Παρασκευή, 3 Αυγούστου 2012

Επί του Χ βιβλίου των Στοιχείων τον Ευκλείδου. Ε. Σταμάτη

To Χ (10ον) βιβλίον των Στοιχείων του Ευκλείδου εθεωρείτο και είναι το δυσκολώτερον βιβλίον των Στοιχείων. Ο Ολλανδός μαθηματικός Simon Stevin (1548-1620) το (ονόμασεν «ο σταυρός του μαρτυρίου των μαθηματικών», ενώ ο Γάλλος μαθηματικός Jean Montucla (1726 1799) αμφιβάλλει, εάν κατά την εποχήν του θα υπήρχε γεωμέτρης, όστις θα ετόλμα να παρακολούθηση τον Ευκλείδην εις τον σκοτεινόν δαίδαλον του Χ βιβλίου. Οι περισσότεροι εκ των νεωτέρων ερμηνευτών του Χ βιβλίου καταλήγουσιν εις το συμπέρασμα ότι σκοπός τούτου είναι η επίλυσις ωρισμένου τύπου διτετραγώνων και δευτεροβαθμίων εξισώσεων. Ο CI. Taer, φρονεί, ότι σκοπός του Χ βιβλίου, είναι η πλήρης ερευνά των ασυμμέτρων ευθειών, ήτις παρέχει στερεόν έδαφος εις την θεωρίαν των κανονικών πολυέδρων.
Είναι αληθές ότι εκ των δώδεκα άλογων ευθειών του Χ βιβλίου ( των θεωρημάτων 36-41 και 73-78) είναι αι μεν εξ πρώται αθροίσματα των θετικών ριζών ισαρίθμων διτετραγώνων εξισώσεων, αι δε εξ δεύτεραι διαφοραί των θετικών ριζών των αυτών διτετραγώνων εξισώσεων. Επίσης είναι αληθές ότι αι άλογοι ευθείαι των θεωρημάτων 48-53 και 85 - 90 είναι αι μεν εξ πρώτοι αθροίσματα των θετικών ριζών εξ δευτεροβαθμίων εξισώσεων, αι δε εξ δεύτεραι είναι διαφοραί των ριζών των αυτών εξισώσεων. Η παρατήρησις όμως αύτη δεν υποχρεοί εις την συναγωγήν του συμπεράσματος, καθ' ό σκοπός του Χ βιβλίου είναι ή επίλυσις ωρισμένου τύπου εξισώσεων. Διότι εις το VI βιβλίον των Στοιχείων επιτελείται η επίλυσις των δυσκολωτέρου τύπου δευτεροβαθμίων εξισώσεων, των ελλειπτικών εξισώσεων, (VI, 28). Η λύσις των εν τω Χ βιβλίω απαντωσών διτετραγώνων εξισώσεων στηρίζεται κυρίως εις την λύσιν δευτεροβαθμίων εξισώσεων απλουστάτου τύπου.
Εξ άλλου εις το XIII βιβλίον των Στοιχείων (θεωρ. 6, 11, 16, 17) αποδεικνύεται :1) Εάν ευθεία ρητή τμηθή εις άκρον και μέσον λόγον, έκαστον των τμημάτων της ευθείας είναι αποτομή (Χ, 73). 2) Εάν η διάμετρος κύκλου είναι ρητή, η πλευρά του εις αυτόν εγγραφόμενου κανονικού πενταγώνου είναι ελάσσων (Χ, 76). 3) Ή πλευρά του κανονικού εικοσαέδρου είναι ελάσσων (Χ, 76). 4) Η πλευρά του κανονικού δωδεκαέδρου είναι αποτομή (Χ, 73). Ταύτα όμως επίσης δεν υποχρεούσιν εις την συναγωγήν του συμπεράσματος ότι σκοπός του Χ βιβλίου είναι ή ερευνά των ασυμμέτρων ευθειών, ως παρέχουσα στερεόν έδαφος εις την θεωρίαν των κανονικών πολυέδρων, διότι εκ των συναφών θεωρημάτων τα υπ' αριθμόν 6 και 11 είναι προπαρασκευαστικά διά την απόδειξιν του δευτέρου μέρους των θεωρημάτων 16 και 17. Εάν δε έλειπε το δεύτερον μέρος των θεωρημάτων 16 και 17 δεν θα επηρεάζετο η θεωρία των κανονικών πολυέδρων.
Κατά την ημετέραν γνώμην σκοπός του Χ βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδου είναι η κατάδειξις της συμμετρίας, η οποία υπάρχει εις την κατασκευήν του ορθογωνίου τριγώνου, όταν χρησιμοποιώνται προς τούτο αι απλούσταται άλογοι ευθείαι. Εκ της ερμηνείας, ην παρέχομεν κατωτέρω των κυριωτέρων θεωρημάτων του Χ βιβλίου, φρονούμεν, είναι καταφανής η ορθότης της υποστηριζομένης απόψεως.

GoogleDocs

Δεν υπάρχουν σχόλια: