Θαλής ο Μιλήσιος. Από το εργαστήριο στο σπουδαστήριο.

Θαλής ο Μιλήσιος. Από το εργαστήριο στο σπουδαστήριο.

Howard Eves: «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

Το γεγονός ότι από όλους τους λαούς εκείνης της εποχής οι Έλληνες έκριναν ότι οι γεωμετρικές αλήθειες πρέπει να επαληθεύονται με λογική απόδειξη και όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, ονομάζεται πολλές φορές ελληνικό μυστήριο. Οι μελετητές έχουν προσπαθήσει να ερμηνεύσουν το ελληνικό μυστήριο και παρόλο που καμιά ερμηνεία δεν είναι από μόνη της ικανοποιητική...

Γύρω στα 600 π.Χ. η γεωμετρία μπαίνει σε ένα τρίτο στάδιο ανάπτυξης. Οι ιστορικοί των μαθηματικών αποδίδουν αυτή την εξέλιξη στους Έλληνες εκείνης της περιόδου και στις πρώτες πρωτοποριακές προσπάθειες του Θαλή του Μιλήσιου, ενός από τους «εφτά σοφούς» της αρχαιότητας. Φαίνεται πως ο Θαλής σπατάλησε το πρώτο μέρος της ζωής του ως έμπορος κι έγινε αρκετά πλούσιος ώστε να αφιερώσει το μεγαλύτερο μέρος της υπόλοιπης ζωής του σε μελέτες και μερικά ταξίδια. Επισκέφτηκε την Αίγυπτο κι έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις για τα επιτεύγματα των Αιγυπτίων στη γεωμετρία. Η πολύπλευρη μεγαλοφυία του του έδωσε τη φήμη του πολιτικού, του συμβούλου, του μηχανικού, του επιχειρηματία, του φιλόσοφου, του μαθηματικού και του αστρονόμου. Είναι ο πρώτος άνθρωπος που έγινε γνωστός με το όνομα του στην ιστορία των μαθηματικών και ο πρώτος με τον οποίο συνδέονται παραγωγικές γεωμετρικές ανακαλύψεις. Σ' αυτόν αποδίδονται τα παρακάτω στοιχειώδη αποτελέσματα:

1. Ο κύκλος διχοτομείται από κάθε διάμετρο του.

2. Οι γωνίες που βρίσκονται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

3. Οι κατακόρυφη γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι ίσες.

4. Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δυο πλευρές ίσες και τις προ σκείμενες γωνίες ίσες μια προς μια.

5. Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Και τα πέντε αυτά αποτελέσματα ήταν χωρίς αμφιβολία γνωστά πολύ πριν τον Θαλή και είναι εύκολο να καταλήξουμε και στα πέντε με εργαστηριακές μεθόδους. Η αξία συνεπώς αυτών των αποτελεσμάτων δεν πρέπει να αναζητηθεί μόνο στο περιεχόμενο τους αλλά κυρίως στο γεγονός ότι ο Θαλής τα υποστήριξε με λογικό συλλογισμό και όχι με τη διαίσθηση και με το πείραμα. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το τρίτο αποτέλεσμα που το εργαστήριο θα μπορούσε να επαληθευτεί εύκολα αν κόβαμε με ψαλίδι ένα ζεύγος κατακόρυφη γωνιών κι εφαρμόζαμε τη μία πάνω στην άλλη. Ο Θαλής όμως, πιθανόν σκέφτηκε αυτό το αποτέλεσμα σχεδόν όπως κι εμείς στα πρώτα μαθήματα γεωμετρίας. Στο σχήμα 1 θέλουμε να δείξουμε ότι γωνία x = γωνία y. Η γωνία χ όμως είναι παραπληρωματική της γωνίας z και, το ίδιο, η γωνία y είναι παραπληρωματική της ζ. Και αφού πράγματα ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα, συνεπάγεται ότι γωνία χ = γωνία y. To αποτέλεσμα αυτό προέκυψε από μια μικρή σειρά παραγωγικών συλλογισμών που απορρέουν από ένα πιο βασικό αποτέλεσμα. Αυτός ο τύπος γεωμετρίας είναι γνωστός ως αποδειχτική (ή παραγωγική ή συστηματική) γεωμετρία και αναπτύχθηκε σημαντικά από τους Έλληνες από τα 600 π.Χ. και μετά. Οι αρχαίοι Έλληνες εκείνης της περιόδου μετέφεραν τη διαδικασία απόδειξης όλων των γεωμετρικών όπως και όλων των μαθηματικών αποτελεσμάτων από το εργαστήριο στο σπουδαστήριο. Αυτή η συνειδητή και συστηματική προσπάθεια ήταν ασφαλώς μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών και, αν η παράδοση είναι σωστή, ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν ο πρώτος εμψυχωτής της.

Σχήμα 1

Το γεγονός ότι από όλους τους λαούς εκείνης της εποχής οι Έλληνες έκριναν ότι οι γεωμετρικές αλήθειες πρέπει να επαληθεύονται με λογική απόδειξη και όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, ονομάζεται πολλές φορές ελληνικό μυστήριο. Οι μελετητές έχουν προσπαθήσει να ερμηνεύσουν το ελληνικό μυστήριο και παρόλο που καμιά ερμηνεία δεν είναι από μόνη της ικανοποιητική, όλες μαζί ίσως δίνουν μια αποδεκτή εικόνα. Η πιο κοινή ερμηνεία εντοπίζει την αιτία στην ιδιαίτερη πνευματική κλίση των Ελλήνων της κλασικής περιόδου στις φιλοσοφικές αναζητήσεις. Στη φιλοσοφία ασχολούμαστε με τις αναπόφευκτες συνέπειες γεγονότων που υποθέτουμε πως ισχύουν, ενώ η εμπειρική μέθοδος μας προσφέρει απλά μια μέτρηση πιθανότητας για κάποιο συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Οι φιλόσοφοι θεωρούν τον παραγωγικό συλλογισμό ως το αδιαμφισβήτητο εργαλείο τους και συνεπώς οι Έλληνες, όταν άρχισαν να μελετούν γεωμετρία, έδωσαν φυσιολογικά προτεραιότητα σ' αυτή τη μέθοδο.

Μια άλλη ερμηνεία του ελληνικού μυστηρίου αποδίδεται στην ελληνική αγάπη για το κάλλος, όπως αποκαλύπτεται στην τέχνη τους, στα γραπτά τους, στη γλυπτική και την αρχιτεκτονική τους. Η εκτίμηση του κάλλους είναι μια πνευματική αλλά και συναισθηματική εμπειρία και από αυτή την άποψη η μεθοδικότητα, η συνέπεια, η πληρότητα και η πίστη που διαπιστώνουμε στην παραγωγική σκέψη είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικές.

Μια τρίτη ερμηνεία του ελληνικού μυστηρίου βρίσκεται στη δουλοκτητική φύση της ελληνικής κοινωνίας την κλασική περίοδο. Η προνομιούχος τάξη χρησιμοποιούσε την πολυπληθή τάξη των δούλων για τις εμπορικές συναλλαγές, τη διαχείριση των βιοτεχνιών, τη φροντίδα των νοικοκυριών και για όλες τις τεχνικές και τις ανειδίκευτες εργασίες της εποχής. Αυτή η δουλοχτητική βάση φυσιολογικά ευνοούσε μια διακριτή της θεωρίας από την πράξη και οδηγούσε τα μέλη της προνομιούχου τάξης στην προτίμηση του παραγωγικού συλλογισμού και της αφαίρεσης και στην περιφρόνηση των πειραματισμών και των πρακτικών εφαρμογών.

Τέλος, η ερμηνεία ίσως να βρίσκεται κυρίως στη ριζοσπαστική οικονομία και στις πολιτικές αλλαγές που συνέβαιναν εκείνη την εποχή. Η Εποχή του Σιδήρου είχε ήδη εγκαινιαστεί, το αλφάβητο είχε επινοηθεί, τα νομίσματα είχαν κυκλοφορήσει και κάποιες γεωγραφικές ανακαλύψεις είχαν ήδη γίνει. Ο κόσμος ήταν έτοιμος για έναν πολιτισμό νέου τύπου κι αυτός ο νέος πολιτισμός έκανε την εμφάνιση του ανάμεσα στους πιο πρωτοποριακούς και δημιουργικούς λαούς στις εμπορικές πόλεις που ξεπηδούσαν στα παράλια της Μικράς Ασίας και αργότερα στην ηπειρωτική Ελλάδα, τη Σικελία και στις Ιταλικές ακτές. Αυτές οι εμπορικές πόλεις ήταν κυρίως ελληνικές αποικίες. Μέσα σ' ένα αναπτυσσόμενο κλίμα ορθολογισμού οι άνθρωποι άρχισαν να ρωτούν γιατί και πώς. Οι εμπειρικές μέθοδοι όμως, αν και είναι αρκετά επαρκείς για την απάντηση στο πως, δεν επαρκούν να απαντήσουν στο γιατί. Γι' αυτό έκαναν προσπάθειες να απαντήσουν στο γιατί με αποδεικτικές μεθόδους, με αποτέλεσμα το παραγωγικό στοιχείο, που οι σύγχρονοι μελετητές θεωρούν θεμελιακό χαρακτηριστικό των μαθηματικών, να αποκτήσει μεγάλη σπουδαιότητα.

Αλλά οποιαδήποτε κι αν είναι η πραγματική ερμηνεία του ελληνικού μυστηρίου, πρέπει να παραδεχτούμε πως οι Έλληνες της κλασικής εποχής μετέτρεψαν τη γεωμετρία σε κάτι εντελώς διαφορετικό από τη συλλογή εμπειρικών κανόνων που κληρονόμησαν από τους προγενεστέρους των. Επιπλέον το γεγονός ότι ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός έγινε στο πεδίο της γεωμετρίας και όχι της άλγεβρας, εγκαινίασε μια παράδοση στα μαθηματικά που διατηρήθηκε μέχρι τα πολύ πρόσφατα χρόνια.

Θα είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι οι Έλληνες απόφευγαν τις στοιχειώδεις εμπειρικές και πειραματικές μεθόδους στα μαθηματικά, γιατί είναι μάλλον σίγουρο ότι πολύ λίγα σημαντικά μαθηματικά αποτελέσματα, αν υπάρχει κανένα, έχουν εξαχθεί χωρίς να έχει προηγηθεί κάποια εμπειρική εργασία της μιας ή της άλλης μορφής. Προτού μπορέσουμε να αποδείξουμε την αλήθεια ή μη μιας μαθηματικής πρότασης με παραγωγικό συλλογισμό, πρέπει πρώτα να την εικάσουμε και η εικασία αυτή δεν είναι τίποτ' άλλο από μια πρόβλεψη, που έγινε πιστευτή σε κάποιο βαθμό από διαίσθηση, παρατήρηση, αναλογία, πειραματισμό ή κάποια άλλη μορφή εμπειρικής διαδικασίας. Η παραγωγική μέθοδος είναι ένας πειστικός και τυπικός τρόπος παρουσίασης, αλλά σπάνια προσφέρεται ως μέσο για ανακαλύψεις. Είναι ένα σύνολο πολύπλοκων τεχνικών, που χρειάζεται υλικό πάνω στο οποίο να εφαρμοστεί, και το υλικό αυτό συνήθως προσφέρεται από εμπειρικές διαδικασίες. Ακόμα και τα βήματα μιας παραγωγικής απόδειξης δεν υπαγορεύονται από τις ίδιες τις παραγωγικές τεχνικές, αλλά αναδεικνύονται μέσα από δοκιμές και λάθη, από εμπειρίες και διορατικές προβλέψεις. Πράγματι, η ικανότητα στην τέχνη της καλής πρόβλεψης είναι ένα από τα κύρια στοιχεία που απαιτούνται για τη δημιουργία ενός αξιόλογου μαθηματικού. Αυτό που είναι σημαντικό στην περίπτωση μας είναι το γεγονός ότι οι Έλληνες επέμεναν πως μια μαθηματική πρόταση που προέκυψε από πρόβλεψη ή από πείραμα πρέπει να συνοδεύεται από μια αυστηρή απόδειξη και πως, όσες εγγυήσεις κι αν προσφέρει το πείραμα, δεν είναι αρκετές για την αποδοχή της πρότασης.

Για να πετύχει κανείς στη γεωμετρία, είτε ως δημιουργός είτε απλά στη λύση προβλημάτων, πρέπει να είναι πρόθυμος να πειραματίζεται, να σχεδιάζει και να δοκιμάζει αμέτρητα σχήματα, να προσπαθεί και τούτο, να προσπαθεί και τ' άλλο. Ο Γαλιλαίος (1564-1642) προσπάθησε στα 1599 να υπολογίσει το εμβαδόν της κυκλοειδούς καμπύλης (Κυκλοειδής καμπύλη είναι η καμπύλη που δημιουργεί ένα σταθερό σημείο της περιφέρειας ενός κύκλου, ο οποίος κυλάει χωρίς να γλιστράει πάνω σε μια ευθεία γραμμή) κάτω από μια αψίδα, τοποθετώντας στο ένα μέρος μιας ζυγαριάς ένα κυκλοειδές πρότυπο και στο άλλο κυκλικά πρότυπα που είχαν το μέγεθος του κύκλου που δημιουργούσε την κυκλοειδή καμπύλη. .Εξαιτίας μιας μικρής ατέλειας της ζυγαριάς, κατέληξε στο λαθεμένο συμπέρασμα ότι το εμβαδόν κάτω από ένα πλήρες τόξο της είναι περίπου, αλλά όχι ακριβώς, ίσο με το τριπλάσιο του εμβαδού του κύκλου. Η πρώτη μαθηματική απόδειξη που δημοσιεύτηκε και που έδειχνε ότι το εμβαδόν είναι ακριβώς τριπλάσιο του εμβαδού του κύκλου εμφανίστηκε στα 1644 από τον μαθητή του Εβαγκελίστα"Τορικέλλι (Evangelista Torricelli, 1608-1647) με χρήση των πρώτων μεθόδων ολοκλήρωσης.

Ο Μπλαίζ Πασκάλ (Blaise Pascal, 1623-1662), όταν ήταν νεαρός, με ένα απλό πείραμα κατά το οποίο δίπλωνε ένα χάρτινο τρίγωνο, «ανακάλυψε» ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μια πεπλατυσμένη γωνία.

Ο Αρχιμήδης (287;-212 π.Χ.) στην πραγματεία του Έφοδος περιέγραψε τον τρόπο με τον οποίο συνειδητοποίησε αρχικά, με μηχανικούς στοχασμούς, ότι ο όγκος σφαίρας δίνεται από τον τύπο : όπου r η ακτίνα της σφαίρας.Αλλά η μαθηματική συνείδηση του Αρχιμήδη δεν του επέτρεπε να δεχτεί ως απόδειξη αυτή τη μηχανική διαδικασία κι έτσι έδωσε και μια αυστηρή απόδειξη.

Αν κατασκευάζαμε έναν ορθό κυκλικό κώνο, τον γεμίζαμε τρεις φορές με άμμο και αδειάζαμε το περιεχόμενο του σε έναν ορθό κυκλικό κύλινδρο με την ίδια ακτίνα και το ίδιο ύψος, θα συμπεραίναμε ότι ο όγκος του ορθού κυκλικού κώνου είναι το ένα τρίτο του γινομένου του ύψους επί το εμβαδόν της κυκλικής του βάσης.

Πολλές αρχικές προβλέψεις που αφορούν προβλήματα μεγίστων και ελαχίστων στο λογισμό των μεταβολών προέκυψαν με χρήση πειραμάτων με σαπουνόφουσκες.

Δεν είναι σωστό να αποδοκιμάζουμε πειράματα και προσεγγίσεις αυτού του είδους, γιατί είναι γνωστό ότι πολλές γεωμετρικές προτάσεις έχουν «ανακαλυφθεί» με τέτοιον τρόπο. Ασφαλώς όταν διατυπωθεί μια γεωμετρική εικασία, τότε πρέπει, όπως έκανε ο Αρχιμήδης, να την αποδεικνύουμε ή να την αντικρούουμε με παραγωγικό συλλογισμό κι έτσι με τον ένα ή τον άλλο τρόπο να απαντούμε οριστικά σ' αυτή. Πολλές γεωμετρικές εικασίες έχουν απορριφθεί απλά με την προσεχτική σχεδίαση ενός σχήματος ή με την εξέταση μιας ακραίας περίπτωσης.

Ένας πολύ αποδοτικός τρόπος για να κάνουμε γεωμετρικές εικασίες είναι να χρησιμοποιούμε την αναλογία, αν και πρέπει να ομολογήσουμε ότι πολλές τέτοιες εικασίες έχουν τελικά διαψευστεί. Πάρα πολλές προτάσεις της στερεομετρίας έχουν ανακαλυφθεί με αναλογία από όμοιες καταστάσεις στο επίπεδο, και επίσης στη γεωμετρία χώρων περισσότερων διαστάσεων η αναλογία έχει παίξει πολύ σημαντικό ρόλο.

Υπάρχει μια παιδαγωγική αρχή που στηρίζεται στο γνωστό νόμο τον οποίο οι βιολόγοι διατυπώνουν απλά ως εξής: «Η οντογένεση συγκεφαλαιώνει τη φυλογένεση». Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι γενικά «το άτομο επαναλαμβάνει την ανάπτυξη της ομάδας». Η παιδαγωγική αυτή αρχή λέει ότι, σε γενικές γραμμές τουλάχιστον, ο μαθητής πρέπει να διδάσκεται ένα θέμα, με τη σειρά με την οποία το θέμα αυτό αναπτύχθηκε στο πέρασμα του χρόνου. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη γεωμετρία. Έχουμε δει ότι ιστορικά η γεωμετρία εξελίχθηκε μέσα από τρία στάδια — την υποσυνείδητη γεωμετρία, μετά την επιστημονική και τέλος την αποδεικτική γεωμετρία. Η παιδαγωγική αρχή σ' αυτή την περίπτωση υποστηρίζει ότι η γεωμετρία πρέπει να παρουσιάζεται στα παιδιά αρχικά με την υποσυνείδητη μορφή της, πιθανόν μέσα από απλές χειροτεχνίες και παρατηρήσεις της φύσης. Μ' αυτό τον τρόπο οι νεαροί μαθητές θα γνωρίσουν υποσυνείδητα ένα μεγάλο αριθμό γεωμετρικών εννοιών όπως την απόσταση, τη γωνία, το τρίγωνο, το τετράπλευρο, την κάθετο, την κατακόρυφο, την παράλληλο, την ευθεία γραμμή, τον κύκλο, την έλικα, τη σφαίρα, τον κύλινδρο, τον κώνο και άλλες. Λίγο αργότερα, αυτή η υποσυνείδητη βάση πρέπει να εξελιχθεί σε επιστημονική γεωμετρία, όπου οι μαθητές θα συμπεραίνουν ένα μεγάλο αριθμό γεωμετρικών προτάσεων μέσα από πειράματα με διαβήτη και κανόνα, χάρακα και μοιρογνωμόνιο, ψαλίδια και κόλλες, απλά μοντέλα και άλλα. Ακόμα αργότερα, όταν οι μαθητές θα έχουν προχωρήσει αρκετά, η γεωμετρία μπορεί να παρουσιάζεται με την αποδεικτική ή παραγωγική μορφή της και έτσι να αναδεικνύονται τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των προηγούμενων σταδίων.

Το πιο αδύνατο σημείο αυτού του προγράμματος γεωμετρικών μαθημάτων σήμερα στα σχολεία μας, φαίνεται να βρίσκεται στο δεύτερο ή επιστημονικό στάδιο της γεωμετρίας. Δε δίνεται αρκετός χρόνος γι' αυτό το στάδιο. Είναι πολλά αυτά που λέγονται για την εμπειρική ή πειραματική. γεωμετρία. Ο χρόνος που αφιερώνεται σ' αυτή εδραιώνει στην αντίληψη των μαθητών πολλές γεωμετρικές έννοιες. Τους αποκαλύπτει τη σπουδαιότητα και τη βασική αναγκαιότητα των στοιχειωδών επαγωγικών διαδικασιών στα μαθηματικά και ταυτόχρονα τους δείχνει τις ατέλειες από την έλλειψη αυστηρών αποδείξεων. Αυτό που χρειάζονται οι καθηγητές για να επεκτείνουν το στάδιο της γεωμετρικής μάθησης και να το κάνουν πιο εποικοδομητικό είναι μια καλή συλλογή απλών αλλά σημαντικών γεωμετρικών πειραμάτων με φτηνά και εύκολα στην κατασκευή αντικείμενα. Η συγκέντρωση σ' ένα τετράδιο τέτοιων πειραμάτων συνιστάται ιδιαίτερα σε όσους ενδιαφέρονται για παρόμοιες προσπάθειες.

Ασκήσεις

3.1 Ο Ινδός μαθηματικός Αριαμπάτα ο Πρώτος έγραφε στις αρχές του 6ου αιώνα το έργο του — ένα ποίημα με 33 δίστιχα που ονομάστηκε Γκανίτα. Δίνουμε πιο κάτω τη μετάφραση 8ύο δίστιχων:

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το γινόμενο του ύφους επί το μισό της βάσης' το μισό του γινομένου αυτού του εμβαδού επί το ύφος μας δίνει τον όγκο του στερεού που έχει έξι ακμές.

Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι το γινόμενο της μισής περιφέρειας επί τη μισή διάμετρο' το γινόμενο αυτού του εμβαδού επί την τετραγωνική του ρίζα δίνει τον όγκο της σφαίρας.

Αποδείξτε ότι τα δίστιχα αυτά του Αριαμπότα είναι σωστά για τις δύο αλλά λαθεμένα για τις τρεις διαστάσεις. Σημειώνουμε ότι τα ινδικά μαθηματικά παρέμειναν εμπειρικά για πολύ καιρό από τότε που οι Έληγες εισήγαγαν τον παραγωγικό συλλογισμό.

3.2 Υπάρχουν δύο εκδοχές για τον τρόπο με τον οποίο ο Θαλής προκάλεσε το θαυμασμό, όταν ήταν στην Αίγυπτο, υπολογίζοντας το ύφος μιας πυραμίδας από τη σκιά της. Η χρονικά πρώτη, που διατυπώθηκε από τον Ιερώνυμο, ένα μαθητή του Αριστοτέλη, λέει ότι ο Θαλής προσδιόρισε το ύφος της πυραμίδας μετρώντας τη σκιά που δημιουργούσε, τη στιγμή που η σκιά ενός ανθρώπου ήταν ίση με το ύφος του. Η δεύτερη εκδοχή, που διατυπώθηκε από τον Πλούταρχο, λέει ότι ο Θαλής έστησε ένα κοντάρι και στη συνέχεια έκανε χρήση όμοιων τριγώνων. Και οι δύο εκδοχές όμως δεν αναφέρουν τίποτα για την πραγματικά μεγάλη δυσκολία να μετρηθεί το μήκοςτης σκιάς της πυραμίδας — δηλαδή η απόσταση από τη σκιά της κορυφής της πυραμίδας μέχρι το κέντρο της βάσης της.

Η μεγάλη αυτή δυσκολία έχει θέσει το πιο πάνω πρόβλημα που έχει γίνει γνωστό ως γρίφος του Θαλή: Να προσδιοριστεί μια μέθοδος που να στηρίζεται σε παρατηρήσεις πάνω στις σκιές και σε όμοια τρίγωνα και να είναι ανεξάρτητη από το γεωγραφικό πλάτος και από τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή μέσα στη μέρα ή στο χρόνο, και με τη μέθοδο αυτή να υπολογίζουμε το ύφος μιας πυραμίδας. (Υπάρχει μια έξυπνη λύση που χρησιμοποιεί δυο παρατηρήσεις της σκιάς που απέχουν μεταξύ τους χρονικά λίγες ώρες).

3.3 Κάποιος προτείνει να τριχοτομήσουμε μια επίκεντρη γωνία ΑΟΒ τριχοτομώντας τη χορδή ΑΒ και συνδέοντας τα σημεία τομής με το 0. Ενώ αυτή η κατασκευή μπορεί να φαίνεται λογική για μικρές γωνίες, αποδείξτε ότι για μια γωνία περίπου ίση με 180 η κατασκευή είναι εμφανώς λαθεμένη.

3.4 Υπάρχουν κυρτά πολύεδρα που όλες οι έδρες τους είναι τρίγωνα (για παράδειγμα, το τετράεδρο) ή τετράπλευρα (για παράδειγμα, ο κύβος) ή πεντάγωνα (για παράδειγμα, το κανονικό δωδεκάεδρο). Πιστεύεται ότι ο κατάλογος αυτός μπορεί να συνεχιστεί;

3.5 Διατυπώστε θεωρήματα για το χώρο των τριών διαστάσεων που να είναι ανάλογα των παρακάτω θεωρημάτων του επιπέδου, (α) Οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου τέμνονται στο κέντρο του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, (β) Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου η βάση έχει μήκος ίσο με την περιφέρεια του κύκλου και του ύψος είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου, (γ) Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο το υφός τέμνει τη βάση του τριγώνου στο μέσον της.

Λύσεις

3.2 Τοποθετείστε κατακόρυφα ένα κοντάρι μήκους Κ κοντά στην πυραμίδα. Έστω Κ1, Π1 και Κ2, Π2 τα σημεία που βρίσκο­νται οι σκιές της κορυφής του κονταριού και της κορυφής της πυραμίδας σε δύο διαφορετικές στιγμές της ημέρας. Τότε, αν Χ είναι το ζητούμενο ύφος της πυραμίδας Χ = Κ·(Π1Π2)/(Κ1Κ2)

3.4 Ο κατάλογος δεν μπορεί να συνεχιστεί. Δεν υπάρχει κυρτό πολύεδρο που να έχει όλες τις έδρες του εξάγωνα. Μάλιστα, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε κυρτό πολύεδρο πρέπει να έχει κάποια έδρα με λιγότερες από έξι πλευρές.

Σχετική Βιβλιογραφία

1. Van Der Waerden B.L., Science Awakening, μετάφρ. Arnold Dresden. New York: Oxford University Press, 1961, New York: John Wiley, 1963 (paperback ed.).