Οι συνέπειες της ανακαλύψεως της αρρήτων

Eγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ». Κ.Δ Γεωργούλης.
Η ΦΥΣΙΣ ΚΡΥΠΤΕΣΘΑΙ ΦΙΛΕΙ (Η φύση αγαπάει να κρύβεται)

Δια των ερευνών τούτων διεπιστώθη ότι δεν είναι δυνατόν να ευρεθή εις αριθμός μετρούμενος υπό αρχικώς ωρισμένην  μονάδος μετρήσεως, ο οποίος να αντίστοιχη προς την διαγώνιον τετραγώνου το οποίον έχει πλευράν την μονάδα. Δια να εκφρασθώμεν με νεωτέρους όρους   λέγομεν ότι ανεκαλύφθη τότε ότι ή τετραγωνική ρίζα του 2 είναι αριθμός ασύμμετρος. Εκείνο το οποίον εθεωρήθη παράδοξον και ανεξήγητον ήτο ότι υπάρχουν εις την πραγματικότητα δεδομένα γεωμετρικά μεγέθη τα οποία παρ' όλον ότι είναι εποπτικώς αντηληπτά δεν δύνανται να μετρηθούν, αρνούμενα να υποταχθούν εις τον λογισμόν. Ενώ οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονται ότι τα πάντα είναι αριθμοί, ότι εις οιονδήποτε ον αντιστοιχεί αριθμός, ευρεθή ότι μεγέθη τίνα αρνούνται να υποταχθούν εις τον οντολογικόν τούτον νόμον.  Ώστε δεν είναι το παν αριθμητόν και υποτεταγμένον εις τον λόγον, «ρητόν». Εις την διδομένην πραγματικότητα κάμνει την εμφάνισιν του το άλογον και το άρρητον διασπών και διατάρασσον τας αρμονικάς σχέσεις. Η ανακάλυψις της υπάρξεως ασυμμέτρων μεγεθών φυσικόν ήτο να προξενήση κατάπληξιν εις τους κύκλους των Πυθαγορείων απήχησιν δε ταύτης μας δίδει σχόλιον εις το δέκατον βιβλίον των Στοιχείων του Ευκλείδου, έχον ως έξης:

«Τῶν γὰρ Πυθαγορείων λόγος τὸν πρῶτον τὴν περὶ τούτων (δηλαδὴ τῶν ἀλόγων) θεωρίαν εἰς τουμφανὲς ἐξαγαγόντα ναυαγίῳ περιπεσεῖν καὶ ἴσως ᾐνίττοντο ὅτι πᾶν τὸ ἄλογον ἐν τῷ παντὶ καὶ ἄλογον καὶ ἀνείδεον κρύπτεσθαι φιλεῖ καὶ εἰ τὶς ἂν ψυχὴ τύχῃ ἐπιδράμοι τῷ τοιαύτω εἴδει τῆς ζωῆς καὶ πρόχειρον καὶ φανερὸν τοῦτο ποιήσηται εἰς τὸν τῆς γενέσεως ὑποφέρεται  πόντον καὶ τοῖς ἀστάτοις ταύτης κλύζεται ῥεύμασιν τοιοῦτον σέβας καὶ οὔτοι εἶχον οἱ ἄνδρες περὶ τὴν τῶν ἀλόγων θεωρίαν»

(Διότι λέγουν οι Πυθαγόρειοι ότι ο πρώτος όστις, έφερεν εις το φως της δημοσιότητας την περί των ασυμμέτρων θεωρίαν περιέπεσεν εις ναυάγιον και ίσως ηθελον δι αινιγματικής εκφράσεως να είπουν δια της διηγήσεως αυτής ότι παν οτι μέσα εις το σύμπαν δεν υποτάσσεται εις τον λόγον συνηθίζει να αποκρύπτεται και να μένη έξω από την αναλογικήν σχεσιν και την ανάληψιν είδους (δηλαδή καθωρισμένης μορφής). Και εάν καμμία ψυχή ήθελε κατά τύχην ορμήσει προς εν τοιούτον είδος ζωής και ήθελε παρουσιάσει εις το φως της ημέρας το άλογον αυτή η ψυχή κατακρημνίζεται εις την υγράν περιοχήν της γενέσεως και κλυδωνίζεται από τα ασταμάτητα της ρεύματα. Τοιούτον σέβας και αυτοί οι άνδρες είχον σχετικώς με την εις τα άλογα (ασύμμετρα μεγέθη) αναφερομένην θεωρίαν.

Η έκφρασις «κρύπτεσθαι φιλεί» προέρχεται από απόσπασμα του Ηρακλείτου όστις διατείνεται ότι εν τη φύσει ενυπάρχει ριζική τις τάσις προς απόκρυψιν. Το άλογον συνεπώς εμφανίζεται εις το ανωτέρω χωρίον ως συμβολίζον την φύσιν ήτις αρνείται να αποκαλύψη εις τον άνθρωπον τα μυστικά της και τιμωρεί ως ασέβειαν την προσπάθειαν να υποβληθή εις τον ζυγόν του λόγου εκείνο το οποίον λόγω της φύσεως του δεν υποτάσσεται εις το είδος και τον λογικόν καθορισμόν.

Από την ανακάλυψη των «ασυμμέτρων» στα απειροστά.

(οὔτε γάρ τοῦ σμικροῦ ἐστι τὸ γε ἐλάχιστον, ἀλλ’ ἔλασσον ἀεί ( τὸ γάρ ἐόν οὐκ ἐστι τὸ μὴ οὐκ εἶναι ) ἀλλὰ καὶ τοῦ μεγάλου ἀεί ἐστι μεῖζον, καὶ ἵσον ἐστὶ τῷ σμικρῷ πλῆθος, πρὸς ἑαυτὸ δὲ ἕκαστόν ἐστι καὶ μέγα καὶ σμικρόν. Αναξαγόρας

Δια της ανακαλύψεως των ασυμμέτρων μεγεθών έγινε αντιληπτό ότι δεν ήτο δυνατόν να εκφρασθούν οι μαθηματικές σχέσεις των όντων με τους ακεραίους αριθμούς. Το γεωμετρικό μέγεθος το οποίο εποπτικώς εμφανίζει ή διαγώνιος τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν έχει αριθμητική τιμήν 2 δεν δύναται να καταμετρηθεί, δηλαδή να υποδιαιρεθεί με βάση τη μονάδα η οποία έχει πεπερασμένο μήκος. Δια τούτο αναγκάσθηκαν να δεχθούν ότι τα γεωμετρικά μεγέθη σύγκεινται από απείρως μικρά τμήματα, των οποίων ο αριθμός είναι άπειρος. Κατ' αυτόν τον τρόπο ανοίχθηκε για τις  μαθηματικές θεωρίες νέος ορίζοντας. Η μαθηματική σκέψη τέθηκε προ του απείρου διότι αναγκάσθηκε να δεχθεί ότι τα γεωμετρικά μεγέθη τυγχάνουν απείρως μικρά και έπ' άπειρο διαιρετά. Την έννοια του απείρως μικρού σαν ποσότητα η οποία τείνει προς το μηδέν, χωρίς όμως να είναι δυνατό να μηδενισθεί, την εξέφρασε με ακριβολογική διατύπωση πρώτος ο Αναξαγόρας, ειπών : 

«Οὔτε γὰρ τοῦ σμικρού ἐστι τό γε ἐλάχιστον, ἀλλ' ἔλασσον ἀεί· τὸ γὰρ ἑὸν οὔκ ἐστι τὸ μὴ εἲναι».

(Δοθέντος μικρού τινός πράγματος δεν δυνάμεθα δια της διαιρέσεως του να φθάσουμε εις το ελάχιστον, άλλ' εκάστοτε θα φθάνουμε εις κάτι περισσότερο μικρόν. Διότι είναι αδύνατον το ον να παύση να υπάρχει). 
Κατόπιν τούτου τα συγκεκριμένα μεγέθη θα ήτο δυνατόν να θεωρηθούν αθροίσματα προς τα άπειρα τείνουν άπειρα κατά το πλήθος και την μικρότητα μεγέθη. Ό Αναξαγόρας φαίνεται ότι είχε συνείδηση της εννοίας του ορίου διότι προσπάθησε να επίλυση το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου θεωρών το εμβαδόν αυτού ως όριο του εμβαδού των δυναμένων να εγγραφούν εντός αυτού κανονικών πολυγώνων. Την αυτήν δε μέθοδο φαίνεται ότι είχε χρησιμοποιήσει προς επίλυση του ίδιου προβλήματος και ο σοφιστής Αντιφών. Οι προσπάθειες αυτές εμφανίζουν σαν κοινό σημείο την αντίληψη ότι άπειρα κατά το πλήθος μέρη τα οποία έχουν κάποιο μέγεθος δύνανται να παραγάγουν μέγεθος.
 

«Τὰ ἄπειρα τῷ πλήθει μέγεθός τι ἔχοντα ποιεῖ μέγεθος». (Σιμπλίκιος Σχόλ. εις "Αριστοτέλους Φυσικά III. 4.). 
Κατά την ανωτέρω εκδοχή γίνεται δεκτό:

1.       Ότι τα μεγέθη είναι επ' άπειρο διαιρετά.

2.       Ότι είναι δυνατόν τα απείρως μικρά μεγέθη να δώσουν πεπερασμένο μέγεθος.

 Εις τα συμπεράσματα ταύτα θα είχαν φθάσει οι Πυθαγόρειοι κατά το πρώτον τέταρτον του 5ου αιώνος. Εκ τούτων δε λαβών αφορμήν ο Αναξαγόρας έφθασε εις οριστικότερο διατυπωθέντα συμπεράσματα.

H εξέλιξη όμως δεν προχώρησε χωρίς σφοδρές πολεμικές, οι οποίες υπεστήριζαν αντιτιθέμενες απόψεις. Φορέας των αντιτιθέμενων τούτων ιδεών υπήρξε ο Ζήνων ο Ελεάτης, τον οποίον ο Αριστοτέλης θεωρεί ως ιδρυτή της διαλεκτικής. Η απονομή εις αυτόν του εν λόγω τίτλου συνετέλεσε να παραγνωρισθεί ή δια την ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης συμβολή του ήτις υπήρξε σπουδαιότατη. Ο Ζήνων καταπολέμησε την γνώμη ότι τα πεπερασμένα μεγέθη συντίθεται εξ άπειρων κατά το πλήθος αρχικών μερών δια του ακολούθου επιχειρήματος:

Τα συνιστώντα το μέγεθος άπειρα αρχικά μέρη ή έχουν κάποιο μέγεθος πεπερασμένο και διάφορο του μηδενός ή πρέπει να στερούνται οιουδήποτε μεγέθους, οπότε έκαστο εξ αυτών θα ισούται με το μηδέν. Εάν δεχθούμε ότι έχουν κάποιο μέγεθος έστω και ελάχιστο, επειδή είναι άπειρα, δια της προσθέσεως θα δώσουν άθροισμα απείρως μεγάλο. Αν τα δεχθούμε στερούμενα οιουδήποτε μεγέθους τότε το άθροισμα των θα αποδώσει μηδέν. Διότι το μηδέν και απείρως φοράς αν προστεθεί απομένει αιωνίως μηδέν. Οι υπό Ζήνωνος προταθείσες αντιρρήσεις δεν περιορίστηκαν στο επίπεδο της μαθηματικής επιστήμης αλλά δι' αυτών εζητήθη να αμφισβητηθεί το κύρος της δεδομένης εμπειρικής και εποπτικής πραγματικότητας. Ο Ζήνων παρουσίασε επιχειρήματα δια των οποίων ηθέλησε να αποδείξει ότι   παραδεχόμενοι ως πραγματικώς υφιστάμενη την μεταβολή και την κίνηση, περιπλεκόμεθα σε αντιφάσεις οι οποίες δεν μπορούν να ξεπεραστούν. Συμπέρανε λοιπόν ότι ο δεδομένος εποπτικός και εμπειρικός κόσμος είναι απατηλό φαινόμενο ασυμβίβαστο προς την λογική σκέψη. Ως προς το υπό συζήτηση μαθηματικό πρόβλημα αρνήθηκε την δυνατότητα υπάρξεως πλήθους αρχικών μεγεθών εκ’ των οποίων θα ήταν δυνατό να παραχθεί το εν. Βεβαίωνε και δια του τρόπου τούτου την διδασκαλία του διδασκάλου του Παρμενίδη ο οποίος έλεγε ότι το ον είναι εν.