Ζήνων ο Ελεάτης

Ε. Σταμάτη από το

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"

Έλλην φιλόσοφος, γεννηθείς κατά την 78ην Ολυμπιάδα (468—465 π.Χ.) εις την Ελέαν της Κάτω Ιταλίας, αποικίαν ούσαν των Φωκαέων, εκ πατρός Τελευταγόρου. Περί του βίου του και της διδασκαλίας του γνωρίζομεν τινά εκ πληροφοριών, τας οποίας αντλούμεν εκ των έργων του Πλάτωνος, του Αριστοτέλους, του Πλουτάρχου του Διόδωρου και άλλων.

Ο Πλάτων ενιαχού τον μνημονεύει και υπό το όνομα «Ελεατικός Παλαμήδης» ( Σοφιστής 215 Α'. Φαίδρος 261 Δ'). Υπήρξε μαθητής του Παρμενίδου του οποίου φαίνεται ότι επεξέτεινε τας θεωρίας περί όντος και απείρου. Αναφέρεται και ως εις των διδασκάλων του Περικλέους. Μετασχών εις κίνησιν προς ανατροπήν του τυράννου Νεάρχου της γενέτειρας του εθανατώθη δια ποικίλων βασανιστηρίων. Κατά τον Ηρακλείδη τον Ποντικόν ενώ ανεκρίνετο. εζήτησε να είπη κάτι εις το ούς του τυράννου, το όποιον αφού εδάγκωσεν απέκοψε και κατόπιν εθανατώθη. Κατά τους Έρμιτπτον, Αντισθένην και Σουίδαν εξεταζόμενος υπό του τυράννου, απέκοψε την εαυτού γλώσσαν και την έπτυσε κατά πρόσωπον αυτού κατόπιν δε εθανατώθη θλιβόμενος εντός μεγάλου ιγδίου.

Κατά τον Αριστοτέλη, ο Ζήνων είναι ο ευρετής της διαλεκτικής. Πλήρη εικόνα των θεωριών του Ζήνωνος δεν κατέχομεν. Ιδέαν τινά περί αυτών λαμβάνομεν εκ των επιχειρημάτων, τα οποία χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης εις τα «Φυσικά και τα «Μετά τα Φυσικά» του δια την ανατροπήν ωρισμένων αντιλήψεων του Ζήνωνος, αι οποίαι αφορούν εις τας έννοιας του χώρου. του χρόνου, της κινήσεως και του μεγέθους, και εκ τίνων άλλων αποσπασμάτων. Κατά τον Σουίδαν ο Ζήνων έγραψεν έργα υπό τους τίτλους: «Έριδες», «Εξήγησις του Εμπεδοκλέους», «Προς τους Φιλοσόφους», «Περί φύσεως». Ο Πλούταρχος, ο Εύδημος και ο Φίλων μνημονεύουν ότι είχεν ούτος γράψει και αποφθέγματα μερικά των οποίων σώζονται. Ο Πλάτων μνημονεύει τον Ζήνωνα επανειλημμένως εις τον διάλογον αυτού «Παρμενίδης» όπου αναφέρεται ότι, όταν ο Ζήνων επεσκέφθη τας Αθήνας μετά του Παρμενίδου, πολλοί Αθηναίοι μεταξύ των οποίων και ο Σωκράτης ο οποίος ήτο τότε πολύ νέος, έσπευσαν ν' ακούσουν τας νέας θεωρίας του Ζήνωνος. Αναφέρει ακόμη ο Πλάτων ότι ο Ζήνων ανεγίνωσκε τας θεωρίας του εκ συγγραμματος του (το οποίον δεν σώζεται). Δια την απόδειξιν ότι δεν υπάρχει κίνησις ο Ζήνων χρησιμοποιεί τέσσαρα επιχειρήματα ως μνημονεύει περί τούτου ο Αριστοτέλης (Φυσικά Ζ' 9. 239 β 9).

Το πρώτον εκ τούτων είναι ότι, δια να φθάση πράγμα τι εκ της αφετηρίας εις το τέρμα πρέπει προηγουμένως να διανύση το ήμισυ του διαστήματος. Προ τούτου όμως πρέπει να διανύση το ήμισυ του ημίσεος διαστήματος και ούτω καθ' εξής, έπ' άπειρον. Άρα δεν θα φθάση εις το τέρμα ήτοι δεν κινείται. Αναλυτικά:

Πάν ότι είναι μέγεθος είναι επ' άπειρον διαιρετόν. Εάν όθεν συνεχίσωμεν διαίρεσιν μεγέθους τινός έπα άπειρον θα φθάσωμεν τελικώς εις το τίποτε το όποιον θα είναι το τελευταίον μέρος της διαιρέσεως. Άρα εv μέγεθος είναι άθροισμα πολλών (απείρων) «τίποτε». Συνεπώς δεν υπάρχει μέγεθος.

Τον αυτόν υπολογισμόν εφαρμόζει ο Ζήνων προς απόδειξιν της ανυπαρξίας κινήσεως λέγων:Δεν υπάρχει κίνησις, διότι προκειμένου εν κινητόν να διανύση τον δρόμον Α — Β, πρέπει πρώτον να διανύση το ήμισυ τούτου Προηγουμένως πρέπει να έχη διανύσει το ήμισυ του ημίσεως. Προηγουμένως πρέπει να έχη διανύσει το ήμισυ του ημίσεως, του ημίσεως και ούτω καθ' εξής έπ’ άπειρον. Το ζήτημα είναι όχι πότε θα διανύση το κινητόν τον δρόμον Α—Β, αλλά πώς θα τον διανύση, αφού πρέπει έπ’ άπειρον να κινήται, διανύον τα άπειρα ημίση των ημίσεων.

Το δεύτερον είναι το περίφημον παράδειγμα του Αχιλλέως και της χελώνης.

Σχήμα 1

Αναλυτικά:

Ο ωκύπους Αχιλλεύς ευρίσκεται εις τίνα θέσιν Α και εις ευθύγραμμον απόστασην ενός σταδίου από θέσεως Χ, οπού ευρίσκεται μια χελώνη (βλ. σχήμα1). Ο Αχιλλεύς έχει δωδεκαπλασίαν ταχύτητα της χελώνης. εκκινούν δε και οι δύο συγχρόνως προς την αυτήν διεύθυνσιν Α Χ. Ο Ζήνων αποδεικνύει ότι ο Αχιλλεύς δεν δύναται να φθάση την χελώνην. ως κατωτέρω:

Έστω η ευθεία γραμμή (ξ) εφ' ης αναχωρούν συγχρόνως ο Αχιλλεύς και η χελώνη, και Α η θέσις του Αχιλλέως και Χ η θέσις της χελώνης. Όταν ο Αχιλλεύς φθάση εις την θέσιν Α', η χελώνη θα έχη φθάσει εις την θέσιν Χ' διανύσασα την απόστασιν ΧΧ' η οποία θα είναι το εν δωδέκατον της αποστάσεως ΑΧ, αφού η χελώνη έχει 12 φοράς μικρότερου ταχύτητα από την ταχύτητα του Αχιλλέως. Όταν ο Αχιλλεύς διανύση την απόστασιν ΧΧ' και φθάση εις το Α", ήη χελώνη θα ευρίσκεται εις την θέσιν Χ'', θα έχη δηλαδή διανύσει το εν δωδέκατου της αποστάσεως ΧΧ'. Όταν ο Αχιλλεύς διανύση την απόστασιν Χ'Χ" και έχη φθάσει εις Α''', η χελώνη θα ευρίσκεται εις το Χ''', ενώ η απόστασις Χ" Χ" είναι το εν δωδέκατον της αποστάσεως Χ' Χ". Είναι προφανές .ότι ο Αχιλλεύς ουδέποτε θα φθάση την χελώνην, διότι αυτή πάντοτε θα προηγείται έστω και έπ’ ελάχιστον.

Δια του συλλογισμού τούτου ο Ζήνων προσεπάθει να αποδείξη την ανυπαρξίαν της κινήσεως. Ο Αριστοτέλης βραδύτερον αντιτίθεται προς την θεωρίαν του Ζήνωνος και ισχυρίζεται ότι ανατρέπει αυτήν δια της θεωρίας του περί απείρου και ορίου. Εις την σημερινήν μαθηματικήν έκφρασιν το πρόβλημα τίθεται ως έξης: Ο Αχιλλεύς (κατά τον Ζήνωνα) τρέχει έπ' άπειρον, έπ' άπειρον δε τρέχει και η χελώνη. Ας ίδωμεν την κίνησιν του Αχιλλέως.

Εις τον πρώτον χρόνον (την πρώτην μονάδα του χρόνου) διανύει εν στάδιον, εις τον δεύτερον εν δωδέκατον του σταδίου, εις τον τρίτον εν δωδέκατον του ενός δωδεκάτου και ούτω καθ' έξης, έπ’ άπειρον. Η χελώνη, εις τον πρώτον χρόνον (πρώτην μονάδα του χρόνου) διανύει εν δωδέκατον του σταδίου, εις τον δεύτερον εν δωδέκατον του ενός δωδεκάτου, εις τον τρίτον εν δωδέκατον του ενός δωδεκάτου του ενός δωδεκάτου και ούτω καθ' έξης έπ’ άπειρον. Το διάστημα το οποίον θα διανύση ο Αχιλλεύς (τρέχων έπ’ άπειρον, κατά τον Ζήνωνα) θα είναι το άθροισμα των, ορών της φθινούσης γεωμετρικής προόδου:

 1 + 1:12+ 1 : (12. 12) +1 : (12. 12. 12) +. . . (1 )

Τό διάστημα το όποιον θα διανύση η χελώνη τρέχουσα ομοίως έπ’ άπειρον θα είναι το άθροισμα της φθινούσης γεωμετρικής προόδου:

1 : 12 + 1 : (12.12) + 1 : (12,12.12) +... (2)

Το άθροισμα των όρων της πρώτης γεωμετρικής προόδου, είναι 1 + (1 : 11), ενώ της δευτέρας είναι 1 :11. Συνεπώς όταν θα τελειώση ο χρόνος, καθ' όσον η χελώνη θα έχη διανύσει το εν ενδέκατον του σταδίου ο Αχιλλεύς θα έχη διανύσει 1 στάδιον και εν ενδέκατον τούτου ήτοι τότε θα έχη φθάσει την χελώνην. Ο Αριστοτέλης απέδειξε το κατ' αυτόν σφάλμα του Ζήνωνος, λέγων ότι ο Ζήνων παριστά δι' απείρου κάτι το πεπερασμένον. Η αλγεβρική διατύπωσις του προβλήματος, αν καλέσωμεν δ το διάστημα το όποιον θα έχη τρέξει η χελώνη, όταν θα την φθάση ο Αχιλλεύς, είναι 1+δ=12δ.

Ο Ζήνων όμως ακριβώς τούτο αρνείται: ότι δηλαδή ο Αχιλλεύς δύναται να φθάση την χελώνην.

Ο Ζήνων δεν ζητεί πότε ο Αχιλλεύς θα φθάση την χελώνην, άλλα πώς θα την φθάση. Και η απάντησις επί τούτου δεν έχει δοθή ακόμη.

Σχήμα 2

Βέλος εκτοξευόμενον δεν κινείται. Διότι, πάν χρονικόν διάστημα αποτελείται από χρονικάς στιγμάς απειροελαχίστως μικράς μη τεμνομένας περαιτέρω, αδιαιρέτους. Κατά τινά χρονικήν στιγμήν το βέλος θα ευρίσκεται εις τινά θέσιν. Ευρισκόμενον όμως εις τίνα θέσιν (κατέχων θέσιν τινά) δεν κινείται εάν δε κινήται, τότε δεν θα κατέχη θέσιν τινά.

Τέταρτον είναι το Στάδιον, η μαθηματική απόδειξις της ανυπαρξίας της κινήσεως.

Μαθηματική απόδειξις του Ζήνωνος της ανυπαρξίας της κινήσεως. Ούτος θεωρεί εις το επίπεδον τρεις σειράς αντικειμένων, ως το σχήμα::

Σχήμα 3

Τα αντικείμενα Α μένουν ακίνητα. Τα αντικείμενα Β και Γ κινούνται συγχρόνως, άλλα κατ' άντίθετον διεύθυνσιν ως δεικνύουν τα βέλη. Όταν το Β1 φθάση κάτωθεν του Α8 θα έχη διέλθει δια των τεσσάρων στοιχείων Α5, Α6, Α7, Α8. Συγχρόνως το Γ θα έχη διέλθει δια των οκτώ στοιχείων Β1, Β2, Β3, Β4, Β5, Β6, Β7, Β8 και θά έχωμεν τελικώς την κάτωθι θέσιν οπότε παρατηρεί ο Ζήνωω ότι ο Β1 εις τον αυτόν χρόνον έχει διέλθει 4 ίσας αποστάσεις Α1 , Α2, Α3 ,Α4 και 8 ίσας αποστάσεις Γ1, Γ2, Γ3 Γ4, Γ5, Γ6, Γ7, Γ8, δηλαδή το Β1 έχει μίαν απλήν ταχύτητα και συγχρόνως μίαν διπλήν, όπερ αδύνατον. Ο Αριστοτέλης απαντά ότι τούτο συμβαίνει διότι τα Α μένουν ακίνητα και τα Β και Γ κινούνται αντιθέτως, ως δηλαδή λέγομεν σήμερον, η κίνησις των Β προς τα Α είναι απόλυτος. ενώ η κίνησις των Β προς τα Γ είναι σχετική.

Εν συμπεράσματι ο Ζήνων ισχυρίζεται ότι εν σώμα δεν αποτελείται από πλήθος σημείων, εις χρόνος δεν αποτελείται από πλήθος χρονικών στιγμών, μία κίνησις δεν αποτελείται από πλήθος κινήσεων. Διότι εάν τα ποσά ταύτα διαιρούνται έπ’ άπειρον δεν είναι δυνατόν (κατά τον Ζήνωνα) παρά να φθάσωμεν εις το μηδέν. Εάν δε θελήσωμεν δια προσθέσεως να επανέλθω μεν εκεί όθεν εξεκινήσαμεν, τότε, αφού το τελευταίον απειροστόν μέρος της διαιρέσεως είναι μηδέν, πρέπει, συνεχώς διπλασιάζοντες τούτο, να φθάσωμεν εις το αρχικόν ποσόν. Αλλά άθροισμα πολλών μηδενικών μας δίδει αποτέλεσμα μηδέν.

Ο Αριστοτέλης απαντά εις τούτο ότι «Ο Ζήνων παραλογίζεται» διότι είναι ψεύδος ότι ο χρόνος αποτελείται από χρονικάς στιγμάς αδιαιρέτους. Διότι τόσον ο χρόνος, όσον και οιονδήποτε άλλο μέγεθος είναι διαιρετά επ' άπειρον. Οι σύγχρονοι παοαδέχονται την γνώμην του Αριστοτέλους, είναι φανερόν όμως ότι τότε μεταπίπτομεν εις τα επιχειρήματα 1—2. εις τα όποια δεν υπάρχει ικανοποιητική απάντησις.

Ο Ζήνων έχει δώσει εκ των προτέρων την απάντησίν του, η οποία ανατρέπει ολόκληρον το οικοδόμημα των μαθηματικών και τοποθετεί την ανθρωπίνην γνώσιν εις εντελώς περιωρισμένον πλαίσιον. Διότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις στηρίζεται επί τίνος υποθέσεως μη δυναμένης να ελεγχθή. Μία εκ των επιστημών π.χ. η Γεωμετρία στηρίζεται επί της υποθέσεως του σημείου η ενός γραμμικού στοιχείου. Ταύτα όμως είναι ακαθόριστα. Τούτο γίνεται καταληπτόν από την διατύπωσιν του ορισμού του σημείου. «Σημείον είναι παν ότι δεν έχει μέρος». Αλλ' αφού δεν έχει μέρος πως υπάρχει; Η γραμμή τις η επιφάνεια η στερεόν δύναται να διαιρεθή επ' άπειρον. Τότε κατά λογικόν συμπέρασμα θα φθάσωμεν με την απειροστήν διαίρεσιν εις το μηδέν ο Αριστοτέλης παραδέχεται ότι διαιρούντες επ' άπειρον, λαμβάνομεν τόσον μικρόν μέρος (χρόνου, χώρου μεγέθους τινός) όσον θέλομεν. Τότε όμως η έννοια σημείον του χώρου χρονίκη στιγμή, λαμβάνονται απλώς ως υποθέσεις μη δυνάμεναι ν' αποδειχθούν. Ακόμη περισσοτέρας δυσκολίας παρουσιάζει η έννοια γραμμικόν στοιχείον της νεωτέρας Γεωμετρίας οι νεώτεροι μαθηματικοί και φυσικοί συμφωνούν με τον Αριστοτέλη, εις δε τας θεωρίας αυτού περί δυνάμει και ενεργεία απείρου στηρίζουν ολόκληρον το οικοδόμημα της συχρόνου μαθηματικής επιστήμης. Δεν έπεται όμως ότι τα πρακτικά και χρήσιμα αποτελέσματα της επιστήμης έλυσαν τα προβλήματα, τα οποία έθεσεν ο Ζήνων. Τουναντίον ταύτα παραμένουν άλυτα και αποδεικνύουν ότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις πάσα επιστήμη, είναι μορφής υποθετικής εντός ενός πλαισίου.

Αι έννοιαι χώρος, χρόνος, μέγεθος άπειρον, στηρίζονται επί τινός υποθέσεως, επί της οποίας δε δυνάμεθα ν' αποφανθώμεν κατηγορηματικώς. Ο Ζήνων δεν ήτο, εξ όσων δυνάμεθα να κρίνωμεν συστηματικός τις φιλόσοφός, υποστηρίζων ωρισμένην τινά φιλοσοφικήν θεωρίαν. Η προσπάθεια του έγκειται εις την απόδειξιν ότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις, πάσα επιστήμη, είναι μορφής υποθετικής και κατά συνέπειαν αυστηρώς σχετική.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιών την έννοιαν του απείρου κατά την απόδειξιν γεωμετρικής τίνος προτάσεως φαίνεται ότι σιωπηρώς συμφωνών με τας γνώμας του Ζήνωνος η είναι επηρεασμένος από ταύτας. Διότι δεν έχει εμπιστοσύνην εις την χρησιμοποίησιν της εννοίας του απείρου, ως τίνος θετικού δεδομένου, δι' ο δύνανται να γίνουν πράξεις μαθηματικαί. Δια τόν λόγο αυτόν, κατά την τελικήν φάσιν αποδείξεως τίνος είς ην χρησιμοποιείται η έννοια του απείρου χρησιμοποιεί ούτος την μέθοδον της εις άτοπον απαγωγής παραδεκτής εις την Γεωμετρίαν άνευ αμφισβητήσεων.

Καίτοι αι απαντήσεις του Αριστοτέλους επεκράτησαν και αποτελούν ως προς τας εννοίας του απείρου και του ορίου την βάσιν του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, εν τούτοις τα προβλήματα άτινα έθεσεν ο Ζήνων, μετά πάροδον 2300 ετών παραμένουν και θεωρούνται αναπάντητα και άλυτα.

Τας θεωρίας του Ζήνωνος εζήτησε να επεκτείνη ο κατά τι νεώτερος τούτου Σάμιος Μέλισσος, υποστηρίζων ότι, ο ορώμενος κόσμος είναι το είδωλον του πραγματικού κόσμου.

Κατωτέρω παραθέτομεν τέσσαρα αποσπάσματα και εν συνεχεία ερμηνείαν τούτων εκ του έργου του Ζήνωνος «Περι Φύσεως», ως ταύτα διεσώθησαν μέχρις ημών. Τα τρία πρώτα εκ τούτον προέρχονται εκ των σχολίων του Σιμπληκίου επί των έργων του Αριστοτέλους, ενώ το τέταρτον προέρχεται εκ του Διογένους του Λαερτίου.

α) Τὸ δὲ κατὰ μέγεθος ἄπειρον ἔδειξε πρότερον κατὰ τὴν αὐτὴν ἐπιχείρησιν προδείξας γὰρ ὅτι; «εἰ μὴ ἔχοι μέγεθος τὸ ὅν, οὒδ' ἂν εἴη», ἐπάγει: «εἰ δέ ἐστιν, ἀνάγκη ἕκαστον μέγεθός τι ἔχειν καὶ πάχος καὶ ἀπέχειν αὐτοῦ τὸ ἕτερον ἀπὸ τοῦ ἑτέρου καὶ περὶ τοῦ προύχοντος ὁ αὐτὸς λόγος καὶ γὰρ ἐκεῖνο ἕξει μέγεθος καὶ προέξει αὐτοῦ τι. Ὅμοιον δὴ τοῦτο ἅπαξ τε εἰπεῖν καὶ ἀεὶ λέγειν οὐδὲν γὰρ αὐτοῦ τοιοῦτον ἔσχατον ἔσται οὔτε ἕτερον πρὸς ἕτερον οὐκ ἔσται. Οὕτως εἰ πολλά ἐστιν, ἀνάγκη αὐτὰ μικρά τε εἲναι καὶ μεγάλα μικρὰ μὲν ὥστε μὴ ἔχειν μέγεθος, μεγάλα δὲ ὥστε ἄπειρα εἴναι»,

β) Ἐν μέντοι τῷ συγγράμματι αὐτοῦ πολλὰ ἔχοντι ἐπιχειρήματα καθ' ἕκαστον δείκνυσιν, ὅτι τῷ πολλὰ εἲναι λέγοντι συμβαίνει τὰ ἐναντία λέγειν ὧν ἔν ἐστιν ἐπιχείρημα, ἐν ὢ δείκνυσιν ὅτι «εἰ πολλά ἐστι. καὶ μεγάλα ἐστὶ καὶ μικρὰ μεγάλα μὲν ὥστε ἄπειρα τὸ μέγεθος εἴναι, μικρὰ δὲ οὕτως ὥστε μηδὲν ἔχειν μέγεθος' ἐν δὴ τούτῳ δείκνυσιν, ὅτι οὐ μήτε μέγεθος μήτε πάχος μήτε ὄγκος μηθείς (ἐστιν, οὒδ' ἂν εἴη τοῦτο. «Εἰ γὰρ ἄλλο ὄντι φησὶ προσγένοιτο οὐδὲν ἂν μεῖζον ποιήσειεν μέγεθος γὰρ μηδενὸς ὄντος, προσγενομένου δέ, οὐδὲν οἷόν τε εἰς μέγεθος ἐπιδοῦναι· καὶ οὕτως ἂν ἤδη τὸ προσγενόμενον οὐδὲν εἴη' εἰ δὲ ἀπογενομένου τὸ ἕτερον μηδὲν ἔλαττον ἔσται μηδὲ αὖ προσγενομένου αὐξήσεται, δῆλον ὅτι τὸ προσγενόμενον οὐδὲν ἢν οὐδὲ τὸ ἀπογενόμενον»· καὶ ταῦτα οὐχὶ τὸ ἐν ἀναιρῶν ὁ Ζήνων λέγει, ἀλλ' ὅτι μέγεθος ἔχει ἕκαστον τῶν πολλῶν καὶ ἀπείρων τῷ πρὸ τοῦ λαμβανόμενου ἀεί τι εἲναι διὰ τὴν ἐπ' ἄπειρον τομήν· ὁ δείκνυσι προδείξας. ὅτι οὐδὲν ἔχει μέγεθος ἐκ τοῦ ἕκαστον τῶν πολλῶν ἑαυτῷ ταὐτὸν εἶναι καὶ ἐν.

γ).... καὶ τὶ δεῖ πολλὰ λέγειν, ὅτε καὶ ἐν αὐτῷ φέρεται τῷ του Ζήνωνος συγγράμματι: πάλιν γὰρ δεικνύς, ὅτι εἰ πολλά ἐστι, τὰ αὐτὰ πεπερασμένα ἐστὶ καὶ ἄπειρα, γράφει ταῦτα κατὰ λέξιν ὁ Ζήνων: «εἰ πολλά ἐστιν, ἀνάγκη τοσαύτα εἲναι ὅσα ἐστὶ καὶ οὔτε πλείονα αὐτῶν οὔτε ἐλάττονα' εἰ δὲ τοσαύτα ἐστὶν ὅσα ἐστί, πεπερασμένα ἂν εἴη' εἰ πολλά ἐστιν, ἄπειρα τὰ ὄντα ἐστῖν' ἀεὶ γὰρ ἕτερα μεταξὺ τῶν ὄντων ἐστί, καὶ πάλιν ἐκείνων ἕτερα μεταξύ, καὶ οὕτως ἄπειρα τὰ ὄντα ἐστὶ» καὶ οὕτως μὲν τὸ κατὰ πλῆθος ἄπειρον ἐκ τῆς διχοτομίας ἔδειξε.

δ) Οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ Ξενοφάνῃς καὶ Ζήνων ὁ Ἐλεάτης καὶ Δημοκριτὸς κατ' αὐτοὺς (σημ. συντάξ: τοὺς ὀπαδοὺς τοῦ Πύρρωνος) σκεπτικοὶ τυγχάνουσιν..., Ζήνων δὲ τὴν κίνησιν ἀναιρεῖ λέγων ὅτι «τὸ κινούμενον οὔτ' ἐν ὤ ἐστι τόπῳ κινεῖται οὔτ' ἐν ὢ μή ἐστι».

Ερμηνεία:

Α) Το δε από της απόψεως του μεγέθους άπειρον, το απέδειξε προηγουμένως δια της αυτής αποδείξεως. Διότι προαποδείξας ότι, εάν το ον δεν έχη μέγεθος, δεν δύναται να υπάρχη συνάγει «εάν δε το ον υπάρχη, είναι ανάγκη έκαστον εκ των μερών του να έχη μέγεθος και πάχος και να απέχη το εν από το άλλο». Και περί του μέρους το οποίον κείται προ αυτού ισχύει το αυτό επιχείρημα. Διότι και εκείνο θα έχη μέγεθος και προ αυτού θα κείται άλλο. Απαξ δε παρεδέχθημεν αυτήν την αρχήν, θα ισχύει, αυτή πάντοτε διότι ουδέν μέρος αυτού (του όντος, του όλου) θα είναι τελευταίον, ούτε είναι δυνατόν μέρος τι αυτού να μη έχη σχέσιν τινά προς άλλο μέρος. Εάν λοιπόν υπάρχουν πολλά πράγματα (όντα), είναι ανάγκη να είναι αυτά συγχρόνως και μικρά και μεγάλα· μικρά μεν μέχρι του σημείου ώστε να μη έχουν μέγεθος (να είναι μηδέν), μεγάλα δε μέχρι του βαθμού ώστε να είναι άπειρα (κατά το μέγεθος).

Β) Εις το σύγγραμμα του λοιπόν, το οποίον περιέχει πολλάς αποδείξεις, αποδεικνύει, εις εκάστην απόδειξιν, ότι ο ισχυριζόμενος ότι υπάρχουν πολλά πράγματα καταλήγει να ευρέθη εις αντίφασιν με τον ισχυρισμόν του μία των αποδείξεων της αντιφάσεως ταύτης είναι εκείνη, καθ' ην αποδεικνύει ότι «εάν υπάρχουν πολλά πράγματα, ταύτα είναι και μεγάλα και μικρά· μεγάλα μεν ώστε να είναι άπειρα κατά το μέγεθος, μικρά δε ώστε να μη έχουν μέγεθος καθόλου». Εις την απόδειξιν αυτήν αποδεικνύει ότι πάν ότι δεν έχει μέγεθος ούτε πάχος, ούτε όγκον (μάζαν), δεν δύναται να υπάρχη. Διότι, εάν τούτο (το μη έχον μέγεθος κλπ.) προστεθή εις εν άλλο ον, δεν θα του μεταβάλη το μέγεθος. Διότι, αν εν μέγεθος, το οποίον έχει τιμήν μηδέν, προστεθή εις εν άλλο, το δεύτερον τούτο μέγεθος δεν θα έχη ουδεμίαν απολύτως αύξησιν. Ούτω το προστεθέν θα ήτο μηδέν. Εάν δε από πράγμα τι αφαιρεθή κάτι και το πράγμα δεν ελαττωθή η εάν εις τι πράγμα προστεθή κάτι και το πράγμα δεν αυξηθή, είναι φανερόν ότι το προστεθέν η το αφαιρεθέν είναι μηδέν. Και ταύτα λέγει ο Ζήνων ουχί διά ν' αναφέρη την ύπαρξιν του ενός, αλλά διότι ισχυρίζεται ότι έκαστον των πολλών και απείρων, αποσπώμενον εκ τίνος πράγματος, έχει μέγεθος, διότι προηγείται εμπρός από εκείνο το οποίον αφαιρούμεν πάντοτε κάτι, λόγω της επ' άπειρον τομής (υπάρχοντος πράγματος). Τούτο αποδεικνύει, προαποδείξας, ότι ουδέν (πράγμα) έχει μέγεθος, διότι έκαστον των πολλών πραγμάτων είναι το αυτό με τον εαυτόν του και έν.

Γ) . . . Και διατί χρειάζονται να λεχθούν πολλά, αφού αναφέρονται εις αυτό τούτο το σύγγραμμα του Ζήνωνος ; Διότι πάλιν, αφού απέδειξεν ότι, εάν υπάρχουν πολλά πράματα αυτά θα είναι και πεπερασμένα και άπειρα, γράφει τα εξής κατά λέξιν ο Ζήνων : «Εάν υπάρχουν πολλά πράγματα είναι ανάγκη να είναι τόσα όσα είναι, και ούτε περισσότερα ούτε ολιγότερα. Εάν δε είναι τόσα όσα είναι, τότε ταύτα είναι πεπερασμένα. Εάν είναι πολλά, τότε τα υπάρχοντα (τα όντα) είναι άπειρα· διότι πάντοτε υπάρχουν μεταξύ των όντων αλλά. και πάλιν μεταξύ τούτων άλλα. Και κατ' αυτόν τον τρόπον τα όντα είναι άπειρα». Και τοιουτοτρόπως μεν το κατά πλήθος άπειρον έδειξε δια της διχοτομίας.

Δ) ... Αλλ' ακόμη και ο Ξενοφάνης και ο Ζήνων ο Ελεάτης και ο Δημόκριτος κατ' αυτούς (τους Πυρρωνείους) είναι σκεπτικοί... Ο δε Ζήνων αναιρεί την ύπαρξιν κινήσεως, λέγων ότι «το κινούμενον δεν δυνάμεθα να είπωμεν ότι κινείται εντός του χώρου εις τον όποιον ευρίσκεται, ούτε εντός του χώρου εις τον οποίον δεν ευρίσκεται».