Αρχιμήδους Ψαμμίτης - Ερμηνεία του αρχαίου κειμένου

Ε. Σταμάτης από το  

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"

  

Είναι το έργον όπερ αποτελεί αθάνατον μνημείον της αριθμητικής μεγαλοφυΐας του Συρακοσίου σοφού. Αφιερώνεται εις τον τύραννον Γέλωνα όστις ήρχε μετά του πατρός του των Συρακουσών. Πρέπει λοιπόν να είχε γραφή προ του έτους 216 πΧ., οπότε απέθανεν ο Γέλων.

 Την πρόθεσιν της συγγραφής του έργου τούτου εκθέτει ο ίδιος ο Αρχιμήδης εις το προοίμιον, γράφων τα ακόλουθα:

«Οἴονταί τινες, βασιλεῦς Γέλων, τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθνὸν ἄπειρον εἶμεν τῷ πλήθει λέγω δὲ ού μόνον τοῦ περὶ Συρακούσας τε  καὶ τὰν ἄλλαν Σικελίαν ὑπάρχοντος, ἀλλὰ καὶ τοῦ κατὰ πᾶσαν χώραν τάν τε οἰκημέναν καὶ τὰν ἀοίκητον. Ἐντί τινες δέ, οἵ αὐτὸν ἄπειρον μὲν εἶμεν οὐχ ὑπολανβάνοντι, μηδένα μέντοι ταλικοῦτον κατωνομασμένον ὑπάρχειν αριθμόν, ὅστις ὑπερβὰλλει τὸ πλῆθος αὐτοῦ.»

(Φρονούν, ω βασιλεύ Γέλων,   μερικοί  ότι  ο αριθμός (των κόκκων) της άμμου είναι κατά το πλήθος άπειρος. Εννοώ δε όχι μόνον τον αριθμόν της άμμου, ήτις υπάρχει εις τας Συρακούσας και την λοιπήν Σικελίαν άλλα και εκείνης ήτις υπάρχει εις όλην την έκτασιν της γης την κατοικημένη και την ακατοίκητον. Υπάρχουν δε μερικοί, οίτινες δεν νομίζουν ότι αυτός είναι άπειρος, αλλά φρονούν ότι δεν υπάρχει ουδείς τόσον μεγάλος αριθμός, δηλούμενος δι' ονόματος, όστις υπερβάλλει τον αριθμόν της).

 Γράφων ταύτα ο Συρακόσιος μαθηματικός, είχεν υπ' όψιν του το κοινώς λεγόμενον ότι η άμμος είναι αδύνατον να αριθμηθή,  αναφέρεται δε και εις τον 98 στίχον του «ΙΙ Ὀλυμπιακοῦ» του Πινδάρου, εν ω αναγράφεται:  «Ἐπεί   ψάμμος ἀριθμόν περιπέφευγεν» (Ο άμμος έχει διαφύγει την αρίθμησιν). Αντικρούων την γνώμην αυτήν ο Αρχιμήδης λέγει:

«Ἐγώ δὲ πειρασοῦμαὶ τοι δεικνύειν δι' ἀποδείξιων γεωμετρικᾶν, αἷς παρακολουθήσεις,  ὅτι τῶν ὑφ' ἁμῶν κατωνομασμένων ἀριθμῶν καὶ ἐκδεδομένων ἐν τοῖς ποτὶ Ζεύξιππον  γεγραμμένοις ὑπερβάλλοντί τινες οὐ μὸνον τὸν ἀριθμὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ γᾷ πεπληρωμένᾳ, καθάπερ εἴπαμες, ἀλλα καὶ τὸν τοῦ μέγεθος ἴσον ἔχοντος τῷ κόσμῳ.»

  (Εγώ δε θα προσπαθήσω να σου αποδείξω δια γεωμετρικών αποδείξεων, τας οποίας συ θα δυνηθής να παρακολούθησης, ότι τινές εκ των αριθμών εις τους οποίους ημείς έχομεν δώσει όνομα και έχομεν δημοσιεύσει εις το σύχγραμμά μας το αφιερωμένον εις τον Ζεύξιππον, υπερέχουν και από τον αριθμόν της άμμου της καταλαμβανούσης μέγεθος ίσον με το μέγεθος της γης γεμισμένης κατά τον τρόπον κατά τον οποίον είπομεν ανωτέρω αλλά και από τον αριθμόν της άμμου, ήτις κατέχει μέγεθος ίσον με το μέγεθος του κόσμου). Το αριθμητικόν  σύστημα των αρχαίων  ήτο περιωρισμένον και είχεν ως όριον την μυριάδα των μυριάδων, δηλαδή 10000 εις την δευτέραν, ήτοι εκατόν εκατομμύρια. Ο Αρχιμήδης εισάγει σύστημα αριθμών πολύ ευρύτερον, δυνάμενον να έκφραση αριθμόν απείρως μεγαλύτερον.

Εκκινεί από την αντίληψιν των αρχαίων καθ' ην η περίμετρος της γης ήτο μήκους 300.000 σταδίων. Δέχεται δε ότι μέγεθος άμμου ουχί μεγαλύτερον του σπέρματος μήκωνος (παπαρούνας) περιλαμβάνει ουχί περισσότερον των 10.000 κόκκων και ότι η διάμετρος του σπέρματος της μήκωνος είναι ουχί ολιγώτερον του 1 /40 του δακτύλου. Αν τώρα γεμίσωμεν  όλην την σφαίραν της γης με άμμον διατείνεται ο Αρχιμήδης ότι δύναται να εύρη αριθμόν μεγαλύτερον του αριθμού των κόκκων άμμου, οίτινες θα περιέχονται εις την γηίνην σφαίραν. Και όχι μόνον τούτο, αλλά και  εάν πολλαπλασιάσω μεν τον αριθμόν όστις εκφράζει πόσα στάδια είναι η περίμετρος της γης επί 10 και θεωρήσωμεν την σχηματιζομένην σφαίραν πεπληρωμένην κόκκων άμμου, και εις την περίπτωσιν αυτήν είναι δυνατόν να ευρέθη μεγαλύτερος αριθμός. Αλλά μεγαλύτερος αριθμός δύναται να ευρέθη και εν συγκρίσει προς τον αριθμόν των κόκκων άμμου δι' ης είναι πεπληρωμένη η μεγίστη δυνατή σφαίρα, δηλαδή η σφαίρα των απλανών, ήτις δύναται να υπολογισθη ως έχουσα διάμετρον μεγαλύτερον τον μυριαπλασίου της διαμέτρου της γης και ουχί μικρότερον των 10.000.000.000 σταδίων. Ζητείται λοιπόν ποίον είναι το αριθμητικόν σύστημα όπερ θα μηδύνατο να μας δώση τόσον μεγάλους αριθμούς.

Ο Αρχιμήδης εκκινεί από τους υπάρχοντας αριθμούς:

«Συμβαίνει δὴ τὰ ὀνόματα τῶν ἀριθμῶν ἐς τὸ μὲν τῶν μυρίων ὑπάρχειν ἁμῖν παραδεδομένα, καὶ ὑπὲρ τὸ τῶν μυρίων [μὲν] ἀποχρόντως γιγνώσκομες μυριάδων ἀριθμὸν λέγοντες ἔστε ποτὶ τὰς μυρίας μυριάδας»

(Συμβαίνει, ως γνωστόν, να υπάρχουν παραδεδομένα εις ημάς τα ονόματα των αριθμών μέχρι του αριθμού 10.000, και πέραν των 10.000 αρκετά κατανοούμεν τα ονόματα των ομιλούντες περί αριθμού μυριάδων μέχρι των μυρίων μυριάδων, δηλαδή 100.000.000).

 Ολοι ούτοι οι αριθμοί καλούνται αριθμοί πρώτοι η αριθμοί της πρώτης τάξεως. Μετά τούτο λαμβάνει τον τελευταίον αριθμόν της πρώτης τάξεως, δηλαδή την μυριάδα εις το τετράγωνον ως μονάδα των αριθμών της δευτέρας τάξεως. Οι αριθμοί οι σχηματιζόμενοι υπό ταύτης αρχίζουν από 10.000 εις την δευτέραν δύναμιν και φθάνουν μέχρις 100.000. 000 εις την δευτέραν, ήτοι μέχρι της τετάρτης δυνάμεως της μυριάδος. Δια να σχηματίση τους αριθμούς της τρίτης τάξεως λαμβάνει ως μονάδα τον τελευταίον αριθμόν της προηγουμένης τάξεως, ήτοι την τετάρτην δύναμιν της μυριάδος. Και ούτω συνεχίζει και σχηματίζει αριθμούς της η+1 τάξεως, λαμβάνων ως μονάδα την 2 η δύναμιν της μυριάδος. Ούτω προχωρεί μέχρι «μυριάκις μυριοστών αριθμών μυρίας μυριάδας», ήτοι φθάνει εις 10 εις την ογδόην δύναμιν τάξιν, ήτοι μέχρι του αριθμού του «συμβολιζομένου εν τω νεώτερο συστήματι δια 10 εις την ογδόην υψωμένον εις την 10ην εις την 8ην».

Ολοι οι αριθμοί των τάξεων τούτων λογίζονται ως υπαγόμενοι εις την πρώτην περίοδον. Λαμβάνει κατόπιν τον τελευταίον αριθμόν της πρώτης περιόδου ως μονάδα δια να σχηματίση τάξεις αριθμών της δευτέρας περιόδου. Αν καλέσωμεν τον τελευταίον αριθμόν της πρώτης περιόδου με Π, ή πρώτη σειρά θα περιλαμβάνη τους αριθμούς ΠΧ1 έως ΠΧ10 εις την ογδόην. Ούτω προχωρούμεν μέχρι 10 εις την 8ην περιόδου ης ο τελευταίος αριθμός θα είναι Π εις την 10ην εις την 8ην. Οι αριθμοί ούτοι είναι τεράστιοι. Δια να γραφή ο τελευταίος  αριθμός της πρώτης περιόδου χρειάζεται η μονάς ακολουθουμένη από 800. 000.000 ψηφία, δια να γραφή δε ο αριθμός της τελευταίας περιόδου χρειάζονται ογδοήκοντα χιλιάδες εκατομμύρια εκατομμυρίων ψηφία. Κατά την κατάταξιν των αριθμών σχηματίζονται οκτάδες. Εις την πρώτην οκτάδα ανήκουν οι αριθμοί 1 , 10 εις την πρώτην, 10 εις την δευτέραν...., 10 εις την εβδόμην. Εις την δευτέραν οι 10 εις την ογδόην, 10 εις την ενάτην...., 10 εις την 15ην και ούτω καθ' έξης.

Αφού ανέπτυξε το αριθμητικόν σύστημα ο Αρχιμήδης, προβαίνει εις εφαρμογήν σχετικήν με το τεθέν πρόβλημα, ήτοι με την αρίθμησιν των κόκκων άμμου. Υπολογίζει ότι σφαίρα διαμέτρου ενός ποδός θα περιλαμβάνη 64000 σπέρματα μήκωνος (παπαρούνας). Σφαίρα δε διαμέτρου ενός σταδίου θα περιέχη αριθμόν σπερμάτων μικρότερον των 100 χιλιάδων μονάδων της τρίτης τάξεως, δηλαδή 10 εις την πέμπτην. Επί τη βάσει δε του υπολογισμού τούτου υπολογίζει τον αριθμόν τον εκφράζοντα το πλήθος της άμμου ην φανταζόμεθα πληρούσαν την σφαίραν των απλανών της οποίας την διάμετρον λαμβάνομεν έχουσαν μήκος εκατοντάκις μυριάκις μυριάδας σταδίων. Ο Αρχιμήδης ευρίσκει ότι οι αριθμοί της ογδόης τάξεως της πρώτης περιόδου αρκούν δια να δηλώσουν τον αριθμόν τούτον:

«Ὅτι μὲν οὖν τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν πλεὶστων ἀστρολόγων καλουμένῳ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἤ α μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν δέδικται.»

Έχει αποδειχθή ότι το πλήθος της άμμου, ήτις έχει μέγεθος ίσον με το μέγεθος του υπό των περισσοτέρων αστρονόμων καλουμένου κόσμου, είναι μικρότερον από χιλίας μονάδας της εβδόμης τάξεως των αριθμών, δηλαδή του αριθμού 10 εις την πεντηκοστήν πρώτην. Αν ληφθή υπ' όψιν η τιμή ην δίδει εις την διάμετρον του σύμπαντος ο αστρονόμος Αρίσταρχος, ο υποστηρικτής του ηλιοκεντρικού  συστήματος,  αποδεικνύει ο Αρχιμήδης ότι ο αριθμός θα ανέλθη   εις   10.000.000 μονάδας της ογδόης τάξεως, ήτοι 10  εις την εξηκοστήν τρίτην δύναμιν.

Το όλον σύγγραμμα κλειεί με την ακόλουθον αποστροφήν προς τον Γέλωνα:

«Ταῦτα δέ, βασιλεῦ Γέλων, τοῖς μὲν πολλοῖς καὶ μὴ κεκοινωνηκότεσσι τῶν μαθημάτων ούκ εὔπιστα φανήσειν ὑπολαμβάνω, τοῖς δὲ μεταλελαβηκότεσσιν καὶ περὶ τῶν ἀποστημάτων ναὶ τῶν μεγεθέων τᾶς τε γᾶς καὶ τοῦ ἁλιου καὶ τᾶς σελήνας καὶ τοῦ ὅλου κόσμου πεφροντικότεσσιν πιστὰ διὰ τὰν ἀπόδειξιν ἐσσεῖσθαι διόπερ ᾠήθην καὶ τὶν οὐκ ἀνάρμοστον εἶμεν [ἔτι] ἐπιθεωρῆσαι ταῦτα».

 (Ταύτα δε, βασιλεύ Γέλων νομίζω ότι εις   μεν τους πολλούς και μη έχοντας γνώσιν των μαθηματικών δεν θα φανούν πιστευτά. Εις εκείνους όμως οίτινες έχουν γνώσιν και περί των αποστάσεων και  των μεγεθών και  της γης και  του ήλιου και   της σελήνης και έχουν ενδιαφερθή δι' ολόκληρον τον κόσμον θα γίνουν πιστευτά ένεκα των (παρεχομένων) αποδείξεων). Δια  τούτο εσκέφθην ότι δεν είναι ανάρμοστον και εις σε να ασχοληθής με την σκέψιν σου περί αυτών).

Ως προς τας αστρονομικάς αντιλήψεις ο Αρχιμήδης δεν ηδυνήθη να απαλλαγή από τας δοξασίας της εποχής του. Η διάμετρος του κόσμου είναι, κατά τους υπολογισμούς του: «ἐλάττων ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες» (ήτοι μικρότερα η μυριάκις μυριάδες εκατόν, δηλαδή 100 φοράς επί εκατόν εκατομμύρια στάδια), ουχί περισσότερον του διαστήματος ο διατρέχει το φως εις εν έτος. Αλλά και αν δεχθώμεν χιλιάδας ετών φωτός ως μήκος της διαμέτρου του σύμπαντος, υπάρχει, όπως αποφαίνονται οι νεώτεροι μαθηματικοί, δια την αρίθμησιν χώρος εις την πρώτην περίοδον των αριθμών του Αρχιμήδους. Ο αριθμός κόκκων άμμου σφαίρας εχούσης διάμετρον μήκους 7700 ετών φωτός, κατά τους νεωτέρους μαθηματικούς, δύναται να συμβολισθή δι' αριθμού όστις θα έπιπτε μεταξύ του 10 εις την 73ην δύναμιν και του 10 εις την 74ην ήτοι εις την δευτέραν θέσιν της δεκάτης οχτάδος των αριθμών της πρώτης περιόδου.

Ο «Ψαμμίτης» είναι ενδιαφέρον και από αστρονομικής απόψεως σύγγραμμα. Αποτελεί την κυριωτέραν πηγήν την πληρορουούσαν ημάς περί του αστρονομικού συστήματος τού Σαμίου αστρονόμου Αριστάρχου.

Κατά τον Αρχιμήδη ο Αρίσταρχος, εφρόνει ότι το μέγεθος του κόσμου ήτο μεγαλύτερον του μεγέθους όπερ εδέχοντο οι αστρονόμοι. Προσθέτει δε:

«Ὑποτίθεται γὰρ τὰ μὲν ἀπλανέα τῶν ἄστρων καὶ τὸν ἅλιον μένειν ἀκίνητον, τὰν δὲ γᾶν περιφέρεσθαι περὶ τὸν ἥλιον  κατὰ  κύκλου περιφέρειαν ὅς ἐστί ἐν μέσῳ τῷ δρόμῳ κείμενος τὰν δὲ τῶν ἀπλανέων ἄστρων  σφαῖραν περὶ τὸ  αἀτό κέντρον τῷ ἁλίῳ κειμέναν τῷ μεγέθει  τηλικαύταν  εἶμεν,  ὥστε τὸν κύκλον, καθ'  ὅν τὰν  γᾶν ὑποτίθεται περιφέρεσθαι, τοιαύταν  ἔχειν ἀναλογίαν ποτί  τάν τῶν ἀπλανέων ἀποστασίαν, οἵαν ἐχει τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν»

(δέχεται δηλαδή ο Αρίσταρχος ότι τα απλανή άστρα  και ο ήλιος μένουν ακίνητοι η δε γη περιφέρεται περί τον ήλιον διαγράφουσα περιφέρειαν κύκλου, διερχομένου δια μέσου του ζωδιακού κύκλου (ούτω ορθώς εξηγεί ο Κ.Χασάπης κατ' άλλους ενώ ο ήλιος κείται εις το μέσον, της  περιφερειακής τροχιάς της διαγραφόμενης υπό της γης). Η δε σφαίρα των απλανών τοποθετημένη γύρω από το αυτό κέντρον με τον ήλιον είναι τοσαύτη κατά μέγεθος, ώστε ο κύκλος όν  διαγράφει κατά την περιφερικήν της κίνησιν η γη να έχη τοιαύτην αναλογίαν προς την απόστασιν των απλανών. Οποίαν (αναλογίαν) έχει το κέντρον της σφαίρας προς την επιφάνειαν της).

Ερμηνεύων την αναλογικήν ταύτην σχέσιν ο Αρχιμήδης λέγει ότι του Αριστάρχου η γνώμη ήτο η ακόλουθος:

Η απόστασις των απλανών είναι τοιαύτη ώστε παραβαλλόμενος πρός αυτήν ο κύκλος ον διαγράφει κατά την κίνησίν της η γη να φαίνεται ότι είναι απλούν σημείον. Προχωρών εις τούς   αστρονομικούς του υπολογισμούς ο Αρχιμήδης δέχεται ότι η περίμετρος της γης είναι 300000 στάδια. Η διάμετρος της γης είναι μεγαλυτέρα της διαμέτρου της σελήνης και η διάμετρος του ήλιου είναι μεγαλυτέρα της διαμέτρου της γης. Η διάμετρος του ηλίου είναι τριάκοντα φοράς μεγαλυτέρα της διαμέτρου της σελήνης. Επί τη ευκαιρία δε ταύτη κάμνει μνείαν και του πατρός και γράφων:

«Καίπερ τῶν προτέρων ἀστρολόγων Εὐδόξου μὲν ὡς, ἐννεαπλασίονα ἀποφαινομένου, Φειδία δὲ τοῦ ἁμοῦ πατρὸς ὡς δὴ δωδεκαπλασίαν»

(Αν και εκ των προηγουμένων αστρονόμων ο μεν Εύδοξος είχεν αποφανθή ότι η διάμετρος του ήλιου είναι εννεαπλασία της διαμέτρου της σελήνης, ο δε πατήρ μου Φειδίας δωδεκαπλασία).

Είναι δε η διάμετρος του ήλιου μεγαλυτέρα της πλευράς χιλιαγώνου εγγεγραμμένου εις τον μέγιστον κύκλον της παγκοσμίου σφαίρας:

«Τὴν διάμετρον τοῦ ἡλίου μείζονα εἶμεν τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρὰς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγεγραμμένου τῶν ἐν τῷ κὸσμῳ».

Μνημονεύει και την ανακάλυψιν του Αριστάρχου ευρόντος ότι η διάμετρος του ηλίου είναι το 1:720 μέρος του ζωδιακού κύκλου  «Ἀριστάρχου μὲν εὑρηκότος τοῦ κύκλου τῶν ζωδίων τον ἥλιον φαινόμενον ὡς τὸ εἰκοστόν καὶ ἑπτακοσιοστόν».

Είναι πολλής προσοχής άξια όσα αναφέρει ο Συρακόσιος σοφός σχετικώς με τας προσπάθειας ας κατέβαλε δια την λύσιν του προβλήματος τούτου και τας δυσκολίας ας αντεμετώπισε:

«Τόνδε τὸν τρόπον ἐπειράθην ὀργανικῶς λαβεῖν τὰν γωνίαν, εἰς ἄν ὁ ἥλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. Τὸ μὲν οὖν ἀκριβές λαβεῖν ούκ εὐχερές ἐστί διὰ τὸ μήτε τὰν ὄψιν, μήτε τὰς χεῖρας μήτε τὰ ὄργανα, δι' ὧν δεῖ λαβεῖν, ἀξιόπιστα εἶμεν τὸ ἀκριβές ἀποφαίνεσθαι»

(κατά τον ακόλουθον τρόπον πρσεπάθησα να ευρώ δια της χρήσεως οργάνων την γωνίαν εις την οποίαν ο ήλιος εναρμόζεται και η οποία έχει την κορυφήν της εις τον οφθαλμόν (του παρατηρητού). Να επιτύχωμεν ακριβολογίαν δεν είναι εύκολον, επειδή ούτε η όρασις ούτε τα όργανα δια των οποίων πρέπει να γίνη η εύρεσις δύνανται με αξιοπιστίαν να φθάσουν ειςακριβή  διαπίστωσιν).

Το όργανον δι' ού ηθέλησε να εύρη την εν λόγω γωνίαν ο Αρχιμήδης μας το περιγράφει ως συνιστάμενον εκ μικρού κυλίνδρου όστις στηρίζεται επί κανόνος ούτως ώστε να βλέπη προς τον ήλιον. Τοποθετείται δε ο κύλινδρος εις απόστασιν από του οφθαλμού ώστε να συσκοτίζη ολόκληρον τον φαινομενικόν δίσκον του ηλίου. Όταν αχθούν ευθείαι από το άκρον του κανόνος, εφαπτόμεναι του κυλίνδρου προς το μέρος όπου ήτο ο οφθαλμός, τότε η υπ' αυτών σχηματιζομένη γωνία είναι ουχί μικροτέρα της ζητούμενης. Πάντως όμως η σχηματιζόμενη γωνία δεν δύναται να αποδίδη ακριβώς την γωνίαν την περιέχουσαν τον φαινομενικόν δίσκον του ηλίου:

«Ἐπεὶ αἱ ὄψεις οὐκ ἀφ' ἑνός σημείου βλέποντι ἀλλὰ άπό τινός μεγεθέος »

(διότι οι οφθαλμοί δεν βλέπουν αφορμώμενοι από εν σημείον αλλ' από έκτασιν έχουσαν μέγεθος). 

Το αποτέλεσμα των μετρήσεων του ήτο ότι η ζητούμενη γωνία ευρέθη μικρότερα 1:164 και μεγαλύτερα του 1:200 της ορθής γωνίας.

Αρχαίο κείμενο: 
Ψαμμίτης