Τα μαθηματικά των Μινωιτών.

16ος αιώνας π.Χ.: Κλάσματα, δεκαδικό σύστημα, γεωμετρικές πρόοδοι

Του ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΓΕΩΡΓΟΥΔΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ - 09/12/2006

 

Σύνθετες και πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις γνώριζαν να πραγματοποιούν οι Μινωίτες από τον 16ο αιώνα π.Χ. με κλάσματα και χρήση του δεκαδικού συστήματος, γεγονός το οποίο ανατρέπει πλήρως την εικόνα που έχουμε μέχρι τώρα για την επιστήμη και τις εφαρμογές της στον αρχαίο κόσμο και μάλιστα τόσο νωρίς.

Τη συγκλονιστική αυτή ανακάλυψη πραγματοποίησε ο ερευνητής αιγαιακών γραφών Μηνάς Τσικριτσής, σε πρωτότυπο μαθηματικό κείμενο που βρίσκεται χαραγμένο στον τοίχο του διαδρόμου της μινωικής έπαυλης της Αγίας Τριάδας που είναι πλησίον του ανακτόρου της Φαιστού. Μάλιστα ο Ελληνας ερευνητής τονίζει ότι αντίστοιχα μαθηματικά συναντώνται μόνο στον Ευκλείδη, δηλαδή 11 αιώνες αργότερα.

 Η πρωτοποριακή αυτή ανακάλυψη έρχεται να δικαιολογήσει τη δημιουργία των αρχιτεκτονικά πολύπλοκων και πολυδαίδαλων μινωικών ανακτόρων για τα οποία χρειαζόταν ένα συγκροτημένο υπόβαθρο επιστημονικών και θεωρητικών γνώσεων σε διαφορετικά επιστημονικά αντικείμενα και όχι μόνο καλούς εμπειρικούς μαστόρους. Επίσης το ανεπτυγμένο μινωικό εμπόριο στη Μεσόγειο, η εξελιγμένη μικροτεχνία, η ανακάλυψη ολόκληρου οικισμού στον Ψηλορείτη στα 1.200 μέτρα υψόμετρο (Ζώμινθος) απαιτούσαν μια τεχνολογία αρκετά προωθημένη.

Ο ερευνητής Μηνάς Τσικριτσής, με τη χρήση μαθηματικού αλγόριθμου, έχει αναγνώσει τη Γραμμική Α' Γραφή, βρίσκοντας πως συγγενεύει με τη Γραμμική Β', ενώ το 70% των εγγράφων της Γραμμικής Α' είναι μία πρώιμη Αιολική Γραφή και το 30% είναι σε μία άγνωστη γραφή πιθανόν Λουβική. Τη μελέτη του εξέδωσαν οι εκδόσεις της Βικελαίας Βιβλιοθήκης του Δήμου Ηρακλείου.

 Μινωικά Μαθηματικά

Σύμφωνα με τα όσα είπε ο κ. Τσικριτσής στην εφημερίδα Ελευθεροτυπία, «τα αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο δεκαδικό σύστημα της γραμμικής Α' είναι όμοια με εκείνα της γραμμικής Β':

* Η κάθετη γραμμή Ι για τη μονάδα Ι

* Η οριζόντια γραμμή - για τη δεκάδα -

* Η κουκκίδα ή κύκλος για την εκατοντάδα ο

* Το σύμβολο για τη χιλιάδα .ο+

π.χ. ο αριθμός 1224 γραφόταν ο+ ο ο =Ι Ι Ι Ι

 

Εκτός των ακεραίων αριθμητικών συμβόλων οι Μινωίτες καταγραφείς χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κλασματικών σημείων για τα μέτρα των στερεών και ρευστών προϊόντων.

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα βασικά σύμβολα, όπως συναντώνται στις πινακίδες της γραμμικής Α', που δηλώνουν μεγέθη μέτρησης υγρών και στερεών. Τα περισσότερα έχουν συσχετισθεί, από τον Ε. Bennett και άλλους ερευνητές, με κλασματικά μεγέθη. Στις δύο τελευταίες γραμμές εμφανίζεται ο αντίστοιχος του κλασματικού μεγέθους όγκος σε λίτρα, με αναγωγή στη μονάδα των 144 λίτρων για τα στερεά και των 36 λίτρων για τα υγρά.

Κλασματικά μεγέθη με αναγωγή στη μονάδα μέτρησης

Σύμβολο 7 + > λ >7 < <7 span="span">

Κλάσμα 1/8 1/5 1/4 1/3 3/8 1/2 5/8 1/6 3/4 5/6

Στερεα 144 18 28,8 36 48 54 72 90 24 108 120

Υγρά 36 4,5 7,2 9 12 13,5 18 25 6 27 30

 Για την πολυπλοκότητα των Μινωικών Ανακτόρων και τη χρήση των μαθηματικών, ο κ. Τσικριτσής, επισημαίνει τα εξής: «Στην αρχιτεκτονική κατασκευή των αυλαίων χώρων των ανακτόρων ο W. Graham προσδιόρισε έναν ιερό πόδα 36 εκατοστών (παρατήρησε στην Κνωσό η κεντρική αυλή να έχει διαστάσεις 180Χ90 πόδια, στα Μάλια και Φαιστό 170Χ80 πόδια ενώ στη Ζάκρο 100Χ60 πόδια). Είναι ενδιαφέρον ότι η υποδιαίρεση του ποδιού σε μονάδες (2, 3, 4, 6, 9, 12 και 18) βοηθούσε πιθανόν στις κλασματικές πράξεις».

 Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων».

Το συγκλονιστικό εύρημα

 Εκτός των παραπάνω καθημερινών τρόπων καταγραφής των μαθηματικών υπολογισμών των αναγκών της μινωικής γραφειοκρατίας, υπάρχει και ένα μοναδικό εύρημα στην Αγ. Τριάδα (έπαυλη πλησίον της Φαιστού).

 Στη βορεινή πλευρά του δωματίου, που είχε τοιχογραφίες με παραστάσεις κρίνων και αγριόγατων που κυνηγούν φασιανούς, μία σκάλα οδηγεί σε ένα διάδρομο με τρεις κολώνες. Ο τοίχος του διαδρόμου είχε επίχρισμα, που είχε 3 εγχάρακτες επιγραφές (graffiti). Οι δύο εγχάρακτες επιγραφές αναφέρουν σε γραμμική Α' τις φράσεις: «αισθάνομαι να με διατρέχει η σκέψη του Διός» και «θεραπεία η σκέψη του Διός».

Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην τρίτη εγχάρακτη επιγραφή, η οποία φέρει με κλασματικά σύμβολα της γραμμικής Α' τους τέσσερις πρώτους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Το κείμενο της εγχάρακτης επιγραφής παρατηρούμε στην παρατιθέμενη εικόνα. Η μεταγραφή των αριθμητικών σημείων του κειμένου και η μετατροπή τους σε σύγχρονη μορφή είναι η εξής:

1 1½ 21/4 3 1/4 1/8 ta 3 1/6

1 3/2 9/4 27/8 στάν 19/6

Στους παραπάνω όρους της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι επιλύεται ένα σύνθετο κλασματικό πρόβλημα: (1+3/2)+(9/4/27/8) = 19/6. Οπου τα αποτελέσματα των πράξεων αποδίδονται (αντί του=) με την λέξη ta= στάν (αναύξητος επικός τύπος αορίστου β' με σημασία στον Ομηρο ζυγίστηκαν).