Ἀρχιμήδης: Πρόβλημα βοεικόν

Είναι στιχούργημα εκ 44 στίχων, όπερ έχει τον τίτλον «Πρόβλημα, ὅπερ Ἀρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρων τοῖς ἐν Ἀλεξανδρειαι περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῆς πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῆς.» (Πρόβλημα όπερ εύρεν ο Αρχιμήδης και εις επιγραμματικούς στίχους το απέστειλε προς λύσιν εις εκείνους οίτινες εν Αλεξάνδρεια ησχολούντο εις τα προβλήματα του είδους τούτου, δι' επιστολής ην απέστειλεν εις τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίον). Ζητείται δε δια τούτου ο υπολογισμός του αριθμού των βοών του Ηλίου οίτινες έβοσκον, καθώς αναφέρει ο Όμηρος, εις την νήσον Θρινακίαν. Εγεννήθη το πρόβλημα αν και οι στίχοι προέρχωνται εκ της γραφίδας του Αρχιμήδους. Οι περισσότεροι των φιλολόγων δέχονται ότι μόνον αι μαθηματικαί προτάσεις είναι του Αρχιμήδους, η δε σύνθεσις των στίχων ανήκει εις άλλον.

Το πλήθος των βοών του Ήλιου υποτίθεται διηρημένον εις αγέλας ταύρων και αγελάδων διακρινομένων κατά τεσσάρας χρωματισμούς. Ο εις χρωματισμός είναι λευκός, ο άλλος κυανούς, ο τρίτος ξανθός και ο τέταρτος ανάμικτος. Όταν λέγουν οι αρχαίοι κυανούς εννοούν χρώμα πλησιάζον προς το μαύρον. Το κείμενον το εξέδωκε δια πρώτην φοράν ο Λέσσιγκ κατά το 1773 εκ χειρογράφου ευρισκομένου αν Γερμανία. Μέτρησον, ω ξένε, το πλήθος των βοών του Ηλίου, αφού καταβάλης προσεκτικήν σκέψιν, εάν είσαι μέτοχος σοφίας, πόσον λοιπόν εις τάς πεδιάδας της σικελικής νήσου θρινακίας έβοσκε, διηρημένον εις τέσσαρας αγέλας, εκάστη των όποιων είχε διαφορετικόν χρώμα. Η μία μεν αγέλη έλαμπεν έχουσα λευκόν ωσάν γάλα χρώμα, η δε άλλη έχουσα χρώμα κυανούν, η τρίτη είχε χρώμα ξανθόν, η δε άλλη χρώμα ανάμικτον. Εις εκάστην αγέλην υπήρχον ταύροι ανερχόμενοι εις αριθμόν πολύ μεγάλον, διαμοιρασμένοι κατά την ακόλουθον συμμετρίαν. Φαντάσου, ω ξένε, ότι οι λευκότριχες ταύροι ήσαν ίσοι κατά τον αριθμόν με το ήμισυ των κυανών ταύρων ηυξημένον κατά το τρίτον και συγχρόνως με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Οι κυανοί αφ' έτερου ήσαν κατά τον αριθμόν ίσοι με το τέταρτον και πέμπτον μέρος των αναμίκτου χρώματος και επί πλέον με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Τους δε υπολειπρμένους ανάμικτου χρώματος ταύρους φαντάζου ως εξισουμένους  κατά τον αριθμόν με το έκτον και έβδομον μέρος των λευκών και με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Ως  προς  πάς  αγελάδας δε υπήρχον αι ακόλουθοι σχέσεις. Αι λευκαί  αγελάδες ήσαν  κατά τον αριθμόν ακριβώς ίσαι με το τρίτον και το τέταρτον μέρος όλης της κυανής αγέλης Αι δε κυαναί ήσαν ίσαι κατά τον αριθμόν με το τέταρτον και πέμπτον μαζί μέρος των εχουσών ανάμικτον χρωματισμόν, όταν ήρχοντο  όλαι μαζί  με τους  ταύρους  εις την  βοσκήν. Αι αναμίκτου δε χρωματισμού αγελάδες είχον αριθμόν ισάριθμον και οπό τα τέσσαρα  μέρη, με το πέμπτον και  έκτον μέρος της αγέλης των ξανθοτρίχων. Αι δε ξανθαί κατά την αρίθμησιν ευρίσκοντο ίσαι με το ήμισυ του τρίτου μέρους ηυξημένου κατά το έβδομον μέρος της αγέλης των λευκών. Συ δε, ω ξένε, αν μου είπης με ακρίβειαν πόσοι ήσαν οι βόες του Ηλίου, χωριστά πόσοι ήσαν κατά τον αριθμόν οι καλοθρεμμένοι ταύροι, χωριστά δε πάλιν πόσαι ήσαν αι αγελάδες εκάστου χρώματος, δεν θα χαρακτηρίζεσαι ως ανίδεος και  ως μη έχων  γνώσιν  των  αριθμών. Αλλά δεν θα είναι δυνατόν να  συγκαταριθμηθής ακόμη με τους σοφούς. Έλα λοιπόν σκέψου και τάς  ακολούθους μεταξύ των βοών του  Ηλίου (αριθμητικάς)  σχέσεις. Όταν οι λευκότριχες ταύροι ανεμίγνυον το πλήθος των με το πλήθος των κυανών, ίσταντο εις ένα συμπαγή σχηματισμόν, όστις είχε το αυτό  μέτρον και κατά τα βάθος και  κατά το πλάτος, αι  δε πεδιάδες αι απέραντοι της Θρινακίας εγέμιζαν εξ ολοκλήρου οπό το τετράγωνον αυτό. Από το άλλο δε μέρος οι ξανθοί  και οι ανάμικτου χρώματος συναθροιζόμενοι μαζί, εστέκοντο τοιουτοτρόπως, ώστε να αποτελούν, αποτελούμενης της πρώτης γραμμής οπό ένα, βαθμηδόν το τρίπλευρον σχήμα, χωρίς να είναι παρόντες και χωρίς να είναι απόντες οι ταύροι των άλλων χρωματισμών. Αν αυτά τα εύρης και τα συμπεριλάβης μέσα εις την σκέψιν σου, και έκφρασης όλα τα μέτρα των πληθών, ω ξένε, άπελθε υπερηφανευόμενος ότι ανεδείχθης νικητής και να γνωρίζης ότι έχεις κριθή τέλειος εις αυτήν την σοφίαν.

Εις το πρόβλημα τούτο πρέπει να ενταχθούν οκτώ άγνωστοι εις επτά εξισώσεις κατά τον ακόλουθον τρόπον: Αν παραστήσωμεν τους λευκούς ταύρους με Λ, τους κυανούς με Κ, τους ξανθούς με Ξ και τους ποικιλόχρωμους με Π. θα πρέπει να καταρτίσωμεν εξισώσεις της ακολούθου μορφής:

Οι μαθηματικοί έχουν ασχοληθή μετ΄ επιμονής εις την λύσιν του προβλήματος. Δυστυχώς οι παλαιοί δεν μας έδωκαν αρκετάς ενδείξεις δια την λύσιν. Το αποτέλεσμα εις ο έφθασαν οι διερευνήσαντες την λύσιν μαθηματικοί οδηγεί εις αριθμούς υπερβαίνοντας την φαντασίαν. Ο αριθμός των βοών του Ηλίου, υπολογιζόμενος κατά πάς ενδείξεις του προβλήματος, ανέρχεται εις ες χιλιάδας  δισεκατομμυρίων.

Αναλυτικότερα: Δια να εκτιμήσωμεν τον βαθμόν της δυσκολίας του προβλήματος τούτου ας σημειωθή ότι, αν παραστήσωμεν με υ, χ, y, z τους αριθμούς των ταύρων και u', x', y', z', εκείνους των αγελάδων εκάστης ομάδος, αι συνθήκαι του προβλήματος μεταφράζονται εις τας ακολούθους εξισώσεις:

u + x = p2

Επειδή οι άγνωστοι πρέπει να έχουν ακεραίας τιμάς, εκ των επτά. πρώτων εξισώσεων συνάγεται ότι αι εν λόγω τιμαί πρέπει να είναι της, μορφής:   υ = 10366482 λ     υ' = 7206360 λ x = 7460514 λ    x'= 4893246 λ y = 4069197 λ    y'= 5439213 λ z = 7358060 λ    z' =3515820 λ Αν λάβωμεν υπ' όψιν  την προτελευταίαν  συνθήκην του   προβλήματος,, βλέπομεν ότι ο λ πρέπει να έχη την μορφήν 445·749ξ2. Τέλος ή τελευταία συνθήκη, αν θέσωμεν 2q+l=t, 2.4657 ξ = u, άγει εις την ακόλουθον σχέσιν μεταξύ t και u: t2—4729494 υ2 = l. Η σχέσις αύτη ανήκει εις την κατηγορίαν των εξισώσεων, αι οποίαι κοινώς, καίτοι άτοπος, ονομάζονται «εξισώσεις του Pell». Πρόκειται τώρα να ευρεθή μία λύσις τοιαύτη, ώστε το u να είναι πολλαπλάσιον του 2.4657. Εις την ελαχίστην των λύσεων τούτων, αντιστοιχεί ένας αριθμός βοών του Ηλίου εκφραζόμενος Από τον αριθμόν 7766 ακόλουθούμενον υπό 206541 μηδενικών και δια να γράψωμεν τας τιμάς όλων των αγνώστων του προβλήματος — υπολογίζοντες 2500 ψηφία ανά σελίδα, θα εχρειάζετο να γεμίσωμεν ένα τόμον 660 σελίδων 8ου σχήματος *. Από το σύντομον αυτό διάγραμμα της λύσεως, ή οποία ουδείς  θα τολμήση να ισχυρισθή ότι υπερέβαινε τας δυνάμεις ενός Αρχιμήδους, προκύπτει πόσον εξέχουσα ήτο ή σημασία του προβλήματος και πόσον δικαιολογημένη ήτο η υπό των αρχαίων χρησιμοποίησες της φράσεως «βοεικόν πρόβλημα», προκειμένου να χαρακτηρίσουν γενικώς οιονδήποτε ζήτημα παρουσιάζον απελπιστικήν δυσκολίαν. Τοιαύτης φύσεως πρόβλημα, προστιθέμενον εις τας άλλας ιστορικάς πληροφορίας πού έδωσα μεν σχετικώς με την έκτασιν της Αριθμητικής επιστήμης των Ελλήνων,  δεν Αποδεικνύει  τίποτε άλλο παρά ότι ο λαός αυτός, αv και κατέστη κυρίως διάσημος δια την φυσικήν του ροπήν προς την γεωμετρίαν και δια τον όγκον των ανακαλύψεων, τας οποίας επρα-γματοποίησεν εις τον τομέα τούτον, εν τούτοις δεν ήτο αδιάφορος προς την έρευναν των ιδιοτήτων των αριθμών, ούτε απόστρεφε την προσοχήν του από προβλήματα ικανά να τρομοκρατήσουν τον δεινότερον υπολογιστήν. Δια τούτο η γνώμη, ότι τάχα οι Έλληνες έπασχον από μίαν ακατανίκητον αρνητικήν διάθεσιν προς την αριθμητικήν, πρέπει να θεωρήται μόνον ως προκατάληψις, απορρέουσα από παχυλήν άγνοιαν των όσων αποδεικνύουν από συμφώνου αδιαφιλονίκητα ιστορικά δοκουμέντα και κατά συνέπειαν μία τοιαύτη προκατάληψις πρέπει το ταχύτερον να καταπολεμηθή ως αβάσιμος.

______________________________________________

* Δύναται να προστεθή ότι επειδή δεν αρκεί η χωρητικότης της Σικελίας να περιλάβη τοιούτον αριθμών ζώων, το βοεικόν πρόβλημα δεν οφείλεται εις έμπνεοσιν υποκινηθείσαν εκ συνθηκών της πραγματικότητος.

Αρχαίο κείμενο

Archimedes

287 - 212 a. Chr. n.

Ἀρχιμήδης, μαθηματικός τε καὶ μηχανικός, Συρακόσιος ἦν τὸ γένος. ἐγένετο τῶ ἔτει 287, Ἱέρωνι τῶ βασιλεῖ συγγενὴς ὤν. Συρακουσῶν διαφορηθέντων Ἀρχιμήδης ἐφονεύσατο ὑπὸ στρατιώτου Ῥομαίου τῶ ἔτει 212 πρὸ Χριστοῦ.

Textus:
Archimède tome III, p. 167-173
ed. Ch. Mugler, Paris 1971

Πρόβλημα, ὅπερ Αρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρων τοῖς ἐν Ἀλεξανδρειαι περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῆι πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῆς.

Πληβὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον
φροντίδ' ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης,
πόσση ἄρ' ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ' ἐβόσκετο νήσου
Θρινακίης τετραχῆ στίφεα δασσαμένη

5
χροιὴν ἀλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος,
κυανέωι δ' ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,
ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. Ἐν δὲ ἑκάστως
στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι
συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν

10
κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτω
καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον,
αὐτὰρ κυανέους τῶ τετράτω τε μέρει
μικτοχρόων καὶ πέμπτω, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν.
Τους δ' ὑπολεπτομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει

15
ἀργεννῶν ταύρων ἕκτω μέρει ἑβδομάτως τε
καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.
Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ' ἔπλετο· λευκότριχες μὲν
ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης
τῶι τριτάτω τε μέρει καὶ τετράτω ἀτρεκὲς ἶσαι·

20
αὐτὰρ κυάνεαι τῶι τετράτω τε πάλιν
μικτοχρόων καὶ πέμπτωι ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο
σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις.
Ξανθοτρίχων δ' ἀγέλης πέμπτω μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτω
ποικίλαι ἰσάριθμον πλήθος ἔχον τετραχῆς.

25
Ξανθαὶ δ' ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι
ἀργεννῆς ἀγέλης ἐβδομάτωι τε μέρει.
Ξεῖνε, σὺ δ' Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών,
χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν,
χωρὶς δ' αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἕκασται,

30
οὐκ ἄιδρίς κα λέγοι' οὐδ' ἀριθμῶν ἀδαής,
οὐ μὴν πώ γε σοψοῖς ἐναρίθμιος. Ἀλλ' ἴθι φράζευ
καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη.
Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν
κυανέοις, ἵσταντ' ἔμπεδον ἰσόμετροι

35
εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δ' αὖ περιμήκεα πάντη
πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία.
Ξανθοὶ δ' αὖτ' εἰς ἐν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες
ἵσταντ' ἀμβολάδην ἐξ ἑνός ἀρχόμενοι
σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων

40
ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ' ἐπιλειπομένων.
Ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας
καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα
ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως
κεκριμένος ταύτηι γ' ὄμπνιος ἐν σοφίης.
 

 Σ χ ό λ ι ο ν

Τὸ μὲν οὖν πρόβλημα διὰ τοῦ ποιήματος ὁ Ἀρχιμήδης ἐδήλωσε σαφῶς· ἰστέον δὲ λεγόμενον, ὅτι τέσσαρας ἀγέλας εἶναι δεῖ βοῶν, λευκοτρίχων μὲν μίαν ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθος ὁμοῦ συνάγει μυριάδας διπλᾶς ιδ' καὶ ἁπλᾶς φπβ' καὶ μονάδας ,ζτξ', κυανοχρόων δ' ἄλλην ὁμοῦ ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν ἐννέα καὶ ἁπλῶν ,ηωλ' καὶ μονάδων ω', μιξοτρίχων δ' ἄλλην ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν η' καὶ ἁπλῶν ,ςϠϞα' καὶ μονάδων υ'· τῆς δὲ λοιπῆς ἀγέλης ξανθοχρόων συνάγει τὸ πλῆθος διπλᾶς μυριάδας ζ' καὶ ἁπλᾶς ,ςψη', μονάδας δὲ ,η· ὥστε συνάγεσθαι ὁμοῦ τὸ πλῆθος τῶν δ' ἀγελῶν μυριάδας διπλᾶς μ' καὶ ἁπλᾶς ,γριβ' καὶ μονάδας ,ςφξ'. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἔχει μυριάδας διπλᾶς η' καὶ ἁπλᾶς ,βϠλα' καὶ μονάδας ,ηφξ', θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς ε' καὶ ἁπλᾶς ,ζχν' καὶ μονάδας ,ηω', ἡ δὲ ἀγέλη τῶν κυανοχρόων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε' καὶ ἁπλᾶς ,θχπδ' καὶ μονάδας ,αρκ', θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς γ' καὶ ἁπλᾶς ,θρμε' καὶ μονάδας ,θχπ', ἡ δ' ἀγέλη τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε' καὶ ἁπλᾶς ,ηωξδ' καὶ μονάδας ,δω', θηλειῶν δε μυριάδας διπλᾶς β' καὶ ἁπλᾶς ,ηρκς' καὶ μονάδας ,εχ', ἡ δ' ἀγέλη τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς γ' καὶ ἁπλᾶς ,γρϞε' καὶ μονάδας ,ϞϠξ', θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς δ' καὶ ἁπλᾶς ,γφιγ' καὶ μονάδας ,ζμ'. Καί ἐστι τὸ πλῆθος τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἴσον τῶι ἡμίσει καὶ τρίτω μέρει τοῦ πλήθους τῶν κυανοχρόων ταύρων καὶ ἔτι ὅλη τῆ τῶν ξανθοχρωμάτων ἀγέλη, τὸ δὲ πλῆθος τῶν κυανοχρωμάτων ἴσον τῶ τετάρτω καὶ πέμπτω μέρει τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων καὶ ὅλωι τῶι πλήθει τῶν ξανθοχρωμάτων, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἴσον τῶ ἕκτω καὶ ἑβδόμω μέρει τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἔτι τῶ πλήθει ὅλω τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων, καὶ πάλιν τὸ πλῆθος τῶν λευκῶν θηλειῶν ἴσον τῶ τρίτω καὶ τετάρτωι μέρει ὅλης τῆς ἀγέλης τῶν κυανοχρόων, τὸ δὲ τῶν κυανοχρόων ἴσον τῶ τετάρτω καὶ πέμπτω μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν ποικιλοτρίχων, τὸ δὲ τῶν ποικιλοτρίχων ἴσον τῶ πέμπτω καὶ ἕκτω μέρει τῆς ὅλης τῶν ξανθῶν βοῶν. Πάλιν δὲ τὸ τῶν ξανθῶν θηλειῶν πλῆθος ἦν ἴσον τῶι ἕκτωι τε καὶ ἑβδόμω μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν λευκῶν βοῶν. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖσα ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμόν, ἡ δ' ἀγέλη τῶν ξανθοτρίχων ταύρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεθεῖσα ποιεῖ τρίγωνον, ὡς ἔχει τὰ τῶν ὑποκειμένων κανόνων καθ' ἕκαστον χρῶμα.