφέα, γραμμένο με αναλυτικό τρόπο, περίπου ως ένας οδηγός για τη σχεδίαση χαρτών. Τα επόμενα έξι βιβλία  περιέχουν πίνακες τοπωνυμίων με τις γεωγραφικές (σφαιρικές) συντεταγμένες τους για κάθε γνωστή τότε χώρα. Ονόματα πόλεων, βουνών, εκβολών ποταμών, ακρωτηρίων και άλλων τόπων αναφέρονται στους πίνακες και συνοδεύονται από το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος τους. Τέλος, στο όγδοο βιβλίο βρίσκονται οι χάρτες των χωρών της οικουμένης. Η αυθεντικότητα των χαρτών του Πτολεμαίου που συνοδεύουν τη Γεωγραφική Υφήγηση αποτέλεσε και αποτελεί αντικείμενο επιστημονικών συζητήσεων. Το θέμα αυτό παρουσιάζει ενδιαφέρον για τη φιλολογική έρευνα, ωστόσο δεν έχει τόση σημασία για τη γεωγραφική γνώση της εποχής, εφόσον τα μαθηματικά δεδομένα στα οποία βασίζονται οι χάρτες εμπεριέχονται στους καταλόγους των συντεταγμένων. Στη σημερινή εποχή θα λέγαμε ότι διαθέτουμε ψηφιακά δεδομένα: ένα αρχείο συντεταγμένων από το οποίο μπορούν να παραχθούν οι χάρτες του αρχαίου κόσμου. Στην πλουσιότατη αυτή βάση των μαθηματικών γεωγραφικών δεδομένων κάθε τόπος της αρχαιότητας μπορεί να τοποθετηθεί πάνω σε μια επιφάνεια αναφοράς που είναι η γήινη σφαίρα, όπως την όρισε ο Πτολεμαίος, συμπυκνώνοντας την μέχρι τότε γνώση των αρχαίων Ελλήνων γεωγράφων, μαθηματικών, αστρονόμων και γεωδαιτών.

Αλλά, ας δούμε με συντομία πως όριζε ο Πτολεμαίος το σύστημα των γεωγραφικών συντεταγμένων του: Η γήινη σφαίρα χωριζόταν με ένα πλέγμα παράλληλων και μεσημβρινών  κύκλων. Οι παράλληλοι κύκλοι χώριζαν την οικουμένη σε επτά ζώνες ή «κλίματα». Ο κύκλος του Ισημερινού, από τον οποίο μετράται το γεωγραφικό πλάτος ενός τόπου, βρισκόταν περίπου στη θέση του σημερινού Ισημερινού. Στους μεσημβρινούς κύκλους η αρχή μέτρησης του γεωγραφικού μήκους βρισκόταν περίπου 25 μοίρες δυτικότερα του σημερινού μεσημβρινού του Greenwich. Ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς ο Πτολεμαίος στα βιβλία της Γεωγραφικής Υφηγήσεως παραθέτει τα τοπωνύμια και τις γεωγραφικές συντεταγμένες περίπου 8000 τόπων. Δεν είναι γνωστός ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίστηκαν οι συντεταγμένες αυτές. Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε ότι ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε δικές του παρατηρήσεις, καθώς και παρατηρήσεις άλλων προγενέστερων γεωγράφων, όπως του Ιππάρχου και του Μαρίνου του Τυρίου (τον οποίο πάντως έντονα κριτικάρει στο πρώτο βιβλίο της Υφηγήσεως). Οι κατάλογοι με τα στοιχεία αυτά έφθασαν στη σημερινή εποχή μετά από αλλεπάλληλες αντιγραφές και εκδόσεις, αφού το έργο του Πτολεμαίου άρχισε να αναθεωρείται μόλις κατά τον 17ο και 18ο αιώνα. Πάντως, οι συντεταγμένες του Πτολεμαίου εμπεριέχουν σφάλματα που οφείλονται στο ανακριβές (για τα σημερινά δεδομένα) σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούσε ο χαρτογράφος και στην παραμορφωμένη γήινη σφαίρα (π.χ. το μήκος της Μεσογείου κατά τον Πτολεμαίο εμφανίζεται να είναι 68.5 μοίρες αντί του ορθού των 41.5 μοιρών). Επίσης και ο υπολογισμός των επιμέρους συντεταγμένων τόπων σε διάφορες περιοχές παρουσιάζει άνιση ακρίβεια (π.χ. τόποι παράκτιοι και προσιτοί σε ναυτικούς έχουν μεγαλύτερη ακρίβεια στις σχετικές τους θέσεις από ότι οι ηπειρωτικοί τόποι)

.

Οι γεωμετρικές κατασκευές από την ιστορία στην διδασκαλία τους

Σταθόπουλος Γεώργιος
Οι γεωμετρικές κατασκευές (με την χρήση κανόνα και διαβήτη) και η παρουσίαση των τριών περίφημων προβλημάτων από την ελληνική αρχαιότητα μέχρι την τελική απάντηση που δόθηκε για αυτά. Η εξιστόρηση της κατασκευής κανονικών πολυγώνων και η διερεύνηση της δυνατό- ητας των μαθητών του Λυκείου να εργαστούν πάνω σε προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών, με την αναλυτικο-συνθετική μέθοδο...
Link
http://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/bitstream/10889/176/1/252.pdf 

ΙΣΤΟΡΙΑ KAI ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΜΕΣΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ

Link
http://www.math.uoc.gr:1080/erevna/diplomatikes/Bounakis_MDE.pdf