Η Βυζαντινή Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Μαρία Δ. Χάλκου Διδάκτωρ Μαθηματικών  τού Πανεπιστημίου Αθηνών (Ε.Κ.Π.Α).

Σαν σημείο αναφοράς αυτής της έρευνας έχω θεωρήσει τον Βιενναίο Ελληνικό Φιλολoγικό κώδικα 65 του 15ου αι. (φ. 11r-126r), του οποίου ο συγγραφέας είναι ανώνυμος. Οι Η. Ηunger και K. Vogel, οι οποίοι εξέδωσαν το 1963 τα φ. 126v-140r του ιδίου κώδικα, θεωρούν πιθανή χρονολογία συγγραφής του το διάστημα 1430-1453 μ.Χ. Η χρονολόγησή τους αυτή είναι συμβιβαστή με μία ακριβή χρονολογική αναφορά η οποία περιέχεται σε πρόβλημα υπολογισμού των ημερών από τη γέννηση του Χριστού έως "σήμερα" (κεφ. 12, [φ. 16r], 109 Χάλκου), όπου "ευρισκόμαστε" κατά τον συγγραφέα στο έτος 1436 μ.Χ. Επομένως θεωρείται πιθανόν τα φύλλα 11r-126r του χειρογράφου που απετέλεσαν το αντικείμενο της μελέτης μου να γράφηκαν το 1436 μ. Χ.

Το μεγαλύτερο μέρος του κώδικα (11r-126r) περιέχει προβλήματα αριθμητικής και γεωμετρίας. Τα προβλήματα αυτά καλύπτουν πολλά μαθηματικά πεδία και ως επί το πλείστον αυτά τα οποία διδάσκονται σήμερα στις διάφορες βαθμίδες τόσο της πρωτοβάθμιας όσο και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το προοίμιο και τα δύο πρώτα κεφάλαια εξέδωσε ο J. L. Heiberg το 1899. Η μεταγραφή και η μελέτη του μαθηματικού περιεχομένου του υπολοίπου χειρογράφου πραγματοποιήθηκε από εμένα. Ο στόχος μου ήταν εν πρώτοις η ανάλυση των διδακτικών μεθόδων του Ανώνυμου συγγραφέα του και στη συνέχεια η σύγκριση αυτών με τις αντίστοιχες σύγχρονες μεθόδους επίλυσης των συγκεκριμένων προβλημάτων, καθώς αυτό το Βυζαντινό χειρόγραφο προοριζόταν σύμφωνα με τις εκτιμήσεις μου  και για τη διδασκαλία μαθητών διαφόρων βαθμίδων της εκπαίδευσης. Αξίζει δε να αναφερθεί ότι η διαδικασία προσδιορισμού της κάθε μεθόδου ξεχωριστά υπήρξε ιδιαίτερα επίπονη και τούτο διότι στο χειρόγραφο δεν υπάρχουν μαθηματικοί τύποι σαν τους σημερινούς, αλλά μόνο περιγραφή τρόπων επίλυσης με τη μορφή οδηγιών και με πλήρη απουσία της αντίστοιχης θεωρίας στην οποία βασίζονται. Στη συνέχεια εξήχθησαν τα συμπεράσματα σχετικά με τον προορισμό της πραγματείας αυτής και διατυπώθηκαν υποθέσεις σχετικά με τη σημασία που είχε για τη μαθηματική επιστήμη του 15ου αι.

Στο άρθρο αυτό[1] επιχειρώ μία λεπτομερέστερη περιγραφή προβλημάτων ορισμένων τομέων των Μαθηματικών όπως αναλύονται από τον Ανώνυμο συγγραφέα του χειρογράφου, καθώς και της εξέλιξής τους από αρχαιοτάτων χρόνων έως σήμερα.  Η σύγκριση είναι απαραίτητη και επειδή στο χειρόγραφο κάποιες μέθοδοι, όπως αυτή του υπολογισμού αθροισμάτων διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου, καθώς και της εύρεσης τετραγωνικών ριζών πραγματικών αριθμών μπορεί να αποδειχθούν χρήσιμες για τους μαθητές, ως ευκολότερες στην απομνημόνευση. Τέλος, όπως προκύπτει από τη σύγκριση του περιεχομένου του χειρογράφου με το περιεχόμενο του έργου Summa του Pacioli, που έως σήμερα θεωρείται ως η πρώτη Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών, φαίνεται ισχυρή η πιθανότητα να ευρισκόμαστε στη θέση να το ονομάσουμε "Βυζαντινή Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών", και αφού μάλιστα είναι προγενέστερη της Summa του Pacioli (1494 μ.Χ.), θα λέγαμε πως πρόκειται για την "πρώτη Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια", με χρονολογία συγγραφής το έτος 1436 μ.Χ.

Σχετικά με τις τέσσερεις αριθμητικές πράξεις και τις δοκιμές τους.
Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τους αριθμούς στο χειρόγραφο είναι τα γράμματα της ελληνικής αλφαβήτου, αλλά οι υπολογισμοί γίνονται με τη νέα τότε δεκαδική αραβική αρίθμηση. Αν και ο Ανώνυμος μαθηματικός του 15ου αι. δείχνει να μην έχει προσαρμοστεί στη νέα μέθοδο της χρήσης των αραβικών ψηφίων πρέπει να τονιστεί ότι η χρησιμοποίηση γραμμάτων και όχι αριθμών δεν επηρέαζε το  αποτέλεσμα, αφού επρόκειτο για αριθμητικό σύστημα θέσης, δηλαδή η θέση του γράμματος καθόριζε την αριθμητική αξία του. Έτσι στο χειρόγραφο διατηρείται ο παλαιός συμβολισμός, ενώ άλλοι προγενέστεροι λόγιοι, όπως ο Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305) στο Βυζάντιο και ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (13ος αι.), ο οποίος εισήγαγε στη Δύση τον καινούργιο συμβολισμό, είχαν εξοικειωθεί με τον νέο συμβολισμό και το αριθμητικό σύστημα θέσης.  Ο Λεονάρντο Φιμπονέτσι χρησιμοποιεί τα νέα ψηφία στο Liber abacci, και ο Μάξιμος Πλανούδης στη Ψηφοφορία κατ' Ινδούς. Όμως, η χρήση του νέου συμβολισμού δεν ήταν γενικευμένη στο Βυζάντιο. Γνωρίζουμε μάλιστα ότι διακεκριμένοι λόγιοι όπως ο Γεώργιος Παχυμέρης (σύγχρονος του Μάξιμου Πλανούδη), ο Μοσχόπουλος, ο Νικόλαος Ραβδάς, ο Ιωάννης Πεδιάσιμος, ο Βαρλαάμ ο Καλαβρός, ο Ισαάκ Αργυρός (14ος αι. μ.Χ.) δεν χρησιμοποιούσαν τα αραβικά ψηφία. Πιθανότατα ο Ανώνυμος μαθηματικός να μην υιοθέτησε τα νέα ψηφία λόγω του ότι εδημιουργούντο διάφορα προβλήματα στα εμπορικά Μαθηματικά κυρίως από τη χρήση των αριθμών 0 και 9, επειδή το 0 ήταν εύκολο να μετατραπεί σε 9.

Στο χειρόγραφό μας αναφέρεται ο όρος "μιλλιούνι" (κεφ. 5, [φ. 15r], 104 Χάλκου), ο οποίος, όπως προκύπτει από τον ορισμό, σημαίνει το εκατομμύριο. Γνωρίζουμε βέβαια, ότι ο Μάξιμος Πλανούδης ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν τον όρο milleton (δηλ. million) για το εκατομμύριο. Σύμφωνα όμως με τον D. E. Smith, ο όρος μιλλιούνι πρωτοεμφανίστηκε στην ανώνυμη Αριθμητική του Treviso του 1478. Σ' αυτήν την πραγματεία, που είναι μεταγενέστερη του χειρογράφου μας, στην πράξη του πολλαπλασιασμού ο πολλαπλασιαστής τοποθετείται κατακόρυφα δίπλα στον πολλαπλασιαστέο και η πράξη γίνεται καθ' όμοιον τρόπο με αυτόν που χρησιμοποιείται στο χειρόγραφο. Έχουμε λοιπόν μία σημαντική ένδειξη, ότι ο όρος "μιλλιούνι" δεν πρωτοεμφανίστηκε στην ιταλική Αριθμητική του Treviso αλλά στον κώδικα 65, που φαίνεται να χρονολογείται στα 1436 μ.Χ. Το 1494 ο Λούκα Πατσιόλι (Luca Pacioli) εξέδωσε τη Summa, στην οποία χρησιμοποιεί τα ινδικά ψηφία και όπου αποκαλεί "crocetta" (μικρός σταυρός), τη "σταυροειδή μέθοδο" πολλαπλασιασμού. Σύμφωνα με αυτόν για τον πολλαπλασιασμό του 12 με το 13 πολλαπλασιάζεται κατ' αρχήν το 2 με το 3 και δίνουν 6. Στην συνέχεια πολλαπλασιάζονται "σταυροειδώς" τα ψηφία του 12 και του 13 και τα αποτελέσματα αυτών των γινομένων προστίθενται, οπότε προκύπτει 1.3+1.2= 5. Το 5 αντιπροσωπεύει τις δεκάδες και το 6 τις μονάδες. Κατόπιν πολλαπλασιάζονται τα πρώτα ψηφία των αριθμών 12 και 13 και δίνουν αποτέλεσμα 1. Το 1 αντιπροσωπεύει τις εκατοντάδες, και έτσι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του 12 με το 13 είναι ο αριθμός 156.

Ο όρος "πολλαπλασιάζω σταυροειδώς" εχρησιμοποιείτο και για τις αναλογίες της μορφής α/β= γ/δ, από τις οποίες προκύπτει η ισότητα α.δ= β.γ. Σήμερα σε παρόμοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε την έκφραση "πολλαπλασιάζω χιαστί".

Στο ίδιο έργο ο Πατσιόλι, ο οποίος δίδασκε αριθμητική και άλγεβρα του εμπορίου, αναφέρει και τη μέθοδο του "τετραπλεύρου" για τον πολλαπλασιασμό δύο τριψηφίων αριθμών, κατά την οποία ο πολλαπλασιαστής τίθεται σε κατακόρυφη θέση ως πρός τον πολλαπλασιαστέο. Όμως, έτσι ακριβώς  γίνεται ο πολλαπλασιασμός τριψηφίων αριθμών και στο χειρόγραφό μας, το οποίο όπως είπαμε είναι παλαιότερο από τη Summa. Οι ομοιότητες τόσο με τη Summa, όσο και με την Αριθμητική του Treviso δεν σταματούν εδώ, αφού στην δεύτερη και η διαίρεση γίνεται με τρόπο παρόμοιο με αυτόν του χειρογράφου μας. Βέβαια οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ Βυζαντινών και Δυτικών είναι αναμφισβήτητες, γιατί και ο Μάξιμος Πλανούδης εκτελεί τη διαίρεση με τη μέθοδο του Λεονάρντο Φιμπονάτσι, η οποία είναι επίσης πανομοιότυπη με τη μέθοδο του κώδικα 65. Ο Πλανούδης μάλιστα διευκρινίζει, ότι πρόκειται για επίπονη εργασία, άποψη την οποία είχαν και άλλοι σύγχρονοί του λόγιοι.

Σχετικά με την πράξη του πολλαπλασιασμού, αξίζει να αναφερθεί ότι η μέθοδος της δοκιμής του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιείται στον κώδικα 65, βασίζεται σε κανόνα με υπόλοιπα διαιρέσεων με τον αριθμό 7. Π. χ. για την δοκιμή  του πολλαπλασιασμού του 15 με το 6 ο συγγραφέας προτείνει:
"Άφελε τα 15 οσάκις χωρώσι επί των 7· δις ουν 7 γίνονται 14, περιττεύει 1 μέχρι των 15". Αυτό σημαίνει ότι ζητεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του 15 με το 7, το οποίο είναι 1. Επειδή δε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 6 με το 7 είναι 6, πολλαπλασιάζει το 1 με το 6 και θέτει το εξαγόμενο εντός κύκλου. Τέλος βρίσκει το υπόλοιπο της διαίρεσης του 90 με το 7, το οποίο είναι 6 και το συγκρίνει με τον αριθμό που έχει θέσει μέσα σε κύκλο. Εφόσον τα δύο αποτελέσματα συμπίπτουν, τότε ο πολλαπλασιασμός είναι σωστός.

Αυτή η μέθοδος δοκιμής έχει βαθειές ρίζες. Τη χρησιμοποιούσαν και οι Ινδοί, οι οποίοι διαιρούσαν όμως με το 9 αντί του 7. Γνώστες αυτής της μεθόδου υπήρξαν ο Αλ Χουαράζμι (alh-Khowârizmî) (825 μ. Χ.) και ο Αλ Καρχί (alh-Karkhi) (1020 μ.Χ.). Αλλά και  οι Άραβες είχαν υιοθετήσει τη μέθοδο αυτή, χρησιμοποιώντας μάλιστα τόσο το 7, όσο και το 8 και το 9 και το 11. Από τους Άραβες  φαίνεται να επιρρεάστηκαν ο Rabbi ben Ezra (1140 μ.Χ.), ο Johannes Hispalensis (1140 μ.Χ.), ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1202 μ.Χ.) και Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305 μ.Χ.). Ο Πέλλος (1492 μ.Χ.) μάλιστα γράφει, ότι η δοκιμή με το 7 εξασφαλίζει μικρότερη πιθανότητα λάθους. Την ίδια άποψη εκφράζει και ο Ανώνυμος μαθηματικός του χειρογράφου μας.

Βέβαια σχετικά με την ινδική ή αραβική προέλευση της μεθόδου οφείλουμε να επισημάνουμε ότι οι Άραβες, ειδικά στην άλγεβρα και την αστρονομία, είχαν παραλάβει τις γνώσεις τους από τους Έλληνες. Σήμερα αυτή η μέθοδος δεν χρησιμοποιείται πλέον.

Ο Ανώνυμος συγγραφέας του χειρογράφου μας φαίνεται να δίνει ιδιαίτερη σημασία στην εκτέλεση της πράξης του πολλαπλασιασμού με την μέθοδο  χωρίς μολύβι και χαρτί, δηλαδή νοερώς. Οι πράξεις του βασίζονται στην άλγεβρα, η οποία ήταν ακόμα περιγραφική δηλαδή χωρίς τη χρήση συμβόλων. Συγκεκριμένα για τον πολλαπλασιασμό του 13 με το 13 ακολουθεί την εξής διαδικασία:
Πολλαπλασιάζει το 10 με το 10 και βρίσκει 100. Προσθέτει το 3 με το 3 και βρίσκει 6. Το 6 το κάνει 60. Πολλαπλασιάζει το 3 με το 3 και έχει 9. Προσθέτει το 100, το 60, και το 9 και βγάζει 169. Αυτά εξηγούνται σήμερα με την διπλή επιμεριστική ιδιότητα, σύμφωνα με την οποία ισχύει:
(α+β).(γ+δ)= αγ+αδ+βγ+βδ, δηλαδή
13.13=(10+3).(10+3)=100+3.10+3.10+9=100+60+9=169.

Πολύ αργότερα, όταν ο Cardano (1501-1576) εξέδωσε την Practica Arithmeticae (1539) έδειξε και αυτός την ίδια ικανότητα στούς υπολογισμούς από μνήμης.

Τα κλάσματα και οι πράξεις αυτών.
Στο χειρόγραφό μας ο τρόπος ορισμού του κλάσματος (τζάκισμα), προϋποθέτει ο αριθμητής να είναι μικρότερος από τον παρανομαστή (φ. 29r, κεφ. 40). Ο ορισμός του κλάσματος αργότερα επεκτείνεται από τον συγγραφέα και  έτσι εμφανίζονται στο χειρόγραφο κλάσματα με αριθμητές μεγαλύτερους από τους παρανομαστές (φ. 62r, κεφ. 116, φ. 76r, κεφ. 135). Στην Αριθμητική του  Pagani (1591 μ.Χ.) ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρανομαστή, όμως, και αυτό είναι αξιοπρόσεκτο, το αντίθετο θεωρείται από κάποιους ερευνητές - οι οποίοι προφανώς δεν εγνώριζαν  την ύπαρξη του Βιενναίου Ελληνικού φιλ. κώδικα 65 - μεταγενέστερη από το 1591 ανακάλυψη!!!

Στον κώδικα 65 οι πράξεις μεταξύ κλασμάτων εκτελούνται με μεθόδους παρόμοιες με τις σημερινές.Ο συγγραφέας χρησιμοποιεί τον  όρο "οκτακαιδέκατον" και άλλους συναφείς με αυτόν, για να δηλώσει το 1/18 και άλλα παρόμοια κλάσματα. Εδώ είναι εμφανής η επιρροή από την αρχαιότητα, δηλαδή του Ήρωνα του Αλεξανδρέα, η οποία φθάνει έως τον Γεώργιο Παχυμέρη, καθώς και οι δύο αυτοί μεταχειρίζονταν τους ίδιους όρους για να κατονομάσουν τα κλάσματα.

Όπως είναι γνωστό, η μέθοδος των τριών, θεωρείται  ινδικής προέλευσης, και αργότερα υιοθετήθηκε από τους Άραβες και τους Λατίνους· υπήρξε δε εξαιρετικά δημοφιλής στον κόσμο του εμπορίου. Στον κώδικα 65 χρησιμοποιείται συχνά με το όνομα η "διά των τριών μεταχείρισις" (κεφ. 53), και βασίζεται στίς ιδιότητες των αναλογιών (κεφ. 55).

Συγκεκριμένα στο κεφ. 53 ο Ανώνυμος συγγραφέας θέτει το εξής πρόβλημα: "Εάν Τα 3 γίνωνται 4, Τα 5 πόσα γίνονται;"

Πρόκειται για κλασσική περίπτωση αναλογιών όπου χρησιμοποιεί μάλιστα και τον όρο "πολλαπλασίαζε σταυροειδώς", προκειμένου να διδάξει αυτό που σήμερα ονομάζουμε πολλαπλασιασμό χιαστή. Εκτός δε από το ανωτέρω πρόβλημα, θέτει και το ακόλουθο: "Εάν Τα 11 γίνωνται 15, Τα 20 πόσα γίνονται";

Σ' αυτά τα προβλήματα χρησιμοποιεί για πρώτη φορά τον όρο: "μεταχείρισις διά των τριών", και εννοεί την διά των τριών μέθοδο την οποία διδάσκουμε σήμερα στούς μαθητές. Πολλαπλασιάζει λοιπόν το 5 με το 4 και διαιρεί με το 3. Το αποτέλεσμα είναι 6 2/3. Προφανώς στηρίζεται στην ισότητα των λόγων 3/4= 5/χ, απ' όπου με τις ίδιες πράξεις θα βρίσκαμε για το χ το ίδιο αποτέλεσμα

Στο κεφ. 55 το πρόβλημα που θέτει είναι το εξής: "Εάν 8-κις 8 γίνονται 100, 12-κις 12 πόσα γίνονται;"

Η λύση που δίνει ο Ανώνυμος συγγραφέας βασίζεται στην αναλογία 100/64= χ/144 σύμφωνα με την οποία  χ= 225. Γράφει δε: "Ον γάρ λόγον έχοσιν τα 100 πρός τα 64, τον αυτόν λόγον έχοσιν και τα 225 προς τα 144".

Οι προσεγγίσεις του Ανωνύμου συγγραφέα δεν δύνανται βέβαια να ονομαστούν θεωρητικές, εντούτοις όμως πρόκειται ουσιαστικά για άμεση εφαρμογή της θεωρίας.

Η μέθοδος των τριών αποτελούσε έναν θαυμάσιο τρόπο για να διδάξουν οι δάσκαλοι εκείνων αλλά και των παλαιοτέρων εποχών, τις ισότητες των λόγων, οι οποίες ήταν γνωστές από την αρχαιότητα, εφαρμόζοντάς τες και σε προβλήματα της καθημερινής ζωής, τα οποία ενδιέφεραν ανθρώπους χωρίς θεωρητική κατάρτιση, π.χ. τους εμπόρους, τους τεχνίτες κ.ά. Σχετικά με την εξέλιξη της μεθόδου των τριών πρέπει να πούμε ότι αργότερα, σε βιβλίο Αριθμητικής του 16ου αι. χρησιμοποιείται η ονομασία "ρέουλες", η οποία δηλώνει εκτός από τη μέθοδο των τριών, τη μέθοδο των πέντε και επτά, δηλαδή τη σημερινή "σύνθετη μέθοδο".

Αριθμητικές πρόοδοι.

Ο Ανώνυμος συγγραφέας του χειρογράφου μας ασχολείται με τις προόδους καί, συγκεκριμένα με ορισμένες μορφές αριθμητικών προόδων για τις οποίες προτείνει ομαδοποιημένες μεθόδους λύσεων. Ο όρος "αριθμητική πρόοδος" ανάγεται στον Διόφαντο, τον οποίο τον 13ο αι. αντέγραψε και σχολίασε ο Μάξιμος Πλανούδης. Ωστόσο, ο Ανώνυμος συγγραφέας του κώδικα 65, στο κεφ. 57, 58, δεν ονομάζει τα αθροίσματα της μορφής 3+6+.....+30 ή 1+3+5+7+......+17, ή 3+6+.....+39, κ. τ. λ. "αθροίσματα όρων αριθμητικής προόδου", και η μέθοδος που ακολουθεί για να τα υπολογίσει είναι διαφορετική για κάθε ένα από αυτά. Δηλαδή για τον υπολογισμό τους εκτελεί τις εξής πράξεις:

α) Για το 3+6+....+30

30/3= 10, 10/2= 5, 10+1= 11, 11.5= 55, 55.3= 165

β) Για το 1+3+5+7+......+17

17= 8+9, 9.9= 81

γ) Για το 3+6+.....+39

39/3= 13, 13= 7+6, 13.7= 91, 91.3= 273            

Με τα αθροίσματα αυτά είχε ασχοληθεί ο Alh-Karagī (Alh-Karhī) τον 6ον αι., και ο Πέρσης Αβικέννας τον 11ον αι., ο οποίος μάλιστα για τον υπολογισμό τους εφάρμοζε την εξής μέθοδο:

1+2= 3= 2+(1/2).2

1+2+3= 6= 2.3

1+2+3+4= 10= 2.4+(1/2).4

1+2+3+4+5= 15= 3.5

1+2+3+4+5+6=21=3.6+(1/2).6

Ο Ανώνυμος Μαθηματικός μπορεί να γνώριζε τον τύπο που δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου, καθώς και τον τύπο που δίνει τον νιοστό όρο της, δεν πρότεινε όμως την εφαρμογή τους, ίσως διότι έτσι θα οδηγούσε τους μαθητές σε περισσότερες πράξεις. Π.χ. για τον υπολογισμό του αθροίσματος 1+3+5+......+17, σήμερα εφαρμόζοντας τους τύπους:

α_ν= α₁+(ν-1)ω και Σ_ν=  [(α₁+α_ν)/2].ν, έχουμε:

17= 1+(ν-1).2, δηλαδή 16= (ν-1).2, και ν= 9

Το ζητούμενο άθροισμα θα είναι: Σ_ν=  [(α₁+α_ν)/2].ν, δηλαδή (1/2+17/2).9=  (18/2).9=  81.

Συγκρίνοντας τις δύο μεθόδους διαπιστώνουμε τη συντόμευση που έχει κάνει ο Ανώνυμος συγγραφέας στίς πράξεις, αφού για το ίδιο πρόβλημα η λύση  σύμφωνα με αυτόν είναι: 17= 8+9, 9.9= 81.

Παρατηρούμε ότι η μεθοδολογία του χειρογράφου στηρίζεται στα εξής:

Α. Σε αριθμητική πρόοδο με ω=α₁ ισχύει:

α_ν/α₁=1+ν-1=ν, δηλαδή

Σ_ν={2α₁+ (ν-1)α₁}ν/2={α₁(1+ν)}ν/2, και αν

Ι) ν=2κ, με κ οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό, τότε

Σ_ν={α₁(1+2κ)}2κ/2= {α₁ (1+2κ)}κ, και

ΙΙ) ν=2κ+1, τότε Σ_ν=α₁(2κ+2)(2κ+1)/2=α₁ (κ+1)(2κ+1).

Β. Σε αριθμητική πρόοδο με α₁=1 και ω=2 ισχύει:

α_ν=1+(ν-1)2, οπότε α_ν=2ν-1,

δηλαδή ν=(α_ν+1)/2, και      

Σ_ν=(α₁+α_ν)ν/2={(1+α_ν)/2}{(α_ν+1)}

Προβλήματα πρωτοβαθμίων εξισώσεων.

Ο Ανώνυμος συγγραφέας στα κεφ. 61- 94 ασχολείται με προβλήματα, τα οποία σήμερα επιλύονται εύκολα με πρωτοβάθμιες εξισώσεις, ο ίδιος όμως τα λύνει με πρακτική αριθμητική χρησιμοποιώντας συχνά τη μέθοδο της "ψευδούς υπόθεσης". Καθώς δε σε επόμενα κεφάλαια (135- 140) διδάσκει μεθόδους επίλυσης εξισώσεων μέχρι και 4ου βαθμού, θα μπορούσε να έλυνε τα προβλήματα των κεφαλαίων 61- 94 χρησιμοποιώντας εξισώσεις, εφόσον με τη χρήση τους οι μαθητές του θα εκτελούσαν λιγότερες πράξεις.

Η μέθοδος της "ψευδούς υπόθεσης" είναι βέβαια μία πανάρχαια συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης των προβλημάτων αυτών. Σαν παράδειγμα αναφέρω πρόβλημα, στο οποίο ζητείται μία ποσότητα όταν: "Η ποσότητα και το τέταρτο μέρος της δίνουν μαζί 15". Για να βρούμε την άγνωστη ποσότητα, δεχόμαστε σαν λύση τον αριθμό 4, οπότε 4+(1/4)4=5, και όχι 15. Όπως δε το 15 είναι τριπλάσιο του 5 έτσι και η ζητουμένη ποσότητα θα είναι το τριπλάσιο του 4, δηλαδή το 12. Η  χρήση της μεθόδου της "ψευδούς υπόθεσης", οδηγεί σε εσφαλμένο συμπέρασμα, όμως η ορθή λύση επιτυγχάνεται με την εφαρμογή των αναλογιών, και στο συγκεκριμένο πρόβλημα με την εφαρμογή της αναλογίας 15/5= χ/4, η οποία δίνει για το χ την τιμή 12.

Η μέθοδος της "ψευδούς υπόθεσης" ήταν ιδιαίτερα προσφιλής στον Διόφαντο, ο οποίος τη χρησιμοποιούσε  για την επίλυση εξισώσεων α' βαθμού, των οποίων εύρισκε το αποτέλεσμα διά της συγκρίσεως. Η πανάρχαια αυτή μέθοδος η οποία διδασκόταν στα σχολεία της Ευρώπης και της Αμερικής έως και τον 19ο αιώνα, φαίνεται ότι ήταν πολύ διαδεδομένη στον Μεσαίωνα, αφού  ο Leonardo Fibonacci την ανέφερε στις πραγματείες του και  τη χρησιμοποιούσε συχνά στην επίλυση των προβλημάτων. Επισημαίνω, ότι τα περισσότερα από τα προβλήματα που επιλύονται με εξισώσες πρώτου βαθμού, διατυπώνονταν τότε υπό μορφήν αινιγμάτων. Κατά τον Smith, αυτά είχαν προέλευση ελληνική και μάλιστα πολλά από αυτά αποδίδονται στον Μητρόδωρο. Ο Μητρόδωρος θεωρείται ως ο κύριος εμπνευστής  των προβλημάτων, τα οποία ανήκουν στα ψυχαγωγικά μαθηματικά. Αυτού του τύπου τα προβλήματα δέχθηκαν όμως επιδράσες και από την Ανατολή. Αργότερα ασχολήθηκαν με αυτά και ο Rabi ben Ezra (1140), ο Jordanus Nemorarius (1225) κ. ά.

Ένα άλλο είδος προβλημάτων που στο χειρόγραφο λύνονται με πρακτική αριθμητική ενώ θα είχαν πιό σύντομες λύσεις με τη χρήση εξισώσεων είναι τα αναφερόμενα σε κινήσεις πρός συνάντηση ή  απομάκρυνση πλοίων ή ανθρώπων. Ο συγγραφέας του χειρογράφου, στο κεφ. 71, γράφει πώς δεν τα θεωρεί πραγματικά προβλήματα, αλλά μόνον ένα είδος ασκήσεων για τους μαθητές, ώστε να μπορούν να αντιμετωπίσουν τα μετέπειτα διδασκόμενα ζητήματα.

Προβλήματα σχετικά με κινήσεις πλοίων ή ανθρώπων  υπάρχουν στο  Liber Abbaci του Φιμπονάτσι.  Τα συγκεκριμένα προβλήματα φαίνεται πώς έχουν Κινέζικες ρίζες. Ο Smith ισχυρίζεται ότι πρωτοεμφανίσθηκαν στη Δύση και ευρίσκονται στο έργο Summa του Luca Pacioli, που γράφηκε το 1494 μ.Χ.!!! Εάν ληφθεί υπόψιν, ότι και η Αριθμητική του Treviso, η οποία  γράφηκε το 1478, περιέχει και αυτού του είδους τα προβλήματα τίθεται ένα σοβαρό ερώτημα για τη σχέση αυτών των τριών έργων ως πρός το περιεχόμενό τους, αφού η ανώνυμη Αριθμητική του Treviso θεωρείται ως η πρώτη εμπορική Αριθμητική εκείνης της εποχής, και η Summa του Pacioli, διδασκόταν μέχρι και τον 16ο αι. στα σχολεία και θεωρείτο όπως έχω ήδη αναφέρει ως η πρώτη Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών.

Ρίζες πραγματικών αριθμών.

Το κεφάλαιο των ριζών ανήκει σε ύλη καθαρά αλγεβρική,  και οι λύσεις δίδονται και εδώ με τη γνωστή μορφή των οδηγιών για την εκτέλεση πράξεων. Διακρίνεται όμως σαφώς από τα προηγούμενα κεφάλαια λόγω της θεματολογίας του και της κατάταξής του από τον συγγραφέα στη Β' βίβλο. Στο προοίμιο της Β' βίβλου (κεφ. 117) ο Ανώνυμος συγγραφέας αναφέρει ότι υπάρχουν προβλήματα, τα οποία δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν με τις μεθόδους της Α' βίβλου. Γράφει επίσης, ότι προτίθεται να δώσει "ενηλλαγμένες και ανόμοιες μεταχειρίσεις", με τις οποίες αντιμετωπίζονται τα ζητήματα που ακολουθούν.

Η ύλη γενικώτερα της άλγεβρας στον κώδικα 65 περιλαμβάνει εκτός από τις ρίζες των πραγματικών αριθμών, τις εξισώσεις μέχρι και τετάρτου βαθμού, και τα συστήματα εξισώσεων μέχρι και δευτέρου βαθμού.

Κατά την επικρατέστερη άποψη, όλες οι γνώσεις άλγεβρας των Ευρωπαίων κατά τον 15ο αι. προέρχονταν από την Άλγεβρα του alh- Khowârizmî (11ος αι.), και από το Liber Abbaci του Φιμπονάτσι (13ος αι. ).Ο alh-Khowârizmî έγραψε δύο βιβλία αριθμητικής και άλγεβρας, των οποίων η λατινική μετάφραση περιέχει ρίζες, εξισώσεις κ.λπ. Όμως η Άλγεβρα του alh-Khowârizmî δίνει την εντύπωση, ότι ο συγγραφέας της επηρεάστηκε από πηγές αρχαιότερες των ελληνικών και των ινδικών.

Στην ενότητα των ριζών συμπεριλαμβάνονται και τα "κανόνια των πολλαπλασιασμών", δηλαδή οι πίνακες πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών από 1 έως 1000 (κεφ. 127), καθώς και οι αντίστοιχοι πίνακες των ριζών τους. Πίνακες πολλαπλασιασμού είχε περιλάβει στο έργο του το 1341 μ.Χ. και ο Ραβδάς. Στο χειρόγραφό μας όμως, ο Ανώνυμος συγγραφέας  δίνει πίνακες υπολογισμού ριζών για ορισμένους αριθμούς από το 1 έως το 1000 (κεφ. 239). Συγκεκριμένα δίνει τα αποτελέσματα των ριζών μερικών μόνο αριθμών, αλλά για τους περισσότερους αριθμούς, στην στήλη του εξαγομένου της ρίζας  τους, αφήνει κενό. Σε γενικές γραμμές οι Βυζαντινοί δεν χρησιμοποιούσαν τέτοιους πίνακες (ούτε καν τους πίνακες υπολογισμού των τετραγώνων). Ωστόσο κάποιοι δάσκαλοι, όπως ο συγγραφέας του κώδικα 65 τους συμπεριελάμβαναν στην ύλη τους μάλλον για λόγους καθαρά παιδαγωγικούς, αφού έτσι έδιναν στούς μαθητές τους τη δυνατότητα να βρίσκουν άμεσα τις ακέραιες ρίζες κάποιων θετικών ακεραίων αριθμών.

Το σημείο αφετηρίας λοιπόν του Ανώνυμου συγγραφέα για την άλγεβρα είναι το κεφάλαιο υπολογισμού ριζών πραγματικών αριθμών. Με τις ρίζες είχαν ασχοληθεί και άλλοι Βυζαντινοί λόγιοι όπως ο Ισαάκ Αργυρός (1310-1371) και ο Μάξιμος Πλανούδης (1300 περίπου).

Πρέπει να τονίσουμε,  ότι στο χειρόγραφο δεν υπάρχουν μαθηματικοί τύποι αλλά μόνο οδηγίες  για τον υπολογισμό της ρίζας. Μολονότι ο Διόφαντος είχε εισαγάγει ήδη από το 275 μ.Χ. τον δικό του συμβολισμό, δεν γίνεται χρήση του, ίσως διότι η περιγραφή και όχι η αναγραφή των τόπων εκείνη την εποχή γινόταν  ευκολότερα κατανοητή από τους μαθητές.

Σύμφωνα με τις μεθόδους υπολογισμού της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας του χειρογράφου, βρίσκεται ότι η τετραγωνική ρίζα του 30  είναι ίση με 5 5/11 (κεφ. 123).

Σύμφωνα με τον συγγραφέα, για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του 30 πρέπει να γίνουν οι εξής πράξεις:

5.5= 25 και 6.6= 36. Επειδή το μέν 25 είναι μικρότερο κατά 5 μονάδες από το 30, και το 36 είναι μεγαλύτερο κατά 6 μονάδες από το 30, τότε 5+6= 11, οπότε ο αριθμός 5 5/11 είναι η ρίζα του 30. Επαληθεύει δε τον ισχυρισμό του, πολλαπλασιάζοντας το 5 5/11 με τον εαυτόν του, και βρίσκοντας 29 7/9, το οποίο θεωρεί καλή προσέγγιση του 30.

Στη συνέχεια ο συγγραφέας αναφέρει ότι υπάρχει μέθοδος για ακόμη καλύτερες προσεγγίσεις, και εξηγεί τι ακριβώς εννοεί, υπολογίζοντας εκ νέου την ρίζα του 30. Δηλαδή με τον τρόπο που χρησιμοποίησε  και προηγουμένως, βρήκε πώς η ρίζα του 30 είναι 5 5/11 ή 5 10/22. Προσθέτει μία μονάδα στον αριθμητή του κλάσματος 10/22 και έχει 5 11/22. Κατόπιν προσθέτει και μία μονάδα στον παρανομαστή και έχει 5 11/23. Πολλαπλασιάζει το 5 11/23 με τον εαυτόν του και έχει 30 6/529. Επειδή δε υπερέβη το 30, το 5 5/11 το μετατρέπει σε 5 20/44, πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρανομαστή με το 4. Κατόπιν προσθέτει μία μονάδα στον αριθμητή και γράφει πως τελικά η ρίζα είναι 5 21/44, γιατί το 5 21/44 πολλαπλασιαζόμενο με τον εαυτόν του μας δίνει 30 1/1936 που είναι μία καλύτερη προσέγγιση του 30, απ' ότι ήταν το 30 6/529.

Σαν γενική μεθοδολογία αναφέρει πώς όταν η ρίζα είναι ελλιπής πρέπει να προσθέτεις μία μονάδα στον αριθμητή, ή να αφαιρείς μία μονάδα από τον παρανομαστή, προκειμένου να έχεις καλύτερη προσέγγιση. Όταν η ρίζα όμως είναι υπερθετική, κάνεις ακριβώς το αντίθετο, δηλαδή αφαιρείς μία μονάδα από τον αριθμητή ή προσθέτεις μία μονάδα στον παρανομαστή.

Σχετικά με αυτές τις μεθόδους υπολογισμού διαφόρων ριζών, μέχρι πριν από λίγα χρόνια χρησιμοποιούσαμε μία γενική μεθοδολογία εύρεσης τετραγωνικής ρίζας, που έμοιαζε με την πράξη της διαίρεσης, και βάσει της οποιας οι μαθητές υπελόγιζαν οποιαδήποτε τετραγωνική ρίζα με προσέγγιση όσο επιθυμούσαμε ικανοποιητική.

Η προτεινόμενη από τον Ανώνυμο συγγραφέα μεθοδολογία φαίνεται ίδια με εκείνη του  Omar Khayyam (1048-1131), και είναι η εξής:

Έστω Ν ^1/η =χ, με Ν=α^η+τ και τ <(α+1)^η-α^η. Τότε θα ισχύει:

{(α^η+τ)}^1/η=α+τ/([α+1]^η-α^η) (1).

Για τον υπολογισμό λοιπόν της ρίζας του 30, παρατηρούμε ότι αν θέσουμε η=2 και Ν=30 στον τύπο (1) που χρησιμοποιούσε ο Omar Khayyam θα έχουμε:

Ν=α^η+τ, δηλαδή 30=5²+5, με 5<6 5="" font="">

√30=√(5²+5)=5+5/(6²-5²)=5+5/11.

Αν ο Ανώνυμος συγγραφέας υπελόγιζε την ρίζα του 30 με τη μέθοδο, την οποία χρησιμοποιούσε ο Πλανούδης, και η οποία βασιζόταν σε τύπο του Ήρωνα του Αλεξανδρέα, θα είχε τα εξής:

√Ν=√(α²+τ)=α+τ/(2α) (2)

δηλαδή αν θέσουμε Ν=30, α=5, και τ=5 στον τύπο (2) που χρησιμοποιούσε ο Πλανούδης, θα έχουμε:

√30=√(5²+5)=5+5/10 και όχι 5+5/11.

Αν ο υπολογισμός της ρίζας του 30 γινόταν από τον Ανώνυμο με τη μέθοδο του Ραβδά, θα ελάμβανε υπ' όψιν του ότι ο Ραβδάς χρησιμοποιούσε μεν τον τύπο του Ήρωνα, αλλ' επιπλέον θεωρούσε ότι √Ν=α+τ/(2α). Εάν δε το ά ήταν η καθ' υπεροχή προσέγγιση της ρίζας, τότε το α₁=Ν/ά ήταν η κατ' έλλειψη προσέγγιση, και η τιμή (1/2)(ά+α₁) θεωρείτο από τον Ραβδά ως η καλύτερη από αυτές.

Παρατηρούμε ότι σύμφωνα με τα ανωτέρω θα είχε τα εξής:

√30=(1/2){5+5/10+30/(5+5/10)}=

=(1/2){55/10+30/(55/10)}=

=(1/2)(11/2+60/11)=

=(1/2){(121+120)/22}=241/44=5 21/44, και όχι 5+5/11.

Σημειωτέον ότι, όταν στο χειρόγραφό μας δίνεται προσεγγιστικώς η ρίζα του 30, ως δεύτερη προσέγγιση της √30 βρίσκεται η τιμή 5 21/44 (κεφ. 123), η οποία συμφωνεί με εκείνη του Ραβδά, μολονότι οι τιμές τους για την πρώτη προσέγγιση δεν συμφωνούν: Στον κώδικα 65 βρίσκεται για την πρώτη προσέγγιση η τιμή 5 5/11 και ο Ραβδάς, όπως και ο Πλανούδης, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα θα εύρισκε 5 5/10.

Ο Βαρλαάμ ο Καλαβρός γνώριζε τους τύπους, τους οποίους αναφέραμε. Σύμφωνα με αυτόν, η διαδικασία των προσεγγίσεων μπορούσε να συνεχιστεί εφαρμόζοντας τον τύπο:

χ _η+1= (χ_η+Ν/χ_η)/2, όπου η= 0,1,2,3,....

Αλλά όπως έχω ήδη αναφέρει, και στο χειρόγραφό μας περιγράφεται τρόπος, με τον οποίο επιτυγχάνουμε διαδοχικές προσεγγίσεις. Αυτές οι μέθοδοι υπολογισμού τετραγωνικής ρίζας, φαίνεται ότι εγκαταλήφθηκαν με την πάροδο του χρόνου, και τελικά το έτος 1494 ο Luca Pacioli δίνει κάποια μέθοδο, η οποία μοιάζει με αυτήν που εδιδάσκετο μέχρι πρίν λίγα χρόνια στα σχολεία της Β' θμιας εκπαίδευσης στη χώρα μας. Αργότερα, το 1546 ο Cataneo πλησιάζει περισσότερο αυτήν τη  μέθοδο, η οποία θυμίζει την πράξη της διαίρεσης και παρουσίαζε για τους μαθητές εξαιρετική δυσκολία στην κατανόηση και απομνημόνευση.

Σχετικά με τη ρίζα 3ης τάξης τα πράγματα ήταν εντελώς διαφορετικά. Δεν υπήρχε εύκολη μέθοδος υπολογισμού της και η διαδικασία εύρεσής της θεωρείτο ιδιαίτερα επίπονη. Το 1559 μ.Χ. ο Buteo  επιτυγχάνει να υπολογίζει μόνο το πρώτο ψηφίο μίας κυβικής ρίζας. Έναν αιώνα αργότερα, ο Lagny πίστευε ότι χρειάζεται πολύς χρόνος για την εύρεση της κυβικής ρίζας κάποιου μεγάλου αριθμού. Παρ' όλα αυτά, οι μαθηματικοί είχαν στη διάθεσή τους τους γενικούς τύπους υπολογισμού ριζών ν τάξεως. Στο χειρόγραφο (κεφ. 125) αναφέρεται ότι δεν υπάρχει εύκολη μέθοδος υπολογισμού κυβικής ρίζας κάποιου αριθμού, εντούτοις πιό κάτω στο ίδιο κεφάλαιο οι υπολογισμοί των ριζών τρίτης τάξεως γίνονται από τον συγγραφέα με την ίδια άνεση, με την οποία έχουν υπολογισθεί και οι τετραγωνικές ρίζες. Η δε μεθοδολογία που ακολουθείται είναι της ιδίας μορφής με αυτή των τετραγωνικών ριζών.

Βέβαια με τις ρίζες τρίτης τάξεως ασχολήθηκαν και άλλοι επιστήμονες, όπως ο Mahävirä (9ος αι.) και ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Μάλιστα ο Omar Khayyam, όπως έχω ήδη αναφέρει, έχει δώσει γενικό τύπο εύρεσης ρίζας τάξεως ν.

Κατά τον Ήρωνα δέ, αν

α³<Ν<(α+1)³, τότε

Ν-α³=β και (α+1)³-Ν=γ, οπότε

Ν^1/3=α+{(α+1)β}/{(α+1)β+αγ}.

Σύμφωνα τώρα με τον Φιμπονάτσι ισχύει:

√Ν=√(α³+τ), οπότε

√Ν=α+τ/{(α+1)³-α³},

Τέλος, σύμφωνα  με τον Οmar Khayyam θα έχουμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό που δίνει η μέθοδος του Φιμπονάτσι και του Ήρωνα.   

Επίλογος

Στην εργασία αυτή έγινε αναφορά σε λίγα επιλεγμένα θέματα αριθμητικής και άλγεβρας τα οποία διαπραγματεύεται ο Ανώνυμος συγγραφέας του κώδικα 65. Οι μέθοδοί του σχολιάσθηκαν και συγκρίθηκαν με άλλες μεθόδους όχι μόνο της εποχής του, αλλά και προγενεστέρων εποχών. Εξετάστηκε ακόμα η εξέλιξη αυτών των μεθόδων έως την σημερινή εποχή. Σε ορισμένες περιπτώσεις διαπιστώθηκε ότι αγνοούμε παντελώς τους προτεινόμενους από τον συγγραφέα τρόπους επίλυσης όπως αυτόν της δοκιμής του πολλαπλασιασμού με τη μέθοδο των υπολοίπων των διαιρέσεων με τον αριθμό 7. Σε άλλες περιπτώσεις όπως στον υπολογισμό αθροισμάτων διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου, παρατηρούμε ότι η υπάρχουσα μέθοδος στο χειρόγραφο μας οδηγεί σε εκτέλεση λιγοτέρων πράξεων από αυτές που κάνουμε εφαρμόζοντας τους σημερινούς τύπους υπολογισμού του νιοστού όρου και του αθροίσματος των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου.

Τέλος εντοπίσθηκαν κοινά σημεία του κώδικα 65 (φ. 11r-126r), της Ανώνυμης Αριθμητικής του Treviso, και της Summa του Luca Pacioli, και ευρέθησαν έννοιες που φαίνεται να προϋπήρχαν στο  Βυζαντινό χειρόγραφό μας, ενώ θεωρούνται από τους ερευνητές ως μεταγενέστερες. Αν δε συνεκτιμήσουμε και το γεγονός, ότι το περιεχόμενο αυτών των τριών έργων παρουσιάζει πολλές ομοιότητες και ως πρός τη διάταξή του, τότε φαίνεται πως ο Βιενναίος Ελληνικός φιλ. κώδικας 65 του 15ου αι. (φ. 11r- 126r) δεν είναι μόνο ένα πρόγραμμα διδασκαλίας μαθηματικών του 15ου αι. που απευθύνεται σε μαθητές αλλά και σε εμπόρους και τεχνίτες διαφόρων ειδικοτήτων στο Βυζάντιο, όπως είχα θεωρήσει κατά τη διάρκεια της ερευνητικής μου μελέτης. Είναι κάτι περισσότερο από αυτό. Είναι μάλλον η πρώτη Βυζαντινή Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια, η οποία φαίνεται πως γράφηκε πρίν από τη Summa του Luca Pacioli. Έτσι λοιπόν διεκδικεί τον τίτλο της "πρώτης Εγκυκλοπαίδειας Μαθηματικών".

Το βιβλίο μου με τίτλο: "Μελέτη του Μαθηματικού περιεχομένου του Βιενναίου Ελληνικού φιλ. κώδικα 65 του 15ου αι. (φ. 11r-126r), μεταγραφή, εισαγωγή και μαθηματικά σχόλια", εκδόσεις Πανεπιστημίου Αθηνών (2003), ευρίσκεται στο Εθνικό ΚέντροΤεκμηρίωσης (ΕΚΤ), αλλά και στις εξής βιβλιοθήκες:

1) Εθνική Βιβλιοθήκη της Ελλάδος (Αρ. ΒΕ: 303703).

2) Δημόσια Ιστορική Βιβλιοθήκη Δημητσάνης (Α.Τ.: Αα172ψ)

3) Γεννάδειος Βιβλιοθήκη της Αμερικανικής Σχολής Κλασσικών Σπουδών στην Αθήνα (Β. Ν.: 000217691).

4) Dumbarton Oaks (S. N.: QA31) και Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου Harvard (Η.Ν.:010116112)

5) Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας (Verbund ID- Nr.: AC04777259)

Βιβλιογραφία
Adel Anbouba, L’ Argèbre Al-Badī d’ Al-Karagī, Pub. de l’ Univ. Libanaise, Beyrouth 1964.
Avicenne, Le livre de Science, trad. Moh. Achena et Th. Massé, Les belles lettres, 1986.
Barlaam von Seminara. Logistiké, ed. P. Carelos, Academy of Athens , 1996.
Boyer – Uta. C. Merzbach, History of Mathematics, ed. A. Pnevmatikou, Athens , 1997.
Ν. Γεωργακοπούλου, Η παιδεία στην Αρκαδία επί τουρκοκρατίας, εκδ. Φύλλα, Τρίπολη 2000.
C. N. Constantinides, Higher Education in Byzantium in the thirteenth and early fourteenth centuries (1204- 1310), Cyprus Research Center , Nicosia 1982.
Διοφάντου, Αριθμητικά, αρχαίο κείμενο και μετάφραση από τον E. Σταμάτη, OEΔB, Αθήναι, 1963.
A. G. Drachmann,– M. S. Mahoney, Hero of Alexandria, DSB, τόμ. VΙ, 310-315. Ευκλείδη,  Γεωμετρία, εκδ. E. Σταμάτη, OEΔB, Αθήναι, 1958, τόμ. II.
Euclides Elementa, ed. 1. L.Heiberg, Teubner, Lipsiae, 1884, τόμ. II.
Euclid : The thirteen books of the Elements, translated with introduction by Th. Heath.
M. Gliozzi., "Cardano, Girolamo", DSB, τόμ. ΙΙΙ.
Heath, “A History of Greek Mathematics”, τόμ. II, Dover , 1956.
Th. Heath, “A History of Greek Mathematics”, Oxford UΡ, τόμ. Ι (1921).
Η. Ηunger - K.Vogel, Ein Byzantinisches Rechenbuch des 15 Jahrhunderts. 100 Aufgaben aus dem Codex Vindobonensis Phil. Gr. 65, H. Bohlaus, Koln Komm. d. Österr, Acad. d. Wissenschaften in Wien, 1963.
H. Ηunger, Die hochspradilihe Literatur der Byzantiner (Ελλ. μετάφρ.: Βυζαντινή Λογοτεχνία), τόμ. I-III, εκδ. MIET, Αθήναι, 1994, τόμ III.
S. A. Jayawardene, "Luka Pacioli", DSB (Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. Coulston Gillispie, Ch. Scribner’s sons, τόμ. Ι-ΧVI, N. York 1970-1980.), τόμ. X.
G. Loria, Ιστορία των Μαθηματικών, εκδ. Παπαζήση, Αθήνα 1971, τόμ. II.
G. Pachymeris de Michaele et Andronico Palaeologis bonnae impensis, ed. Weberi 1835 (2).
Gay Robins and Sharles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus, The British Museum Publications, London 1987.
P. L. Rose, “The Italian Renaissance of Mathematics”, Librairie Droz, Geneva 1975.
D.E.Smith,  History of Mathematics, τόμ. I- II, Dover, New York , 1958.
B.L. Van der Waerden,  “Science awakening”, μετάφρ. εκδ. Πανεπ. Κρήτης, Ηράκλειο 2000.
J. H. Vincent, À la Géomètrie Pratique des Grecs. Extrait des notices des Manuscrits, τόμ. XIX pt. 2, Imr. Impériale, Paris 1858.“Ιστορία της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, (τόμ ΙΙ, κεφ. ΧΧVIII: Κ. Vogel, Η Βυζαντινή Επιστήμη). Ελλ. μετάφρ. του: History of the Byzantine Empire, (vol. II, ch. XXVIII: K. Vogel, “The Byzantine Science”), Univ. of Wisconsin Press, Cambridge , 1958.
K. Vogel ( μετάφρ. K. N. Σιδηρόπουλος), “Εγγράμματος λογισμός και Ινδικά ψηφία στο Βυζάντιο”, NΕΥΣΙΣ 5, (Φθινόπωρο- Χειμώνας 1996) 80. Το πρωτότυπο άρθρο ευρίσκεται στο: Des XI. Internationalen Byzantinistenkongresses 1958, appl. Fr. Dölger and H. G. Beck, Munich, C. H. Beck’sche Verlagsbuchhandlung 1960.
K. Vogel, "Leonardo Fibonacci", DSB, τόμ. IV, 604-613.
V. d. Waerden, Géomètrie and Algebra in Ancient Civilizations.
Μαρία Δ. Χάλκου,  Η μαθηματική παιδεία καί η ορολογία της στο Βυζάντιο σύμφωνα με τον Ελληνικό Βιενναίο φιλ. Κώδικα 65, “Εώα και Εσπέρια”, τόμ. V, Αθήναι 2001-2003.
Μαρία Δ. Χάλκου, Προβλήματα πολλαπλασιασμού, διαίρεσης, αναλογιών και προόδων, σύμφωνα με τον Βιενναίο Ελληνικό φιλ. Κώδικα 65, Β' Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου, Αθήνα, 1999. Περί ριζών, Γ’ Συνάντηση Βυζαντινολόγων Ελλάδος και Κύπρου, Ρέθυμνο, 2000.
Μαρία Δ. Χάλκου, Τα Μαθηματικά στο Βυζάντιο, Λογιστική, εκδ. Επικαιρότητα, Αθήνα 2006.
A. P. Youschkevitch, B. A. Rosenfeld,  Omar Khayyam, DSB, τόμ. VII.

[1] Οφείλω να ευχαριστήσω κατ' αρχάς την Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας για την ευγενική και άμεση παραχώρηση της μικροταινίας. Ακόμα ευχαριστώ την Επίκουρη Καθηγήτρια του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών κ. Μάρω Παπαθανασίου, τον Dr. Phil. Παντελή Καρέλο, τον κ. Ιωάννη Αραχωβίτη Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών, και τον Καθηγητή του Τμήματος Βυζαντινών και Νεοελληνικών Σπουδών του Πανεπιστημίου της Κύπρου κ. Παναγιώτη Αγαπητό.