Δευτέρα, 12 Μαΐου 2014

Η Μάχη Της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας Με Το Άπειρο

Από την πολύ μακρινή αρχαιότητα, όλοι οι παλαιοί πολιτισμοί είχαν συγκεντρώσει ένα πλήθος εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων. Οι γνώσεις αυτές ήταν προϊόν των προβλημάτων της ζωής και της παραγωγής τους. Με τους αιώνες οι γνώσεις αυτές αυξάνονταν και σωρεύονταν για να καλύπτουν τις Λογιστικές, Ναυπηγικές και Αρχιτεκτονικές τους ανάγκες.
Κατά τη συγκέντρωση αυτών των εμπειρικών μαθηματικών γνώσεων κάποια στιγμή διαπιστώθηκε ότι κάποιες από τις γνώσεις αυτές αλληλοσυγκρούονταν δηλαδή μερικές από αυτές αναιρούσαν κάποιες άλλες. Τότε ασφαλώς θα γεννήθηκε το θέμα ποιες από τις γνώσεις αυτές ήταν αληθείς και ποιες όχι.
Το φαινόμενο αυτό φυσικό είναι να παρουσιάστηκε στον πολιτισμό εκείνο που παρουσίασε τη μεγαλύτερη συσσώρευση μαθηματικών γνώσεων. Πρώτος αυτός θα πρέπει να ένιωσε την ανάγκη να επινοήσει μια διαδικασία με την οποία να επιβεβαιώνει ή να απορρίπτει τις προϋπάρχουσες εμπειρικές μαθηματικές γνώσεις.
Σήμερα δεν μπορούμε να ξέρουμε πόσο χρόνο πήρε η επινόηση αυτής της διαδικασίας επαλήθευσης, μπορούμε όμως να γνωρίζουμε ότι η διαδικασία αυτή, με το όνομα ΑΠΟΔΕΙΞΗ, εμφανίστηκε από τον ελληνικό πολιτισμό τον 7-6 αι. π.Χ.(1)
Η απόδειξη μιας μαθηματικής πρότασης, όπως την ξέρουμε σήμερα, είναι μια διαδικασία η οποία στηριγμένη σε κάποιες αρχές της Λογικής, σε κάποιες προϋπάρχουσες αληθινές προτάσεις και κάποια αξιώματα και ορισμούς, οδηγεί στην επιβεβαίωση της πρότασης με την οποία ασχολείται. Η απόδειξη δεν ανακαλύπτει μαθηματικές αλήθειες, απλά επιβεβαιώνει ή απορρίπτει τον ισχυρισμό μιας πρότασης.
Μετά την εισαγωγή της απόδειξης οι μαθηματικές γνώσεις που υπήρχαν άρχισαν να οργανώνο­νται και να παίρνουν τη μορφή επιστήμης. Οι θεμελιωτές της επιστήμης αυτής και ειδικότερα της Γεωμετρίας που προηγήθηκε, έπρεπε να ορίσουν τις έννοιες του κάθε κλάδου και ακόμη να δεχτούν κά­ποιες αρχικές προτάσεις σαν αληθινές. Οι προτάσεις αυτές θα έπρεπε να είναι φανερά αληθινές, αυτονόητες, κοινά αποδεκτές ώστε να μπορέσουν να αποτελέσουν το θεμέλιο της επιστήμης να είναι τόσο αληθινές όσο, παραδείγματος χάριν, ότι ο Ήλιος είναι θερμός...

Τετάρτη, 7 Μαΐου 2014

Ἀρχιμήδης: Πρόβλημα βοεικόν


Είναι στιχούργημα εκ 44 στίχων, όπερ έχει τον τίτλον «Πρόβλημα, ὅπερ Ἀρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρων τοῖς ἐν Ἀλεξανδρειαι περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῆς πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῆς.» (Πρόβλημα όπερ εύρεν ο Αρχιμήδης και εις επιγραμματικούς στίχους το απέστειλε προς λύσιν εις εκείνους οίτινες εν Αλεξάνδρεια ησχολούντο εις τα προβλήματα του είδους τούτου, δι' επιστολής ην απέστειλεν εις τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίον). Ζητείται δε δια τούτου ο υπολογισμός του αριθμού των βοών του Ηλίου οίτινες έβοσκον, καθώς αναφέρει ο Όμηρος, εις την νήσον Θρινακίαν. Εγεννήθη το πρόβλημα αν και οι στίχοι προέρχωνται εκ της γραφίδας του Αρχιμήδους. Οι περισσότεροι των φιλολόγων δέχονται ότι μόνον αι μαθηματικαί προτάσεις είναι του Αρχιμήδους, η δε σύνθεσις των στίχων ανήκει εις άλλον.
Το πλήθος των βοών του Ήλιου υποτίθεται διηρημένον εις αγέλας ταύρων και αγελάδων διακρινομένων κατά τεσσάρας χρωματισμούς. Ο εις χρωματισμός είναι λευκός, ο άλλος κυανούς, ο τρίτος ξανθός και ο τέταρτος ανάμικτος. Όταν λέγουν οι αρχαίοι κυανούς εννοούν χρώμα πλησιάζον προς το μαύρον. Το κείμενον το εξέδωκε δια πρώτην φοράν ο Λέσσιγκ κατά το 1773 εκ χειρογράφου ευρισκομένου αν Γερμανία. Μέτρησον, ω ξένε, το πλήθος των βοών του Ηλίου, αφού καταβάλης προσεκτικήν σκέψιν, εάν είσαι μέτοχος σοφίας, πόσον λοιπόν εις τάς πεδιάδας της σικελικής νήσου θρινακίας έβοσκε, διηρημένον εις τέσσαρας αγέλας, εκάστη των όποιων είχε διαφορετικόν χρώμα. Η μία μεν αγέλη έλαμπεν έχουσα λευκόν ωσάν γάλα χρώμα, η δε άλλη έχουσα χρώμα κυανούν, η τρίτη είχε χρώμα ξανθόν, η δε άλλη χρώμα ανάμικτον. Εις εκάστην αγέλην υπήρχον ταύροι ανερχόμενοι εις αριθμόν πολύ μεγάλον, διαμοιρασμένοι κατά την ακόλουθον συμμετρίαν. Φαντάσου, ω ξένε, ότι οι λευκότριχες ταύροι ήσαν ίσοι κατά τον αριθμόν με το ήμισυ των κυανών ταύρων ηυξημένον κατά το τρίτον και συγχρόνως με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Οι κυανοί αφ' έτερου ήσαν κατά τον αριθμόν ίσοι με το τέταρτον και πέμπτον μέρος των αναμίκτου χρώματος και επί πλέον με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Τους δε υπολειπρμένους ανάμικτου χρώματος ταύρους φαντάζου ως εξισουμένους  κατά τον αριθμόν με το έκτον και έβδομον μέρος των λευκών και με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Ως  προς  πάς  αγελάδας δε υπήρχον αι ακόλουθοι σχέσεις. Αι λευκαί  αγελάδες ήσαν  κατά τον αριθμόν ακριβώς ίσαι με το τρίτον και το τέταρτον μέρος όλης της κυανής αγέλης Αι δε κυαναί ήσαν ίσαι κατά τον αριθμόν με το τέταρτον και πέμπτον μαζί μέρος των εχουσών ανάμικτον χρωματισμόν, όταν ήρχοντο  όλαι μαζί  με τους  ταύρους  εις την  βοσκήν. Αι αναμίκτου δε χρωματισμού αγελάδες είχον αριθμόν ισάριθμον και οπό τα τέσσαρα  μέρη, με το πέμπτον και  έκτον μέρος της αγέλης των ξανθοτρίχων. Αι δε ξανθαί κατά την αρίθμησιν ευρίσκοντο ίσαι με το ήμισυ του τρίτου μέρους ηυξημένου κατά το έβδομον μέρος της αγέλης των λευκών. Συ δε, ω ξένε, αν μου είπης με ακρίβειαν πόσοι ήσαν οι βόες του Ηλίου, χωριστά πόσοι ήσαν κατά τον αριθμόν οι καλοθρεμμένοι ταύροι, χωριστά δε πάλιν πόσαι ήσαν αι αγελάδες εκάστου χρώματος, δεν θα χαρακτηρίζεσαι ως ανίδεος και  ως μη έχων  γνώσιν  των  αριθμών. Αλλά δεν θα είναι δυνατόν να  συγκαταριθμηθής ακόμη με τους σοφούς. Έλα λοιπόν σκέψου και τάς  ακολούθους μεταξύ των βοών του  Ηλίου (αριθμητικάς)  σχέσεις. Όταν οι λευκότριχες ταύροι ανεμίγνυον το πλήθος των με το πλήθος των κυανών, ίσταντο εις ένα συμπαγή σχηματισμόν, όστις είχε το αυτό  μέτρον και κατά τα βάθος και  κατά το πλάτος, αι  δε πεδιάδες αι απέραντοι της Θρινακίας εγέμιζαν εξ ολοκλήρου οπό το τετράγωνον αυτό. Από το άλλο δε μέρος οι ξανθοί  και οι ανάμικτου χρώματος συναθροιζόμενοι μαζί, εστέκοντο τοιουτοτρόπως, ώστε να αποτελούν, αποτελούμενης της πρώτης γραμμής οπό ένα, βαθμηδόν το τρίπλευρον σχήμα, χωρίς να είναι παρόντες και χωρίς να είναι απόντες οι ταύροι των άλλων χρωματισμών. Αν αυτά τα εύρης και τα συμπεριλάβης μέσα εις την σκέψιν σου, και έκφρασης όλα τα μέτρα των πληθών, ω ξένε, άπελθε υπερηφανευόμενος ότι ανεδείχθης νικητής και να γνωρίζης ότι έχεις κριθή τέλειος εις αυτήν την σοφίαν.

Η Βυζαντινή Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Μαρία Δ. Χάλκου
Διδάκτωρ Μαθηματικών  τού Πανεπιστημίου Αθηνών (Ε.Κ.Π.Α).

Σαν σημείο αναφοράς αυτής της έρευνας έχω θεωρήσει τον Βιενναίο Ελληνικό Φιλολoγικό κώδικα 65 του 15ου αι. (φ. 11r-126r), του οποίου ο συγγραφέας είναι ανώνυμος. Οι Η. Ηunger και K. Vogel, οι οποίοι εξέδωσαν το 1963 τα φ. 126v-140r του ιδίου κώδικα, θεωρούν πιθανή χρονολογία συγγραφής του το διάστημα 1430-1453 μ.Χ. Η χρονολόγησή τους αυτή είναι συμβιβαστή με μία ακριβή χρονολογική αναφορά η οποία περιέχεται σε πρόβλημα υπολογισμού των ημερών από τη γέννηση του Χριστού έως "σήμερα" (κεφ. 12, [φ. 16r], 109 Χάλκου), όπου "ευρισκόμαστε" κατά τον συγγραφέα στο έτος 1436 μ.Χ. Επομένως θεωρείται πιθανόν τα φύλλα 11r-126r του χειρογράφου που απετέλεσαν το αντικείμενο της μελέτης μου να γράφηκαν το 1436 μ. Χ.

Το μεγαλύτερο μέρος του κώδικα (11r-126r) περιέχει προβλήματα αριθμητικής και γεωμετρίας. Τα προβλήματα αυτά καλύπτουν πολλά μαθηματικά πεδία και ως επί το πλείστον αυτά τα οποία διδάσκονται σήμερα στις διάφορες βαθμίδες τόσο της πρωτοβάθμιας όσο και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το προοίμιο και τα δύο πρώτα κεφάλαια εξέδωσε ο J. L. Heiberg το 1899. Η μεταγραφή και η μελέτη του μαθηματικού περιεχομένου του υπολοίπου χειρογράφου πραγματοποιήθηκε από εμένα. Ο στόχος μου ήταν εν πρώτοις η ανάλυση των διδακτικών μεθόδων του Ανώνυμου συγγραφέα του και στη συνέχεια η σύγκριση αυτών με τις αντίστοιχες σύγχρονες μεθόδους επίλυσης των συγκεκριμένων προβλημάτων, καθώς αυτό το Βυζαντινό χειρόγραφο
προοριζόταν σύμφωνα με τις εκτιμήσεις μου  και για τη διδασκαλία μαθητών διαφόρων βαθμίδων της εκπαίδευσης. Αξίζει δε να αναφερθεί ότι η διαδικασία προσδιορισμού της κάθε μεθόδου ξεχωριστά υπήρξε ιδιαίτερα επίπονη και τούτο διότι στο χειρόγραφο δεν υπάρχουν μαθηματικοί τύποι σαν τους σημερινούς, αλλά μόνο περιγραφή τρόπων επίλυσης με τη μορφή οδηγιών και με πλήρη απουσία της αντίστοιχης θεωρίας στην οποία βασίζονται. Στη συνέχεια εξήχθησαν τα συμπεράσματα σχετικά με τον προορισμό της πραγματείας αυτής και διατυπώθηκαν υποθέσεις σχετικά με τη σημασία που είχε για τη μαθηματική επιστήμη του 15ου αι.

Στο άρθρο αυτό[1] επιχειρώ μία λεπτομερέστερη περιγραφή προβλημάτων ορισμένων τομέων των Μαθηματικών όπως αναλύονται από τον Ανώνυμο συγγραφέα του χειρογράφου, καθώς και της εξέλιξής τους από αρχαιοτάτων χρόνων έως σήμερα.  Η σύγκριση είναι απαραίτητη και επειδή στο χειρόγραφο κάποιες μέθοδοι, όπως αυτή του υπολογισμού αθροισμάτων διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου, καθώς και της εύρεσης τετραγωνικών ριζών πραγματικών αριθμών μπορεί να αποδειχθούν χρήσιμες για τους μαθητές, ως ευκολότερες στην απομνημόνευση. Τέλος, όπως προκύπτει από τη σύγκριση του περιεχομένου του χειρογράφου με το περιεχόμενο του έργου Summa του Pacioli, που έως σήμερα θεωρείται ως η πρώτη Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών, φαίνεται ισχυρή η πιθανότητα να ευρισκόμαστε στη θέση να το ονομάσουμε "Βυζαντινή Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών", και αφού μάλιστα είναι προγενέστερη της Summa του Pacioli
(1494 μ.Χ.), θα λέγαμε πως πρόκειται για την "πρώτη Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια", με χρονολογία συγγραφής το έτος 1436 μ.Χ.

Μαθήματα Στα χρόνια του Βυζαντίου


ΣΤΑ ΧΡΟΝΙΑ ΤΟΥ ΒΥΖΑΝΤΙΟΥ-ΟΙ ΘΕΤΙΚΟΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΙΑΤΡΟΙ, ΧΡΟΝΟΛΟΓΟΙ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΟΙ. ΣΤΡΑΤΟΣ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ & ΜΑΝΟΣ ΔΑΝΕΖΗΣ. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΔΙΑΥΛΟΣ, ΑΘΗΝΑ 2010.

Το βιβλίο μας αυτό στην πλήρη του μορφή, με τις κατάλληλες εικόνες και τη σωστή απόδοση της αρχαίας ελληνικής γραφής κυκλοφορεί από τις Εκδόσεις Δίαυλος (Αθήνα, 2010). Εδώ παρουσιάζεται μόνο το τελευταίο κεφάλαιο στην πρωταρχική του μορφή.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV: ΥΣΤΕΡΟΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ (1261-1453)
Είναι η περίοδος εκείνη της Βυζαντινής αυτοκρατορίας που παρατηρείται το ασυνήθιστο φαινόμενο η μεν αυτοκρατορία να φθίνει οικονομικά και πολιτικά, οι δε θετικές επιστήμες να αναπτύσσονται αλματωδώς.  Πραγματικά η μελέτη των μαθηματικών και της αστρονομίας αναπτύχθηκε πάρα πολύ κατά την εποχή των Παλαιολόγων και μετά την πτώση της Κωνσταντινούπολης μεταλαμπαδεύτηκε στη Δύση για να αποτελέσει τον προπομπό της Αναγέννησης.
Εισαγωγή
Η γενική επικράτηση των Δυνατών, δηλαδή των φεουδαρχών, οδήγησε προοδευτικά στην αποσύνθεση της αυτοκρατορίας, η οποία τελικά έπεσε στα χέρια των ποικιλώνυμων βαρβάρων πολεμιστών της Δ΄ Σταυροφορίας (1204), που, λησμονώντας τον αρχικό τους προορισμό κατέλαβαν την Κωνσταντινούπολη και υποδούλωσαν τις ελληνικές χώρες. Έτσι το χρονικό διάστημα από το 1204 έως το 1261 σημαδεύεται από τον διαμελισμό της αυτοκρατορίας.
Μετά την 13η Απριλίου του 1204 δεν υπάρχει πλέον η παλιά ενιαία Βυζαντινή αυτοκρατορία. Στη θέση της δημιουργήθηκαν πολλά μικρότερα, φραγκικά και ελληνικά κρατίδια. Ο κόμης της Φλάνδρας Βαλδουίνος (Μπάλντουιν) έγινε αυτοκράτορας της
Ο Βονιφάτιος ο Μομφερρατικός, που παντρεύτηκε τη Μαργαρίτα της Ουγγαρίας, τη χήρα του Ισαάκιου Β΄ Άγγελου, έγινε ο κύριος της Θεσσαλίας και της Μακεδονίας και δημιούργησε το βασίλειο της Θεσσαλονίκης. Ο Γοδεφρείδος Βιλλεαρδουίνος (de Villehardouin) έγινε πρίγκιπας του Μορέως και ο Όθων ντε λα Ρος (Otto de la Roche) δούκας των Αθηνών και των Θηβών (1205-1225). Αντίστοιχα ο Θεόδωρος Α΄ Λάσκαρης βασίλεψε στη Νίκαια, ο Αλέξιος Α΄ Μέγας-Κομνηνός στην Τραπεζούντα και ο Μιχαήλ Α΄ Άγγελος στο δεσποτάτο της Ηπείρου.
Εννοείται βέβαια ότι η περίοδος κατοχής της Κωνσταντινούπολης σημαδεύτηκε από έντονη και γενική πνευματική παρακμή. Τα σχολεία έκλεισαν. Ιδιωτικοί δάσκαλοι και καθηγητές αναγκάστηκαν να ξενιτευτούν, ενώ πολύτιμα και σπουδαία χειρόγραφα ανηρπάγησαν από τους σταυροφόρους, χάθηκαν, πουλήθηκαν ή καταστράφηκαν.
Ας δούμε όμως τα ελληνικά κράτη, που δημιουργήθηκαν.
Η αυτοκρατορία της Τραπεζούντας
Το 1204, ο Αλέξιος Κομνηνός (1204-1222) και ο Δαβίδ, εγγόνια του πρώην αυτοκράτορα Ανδρόνικου Α΄ Κομνηνού (1183-1185) και γιοι του σεβαστοκράτορα Μανουήλ Κομνηνού, ίδρυσαν -με αξιόμαχο στρατό και με τη βοήθεια της θείας τους Θάμαρ ή Ταμάρ (1184-1212), κόρης του Ανδρόνικου Α΄ Κομνηνού, και ιβηρικών στρατευμάτων- την αυτοκρατορία της Τραπεζούντας . Η αυτοκρατορία αυτή, στο βορειοανατολικότερο άκρο του βυζαντινού κράτους, έζησε για δυόμισι περίπου αιώνες (1204-1461) και μαζί της η δυναστεία των Μεγαλοκομνηνών, που βασίλεψε ως το τέλος της αυτοκρατορίας, δηλαδή έως το 1461, οπότε και καταλύθηκε από τους Οθωμανούς Τούρκους.