Θεαίτητος ο Αθηναίος

ΝΕΩΤΕΡΟΝ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ".

Ο Θεαίτητος εγεννήθη εις Αθήνας περί το έτος 415 π.Χ. Ο πατήρ του ωνομάζετο Ευφρόνιος, κατήγετο δε εκ Σουνίου. Ο Σωκράτης συναντήσας τον Θεαίτητον περί το 400 π. Χ. ότε ούτος ήτο μειράκιον και συνδιαλεχθείς μετ' αυτού τον εθαύμασε διά την ιδιοφυίαν του και είπεν ότι θα γίνη ελλόγιμος (Πλάτωνος Θεαίτητος 142c -d). Εις τον ομώνυμον διάλογον ο Πλάτων αναφέρει, ότι ο Θεαίτητος κατά τον εν Κορίνθον πόλεμον ετραυματίσθη βαρέως και ότι ακόμη προσεβλήθη υπό δυσεντερίας. Πόλεμοι των Αθηναίων εις την Κόρινθον έγιναν δύο. Ο εις κατά το 394 π.Χ. και ο άλλος κατά το 369 π. Χ. Οι περισσότεροι σχολιασταί τοποθετούν τον θάνατον του κατά το 369 π. Χ. οπότε ο Θεαίτητος θα ήτο 44 ετών. Δεν φαίνεται όμως πιθανόν, ότι οι Αθηναίοι εστρατεύοντο εις αυτήν την ηλικίαν.

Εκτός του Πλάτωνος και μεταγενέστεροι συγγραφείς αναφέρουν με θαυμασμόν την μαθηματικήν ιδιοφυίαν του Θεαίτητου. Εάν δεχθώμεν, ότι ο Θεαίτητος απέθανε κατά τον πρώτον εις την Κόρινθον πόλεμον, το 394 π.Χ, θα ήτο τότε 20 περίπου ετών. Ο σχολιαστής του α' βιβλίου των Στοιχειών του Ευκλείδου, Πρόκλος (410 - 485 μ. Χ.), εκ των τελευταίων διευθυντών της Ακαδημίας του Πλάτωνος αναφέρει ότι κατά τους χρόνους του Πλάτωνος υπήρξαν σπουδαίοι μαθηματικοί ο Λεωδάμας, ο Θάσιος και Αρχύτας ο Ταραντίνος και Θεαίτητος ο Αθηναίος, παρά των οποίων ευρέθησαν νέα θεωρήματα και έγιναν αυτά επιστημονικότερα.

O Θεαίτητος (415—369 π.Χ.) υπήρξεν σπουδαιότατος συνεργάτης του Πλάτωνος εν τη Ακαδημία προωθήσας κατά πολύ τας μαθηματικάς έρευνας. Ο Πλάτων δια να τίμηση την μνήμην του έγραψεν ιδιαίτερον διάλογον φέροντα το όνομά του. Ο μέγας ούτος μαθηματικός ειργάσθη επί δύο μεγάλων προβλημάτων, εκ των όποιων το εν ανεφέρετο εις τα ασύμμετρα μεγέθη, το δε δεύτερον εις την γεωμετρικήν κατασκευήν των πέντε στερεών σωμάτων.

Οι Πυθαγόρειοι ανεκάλυψαν ότι η τετραγωνική ρίζα του δύο παρίσταται δια μεγέθους ασυμμέτρου, ήτοι είναι αριθμός ασύμμετρος, όπως λέγομεν ημείς σήμερον. Ο εκ Κυρήνης μαθηματικός Θεόδωρος δια γεωμετρικών κατασκευών ανεκάλυψεν ότι το αυτό ισχύει δια τας τετραγωνικός ρίζας των μεγεθών των συμβολιζομένων υπό τετραγώνων ων η αριθμητική τιμή είναι 3,5,6,7,8,10,11,12 13,14,15,17. Ο Θεαίτητος συνεχίζων τας έρευνας του Θεοδώρου κατώρθωσε να γενίκευση τας παρατηρήσεις ταύτας και να αποδείξη γενικώς ότι η τετραγωνική ρίζα ν δια οιονδήποτε ακέραιον αριθμόν ν είναι ασύμμετρος υπό την προϋπόθεσιν ότι ο αριθμός ν δεν είναι τετράγωνον ακεραίου. Τούτο προκύπτει εκ των εν τω «Θεαιτήτω» (148 α) παρεχομένων γενικών παρατηρήσεων επί των γραμμών οίτινες πολλαπλασιαζόμενοι αποδίδουν επιφανείας : «Ὅσαι μὲν γραμμαί τὸν ἰσόπλευρον καὶ ἐπίπεδον ἀριθμόν τετραγωνίζσυσι, μῆκος ὡρισάμεθα, ὅσαι δὲ τὸν ἑτερομήκη, δυνάμεις, ὡς μήκη μὲν οὐ ξυμμέτρους ἐκείναις, τοὶς δ' ἐπιπέδοις ἅ δύνανται καὶ περὶ τὰ στερεά ἄλλο τοσοῦτον». (Όσαι μεν γράμμαί αποδίδουν ως τετράγωνον των αριθμόν ισόπλευρον, δηλαδή αναλυόμενον εις δύο ίσους μεταξύ των παράγοντας, τας ωνομάσαμεν μήκη, όσαι δε αποδίδουν αριθμόν με παράγοντας άνισους τας ωνομάσαμεν δυνάμεις, επειδή ως προς το μήκος δεν έχουν κοινόν μέτρον με εκείνας, αλλ' έχουν κοινόν μέτρον ως προς τας επιπέδους επιφανείας τας οποίας παράγουν. Εν δε ανάλογον πράγμα συμβαίνει και σχετικώς με τα στερεά). Ο Θεαίτητος διαιρεί τους αριθμούς εις τετραγώνους οίτινες παράγονται εκ ταυ πολλαπλασιασμού ενός αριθμού επί τον εαυτόν τους (4, 9, 16, 25) και εις ετερομήκεις οίτινες δεν παράγονται δια τοιούτου πολλαπλασιασμού (6=2X3 8 = 2X4), Επί τη βάσει της διακρίσεως ταύτης διαιρούμεν τας γραμμάς εις εκείνας, εφ' ων δύναται να κατασκευασθή τετράγωνον, ου το εμβαδόν εκπροσωπείται από τετράγωνον αριθμόν 4, 9, 16, 25. Μία τοιαύτη γραμμή καλείται μήκος. Αι γραμμαί εφ' ων κατασκευάζεται τετράγωνον ούτινος το εμβαδόν δεν εκπροσωπείται από αριθμόν τετράγωνον καλούνται δυνάμεις. Αν κατασκευάσωμεν τετράγωνον με επιφάνειαν 3 πόδας, η γραμμή εφ' ης κατασκευάζεται καλείται δύναμις και είναι ασύμμετρος με την γραμμήν εφ' ης κατασκευάζεται τετράγωνον ου το εμβαδόν είναι 5. Αλλά τα τετράγωνα εμβαδού 3 και 5 τετραγωνικών ποδών είναι σύμμετρα προς άλληλα μετρούμενα υπό του ενός τετραγωνικού ποδός. Επειδή λοιπόν αι γραμμαί αύται δεν είναι αμέσως προς αλλήλας σύμμετροι, άλλ' εμμέσως δια της αναγωγής εις τας δυνάμεις των, δηλαδή εις τα τετράγωνα άτινα κατασκευάζονται επ' αυτών, χαρακτηρίζονται ως «δυνάμει» σύμμετροι. Πράγματι καλούνται υπό του Ευκλείδου (βιβλ. Χ ορ. 3) «ευθείαι δυνάμει σύμμετροι». Εκ της διαπιστώσεως ότι υπάρχουν γραμμαί ασύμμετροι προκύπτει είτα ότι υπάρχει το ασύμμετρον και εις τα στερεά μεγέθη.

Είναι φανερόν ότι αι έρευναι του Θεαίτητου είχον προχωρήσει επί τοσούτον, ώστε να ανακαλύψουν ότι υπάρχει και ασυμμετρία εις τα κυβικά μεγέθη. Επί ποίων προτάσεων στηριζόμενος κατώρθωσεν ο Θεαίτητος να στήριξη αποδεικτικώς τας γενικεύσεις του δεν είναι γνωστόν. Εικάζεται ότι προκαταρκτικώς θα είχε μελετήσει το πρόβλημα της αναλύσεως των αριθμών εις τους πρώτους των παράγοντας. Πάντως κατώρθωσε να απόδειξη ότι τα τετράγωνα τα σχηματιζόμενα επί ρητών αριθμών έχουν μεταξύ των την σχέσιν ενός τετραγώνου αριθμού προς έτερον τετράγωνον αριθμόν. Και αντιστρόφως τα τετράγωνα άτινα δεν έχουν προς άλληλα την σχέσιν τετραγώνων αριθμών έχουν σχηματισθή επί μη ρητών (δηλαδή επί ασύμμετρων γραμμών). Απεδείχθη ούτω η ύπαρξις ασύμμετρων γραμμών, συγχρόνως δε εδείχθη λόγω της ασυμμετρίας των ότι η κατασκευή των δεν ήτο δυνατόν να γίνη με προχείρους μετρήσεις, άλλα έπρεπε να στηριχθή επί συνθετωτέρων υπολογισμών. Η ανακάλυψις αύτη του Θεαιτήτου έχει συμπεριληφθή εις το 1ον βιβλίον του Ευκλείδου. Εκεί αναγράφεται ως πόρισμα της 9ης προτάσεως ότι: «Ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὅν τετράγωνος ἀριθμός πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλ' ἁπλῶς, ὅν ἀριθμός πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει» (Όσα άρα τετράγωνα δεν έχουν μεταξύ των σχέσιν την οποίαν έχει τετράγωνος αριθμός προς τετράγωνον, αλλ' απλώς έχουν την σχέσιν την οποίαν έχει αριθμός προς αριθμόν, θα είναι μόνον κατά δυνατότητα σύμμετρα, ουχί όμως και από της απόψεως του μήκους). Τα παλαιά σχόλια τα ερμηνεύοντα τήν κνωτέρω μνημονευθείσαν ενάτην πρότασιν του 10ου βιβλίου του Ευκλείδου αναγνωρίζουν ταύτην ως εύρημα του Θεαίτητου και σημειώνουν: «Τὸ θεώρημα τοῦτο Θεαιτήτειον ἐστὶν εὕρημα, καὶ μέμνηται αὐτοῦ ὁ Πλάτων ἐν Θεαιτήτῳ, ἀλλ' ἐκεῖ μὲν μερικώτερον ἔγκειται, ἐνταῦθα δὲ καθόλου» (Το θεώρημα τούτο είναι εύρημα του Θεαίτητου και το αναφέρει ο Πλάτων εις τον Θεαίτητον, άλλα εκεί μεν έχει διατυπωθή με μερικωτέραν διατύπωσιν. εδώ δε με γενικήν) (βλέπε Ευκλείδη, έργα, έκδοσις Χάϊμπεργκ, τόμος V. σελ. 450). Ου μόνον δε απέδειξεν ο Θεαίτητος το ασύμμετρον των εν λόγω γραμμών, αλλά και ησχολήθη και με την γεωμετρικήν των κατασκευήν. Διότι, εάν δοθούν μία ευθεία Α και δύο αριθμοί Α και Ε δυνάμεθα να εύρωμεν μίαν ευθείαν Ζ τοιαύτην, ώστε Α : Ζ = Δ : Ε. Προς τούτο πρέπει να ευρεθή μεταξύ των Α και Ζ μέση ανάλογος Β. Διότι κατόπιν της ευρέσεως ταύτης θα έχωμεν (Α∙Α) = (Β∙Β) = Α : Ζ = Δ : Ε. Εις την περίπτωσιν δε. κατά την οποίαν το Δ προς το Ε δεν έχουν σχέσιν τετραγώνου προς τετράγωνον προκύπτει εκ της εξισώσεως ότι κατασκευάσαμεν μίαν ασύμμετρον γραμμήν, την Α επί τετραγ. ρίζα του Δ : Ε. Η τοιαύτη κατασκευή προϋποθέτει, ως είδομεν την δυνατότητα της κατασκευής της μέσης αναλόγου. Περί τούτου γίνεται λόγος εις το πόρισμα τής έκτης προτάσεως του 10ου βιβλίου του Ευκλείδου, ένθα ο σχολιαστής παρατηρεί: «Μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν λέγεται, ὅταν μέσον αὐτῶν δύνηται ἐμττεσεῖν μέγεθος ἀνάλογον» (Ευκλ. Χάΐμπειργκ τόμ. V. σελ. 448) (Λέγομεν ότι υπάρχει λόγος αμοιβαίος μεταξύ μεγεθών όταν παρεμπίπτη μεταξύ αυτών μέσον ανάλογον μέγεθος). Η μελέτη των ασυμμέτρων έφερε τον Θεαίτητον εις επαφήν με το πρόβλημα των λόγων και αναλογιών. Εις αυτόν οφείλεται η εισαγωγή του ορού «αποτομή» δια του όποιου δηλούται το μείζον τμήμα ευθείας τεμνόμενης εις μέσον και άκρον λόγον. Περί τούτου μας πληροφορεί ο Άραψ σχολιαστής του δεκάτου βιβλίου του Ευκλείδου, όστις αρύεται την πληροφορίαν του από την ιστορίαν του Ευδήμου.

Το δεύτερον θέμα το όποιον απησχόλησε τον Θεαίτητον υπήρξεν η γεωμετρική κατασκευή των πέντε κανονικών πολυέδρων των δυναμένων να εγγραφούν εντός σφαίρας. Ταύτα ήσαν, όπως εσημειώσαμεν ανωτέρω, η πυραμίς, ήτις εκαλείτο και τετράεδρον, ο κύβος, το οκτόοδρον, το δωδεκάεδρον και το εικοσάεδρον. Καλούνται δε ταύτα και πλατωνικά σώματα διότι ο Πλάτων εις τον «Τιμαίον» αναπτύσσει την γνώμην ότι η πυραμίς είναι το στοιχειώδες σχήμα του πυρός, το οκτάεδρον του αέρος, το εικοσάεδρον του ύδατος και ο κύβος της γης. Εις τον αυτόν διάλογον εκτίθεται και η σύστασις των και αι γεωμετρικοί των ιδιότητες. Πάντα ταύτα τα σώματα συναπαρτίζονται εκ στοιχειωδών ισοπλεύρων τριγώνων. Το τετράεδρον έχει 4 επιφανείας, 4 γωνίας και 24 στοιχειώδη τρίγωνα, έχει δε και την ιδιότητα να διαιή εις ίσα μέρη την επιφάνειαν της σφαίρας εις την οποίαν εγγράφεται. Το οκτάεδρον έχει οκτώ τριγωνικός επιφανείας, εξ στερεάς γωνίας και συντίθεται από 48 στοιχειώδη τρίγωνα. Το εικοσάεδρον παρουσιάζει είκοσι τριγωνικός επιφανείας, 12 στερεάς γωνίας και 120 στοιχειώδη τρίγωνα. Ο κύβος 6 τετραγωνικάς επιφανείας εκάστη των οποίων απαρτίζεται εκ 4 στοιχειωδών τριγώνων. Ώστε έχει 24 στοιχειώδη τρίγωνα και 8 στερεάς γωνίας. Εν εικοσάεδρον ύδατος αναλυόμενον γεννά, κατά τον Πλάτωνα, εν τετράεδρον πυρός και δύο οκτάεδρο αέρος, εν οκτάεδρον αέρος αναλύεται εις δύο τετράεδρα πυρός. Ο Πλάτων αποδεικνύεται εις τον «Τίμαιον» γνώστης της κατασκευής και συστάσεως των κανονικών πολυέδρων. Αλλ' εις το 7ον βιβλίον τής «Πολιτείας» του, όπως εξεθέσαμεν εις τα προηγούμενα, παρεπονείτο διότι αι στερεομετρικαί έρευναι δεν είχεν φθάσει εις σημαντικός ανακαλύψεις. Είναι λοιπόν φανερόν ότι κατά το μεσολαβήσαν μεταξύ του χρόνου καθ' ον έγραοφε το έβδομον βιβλίον της «Πολιτείας» και της εποχής κατά την οποίαν έγραφε τον «Τιμαίον» διάστημα εσημειώθησαν εις την περιοχήν τής στερεομετρίας ανακαλύψεις τας οποίας εχρησιμοποίησεν ο Πλάτων εις τον «Τίμαιον». Ούτω εις τον διάλογον του τούτον φαίνεται ο Πλάτων γνωρίζων προτάσεις σχετικάς με την κατασκευήν στερεών σωμάτων εγγεγραμμένων εις την σφαίραν αι οποίαι εκτίθενται εις το δέκατον τρίτον βιβλίον του Ευκλείδου από τής προτάσεως ιγ' κ.ε. Εκ τούτου συμπεραίναμεν ότι αι γενόμεναι ανακαλύψεις ήσαν επιστημονικού χαρακτήρος και δια τούτο περιελήφθησαν εις τό XIII βιβλίον του Ευκλείδου. Τίθεται ούτω το ζήτημα ποίος είναι ο πραγματοποιήσας τας ανακαλύψεις ταύτας. Ο Πλάτων, όπως ελέχθη ανωτέρω, δεν ησχολείτο αυτοπροσώπως εις την έρευναν αλλά περιωρίζετο να υποδεικνύη την κατεύθυνσιν προς την οποίαν έπρεπεν αύτη να προχώρηση. Αι ανακαλύψεις άρα αύται επραγματοποιήθησαν υπό τίνος των συνεργατών του. Επειδή όμως το πρόβλημα της κατασκευής των κανονικών πολυέδρων προϋποθέτει γνώσιν της κατασκευής ασύμμετρων γραμμών, ην ως εἰδαμεν, κατείχεν ο Θεαίτητος, είναι φανερόν ότι εις τούτον οφείλονται αι εν λόγω ανακαλύψεις. Πραγματικώς η παράδοσις μαρτυρεί ότι ούτος είναι ο ανακαλύψας τον τρόπον της γεωμετρικής κατασκευής των κανονικών πολυέδρων. Εις σχόλιον αναφερόμενον εις το XIII βιβλίον του Ευκλείδου αναγράφεται η ακόλουθος πληροφορία: «Ἐν τοῦτῳ τῷ βιβλίῳ, τουτέστι τῷ ιγ', γράφεται τὰ λεγόμενα Πλάτωνος Ε σχήματα, ἅ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἔστιν, τρία δὲ τῶν προειρημένων ε σχημάτων τῶν Πυθαγορείων ἐστίν, ὅ τε κύβος καὶ ἡ πυραμίς καὶ τὸ δωδεκάεδρον, Θεαίτητου δὲ τὸ ὀκτάεδρον καὶ τὸ εἰκοσάεδρον. Ευκλείδου δὲ ἐπιγράφεται καὶ τοῦτο τὸ βιβλίον δια τὸ στοιχειώδη τάξιν ἐπιτεθηκέναι καὶ ἐπὶ τοῦτου τοῦ στοιχείου» (Ευκλ. έκδοσις Χάϊμπεργκ, τόμ. 5ος σελ. 654, 1-10) (Εις αυτό το βιβλίον, δηλαδή το δέκατον τρίτον, κατασκευάζονται τα λεγόμενα πέντε σώματα του Πλάτωνος, τα όποια δεν ανεκάλυψεν αυτός, αλλά τρία εκ των μνημονευθέντων πέντε σωμάτων είναι ανακάλυψις των Πυθαγορείων, δηλαδή και ο κύβος και η πυραμίς και το δωδεκάεδρον, ανακάλυψις δε του Θεαίτητου είναι το οκτάεδρον και το εικοσάεδρον. Το δε βιβλίον φέρεται ως ανήκον εις τον Ευκλείδην διότι έβαλε συστηματικήν σειράν και ως προς το γεωμετρικόν τούτο θέμα). Εις ενίσχυσιν δε της μαρτυρίας ταύτης έρχεται και η είδησις την οποίαν μας παρέχει ο Σουίδας εις την λέξιν Θεαίτητος γράφων περί αυτού: «Πρῶτος δὲ τὰ πέντε καλούμενα στερεὰ ἔγραψε» (Πρώτος ο Θεαίτητος ανεκάλυψε τον τρόπον της γεωμετρικής κατασκευής των ονομαζόμενων πέντε στερεών σωμάτων). Εις τας δύο ταύτας μαρτυρίας αντιτίθεται η μαρτυρία του Πρόκλου, όστις εις τα σχόλια, άτινα έγραψεν ερμηνεύων τα στοιχεία του Ευκλείδου, αποδίδει την περί ασυμμέτρων θεωρίαν ως και την κατασκευήν των πέντε κοσμικών σωμάτων εις τον Πυθαγόραν: «Ὅς δὴ καὶ τὴν τῶν ἀλόγων πραγματείαν καὶ τὴν τῶν κοσμικῶν σχημάτων σύστασιν ἀνεῦρεν» (Ο οποίος, όπως είναι γνωστόν, ανεκάλυψε και την εις τα μη επιδεκτικά αναλογιών αναφερομένην θεωρίαν και τον τρόπον του σχηματισμού των κοσμικών σχημάτων) . Αλλ αι έρευναι του Βόγκτ και της Εύας Σάξ (βλέπε βιβλίον της εις την γερμανικήν: «Τα πέντε πλατωνικά σώματα») έδειξαν ότι ο Πρόκλος γράφων τα ανωτέρω δεν είχεν υπ’ όψιν του την ιστορίαν των μαθηματικών, ην είχε γράψει ο Ευδημος, αλλ' ηκολούθει τους θρύλους τους διαδοθέντας κατά την ελληνιστικήν και μεταγενεστέραν εποχήν υπό των Νεοπυθαγορείων, οίτινες απέδιδον όλας τας γεωμετρικάς ανακαλύψεις εις τον Πυθαγόραν. Συνεπώς τυγχάνει αξιοπιστοτέρα η παρατεθείσα εκ των σχολίων του ανωνύμου σχολιαστού του Ευκλείδου μαρτυρία, ήτις απορρέει από τον Πάππον, όστις είχεν υπ' όψιν του την υπό του Ευδήμου συγγραφείσαν ιστορίαν. Περισσότερον αξιόπιστος τυγχάνει η μαρτυρία του Σουίδα διότι προέρχεται εκ κύκλων, οίτινες δεν διετέλουν υπό την επίδρασιν του Νεοπυθαγορισμού. Συνεπώς η ανακάλυψις της κατασκευής των σχημάτων τούτων οφείλεται εις τον Θεαίτητον, όστις και τα συνέκρινε με την ακτίνα της σφαίρας εντός της όποιας εγγράφονται. Και ο υπό του Ευκλείδου παρεχόμενος ορισμός ο καθορίζων ότι κανονικόν σχήμα είναι «σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις», απορρέει από σύγγραμμα το οποίον είχε γράψει «Περί των πέντε σχημάτων» ο Θεαίτητος. Επίσης και οι υπ' αριθ. 25—28 ορισμοί των σχημάτων τούτων και ιδία του οκταέδρου και εικοσαέδρου οι απαντώντες εις το ενδέκατον βιβλίον του Ευκλείδου οφείλονται εις τον Θεαίτητον. Είναι εύλογον ότι αι δύο αύται ονομασίαι οκτάεδρον και εικοσάεδρον εχρησιμοποιήθησαν το πρώτον υπό του Θεαίτητου. Αι ονομασίαι πυραμίς και κύβος ήσαν εν χρήσει και εις τους παλαιοτέρους ληφθείσαι από την κοινήν γλώσσαν. Η λέξις πυραμίς, όπως εδειξαν αι έρευναι του Ντίλς, δεν είναι αιγυπτιακή λέξις, αλλά ελληνική, σημαίνουσα πλακούντα προσφερόμενον εις τους νεκρούς, όστις απεικονίζεται και εις αττικήν υδρίαν του έκτου αιώνος, ήτις ευρίσκετο εις το μουσείον του Βερολίνου. Επίσης και η λέξις κύβος είναι προελεύσεως ελληνικής. Η ονομασία δωδεκάεδρον θα προέρχεται ασφαλώς εκ των Πυθαγορείων, διότι το σχήμα τούτο, ως είπομεν ανωτέρω, ήτο εις αυτούς γνωστόν εκ κρυσταλλωμάτων πυρίτου, άτινα απαντούν εις την Βόρειον Ιταλίαν. Ώστε δυνάμεθα να είμεθα βέβαιοι ότι μόνον αι ονομασίαι του οκταέδρου και εικοσαέδρου οφείλονται εις τον Θεαίτητον. Δυνάμεθα προσέτι να είπομεν μετά βεβαιότητος ακολουθούντες την γνώμην, ην πρώτος διετύπωσεν ο Γάλλος Ταννερύ, ότι ο Ευκλείδης περιέλαβεν εις το δέκατον τρίτον βιβλίον των «Στοιχείων» του αναλλοιώτους πολλάς προτάσεις εκ του συγγράμματος του Θεαίτητου. Αι εις το βιβλίον τούτου υπ' αριθ. 1—5 προτάσεις και η 8 πρότασις είναι λίαν πιθανόν ότι ελήφθησαν εκ του βιβλίου του Θεαίτητου. Και η ενάτη πρότασις η αναφερομένη εις το πεντάγωνον, προέρχεται εκ του Θεαίτητου, επίσης δε και αι υπ' αριθ. 13—17 προτάσεις αι αναφερόμεναι εις την κατασκευήν των πέντε στερεών σωμάτων αποτελούν ανακαλύψεις του Θεαίτητου. Εις αυτόν οφείλεται και ο υπολογισμός των γωνιών αυτών. Δια των ανακαλύψεων του τούτων έθεσεν ο μέγας ούτος μαθηματικός τα θεμέλια της στερεομετρίας. Αι ανακαλύψεις αύται συνετελέσθησαν εις την Ακαδημίαν του Πλάτωνος με την συνεργασίαν και άλλων επιστημόνων. Ο Θεαίτητος εβοηθήθη πολύ από τας έρευνας του Ευδόξου και ιδία από το βιβλίον τούτου το επιγραφόμενον «Περί τομής». Αλλά και ο Εύδοξος ηδυνήθη να προχώρηση εις νέας ανακαλύψεις στηριζόμενος εις τα ευρήματα του Θεαίτητου. Οι δυο ούτοι σοφοί ευρίσκονται εις διαρκή επαφήν ωφελήσαντες ούτω την πρόοδον τής επιστήμης. Το έργον του ενός συνεπλήρωνε το έργον του άλλου και δύναται να κατανοηθή δια της συσχετίσεως των ανακαλύψεων των.