Παρασκευή, 22 Μαΐου 2015

Κόσκινο του Ερατοσθένους

Ο Ερατοσθένης μνημονεύεται στην αριθμητική για την μέθοδο γνωστή σαν κόσκινο  με την οποία βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από κάποιον αριθμό ν.
 
Α’ τρόπος: Γράφουμε στη σειρά ξεκινώντας από το 3 όλους τους περιττούς αριθμούς τους μικρότερους του ν. Οι σύνθετοι αριθμοί απορρίπτονται διαγράφοντας από το 3 κάθε τρίτο αριθμό, μετά από τον επόμενο αριθμό που έμεινε, από το 5 κάθε πέμπτο μετά από τον επόμενο αριθμό το 7 κάθε έβδομο αριθμό μετά από το επόμενο αριθμό που έμεινε, το 11 και κάθε ενδέκατο κ.ο.κ όλοι οι αριθμοί που έμειναν μετά το τέλος αυτής της διαδικασίας μαζί με το 2 είναι οι πρώτοιοι μικρότεροι του ν.
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
24
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
 
 
 
 
 
 
 
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
24
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
 
 
 
 
 
 
 
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
24
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
 
 
 
 
 
 
 
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
24
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
 
 
 
 
 
 
 
 
Οι εναπομείναντες αριθμοί   3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 μαζί με το 2 είναι οι πρώτοι οι μικρότεροι του 50.

Πέμπτη, 14 Μαΐου 2015

Η τεχνοφιλία των αρχαίων Ελλήνων


Το Ευπαλίνειον όρυγμα



Τα Μαθηματικά υδρεύουν τη Σάμο 

ΑΝΑΣΤΗΛΩΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΤΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΤΟΥ ΚΥΡΗΝΑΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΑΣΥΜΜΕΤΡΟ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ


 Η διαπίστωση ότι υπάρχουν ασύμμετρα μήκη ως προς τη μονάδα του μήκους έγινε από τη Σχολή του Πυθαγόρα τον 5ο π.Χ. αιώνα. Δεν γνωρίζομε πώς ανακάλυψαν το σπουδαιότατο αυτό εύρημα το οποίον αναφέρεται ως προς την διαγώνιο και την πλευρά ενός τετραγώνου, που έχουν λόγο ρίζα 2 . Από τότε όμως η φήμη της Σχολής εσημείωσε παρακμή επειδή επρέσβευε ότι οι ακέραιοι αριθμοί (και οι ρητοί) έχουν κοσμογονική δύναμη τόσο στα φαινόμενα της Φύσης όσο και στα γεγονότα της ανθρώπινης κοινωνίας. Η ανακάλυψη του ασύμμετρου (λέμε και αρρήτου) της 2 επεκτάθηκε και στην απόδειξη του αρρήτου και άλλων τετρ. ριζών μη τετραγώνων φυσικών αριθμών και η σχετική διδασκαλία γινόταν από τον γεωμέτρη Θεόδωρο τον Κυρηναίο περί τα τέλη του 5ου αιών. στην Αθήνα...

Δευτέρα, 12 Μαΐου 2014

Η Μάχη Της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας Με Το Άπειρο

Από την πολύ μακρινή αρχαιότητα, όλοι οι παλαιοί πολιτισμοί είχαν συγκεντρώσει ένα πλήθος εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων. Οι γνώσεις αυτές ήταν προϊόν των προβλημάτων της ζωής και της παραγωγής τους. Με τους αιώνες οι γνώσεις αυτές αυξάνονταν και σωρεύονταν για να καλύπτουν τις Λογιστικές, Ναυπηγικές και Αρχιτεκτονικές τους ανάγκες.
Κατά τη συγκέντρωση αυτών των εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων κάποια στιγμή διαπιστώθηκε ότι κάποιες από τις γνώσεις αυτές αλληλοσυγκρούονταν δηλαδή μερικές από αυτές αναιρούσαν κάποιες άλλες. Τότε ασφαλώς θα γεννήθηκε το θέμα ποιες από τις γνώσεις αυτές ήταν αληθείς και ποιες όχι.
Το φαινόμενο αυτό φυσικό είναι να παρουσιάστηκε στον πολιτισμό εκείνο που παρουσίασε τη μεγαλύτερη συσσώρευση μαθηματικών γνώσεων. Πρώτος αυτός θα πρέπει να ένιωσε την ανάγκη να επινοήσει μια διαδικασία με την οποία να επιβεβαιώνει ή να απορρίπτει τις προϋπάρχουσες εμπειρικές μαθηματικές γνώσεις.
Σήμερα δεν μπορούμε να ξέρουμε πόσο χρόνο πήρε η επινόηση αυτής της διαδικασίας επαλήθευσης, μπορούμε όμως να γνωρίζουμε ότι η διαδικασία αυτή, με το όνομα ΑΠΟΔΕΙΞΗ, εμφανίστηκε από τον ελληνικό πολιτισμό τον 7-6 αι. π.Χ.(1)
Η απόδειξη μιας μαθηματικής πρότασης, όπως την ξέρουμε σήμερα, είναι μια διαδικασία η οποία στηριγμένη σε κάποιες αρχές της Λογικής, σε κάποιες προϋπάρχουσες αληθινές προτάσεις και κάποια αξιώματα και ορισμούς, οδηγεί στην επιβεβαίωση της πρότασης με την οποία ασχολείται. Η απόδειξη δεν ανακαλύπτει μαθηματικές αλήθειες, απλά επιβεβαιώνει ή απορρίπτει τον ισχυρισμό μιας πρότασης.
Μετά την εισαγωγή της απόδειξης οι μαθηματικές γνώσεις που υπήρχαν άρχισαν να οργανώνο­νται και να παίρνουν τη μορφή επιστήμης. Οι θεμελιωτές της επιστήμης αυτής και ειδικότερα της Γεωμετρίας που προηγήθηκε, έπρεπε να ορίσουν τις έννοιες του κάθε κλάδου και ακόμη να δεχτούν κά­ποιες αρχικές προτάσεις σαν αληθινές. Οι προτάσεις αυτές θα έπρεπε να είναι φανερά αληθινές, αυτονόητες, κοινά αποδεκτές ώστε να μπορέσουν να αποτελέσουν το θεμέλιο της επιστήμης να είναι τόσο αληθινές όσο, παραδείγματος χάριν, ότι ο Ήλιος είναι θερμός...