Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»
Ο μαθητής της μέσης εκπαίδευσης διαπιστώνει ότι
αντίθετα από τη γεωμετρία, η άλγεβρα είναι ένα πεδίο μαθηματικής μελέτης με
πολλούς συμβολισμούς. Τα κείμενα είναι γεμάτα με σημεία πρόσθεσης και
αφαίρεσης, σύμβολα διαίρεσης, τα τελευταία γράμματα της αλφαβήτου για άγνωστες
ποσότητες και τα πρώτα για σταθερές, διάφορα σύμβολα ομαδοποίησης (παρενθέσεις,
αγκύλες), εκθέτες, δείκτες, ριζικά, σύμβολα ισότητας και παραγοντικού, σύμβολα
συνδυασμών και μεταθέσεων, λογαριθμικό συμβολισμό και άλλα. Σπάνια ο μαθητής
συνειδητοποιεί ότι όλος αυτός ο συμβολισμός έχει ηλικία λίγο μεγαλύτερη από 400
χρόνια. Πράγματι, τα περισσότερα απ' αυτά τα σύμβολα έχουν ηλικία πολύ
μικρότερη από 400 χρόνια.
Ο Τζ. Χ. Φ. Νέσσελμαν (G.H.F. Nesselmann), στα 1842,
διέκρινε πρώτος τρία στάδια στην ιστορική εξέλιξη του αλγεβρικού συμβολισμού.
Στην αρχή υπήρχε η ρητορική άλγεβρα, στην οποία οι λύσεις των προβλημάτων
γράφονταν χωρίς συντομογραφίες ή συμβολισμούς, με καθαρή επιχειρηματολογία σε
πεζό λόγο. Μετά ακολούθησε η συγκεκομμένη άλγεβρα, στην οποία υιοθετήθηκαν
στενογραφικές συντομογραφίες για κάποιες από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες
ποσότητες, σχέσεις και πράξεις. Τέλος, στο τελευταίο στάδιο έχουμε τη συμβολική
άλγεβρα, στην οποία οι λύσεις των προβλημάτων εμφανίζονται σε μεγάλο βαθμό με
μαθηματικό συμβολισμό, με χρήση συμβόλων που έχουν πολύ λίγη προφανή σύνδεση με
τις οντότητες και τις ιδέες που παριστάνουν.
Είναι μάλλον σωστό να διατυπώσουμε την άποψη ότι η
άλγεβρα πριν από την εποχή του αλεξανδρινού Διόφαντου (3ος αιώνας) ήταν
ρητορική. Μια από τις πιο σημαντικές συνεισφορές του Διόφαντου στην ανάπτυξη
της άλγεβρας ήταν οι συντομογραφίες που εισήγαγε στην ελληνική άλγεβρα. Πρέπει
όμως να σημειώσουμε ότι η ρητορική άλγεβρα εξακολούθησε να υπάρχει στον
υπόλοιπο κόσμο, με εξαίρεση όπως θα δούμε τις Ινδίες, για πολλές εκατοντάδες
χρόνια. Ειδικά στη Δυτική Ευρώπη η άλγεβρα παρέμεινε κυρίως ρητορική μέχρι το
15ο αιώνα, όταν άρχισαν να εμφανίζονται κάποια ανομοιογενή δείγματα
συντομογραφιών. Η συμβολική άλγεβρα έκανε την πρώτη της εμφάνιση στη Δυτική
Ευρώπη το 16ο αιώνα, αλλά η ανάπτυξη της
ήταν τόσο αργή, που περίπου ως τα μέσα του 17ου αιώνα δεν εξαπλώθηκε.
Η καλύτερη ίσως πηγή προβλημάτων άλγεβρας της
ελληνικής αρχαιότητας είναι μια συλλογή, γνωστή ως Παλατινή, ή Ελληνική,
Ανθολογία, που περιέχει και μια ομάδα 46 αριθμητικών προβλημάτων διατυπωμένων
με επιγραμματική μορφή και είχαν συγκεντρωθεί από το γραμματικός Μητρόδωρο.
Μερικά από αυτά τα προβλήματα είναι πιθανό να επινοήθηκαν από τον ίδιο το
συγγραφέα, έχουμε όμως κάθε λόγο να πιστεύουμε ότι τα περισσότερα από αυτά
διατυπώθηκαν πολύ πιο παλιά. Τα προβλήματα, που προφανώς αποσκοπούσαν στην
πνευματική ψυχαγωγία, ανήκουν σε έναν τύπο προβλημάτων που μνημόνευσε ο
Πλάτωνας (περίπου 400 π. Χ.) και μοιάζουν πολύ με κάποια από τα προβλήματα που
βρέθηκαν στον πάπυρο του Ρίντ (περίπου 1650 π. Χ.). Τα μισά προβλήματα
καταλήγουν σε απλές γραμμικές εξισώσεις με έναν άγνωστο, περίπου δώδεκα σε
εύκολα συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους, ένα σε τρεις γραμμικές
εξισώσεις με τρεις αγνώστους, ένα σε τέσσερις γραμμικές εξισώσεις με τέσσερις
αγνώστους και υπάρχουν και δύο περιπτώσεις απροσδιόριστων γραμμικών εξισώσεων.
Πολλά προβλήματα μοιάζουν με τα προβλήματα που βρίσκουμε στα σύγχρονα βιβλία
αριθμητικής και τις χαρακτηριστικές ονομασίες, προβλήματα «διανομής»,
«εργασίας», προβλήματα με «δεξαμενές», προβλήματα «ανάμιξης», «ηλικίας» και
άλλα. Αν και τα προβλήματα αυτά παρουσιάζουν ελάχιστη δυσκολία όταν
αντιμετωπίζονται με το σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό, πρέπει να παραδεχτούμε
ότι για να δώσουμε ρητορικές λύσεις χρειάζεται να επιτύχουμε μεγάλη πνευματική
προσήλωση. Όποιος δεν το πιστεύει, ας δοκιμάσει τις ικανότητες του δίνοντας
καθαρά ρητορικές λύσεις στα παρακάτω παραδείγματα που επιλέξαμε τυχαία από την
Παλατινή Ανθολογία:
