Ιπποκράτης ο Χίος

Υπό ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΣΤΑΜΑΤΗ

Μέλους της Διεθνούς Ακαδημίας της Ιστορίας τωνΕπιστημών

Ο μαθηματικός Ιπποκράτης εγεννήθη εις την Χίον περί το 470 π. Χ., ήτο δηλαδή σύγχρονος του Σωκράτους. Φαίνεται, ότι ήτο εφοπλιστής και ησχολείτο με την μεταφοοράν σίτου διά των πλοίων του εκ του Βυζαντίου εις τον Πειραιά. Περί το 440 π.Χ., παρά τον λεγόμενον Σαμιακόν πόλεμον, των Αθηναίων - Σαμίων, οι Βυζαντινοί ή οι περί το Βυζάντιον πειραταί κατέσχεσαν τα φορτηγά πλοία του Ιπποκράτους, ο οποίος ήλθεν εις Αθήνας και υπέβαλεν αγωγήν αποζημιώσεως Η εκδίκασις της υποθέσεως εβράδυνε πάρα πολύ και ο Ιπποκράτης εύρε την ευκαιρίαν να παρακολούθηση μαθήματα εις τας φιλοσοφικάς σχολάς των Αθηνών. Μεταξύ των μαθημάτων αυτών ιδιαιτέρως τον είλκυσαν τα μαθηματικά, εις τα οποία έκαμε σπουδαιοτάτας ανακαλύψεις Είναι ο Ιπποκράτης ο ανακαλύψας τας αρχάς του Απειροστικού Λογισμού∙ διά του οποίου απέδειξε το θεώρημα, ότι οι κύκλοι είναι προς αλλήλους, ως τα τετράγωνα των διαμέτρων αυτών. Οι νεώτεροι, κατά κακήν ερμηνείαν, εβάπτισαν την μέθοδον αυτήν του Ιπποκράτους∙ την οποίαν χρησιμοποίησαν βραδυτερον ο Εύδοξος και ο Αρχιμήδης, εις «εξαντλητικήν μέθοδον». Διά τούτο όμως ελέγχονται ούτοι υπό του Ολλανδού μαθηματικού (Dijksterhuis), ο οποίος τονίζει ότι αι αρχαί του Διαφορικού και ολοκληρωτικού Λογισμού προέρχονται εκ των αρχαίων Ελλήνων. Ότε ο Ιπποκράτης εύρισκε το ακόμη εις τας Αθήνας το κύριον μαθηματικόν πρόβλημα, το οποίον απησχόλει τους μαθηματικούς και ήτο πολύ γνωστόν και εις τον λαόν ακόμη, ήτο η εύρεσις του τετραγωνισμού του κύκλου διά (κανόνος και διαβήτου). Ο Ιπποκράτης επεδόθη μετά ζήλου εις την λύσιν του προβλήματος και η πρώτη του προσπάθεια εστέφθη υπό επιτυχίας. Κατώρθωσε να εύρη τον τετραγωνισμόν των μηνίσκων. Αι πληροφορίαι. τας όποιας έχομεν επ' αυτού είναι πολύ μεταγενέστεροι. Προέρχονται από τον σχολιαστήν έργων του Αριστοτέλους Σιμπλίκιον, όστις ήκμασεν κατά τας αρχάς του 6ου αιώνος μ.Χ. εις την Κωνσταντινούπολιν. Ο Σιμπλίκτος αρύεται τας πληροφορίας του παρά του Αλεξάνδρου του Αφροδισέως, συγγραφέως του 7ου αιώνος μ.Χ., όστις πάλιν αντλεί τας συναφείς πληροφορίας παρά του ιστορικού των μαθηματικών Ευδήμου του Ροδίου. μαθητού του Αριστοτέλους (4ος αιών π. Χ.). Το έργον του Ευδήμου δεν εσώθη, όπως και το έργον του Αλεξάνδρου.

Ο τετραγωνισμός των μηνίσκων ως τον διέσωσεν ο Σιμπλίκιος:

Έστω ημικύκλιον διαμέτρου ΑΒ, το ΑΒΓ (σχ. 1) και ας τμηθή η ΑΒ εις το μέσον κατά το Δ και από του Δ ας αχθή κάθετος επί την ΑΒ η ΔΓ και από του Γ ας επιζευχθή η ΓΑ, η οποία είναι πλευρά του εις τον κύκλον εγγραφόμενου τετραγώνου, του οποίου ημικύκλιο ν είναι το ΑΒΓ. Και περί την ΑΓ ως γραφή ημικύκλιον το ΑΕΓ. Αλλά το ΑΒ2 = ΑΓ2 + ΓΒ2, η οποία (ΓΒ) είναι η άλλη πλευρά του τετραγώνου του εις το ημικύκλιον ΑΒΓ εγγεγραμμένου. Ως είναι μεταξύ των τα από των διαμέτρων τετράγωνα ούτως είναι μεταξύ των οι κύκλοι και τα ημικύκλια, ως αποδεικνύεται εις το 2ον θεώρημα του 12 βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδου.

Είναι άρα το ημικύκλιον ΑΓΒ διπλάσιον του ημικυκλίου ΑΕΓ. Είναι δε το ημικύκλιον ΑΓΒ διπλάσιον και του τεταρτημορίου ΑΓΔ. Είναι άρα ιό τεταρτημόριον ίσον προς το ημικύκλιον ΑΕΓ. Ας αφαιρεθή το κοινόν μέρος, το τμήμα, το περιεχόμενον υπό της πλευράς του τετραγώνου και του τόξου ΑΓ. Είναι άρα ο απομένων μηνίσκος ΑΕΓ ίσος προς το τρίγωνον ΑΓΔ, το δε τρίγωνον μετασχηματίζεται εις τετράγωνον.

Και συνεχίζει ο Σιμπλίπτος:

Δείζας δε δια τούτων τον μηνίσκον τετραγωνιζόμενον προσπαθεί ακολούθως να τετραγωνίση τον κύκλον ως έξης:

(Σημείωσις: η κατωτέρω λύσις δεν είναι του Ιπποκράτους, εφαλμένως αποδίδεται εις αυτόν)

Έστω ευθεία η ΑΒ (σχ. 2) και ας γραφή περί αυτήν ημικύκλιον, και ληφθή η ΓΔ = 2ΑΒ και περί την ΓΔ ας γραφή ημικύκλιον και εις το ημκύκλιον ας γραφούν τρεις πλευραί του εις τον κύκλον εγγεγραμμένου εξαγώνου, αι ΓΕ, ΕΖ, ΖΔ και περί αυτάς ας περιγραφώσι τα ημικύκλια ΓΗΕ, ΕΘΖ, ΖΚΔ. Επομένως έκαστον των ημικυκλίων τούτων ισούται προς το επί της ΑΒ ημικύκλιον.

Τα τέσσαρα άρα ημικύκλια (τα τρία ανωτέρω + το ημικύκλιον ΑΒ) ισούται με 4∙ΑΒ ημικύκλια. Αλλά και το ημικύκλιον ΓΔ = 4∙ΑΒ ημικύκλια. Διότι είναι ΓΔ= 2ΑΒ και ΓΔστή2= 4ΑΒστή2. Αλλά ως είναι μεταξύ των τα τετράγωνα των διαμέτρων, ούτως είναι μεταξύ των οι περί τας διαμέτρους αυτάς κύκλοι. Αληθεύει λοιπών ότι ημικύκλιον ΓΔ = 4 ημικύκλια ΑΒ. Αφαιρούμεν τώρα από αμφότερα τα μέλη, ήτοι από τα ημικύκλια επί των τριών χορδών και από το ημικύκλιον επί της ΓΔ, τα τμήματα, τα όποια περιβάλλονται από τας χορδάς του εξαγώνου και από το τόξον του ημικυκλίου ΓΛ, οπότε οι μηνίσκοι ΓΗΒ + ΕΘΖ + ΖΚΑ + ημικύκλιον ΑΒ = τραπέζιον ΓΕΖΔ.

Εάν τώρα αφαιρέσωμεν από το τραπέζιον την υπεροχήν, δηλαδή την ισοδύναμον προς τους μηνίσκους επιφάνειαν (διότι έχει αποδειχθή προς έκαστον μηνίσκον ισοδύναμος ευθύγραμμος επιφάνεια) κρατήσωμεν όμως το υπόλοιπον, το οποίον ισούται με το ημικύκλιον ΑΒ, και εάν αυτήν την κρατηθείσαν επιφάνειαν την διπλασιάσωμεν, και το προκύπτον διπλάσιον το τετραγωνίσωμεν, δηλαδή εάν καταακευάσωμεν ισοδύναμαν τετράγωνο ν, τότε το τετράγωνον τούτο θα είναι ισον πρός τον κύκλον διαμέτρου ΑΒ. Και ούτω πως τετραγωνίζεται ό κύκλος.

Και συνεχίζει ό Σιμπλίκιος:

«Καί ἐστι μὲν εὐφυὴς ἡ ἐπιχείρησις τὸ δὲ ψευδογράφημα γέγονε παρὰ τὸ μὴ καθόλου δεδειγμλένον ὡς καθόλου λαβεῖν». Δηλαδή: Και είναι μεν ευφυές το τέχνασμα (του τετραγωνισμού του κύκλου) το σφάλμα όμως προκύπτει εκ τού ότι εθεώρησαν, ότι πας μηνίσκος τετραγωνίζεται, ενώ τούτο ισχύει μόνον διά τον μηνίσκον του τετραγώνου και όχι του εξάγωνου, διά τον οποίον δεν υπάρχει απόδειξις.

Νεώτεροι έρευναι απέδειξαν, ότι ο εσφαλμένος αυτός τετραγωνισμός του κύκλου (διά κανόνος και διαβήτου) δεν είναι τού Ιπποκράτους, άλλα μεταγενεστέρων αυτού, ως σημειούμεν και ανωτέρεω.

Η σπουδαία επίσης ανακάλυψις του Ιπποκράτους είναι η απόδειξις τού θεωρημένος, ότι οι κύκλοι είναι προς αλλήλους ως τα τετράγωνα των διαμέτρων αυτών, ως πληροφορεί ημάς ο Σιμκλίκιος, προσθέτων, ότι το θεώρημα αυτό του Ιπποκράτους ο Ευκλείδης το έθεσεν ως δεύτερον εις το 12ον βιβλίον των Στοιχείων, το οποίον λέγει:

«Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα».

Ο Ιπποκράτης είχε γράψει και Στοιχεία των μαθητικών, τα όποια δεν εσώθησαν.